2023-2024学年浙江省宁波市至诚高级中学高一（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年浙江省宁波市至诚高级中学高一（上）开学数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知，，求的值( )
A. B. C. D.
2. 若，，则的值为( )
A. B. C. D.
3. 若，，则、的大小关系为( )
A. B. C. D. 无法确定
4. 下列因式分解正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是( )
A. B. 且 C. D.
6. 方程组的解是( )
A. B.
C. D.
7. 关于的方程有两个根，其中一个大于，另一个小于时，则的取值范围为( )
A. B. C. 或 D. 或
8. 若，为正实数，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 符合根为和的二次方程有( )
A. B.
C. D.
10. 若一元二次方程的两个根均满足，则符合的值有( )
A. B. C. D.
11. 下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
12. 若不等式的解集是，则下列选项正确的是( )
A. 且
B.
C.
D. 不等式的解集是
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知，，则 ______ ．
14. 方程的两根为，，则 ______ ．
15. 多项式的一个因式是，则的值为______ ．
16. 函数的最大值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
分解下列因式．
；
．
18. 本小题分
解方程：
；
．
19. 本小题分
解下列不等式：
；
．
20. 本小题分
已知，求的最小值；
已知，求的最小值．
21. 本小题分
若，是方程的两个根，当为何值时，有最小值？请你求出这个最小值．
22. 本小题分
定义这样一组数，，，，，，用表示，第一个数用表示即，第二个数用表示即，以此类推，第个数用表示即；另外一组数用表示，与的关系式为．
写出表示的这组数关于的表达式．
求表示的这组数前个数的和．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：已知，，
则，
即．
故选：．
由有理数指数幂的运算求解即可．
本题考查了有理数指数幂的运算，属基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，，
则．
故选：．
由平方差公式求解即可．
本题考查了有理数指数幂的运算，属基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
则．
故选：．
利用作差法比较大小即可．
本题考查不等式比较大小，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，所以不正确．
，所以B正确．
，所以不正确．
，所以不正确．
故选：．
化简各个选项等号右侧部分的表达式，即可判断选项的正误．
本题考查因式分解，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：要使在实数范围内有意义，
则，
解得．
故选：．
根据题意可得，求得的范围即可．
本题考查二次根式和分式有意义的条件，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，方程组，
由可得：，
代入式可得：，解可得，
当时，，
当时，，
故方程组的解为 或．
故选：．
根据题意，利用代入消元法分析可得答案．
本题考查方程组的解法，注意准确计算，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：构造函数，
方程有两个根，其中一个大于，另一个小于，
，
，
．
故选：．
构造函数，根据方程有两个根，其中一个大于，另一个小于，可得，从而可求实数的取值范围．
本题考查方程根的研究，考查函数思想的运用，解题的关键是构造函数，利用函数思想求解，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：，为正实数，且，
，当且仅当时取““，
故选：．
先将式子变形为，再利用基本不等式求得结果即可．
本题主要考查式子的变形及基本不等式的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：设符合根为和的二次方程为，
则，，
由选项可知，符合．
故选：．
由一元二次方程的根的分布与系数的关系即可得解．
本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和等于，两根之积等于是解题的关键，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：令，
因为一元二次方程的两个根均满足，
所以，即，
解得，
由选项可知，，符合．
故选：．
令，由题意可得，解不等式组即可得解．
本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，函数思想的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：当时，显然错误；
由基本不等式可知，，当且仅当，即时取等号，B正确；
由题意，则，当且仅当，即时取等号，C正确．
故选：．
由已知结合基本不等式及等号成立的条件检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于，，，是方程的两个根，所以，，所以，，所以，，所以A正确；
令，对于，由题意可知当时，，所以B正确；
对于，当时，，所以C错误；
对于，把，代入不等式化简可得：，解得，
所以不等式的解集是，所以D正确．
故选：．
由已知可得，且，是方程的两个根，则由根与系数的关系可得出，，从而可以判断，的符号，即可判断是否正确，
又由解集可得满足不等式，所以代入即可判断是否正确，而不满足不等式，所以可判断的正确性，把，代入不等式化简即可求解．
本题考查了一元二次不等式的解法以及应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：，，
．
故答案为：
根据题意，利用完全平方公式进行配方运算，即可得出答案．
本题主要考查完全平方公式、配方法求代数式的值等知识，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：方程的两根为和，
，，
则．
故答案为：．
根据根与系数之间的关系进行转化求解即可．
本题主要考查一元二次方程根的求解，根据根与系数之间的关系进行转化是解决本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：设，
则，，，所以，
所以，
所以，则，
所以，则．
故答案为：．
将原式化为一因式与积的形式，然后得到对应系数相等，即可求得、的值，推出结果．
本题考查了因式分解．利用因式分解最后整理成多项式的乘积等于的形式，待定系数法的应用，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：令，则，
则，
所以
故答案为：．
利用换元法，然后结合对勾函数单调性即可求解．
本题主要考查了对勾函数单调性在函数最值求解中的应用，属于中档题．
17.【答案】解：；
．
【解析】利用十字相乘法，分解因式即可．
本题考查因式分解的应用，是基础题．
18.【答案】解：已知，
则，
即，
化简可得，
经检验即为方程的解；
，
可得，
两边平方可得，
化简可得，
继续两边平方可得，
解得，
经检验即为方程的解．
【解析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
对其中一个根式进行移项，两边平方，化简后再移项平方，求出结果后检验即可．
本题考查了分式方程、根式方程的求解，是基础题．
19.【答案】解：由，得，
解得或，
则不等式的解集为．
由，得，
解得或，
则不等式的解集为，．
【解析】转化为，求解即可；
转化为，求解即可．
本题考查不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．
20.【答案】解，，
，
当且仅当，即时，等号成立．
的最小值为．
，，
，
当且仅当，即时取等号，的最小值为．
【解析】由已知，然后结合基本不等式即可求解；
由已知利用乘法，结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
21.【答案】解：由题意得，
所以，
，
根据二次函数的性质可知，当时，上式取得最小值．
【解析】由已知结合二次方程根的存在条件先求出的取值范围，然后结合方程的根与系数关系可先表示出，再结合二次函数的性质可求．
本题主要考查了二次方程的实根分布，二次函数性质的应用，属于基础题．
22.【答案】解：由题意，
可得
，
表示的这组数关于的表达式为；
由题意，设表示的这组数前个数的和为，
则
，
表示的这组数前个数的和为．
【解析】根据题意将代入题干与的关系式进行计算即可得到表示的这组数关于的表达式；
根据题意及第题得到的表示的这组数关于的表达式在求前个数的和时运用裂项相消法即可计算出结果．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了整体思想，转化与化归思想，裂项相消法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
第1页，共1页