2023-2024学年广东省佛山市顺德区拔萃实验学校九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省佛山市顺德区拔萃实验学校九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 对角线互相垂直平分的四边形是( )
A. 平行四边形、菱形 B. 矩形、菱形 C. 矩形、正方形 D. 菱形、正方形
2. 如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中的度数是( )
A. B. C. D.
3. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，若，，则的长为( )
A. B. C. D.
4. 要使分式有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5. 如图，在平面直角坐标系内，正方形中的顶点，的坐标分别是，，且，两点关于轴对称，则点对应的坐标是( )
A. B. C. D.
6. 已知菱形的面积为，一条对角线长为，则这个菱形的周长为．( )
A. B. C. D.
7. 下列命题中，真命题是( )
A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D. 两条对角线相等的四边形是矩形
8. 如图，平行四边形，从下列四个条件，，，中选两个作为补充条件，不能确定平行四边形为正方形的是( )
A. B. C. D.
9. 如图，、、分别是各边中点，则以下说法错误的是( )
A. 和的面积相等
B. 四边形是平行四边形
C. 若，则四边形是菱形
D. 若，则四边形是矩形
10. 如图，在矩形中，为坐标原点，、分别在轴、轴上，点的坐标为，，将沿所在直线对折后，点落在点处，则点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 因式分解： ．
12. 若一个正方形的对角线的长为，则这个正方形的面积是______ ．
13. 菱形的周长为，两邻角的比为：，则较短的对角线的长为______ ．
14. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，为中点，则与相等的线段有______ ．
15. 如图，四边形是正方形，延长到点，使，则的度数是______．
16. 如图，矩形中，对角线，相交于点，，，，交于点，交于点，延长交于点，则下列结论：；四边形是菱形；≌；其中结论正确的是______．
三、解答题（本大题共8小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
解不等式组：并把它的解集表示在数轴上．
18. 本小题分
先化简，再求值：，其中，．
19. 本小题分
已知：如图，在正方形中，为边上的一点，为的延长线上一点，且与全等吗？请说明理由．
20. 本小题分
如图，在平行四边形中，是边上一点，且，连接．
尺规作图：作的平分线交于，交于不需要写作图过程，保留作图痕迹；
若，，求的长．
21. 本小题分
如图，在平行四边形中，两条对角线相交于点，经过且垂直于，分别与边、交于点、．
求证：四边形为菱形；
若，，且，求平行四边形的面积；
在的条件下求菱形的周长．
22. 本小题分
如图，在矩形中，、分别是边、上的点，，连接，，与对角线交于点，且，．
求证：；
若，求的长．
23. 本小题分
如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接、．
求证：；
当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；
若为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由．
24. 本小题分
已知正方形的边长为
如图，点在直线上运动，连接，将线段绕点按顺时针旋转得到，连接．
若点与重合，则 ______ ．
若，求的长．
如图，点在边上不与，重合运动，且，连接、将线段绕点逆时针旋转得到，将线段绕点顺时针旋转得到，设，，求关于的函数表达式．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
根据菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分性质进行分析从而得到正确答案．
本题考查平行四边形及特殊平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质是解题关键．
【解答】
解：、不正确，平行四边形的对角线不一定互相垂直；
B、不正确，矩形的对角线不一定互相垂直；
C、不正确，矩形的对角线不一定互相垂直；
D、正确，两者的对角线均具有此性质；
故选D．
2.【答案】
【解析】解：由题意得，剩下的三角形是直角三角形，
所以，．
故选：．
根据直角三角形两锐角互余解答．
本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
．
，
．
是等边三角形．
，
，
故选：．
依据矩形的性质可知是等边三角形，所以，则．
本题主要考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质，矩形中对角线相等且互相平分，进而得到等边三角形是解本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
根据分式有意义的条件：分母不等于即可得出答案．
本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，两点关于轴对称
和互相垂直平分
点在第四象限
点的坐标为：
故选B．
因为正方形，所以和互相垂直平分，易知，则，而点在第四象限，所以点的坐标为：．
本题考查了对角线的性质：正方形的对角线相等且互相垂直平分，是基础知识要熟练掌握．
6.【答案】
【解析】解：菱形的一条对角线长为，面积为，
另一对角线长为，
根据勾股定理，菱形的边长为，则菱形的周长．
故选：．
根据菱形的面积可求得另一条对角线的长，再根据勾股定理求得其边长，从而就不难求得其周长．
本题主要考查了菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形是正确的，符合题意；
B、两条对角线互相垂直的四边形是菱形，错误，不符合题意；
C、两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，错误，不符合题意；
D、两条对角线相等的四边形是矩形，错误，不符合题意．
故选：．
分别根据平行四边形，菱形，正方形，矩形的判定定理解答即可．
此题考查的是命题与定理，正确把握矩形、菱形、正方形以及平行四边形的区别是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：、四边形是平行四边形，
当时，平行四边形是菱形，
当时，菱形是正方形，故此选项正确，不合题意；
B、四边形是平行四边形，
当时，平行四边形是矩形，
当时，这是矩形的性质，无法得出四边形是正方形，故此选项错误，符合题意；
C、四边形是平行四边形，
当时，平行四边形是菱形，
当时，菱形是正方形，故此选项正确，不合题意；
D、四边形是平行四边形，
当时，平行四边形是矩形，
当时，矩形是正方形，故此选项正确，不合题意．
故选：．
利用矩形、菱形、正方形之间的关系与区别，结合正方形的判定方法分别判断得出即可．
此题主要考查了正方形的判定以及矩形、菱形的判定方法，正确掌握正方形的判定方法是解题关键．
9.【答案】
【解析】解：连接，
、、分别是各边中点，
，，
设和间的距离为，
，，
，
故本选项不符合题意；
B.、、分别是各边中点，
，，
，，
四边形是平行四边形，
故本选项不符合题意；
C.、、分别是各边中点，
，，
若，则，无法判断与是否相等，
无法判断四边形是菱形，
故本选项符合题意；
D.四边形是平行四边形，
若，则四边形是矩形，
故本选项不符合题意；
故选：．
根据平行四边形的判定，矩形的判定定理，菱形的判定定理，三角形中位线定理判断即可．
本题考查了矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定，三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，，点的坐标为，
，，
，
将沿所在直线对折后，点落在点处，
，，
过点作轴于点，
，
，
，
，
，
点的坐标为
故选：．
根据翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出对应线段长，进而得出点坐标．
此题主要考查了翻折变换以及矩形的性质和锐角三角函数关系，正确得出是解题关键．
11.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取，再利用平方差公式分解即可．【解答】
解：原式，
故答案为．
12.【答案】
【解析】解：正方形的对角线长为，
正方形面积为，
故答案为：．
根据正方形面积公式进行求解即可．正方形是特殊的菱形，可以用对角线长度的乘积的一半计算．
本题主要考查了正方形的性质，熟知正方形面积等于对角线长度的乘积的一半是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：因为两邻角的比为：，得到菱形的较小的角为，可得较短的对角线与菱形的两邻边组成等边三角形．则较短的对角线的长为等于菱形的边长．
故答案为
根据已知可求得较小的内角为，从而可得到较短的对角线与菱形的一组边组成一个等边三角形，则较短的对角线的长等于菱形的边长．
此题主要考查的知识点：菱形的两个邻角互补；菱形的四边相等；等边三角形的判定：有一角等于的等腰三角形是等边三角形．
14.【答案】、
【解析】解：菱形对角线垂直平分
为直角三角形，
为的中点，
．
故答案为、．
根据菱形对角线垂直平分的性质，可以得为直角三角形，又由为的中点，可得．
本题考查了菱形对焦互相垂直平分的性质，考查了直角三角形斜边中线长为斜边长的一半的性质，本题中熟悉掌握三角形中位线定理是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
．
，
．
．
故答案为．
根据正方形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可求度数，最后用即可．
本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质，解决正方形的角度问题一般会涉及对角线平分对角得到．
16.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
是的垂直平分线，
，故正确；
，，，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
四边形是菱形，故正确；
≌≌，
正确；
，，，
，故正确；
故答案为：．
根据矩形的性质和等边三角形的判定得出是等边三角形，进而判断正确；根据证明与全等，进而判断正确；根据全等三角形的性质判断正确即可．
此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
17.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
18.【答案】解：原式
，
当、时，
原式
．
【解析】先计算括号内的乘方和乘法，再合并括号内的同类项，最后计算除法即可得．
本题主要考查整式的化简求值能力，熟练掌握整式的混合运算顺序及运算法则是解题的关键．
19.【答案】解：≌，理由如下：
四边形是正方形，
，，
则：
在与中，
，
≌．
【解析】利用正方形的性质即可得到与全等的条件，在利用可证其全等．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握并灵活运用正方形的性质是解决问题的关键．
20.【答案】解：射线如图所示．
，平分，
，
，
在中，，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
【解析】本题考查作图基本作图，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
利用尺规作出的角平分线即可．
利用勾股定理求出，证明，即可解决问题．
21.【答案】证明：是对角线的垂直平分线，
，，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
四边形为菱形；
解：过作于，
则，
，
是等腰直角三角形，
，
平行四边形是面积；
解：，，
，
四边形是菱形，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
菱形的周长．
【解析】由线段垂直平分线的性质得，，再证≌，得，则，即可得出结论；
证是等腰直角三角形，得，由平行四边形的面积可求解；
先求，由菱形的性质得，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程，进而求解即可．
本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
22.【答案】证明：四边形是矩形，
，
．
在和中，
，，，
≌，
．
解：如图，连接．
，，
，
在中，．
≌，
．
四边形是矩形，
，
．
，，
，
．
，
，
．
【解析】仔细审题，根据矩形的对边平行可得，再根据两直线平行，内错角相等得出，然后利用“角角边”证明和全等，即可证明；
连接，根据等腰三角形三线合一的性质可得，再根据矩形的性质得到直角三角形，利用直角三角形斜边中线的性质即可证明，根据等边对等角的性质可得；在中利用三角形的内角和定理，结合已知即可得到，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，接下来运用勾股定理即可求出的长．
此题考查的是矩形的性质、全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
23.【答案】证明：．
．
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
．
解：四边形是菱形．
理由是：为中点，
，
，
．
，
四边形是平行四边形．
，为中点，
，
平行四边形是菱形．
解：当时，四边形是正方形．
理由是：，，
，
．
为中点，
，
，
四边形是菱形，
菱形是正方形，
即当时，四边形是正方形．
【解析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质以及正方形的判定，掌握相关判定和性质是解题的关键．
先证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
先证明四边形是平行四边形，再证明，根据菱形的判定推出即可；
证出，再根据正方形的判定推出即可．
24.【答案】
【解析】解：当点与点重合时，由旋转的性质得：，，
过点作的垂线交的延长线于，则，
四边形为正方形，且边长为，
，，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
在中，，，
由勾股定理得：．
点在直线上运动，
有以下两种情况：
当点在的延长线上时，设，
过点作的垂线交的延长线于，由旋转的性质得：，，
，，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
在中，，，，
由勾股定理得：，
即：，
，
或不合题意，舍去，
．
当点在的延长线上时，
过点作的垂线交的延长线于，由旋转的性质得：，，
，，
，
在和中
，
≌，
，，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
．
综上所述：的长度为或．
，，其中，
过点作的垂线交的延长线于，过点作的垂线交的延长线于，过点作于，
则，
四边形为矩形，
，，
由旋转的性质得：，，，，
，，
又，，
，，
在和中，
，
≌，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
在中，，，，
由勾股定理得：，
即：，其中．
当点与点重合时，由旋转的性质得：，，过点作的垂线交的延长线于，证和全等得，，进而在中由勾股定理可求出的长；
由于点在直线上运动，因此需要分两种情况进行讨论：
当点在的延长线上时，设，过点作的垂线交的延长线于，由旋转的性质得：，，证和全等得，，进而在中由勾股定理求出的值即可得出的长；
当点在的延长线上时，过点作的垂线交的延长线于，由旋转的性质得：，，证和得，，进而在中由勾股定理求出即可得出的长；
过点作的垂线交的延长线于，过点作的垂线交的延长线于，过点作于，先证四边形为矩形得，，再证和全等得，，然后证和全等得，，进而得，，最后在由勾股定理即可得出关于的函数表达式．
此题主要考查了正方形的性质，图形的旋转变换及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等、对应角相等；正方形的四个角都是直角、四条边都相等．
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