2023-2024学年重庆市七校联考高一(上)开学数学试卷
一、单选题(本大题共10小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 如图是由个完全相同的小正方体组成的立体图形,这个立体图形的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 如图,直线,被直线所截,若,,则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
4. 如图,与是位似图形,点为位似中心,位似比为:,则与的面积之比为( )
A. :
B. :
C. :
D. :
5. 下列函数的图象不经过点的是( )
A. B. C. D.
6. 的结果在哪两个连续整数之间( )
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
7. 如图是用黑白两种颜色的正六边形地板砖铺成的图案,以此规律,第个图案中的白色地板砖的块数为( )
A. B. C. D.
8. 如图,为圆的直径,直线与圆相切于点,为圆上一点,连接,若,则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
9. 如图,在正方形内有一点,连接,,有,若的角平分线交于点,若为中点,,则的长为( )
A.
B.
C.
D.
10. 定义:如果代数式是常数与是常数,满足,,,则称这两个代数式与互为“同心式”,如,代数式:的“同心式”为,下列三个结论:
若与互为“同心式”,则的值为;
当时,无论取何值,“同心式”与的值始终互为相反数;
若、互为“同心式”,且是一个完全平方式,则.
其中,正确的结论有个.( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共8小题,共32.0分)
11. 计算: ______ .
12. 一个布袋里装有只有颜色不同的个球,其中个红球,个白球从中任意摸出个球,则摸出的个球都是红球的概率是______ .
13. 若一个正多边形的一个内角是,则这个多边形的边数为______ .
14. 在中,,,于点,,点为边中点,连接,则的长为______ .
15. 某工厂废气年排放量为万立方米,为改善空气质量,决定分两期治理,使废气的排放量减少到万立方米如果每期治理中废气减少的百分率相同,设每期减少的百分率为,则可列方程为______ .
16. 如图,矩形的对角线,交于点,分别以点,为圆心,长为半径画弧,分别交,于点,若,,则图中阴影部分的面积为______ 结果保留
17. 已知关于的分式方程的解为正整数,且关于的不等式组的解集为,则所有符合条件的整数的值之和为______ .
18. 两位数和两位数,它们各个数位上的数字都不为,将数和数的个位数字与十位数字交叉相乘再求和所得的结果记为例如:又如:则 ______ ;若一个两位数,两位数,且,都取整数,交换的十位数字和个位数字得到新两位数,当与的个位数字的倍的和能被整除时,称这样的两个数和为“快乐数对”,则所有“快乐数对”的最大值为______ .
三、解答题(本大题共8小题,共78.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
19. 本小题分
计算:
;
.
20. 本小题分
如图,四边形是平行四边形,是对角线.
基本尺规作图:过点作于点,再在线段上截取尺规作图,保留作图痕迹,不写作法
连接、、,猜想四边形的形状,将下面的推理过程补充完整证明:四边形是平行四边形,
, ______ ,
.
在和中,
≌,
, ______ .
.
______
四边形是 ______ .
21. 本小题分
某校为庆祝中国共产主义青年团成立周年,特开展了“建团百年锵辉煌、凝心聚力再出发”共青团知识竞赛现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩百分制进行整理、描述和分析成绩得分用表示,共分成四组:;;;下面给出了部分信息;
七年级名学生的竞赛成绩是:,,,,,,,,,
八年级名学生的竞赛成绩在组中的数据是:,,,,
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数
中位数
众数
方差
根据以上信息,解答下列问题:
直接写出上述图表中 ______ , ______ , ______ 的值;
根据以上数据,你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握共青团知识较好?请说明理由一条理由即可;
该校七、八年级分别有人、人参加了此次竞赛活动,估计参加此次竞赛活动成绩优秀
的学生人数是多少?
22. 本小题分
如图,正方形是边长为,动点以每秒个单位长度的速度从点出发,沿折线运动,动点以每秒个单位长度的速度同时从点出发,沿折线运动,当两者相遇时停止运动设运动时间为秒,的面积为.
请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围;
在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象,并写出该函数的一条性质;
结合函数图象,直接写出的面积为时的值.
23. 本小题分
甲和乙两位同学是骑行爱好者,甲从地出发前往地,乙从地出发前往地,已知、两地相距千米,乙的速度是甲的速度的倍.
若甲先骑行千米,乙才开始从地出发,两人分钟后相遇,求乙每小时骑行多少千米?
若甲先骑行分钟,乙才开始从地出发,甲、乙两人同时到达终点,求乙每小时骑行多少千米?
24. 本小题分
如图,在东西方向的海岸线上有港口和港口,在港口处测得海岛在北偏东方向,从港口处测得海岛在北偏东方向,已知港口与海岛的距离为千米,
求港口到海岛的距离;结果精确到个位
一游客要从港口前往海岛取物品,他有两条路线可以选择路线一:从港口乘坐快艇以每小时千米的速度直达海岛;路线二:从港口乘坐交通车以每小时千米的速度沿海岸线前往港口,再沿方向乘坐快艇以每小时千米的速度前往海岛为尽快到达海岛,该游客应选择哪条路线参考数据:,
25. 本小题分
如图,抛物线与轴交于和两点,与轴交于点,点是直线下方的抛物线上一动点.
求抛物线的解析式;
过点作直线于点,过点作轴于点,交直线于点,求的最大值及此时点的坐标;
在的条件下,将该抛物线向左平移个单位,点为点的对应点,平移后的抛物线与轴交于点,为平移后的抛物线的对称轴上任意一点写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标,并把求其中一个点的坐标的过程写出来.
26. 本小题分
在中,,,点为平面内一点.
如图,当点在边上,且时,求的长度;
如图,若,求证:;
如图,当时,连接,将沿直线翻折至平面内得到,点、分别为、中点,为线段上一动点,连接,将线段绕点顺时针方向旋转,得到,请直接写出的最小值.
答案和解析
1.【答案】
【解析】解:因为数的相反数为,所以的相反数是.
故选:.
由相反数的定义即可得解.
本题主要考查相反数的定义,属于基础题.
2.【答案】
【解析】解:由这个立体图形可知,其主观图应为选项B.
故选:.
根据已知图形,结合选项直接得出答案.
本题考查简单图形的三视图,属于基础题.
3.【答案】
【解析】解:因为,,
所以,
所以.
故选:.
由两直线平行,同位角相等,可得,再由对顶角相等即可求解.
本题主要考查平行直线的性质与对顶角的性质,属于基础题.
4.【答案】
【解析】解:因为与是位似图形,所以∽,
而位似比为:,所以.
故选:.
由位似图形可得三角形相似,进而可得面积之比等于位似之比的平方,由题意求出面积之比.
本题考查相似三角形的性质的应用,属于基础题.
5.【答案】
【解析】解:把分别代入,,得到,即函数图象经过,
代入得,故函数图象不过.
故选:.
直接代入即可判断.
本题主要考查函数的基本性质,属于基础题.
6.【答案】
【解析】解:,
,
故,
则的结果在与之间.
故选:.
先对原式化简,再估算无理数的大小,即可求解.
本题主要考查幂的运算法则,属于基础题.
7.【答案】
【解析】解:根据题意,设第个图案中的白色地板砖的块数为,
分析可得:第个图案中的白色地板砖的块数比第个图案中的白色地板砖的块数多块,即,
又由,则数列是首项为,公差为的等差数列,故;
则,即第个图案中的白色地板砖的块数为.
故选:.
根据题意,设第个图案中的白色地板砖的块数为,结合图案的规律分析可得数列是首项为,公差为的等差数列,由此可得的通项公式,计算可得答案.
本题考查数列的应用,涉及归纳推理的应用,属于基础题.
8.【答案】
【解析】解:为圆的直径,则,
,
由于直线与圆相切于点,
则,
即,
则.
故选:.
根据两个角互余的性质即可得.
本题考查弦切角问题,属于基础题.
9.【答案】
【解析】解:设的长为,连接,过点作于点,过点作于点如图所示,
四边形是正方形.,为的中点,
,平分,,,,
≌,,,,
,,,,
,,,,
平行线间的距离处处相等,
在中,,
,
,,
在中,,,,,
解得:舍去负值,.
故选:.
连接,过点作,过点作设正方形的边长,通过证明≌得到各边与正方形边长的关系,再利用面积法把用含的代数式表示出来,通过角相等证明,从而得到,在中利用勾股定理求出的值,从而求出的长.
本题考查了正方形的性质,掌握三角形全等的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理的应用是解题的关键,属中档题.
10.【答案】
【解析】解:若与互为“同心式”,则,,,
,,
,故正确;
当时,,,
,,
,,
,
无论取何值,“同心式”与的值始终互为相反数,故正确;
若、互为“同心式”,
是一个完全平方式,
,有两个相等的实数根,
,
,故正确.
故选:.
根据两个代数式与互为“同心式”的定义分别对三个结论进行判断即可得出答案.
本题考查了新定义、根的判别式和实数的性质,正确理解新的定义是关键,是中档题.
11.【答案】
【解析】解:
.
故答案为:.
直接利用零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质即可化简得解.
此题主要考查了实数运算,正确化简各数是解题关键,属于基础题.
12.【答案】
【解析】解:由题意,从个秋的袋子中任意摸出个球,一共有种情况,
摸出的个球都是红球,有种情况,
所以,摸出的个球都是红球的概率为.
故答案为:.
根据古典概型的概率计算公式,求出基本事件总数和所求事件包含的结果数即可求解.
本题考查古典概型及其概率的求法,属基础题.
13.【答案】
【解析】解:根据题意,设该正多边形的边数为,则其内角和为,
则有,
解可得:,即这个多边形的边数为.
故答案为:.
根据题意,设该正多边形的边数为,分析可得,解可得答案.
本题考查合情推理的应用,注意正多边形的性质,属于基础题.
14.【答案】
【解析】解:在中,,,于点,,
则,,
在中,设,则,
,
,
,
则.
故答案为:.
由题意得,,在中,设,则,利用勾股定理即可求解.
本题考查了三角形中的几何计算,属于中档题.
15.【答案】
【解析】解:依题意得:.
故答案为:.
利用经过两期治理后废气的排放量治理前废气的排放量每期减少的百分率,即可得出关于的一元二次方程,此题得解.
本题主要考查了指数函数模型在实际问题中的应用,属于基础题.
16.【答案】
【解析】解:在矩形中,,,
所以,且,
所以阴影部分的面积为.
故答案为:.
利用矩形的性质求出扇形的圆心角度数以及扇形半径然后根据扇形面积公式即可求解.
本题考查了扇形面积公式的应用,属于基础题.
17.【答案】
【解析】解:由,得,
解得,
因为方程的解为正整数,
所以为正整数,且,
由,可得,
由,可得,
又不等式组的解集为,
则,
所以符合条件的有:,,,
则所有符合条件的整数的值之和为.
故答案为:.
解分式方程可得为正整数,且,解不等式组可得,由此求得的值,进而得解.
本题考查分式方程和不等式组的求解,考查运算求解能力,属于中档题.
18.【答案】
【解析】解:.
由已知,得.
两位数,个位数:,十位数:,
新的两位数.
两位数,个位数:.
,
因为能被整除,即,
所以为整数,
而,
当时,,,
当时,,,
所以,当,时,,,此时.
当,时,,,此时.
则所有“快乐数对”的最大值为:.
故答案为:;.
先根据题意写出新的两位数,再利用被整除的条件确定,,最后按定义计算即可.
本题考查合情推理与新定义,属于中档题.
19.【答案】解:原式;
原式.
【解析】利用平方差与完全平方差公式,展开运算,即可;
通分,结合平方差,约分化简,即可.
本题考查指数幂的运算,考查运算求解能力,属于基础题.
20.【答案】 平行四边形
【解析】解:、如图所作:
证明:四边形是平行四边形,
,,
.
在和中,
≌,
,,
,
,
四边形是平行四边形.
故答案为:;;;平行四边形.
先以为圆心,大于到的距离长为半径画弧,交于两点,再分别以这两个交点为圆心,大于这两个交点间的距离为半径画弧,得到两弧的两个交点,再过这两个交点作直线交于,再在上截取即可;
由四边形是平行四边形,可得,,再证明≌,证明,可得,可得四边形是平行四边形.
本题考查的是过已知点向已知直线作垂线,作一条线段等于已知线段,平行四边形的判定与性质,熟悉基本作图的方法是解本题的关键.
21.【答案】
【解析】解:由八年级组有个数据,可知组占,再由,各,可得组为,所以;
,组各人,,组各人,可得八年级的中位数为,即,
再由七年级的竞赛数据可知,众数为,即;
故答案为:;;;
由中位数或方差可知七年级的较好;
由名同学的成绩分布,可得的七年级占,八年级占,
所以七年级参加人,成绩优秀的有,;八年级参加人,成绩优秀的有人.
由扇形图及组的数据可得的值,再由列表可知,的值;
由中位数或方差可知七年级的成绩较好;
由样本人的优秀率可知总体的优秀率,进而求出总体中优秀的人数.
本题考查统计中众数,中位数的求法,属于基础题.
22.【答案】解:当时,点,分别在边,上,
此时;
当时,点,在边上,
此时;
综上,;
图象如下所示,
性质:当时,函数取得最大值;
由图象可知,当的面积为时,或.
【解析】分以及分别求解即可得出答案;
根据函数解析式直接作图,根据图象可写出一条性质;
根据函数图象可得出答案.
本题考查函数解析式的求法,函数图象的作法及运用,考查运算求解能力,属于基础题.
23.【答案】解:设甲每小时骑行千米,则乙每小时骑行千米,依题意得:,解得:,
.
乙每小时骑行千米.
设甲每小时骑行千米,则乙每小时骑行千米,依题意得:,解得:,
经检验,是原方程的解,且符合题意,.
乙每小时骑行千米.
【解析】设甲每小时骑行千米,则乙每小时骑行千米,利用路程速度时间,结合甲追上乙时二者的行驶路程相等,列出一元一次方程,解方程即可.
设甲每小时骑行千米,则乙每小时骑行千米,利用时间路程速度,结合乙比甲多用分钟,列出分式方程,解方程即可.
本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用,解题的关键是找准等量关系,正确列出方程,是基础题.
24.【答案】解:过作于,
由题意可知,,千米,
在中,,
在中,千米;
由可得.
选择线路的时间小时;
选择线路的时间.
所以为尽快到达海岛,该游客应选择路线.
【解析】过作于,分别在两个三角形中,可求出的值;
由可得的值,分别求出游客在两个路线的时间,可知游客选择的路线.
本题考查直角三角形中边角的求法,属于基础题.
25.【答案】解:因为抛物线过和,可得,解得,,
所以抛物线的方程为.
与轴交于点点的坐标为,设直线的解析式为,
则,直线的解析式为,
设点,则,,
当时,最大,最大值是.
,,,轴,,
,是等腰直角三角形,
的最大值为,此时点的坐标为.
抛物线向左平移个单位得抛物线,抛物线与轴交于点
,点向左平移个单位得点
,抛物线的对称轴上任意一点,以为腰的是等腰三角形.
或或或.
的坐标或.
【解析】用待定系数法求函数的解析式即可;
求出直线的解析式,设点,则,应用二次函数最值可得线段的最大值,证明是等腰直角三角形,可得出,即可求得答案;
利用两点间的距离公式即可求解.
本题是二次函数综合题,主要考查二次函数的图象及性质,等腰直角三角形的判定和性质,两点间的距离公式知识点,属于中档题.
26.【答案】解:的中点,连接,则,
所以;
证明:
将绕点逆时针旋转得,
连接,与的交点为,
则,,是等腰直角三角形,,,
所以,
所以,
设,则,,是等腰三角形,
所以.
解:
依题意作图,其中,,连接,则是的中位线,,
,
所以,
因为,,,,,三点共线,又,
所以,
延长至点,使得,则点在线段上;
因为,
所以始终在以为圆心,为半径的圆的圆周上,
本问题等价于到圆的圆周上最近的距离,显然等于.
【解析】根据每一小问具体的条件作图分析,找出其中的规律即可.
本题属于初高中衔接的几何题,需要丰富的图形思考能力,属于中档题.
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