江苏省南京民办求真中学2023-2024学年九年级上册数学期初测试试卷
一、选择题（共6小题，18分）
1．（2023九上·南京开学考）一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，a=1，b=-3，c=-1，
则，
∴一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0 有两个不相等的实数根 ；
故答案为：B.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此判断即可.
2．（2023九上·南京开学考）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）相等的圆心角所对的弧相等，（3）劣弧一定比优弧短，（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】圆的认识；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：（1） 长度相等的弧不一定是等弧，长度相等且度数也相同的弧才是等弧，故（1）错误；
（2）同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故（2）错误；
（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故（3）错误；
（4）直径是圆中最长的弦，故（4）正确，
综上正确的只有1个.
故答案为：A.
【分析】利用等弧的定义： 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧 ，据此可判断（1）；同弧或等弧所对的圆心角相等，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧也相等，据此可判断（2）；弧的长度与所在圆的半径及其所对的圆心角的度数有关，只有在同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，据此可判断（3）；连接圆上任意两点间的线段叫做弦，直径是圆中最长的弦，据此可判断（4）.
3．（2023九上·南京开学考）用配方法将方程2x2﹣4x﹣3＝0变形，结果正确的是（ ）
A．2（x﹣1）2﹣4＝0 B．（x﹣1）2﹣＝0
C．2（x﹣1）2﹣＝0 D．（x﹣1）2﹣5＝0
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：二次项系数化为1：，
配方：，
，
故答案为：A.
【分析】根据配方法的步骤：（1）二次项系数化为1，（2）移项，（3）配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使左边为一个完全平方式，右边为常数，将原方程利用配方变形后即可得出答案.
4．（2023九上·南京开学考）如图，在⊙O中，若＝2，则AB与2CD的大小关系为（ ）
A．AB＝2CD B．AB＜2CD C．AB＞2CD D．无法确定
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，取AB的中点E，连接AE，BE，
∴弧AB=2弧AE=2弧BE
∵，
∴，
∴AE=BE=CD，
∵ AE+BE> AB，
∴AB< 2CD.
故答案为：B.
【分析】首先取弧AB的中点E，连接AE，BE，易得，由等弧所对的弦相等得AE=BE=CD，然后由三角形的三边关系求得答案.
5．（2023九上·南京开学考）如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，点P是弦AB上的一个动点，使线段OP的长度为整数的点P有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【知识点】垂线段最短；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：当P为AB的中点时，
由垂径定理得，OP⊥AB，此时OP最短，
∵AB=8，
∴AP=BP=4，
在直角三角形AOP中，OA=5， AP=4，
根据勾股定理得：
即OP的最小值为3；
当P与A或B重合时，OP最长，此时OP=5，
则3≤OP≤5，
则使线段OP的长度为整数的点P有3，4，4，5，5，共5个.
故答案为：C.
【分析】当P为AB的中点时OP最短，利用垂径定理得到OP⊥AB，再利用勾股定理求出OP的长；当P与A或B重合时，OP最长，求出OP的范围，由OP为整数，即可得到OP所有可能的长，再利用圆的对称性可得答案..
6．（2023九上·南京开学考）关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根
B．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值大
C．两个负根
D．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；有理数的加法；有理数的乘法
【解析】【解答】解：设方程两根设为x1，x2，
方程整理得：x2+x- 2- p2= 0，
由根与系数的关系得：x1+x2= -1< 0，
x1x2= -2- p2<0，
∴方程的两个根是：一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小.
故答案为：D.
【分析】方程整理为一般形式，设两根分别为x1，x2，利用根与系数的关系，，求出两根之和与两根之积，进而根据有理数的乘法法则及加法法则判断即可.
二、填空题（共10小题，30分）
7．（2023九上·南京开学考）化简：（a﹣b）＝ ．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由题意得，且
∴-（a-b）＞0，即a-b＜0，
则原式=
=
=
故答案为：.
【分析】首先根据二次根式有意义的条件判断得出a-b＜0，进而将根号外的因式移到根号内，化简求出即可.
8．（2023九上·南京开学考）若一个一元二次方程的两个根分别是1、﹣2，请写出一个符合题意的一元二次方程 ．
【答案】x2﹣x﹣2＝0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据根与系数的关系：1+（-2）=-1，
1×（-2）=-2，
则以1、﹣2 为根的一元二次方程可为x2﹣x﹣2＝0，
故答案为：x2﹣x﹣2＝0.
【分析】利用根与系数的关系，，求出二次项系数a=1的时候，一次项系数b及常数项c的值，从而根据一元二次方程定义写出方程即可.
9．（2023九上·南京开学考）⊙O中，弦AB的长恰等于半径，则弧的度数是 度．
【答案】60
【知识点】等边三角形的判定；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OB，
∵OA=OB=AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴的度数为60°；
故答案为：60.
【分析】如图，连接OA、OB，先证明△ABC为等边三角形，则可得到∠AOB=60°，然后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数即可得出答案.
10．（2023九上·南京开学考）若关于x的方程kx2+2x+1＝0有实数根，则实数k的取值范围是 ．
【答案】k≤1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵当k≠0时，方程kx2+2x+1＝0有实数根，
∴，
解得，k≤1且k≠0；
当k=0时，方程为2x+1=0，是一元一次方程，一定有实数根，
综上k的取值范围为k≤1.
故答案为：k≤1.
【分析】分类讨论：当k=0时，方程为一元一次方程，一定有一个实数根；当k≠0时，方程为一元二次方程，对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意列出不等式，求解并综合两种情况得到k的取值范围即可.
11．（2023九上·南京开学考）若关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝3，x2＝﹣5，则关于y的方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是 ．
【答案】y1＝2，y2＝﹣6
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝3，x2＝﹣5，
∴，，
∴，，
则 方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0 可化为：
a（y+1）2+2a（y+1）-15a＝0，
即（y+1）2+2（y+1）-15＝0，
则[（y+1）-3][（y+1）+5]=0
∴（y+1）-3=0或（y+1）+5=0，
解得y1=2，y2=-6；
故答案为：y1=2，y2=-6.
【分析】根据根与系数的关系：，，导出a，b，c的关系，再将待解方程化为不含a，b，c的一元二次方程，再解出一元二次方程即可求出y的解.
12．（2023九上·南京开学考）一个点到圆上的点的最小距离为6cm，最大距离为10cm，则圆的半径为 cm．
【答案】8或2
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：分为两种情况：
①当点在圆内时，如图1，
∵点到圆上的最小距离MB=6cm，最大距离MA = 10cm，
∴直径AB= 6cm+ 10cm = 16cm，
∴半径r= 8cm；
②当点在圆外时，如图2，
∵点到圆上的最小距离MB= 6cm，最大距离MA = 10cm，
∴直径AB=10cm-6cm=4cm，
∴半径r= 2cm，
综上所述，圆的半径为8cm或2cm.
故答案为：8或2.
【分析】根据题意分为两种情况：①点在圆内，②点在圆外，根据题意可分别求出直径，继而可求半径.
13．（2020九上·东坡月考）已知关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的两实数根互为相反数，则k＝ ．
【答案】﹣2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的两根分别为x1，x2，
∵x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的两实数根互为相反数，
∴x1+x2，＝﹣（k2﹣4）＝0，解得k＝±2，
当k＝2，方程变为：x2+1＝0，△＝﹣4＜0，方程没有实数根，所以k＝2舍去；
当k＝﹣2，方程变为：x2﹣3＝0，△＝12＞0，方程有两个不相等的实数根；
∴k＝﹣2．
故答案为﹣2．
【分析】设方程的两根分别为x1，x2，根据根与系数的关系得到x1+x2，＝﹣（k2﹣4）＝0，解得k＝±2，然后分别计算△，最后确定k＝﹣2．
14．（2023九上·南京开学考）如图，过A、C、D三点的圆的圆心为点E，过B、F、E三点的圆的圆心为D，如果∠A＝66°，那么∠θ＝ ．
【答案】16°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接DE，
∵过A、C、D三点的圆的圆心为点E，
∴，
∵过B、E、F三点的圆的圆心为D，
∴DE=BD，
∴∠BED=∠B=∠θ，
∴∠AED=180°-∠θ，
∴
∵∠A+∠C+∠B= 180°，
∴ 66° +90°+∠θ+∠θ= 180° ，
解得：∠θ=16°.
故答案为：16°.
【分析】首先连接DE，由过A、 C、D三点的圆的圆心为点E，过B、E、F三点的圆的圆心为D，根据圆的内接四边形的性质可得：， 求得，又由三角形内角和定理，即可求得答案.
15．（2023九上·南京开学考）如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么 先到达B地
【答案】故猫和老鼠同时
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：以AB为直径的半圆的长是：，
设四个小半圆的直径分别是a，b，c，d，
则a+b+c+d= AB，
则老鼠行走的路径长是：
故猫和老鼠行走的路径长相同.
故答案为：故猫和老鼠同时.
【分析】利用半圆的弧长公式，即可分别求得两个路径的长，然后进行比较即可.
16．（2023九上·南京开学考）若△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，当k＝ 时，△ABC是直角三角形．
【答案】2或11
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解： x2-（2k+3）x+k2+3k+2＝0，
则x2-（2k+3）x+（k+1）（k+2）=0
则[x-(k+1)][x-(k+2)]=0，
解得x1=k+1，x2=k+2，
∵AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，
∴AB、AC的长分别为（k+1）、（k+2），
∵BC=5，
①当BC为直角三角形斜边时，根据勾股定理得，
，即，
解得k1=2，k2=-5（舍去），
②当BC为直角三角形直角边时，根据勾股定理得，
或，
即
解得k3=11，
则当k=2或k=11时，△ABC是直角三角形.
故答案为：2或11.
【分析】先用因式分解法解出一元二次方程，即将AB、AC用含k的式子表示，再分①BC为直角三角形斜边时，②BC为直角三角形直角边时，两种情况，分别根据勾股定理列出关于k的方程，解出k的值即可.
三、解答题（共5小题，52分）
17．（2023九上·南京开学考）解方程：
（1）x(x-4)=2(4-x)
（2）x2+3x＝4；
（3）3x2+5x+1＝0；
（4）x（2x﹣4）＝5﹣8x．
【答案】（1）解：x(x-4)=2(4-x)
移项：x(x-4)-2(4-x)=0，
提公因式：（x-4）（x+2）=0
则：x-4=0或x+2=0，
所以x1＝4，x2＝-2；
（2）解：x2+3x＝4；
x2+3x-4=0，
（x-1）（x+4）=0，
x+4=0或x-1=0，
所以x1＝﹣4，x2＝1；
（3）解：3x2+5x+1＝0；
a＝3，b＝5，c＝1，
，
x＝，
所以x1＝，x2＝；
（4）解：x（2x﹣4）＝5﹣8x．
x（2x﹣4）+8x=5，
2x2+4x=5，
，
，
，
，
所以，.
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程，先移项，再提公因式（x-4），再分别令方程左边的两个因式各自为0，解两个一元一次方程即可求解；
（2）用因式分解法解一元二次方程，先移项，再将方程左边用十字相乘法因式分解，再分别令方程左边的两个因式各自为0，解两个一元一次方程即可求解；
（3）此方程是一元二次方程的一般形式，直接找出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，然后算出根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式“”求出方程的根即可；
（4）用配方法解一元二次方程，①把原方程化为一般形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方“1”；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解.
18．（2021九上·江干期中）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米.
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？
【答案】（1）解：连接OA，
由题意得：AD AB＝30（米），OD＝（r﹣18）米，
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，
解得，r＝34（米）；
（2）解：连接OA′，
∵OE＝OP﹣PE＝30米，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，
解得：A′E＝16（米）.
∴A′B′＝32（米）.
∵A′B′＝32＞30，
∴不需要采取紧急措施.
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）连接OA，由垂径定理得AD=AB=30（米），AD⊥AB，然后在Rt△ADO中，由勾股定理求解即可；
（2）连接OA′，则OE＝OP-PE＝30米，由垂径定理得A'B'=2A'E，AE⊥A'B'在Rt△A′EO中，由勾股定理可得A′E，从而得出A'B'的长然后与30进行比较即可判断.
19．（2023九上·南京开学考）如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米．
（1）AB＝ 米（用含x的代数式表示）；
（2）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长；
（3）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能，请说明理由．
【答案】（1）（51﹣3x）
（2）解：依题意，得：（51﹣3x）x＝210，
整理，得：x2﹣17x+70＝0，
解得：x1＝7，x2＝10．
当x＝7时，AB＝51﹣3x＝30＞25，不合题意，舍去，
当x＝10时，AB＝51﹣3x＝21，符合题意，
答：栅栏BC的长为10米；
（3）解：不可能，理由如下：
依题意，得：（51﹣3x）x＝240，
整理得：x2﹣17x+80＝0，
∵Δ＝（﹣17）2﹣4×1×80＝﹣31＜0，
∴方程没有实数根，
∴矩形围栏ABCD面积不可能达到240平方米．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意得，AD=BC=x，
∵CD中间留有2个1米的小门，
∴AB=CD=49-3x+2=51-3x
故答案为：（51-3x）；
【分析】（1）根据栅栏的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用含x的代数式表示出AB的长；
（2）根据矩形围栏ABCD面积=AB×CD，即可得出关于x的一元二次方程，解之并根据实际情况检验即可得出结论；
（3）根据矩形围栏ABCD面积=AB×CD，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，进而可得出矩形围栏A BCD面积不可能达到240平方米.
20．（2023九上·南京开学考）某景区在2021年“五一”小长假期间，接待游客达2万人次．预计在2023年“五一”小长假期间，接待游客2.88万人次，该景区一家冰淇淋店希望在“五一”小长假期间获得较好的收益，经测算可知，某种口味的冰淇淋成本价为每碗10元，借鉴以往经验．若每碗卖15元，平均每天将销售120碗．若价格每提高0.5元，则平均每天少销售4碗，每天店面所需其他各种费用为168元．
（1）求出2021至2023年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率；
（2）为了更好地维护景区形象，物价局规定每碗该种口味的冰淇淋售价不得超过20元，当每碗售价定为多少元时．店家售卖该种口味的冰淇淋才能实现每天净利润600元？（净利润＝总收入﹣总成本﹣其它各种费用）
【答案】（1）解：可设年平均增长率为x，依题意有
2（1+x）2＝2.88，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：年平均增长率为20%；
（2）解：设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润600元，依题意得：
（y﹣10）[120﹣（y﹣15）]﹣168＝600，
解得y1＝18，y2＝22，
∵每碗售价不得超过20元，
∴y＝18．
答：当每碗售价定为18元时，店家才能实现每天利润600元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）可设年平均增长率为x，此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式列出方程，进而利用直接开平方法求解并检验可得答案；
（2）可设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润600元，根据“ 净利润＝总收入﹣总成本﹣其它各种费用 ”的等量关系列出方程求解即可.
21．（2023九上·南京开学考）在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，连接DF，且P是线段DF的中点，连接PG、PC．
（1）如图1，PG与PC的关系为 ；
（2）如图2将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“矩形ABCD和矩形BEFG”其它条件不变，判断PG、PC关系，并证明：
（3）如图3，若将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“菱形ABCD和菱形BEFG”，点A、B、E在同一条直线上，连接DF．P是线段DF的中点，连接PG、PC，且∠ABC＝∠BEF＝60°．求的值．
【答案】（1）PG⊥PC，PG＝PC
（2）解：PG = PC，理由如下：
如图2，延长GP交DC于点H，
∵四边形ABCD和BEFG是矩形，
∴∠FGB＝∠GCD＝∠DCB＝90°，
∴CD∥GF，
∴∠CDP＝∠GFP，
∵P是线段DF的中点，
∴DP＝FP．，
∵在△DHP和△FGP中
，
∴△DHP≌△FGP（ASA），
∴PH＝PG＝HG，
∵∠DCB＝90°，
∴△HCG是直角三角形，
∴CP＝HG，
∴PG＝PC；
（3）解：如图3，延长GP交CD于H，
∵P是DF的中点，
∴DP＝FP，
∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，点A，B，E在同一条直线上，
∴DC∥GF，
∴∠HDP＝∠GFP，
∵在△DHP和△FGP中
，
∴△DHP≌△FGP（ASA），
∴HP＝GP，DH＝FG，
∵CD＝CB，FG＝GB，
∴CD﹣DH＝CB﹣FG，
即：CH＝CG，
∴△HCG是等腰三角形，
∴PC⊥PG，∠HCP＝∠GCP（等腰三角形三线合一）
∴∠CPG＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠DCB＝120°，
∴∠GCP＝∠DCB＝60°，
∴Rt△CPG中，tan∠GCP=tan60°=＝．
【知识点】四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）PG⊥PC且PG = PC；
理由：如图1，延长GP交DC于点H，
∵四边形ABCD和BEFG是正方形，
∴DC=BC，BG=GF，∠FGB=∠CGF=∠DCB=90°，
∴CD//GF，
∴∠CDP= ∠GFP，
∵P是线段DF的中点，
∴DP = FP，
在△DHP和△FGP中，
∴△DHP≌△FGP (ASA)，
∴DH=FG，PH=PG，
∴HC= GC，
∴△HCG是等腰直角三角形，
∵PH=PG，
∴PG⊥PC且PG = PC，
故答案为：PG⊥PC且PG = PC；
【分析】（1） 延长GP交DC于点H，由条件可以利用ASA得出△DHP≌△FGP，就可以得出DH=GF，PH=PG，根据正方形的性质就可以得HC=GC，从而由等腰直角三角形的性质可以得出结论；
（2）如图2，延长GP交DC于点H，由ASA可以得出△DHP≌△FGP，得PH＝PG＝HG，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得CP＝HG，从而就可以得出PG=PC；
（3）如图2，延长GP交DC于点H，由ASA可以得出△DHP≌△FGP，得HP＝GP，DH＝FG，根据菱形的性质可以得出△HCG是等腰三角形，根据等腰三角形的三线合一得PC⊥PG，∠HCP＝∠GCP，结合菱形的性质可以求出∠PCG=60°，由∠GCP的正切函数及特殊角的三角函数值就可以求出结论.
1 / 1江苏省南京民办求真中学2023-2024学年九年级上册数学期初测试试卷
一、选择题（共6小题，18分）
1．（2023九上·南京开学考）一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2．（2023九上·南京开学考）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）相等的圆心角所对的弧相等，（3）劣弧一定比优弧短，（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2023九上·南京开学考）用配方法将方程2x2﹣4x﹣3＝0变形，结果正确的是（ ）
A．2（x﹣1）2﹣4＝0 B．（x﹣1）2﹣＝0
C．2（x﹣1）2﹣＝0 D．（x﹣1）2﹣5＝0
4．（2023九上·南京开学考）如图，在⊙O中，若＝2，则AB与2CD的大小关系为（ ）
A．AB＝2CD B．AB＜2CD C．AB＞2CD D．无法确定
5．（2023九上·南京开学考）如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，点P是弦AB上的一个动点，使线段OP的长度为整数的点P有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
6．（2023九上·南京开学考）关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根
B．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值大
C．两个负根
D．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小
二、填空题（共10小题，30分）
7．（2023九上·南京开学考）化简：（a﹣b）＝ ．
8．（2023九上·南京开学考）若一个一元二次方程的两个根分别是1、﹣2，请写出一个符合题意的一元二次方程 ．
9．（2023九上·南京开学考）⊙O中，弦AB的长恰等于半径，则弧的度数是 度．
10．（2023九上·南京开学考）若关于x的方程kx2+2x+1＝0有实数根，则实数k的取值范围是 ．
11．（2023九上·南京开学考）若关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝3，x2＝﹣5，则关于y的方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是 ．
12．（2023九上·南京开学考）一个点到圆上的点的最小距离为6cm，最大距离为10cm，则圆的半径为 cm．
13．（2020九上·东坡月考）已知关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的两实数根互为相反数，则k＝ ．
14．（2023九上·南京开学考）如图，过A、C、D三点的圆的圆心为点E，过B、F、E三点的圆的圆心为D，如果∠A＝66°，那么∠θ＝ ．
15．（2023九上·南京开学考）如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么 先到达B地
16．（2023九上·南京开学考）若△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，当k＝ 时，△ABC是直角三角形．
三、解答题（共5小题，52分）
17．（2023九上·南京开学考）解方程：
（1）x(x-4)=2(4-x)
（2）x2+3x＝4；
（3）3x2+5x+1＝0；
（4）x（2x﹣4）＝5﹣8x．
18．（2021九上·江干期中）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米.
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？
19．（2023九上·南京开学考）如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米．
（1）AB＝ 米（用含x的代数式表示）；
（2）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长；
（3）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能，请说明理由．
20．（2023九上·南京开学考）某景区在2021年“五一”小长假期间，接待游客达2万人次．预计在2023年“五一”小长假期间，接待游客2.88万人次，该景区一家冰淇淋店希望在“五一”小长假期间获得较好的收益，经测算可知，某种口味的冰淇淋成本价为每碗10元，借鉴以往经验．若每碗卖15元，平均每天将销售120碗．若价格每提高0.5元，则平均每天少销售4碗，每天店面所需其他各种费用为168元．
（1）求出2021至2023年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率；
（2）为了更好地维护景区形象，物价局规定每碗该种口味的冰淇淋售价不得超过20元，当每碗售价定为多少元时．店家售卖该种口味的冰淇淋才能实现每天净利润600元？（净利润＝总收入﹣总成本﹣其它各种费用）
21．（2023九上·南京开学考）在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，连接DF，且P是线段DF的中点，连接PG、PC．
（1）如图1，PG与PC的关系为 ；
（2）如图2将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“矩形ABCD和矩形BEFG”其它条件不变，判断PG、PC关系，并证明：
（3）如图3，若将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“菱形ABCD和菱形BEFG”，点A、B、E在同一条直线上，连接DF．P是线段DF的中点，连接PG、PC，且∠ABC＝∠BEF＝60°．求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，a=1，b=-3，c=-1，
则，
∴一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0 有两个不相等的实数根 ；
故答案为：B.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此判断即可.
2．【答案】A
【知识点】圆的认识；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：（1） 长度相等的弧不一定是等弧，长度相等且度数也相同的弧才是等弧，故（1）错误；
（2）同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故（2）错误；
（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故（3）错误；
（4）直径是圆中最长的弦，故（4）正确，
综上正确的只有1个.
故答案为：A.
【分析】利用等弧的定义： 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧 ，据此可判断（1）；同弧或等弧所对的圆心角相等，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧也相等，据此可判断（2）；弧的长度与所在圆的半径及其所对的圆心角的度数有关，只有在同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，据此可判断（3）；连接圆上任意两点间的线段叫做弦，直径是圆中最长的弦，据此可判断（4）.
3．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：二次项系数化为1：，
配方：，
，
故答案为：A.
【分析】根据配方法的步骤：（1）二次项系数化为1，（2）移项，（3）配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使左边为一个完全平方式，右边为常数，将原方程利用配方变形后即可得出答案.
4．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，取AB的中点E，连接AE，BE，
∴弧AB=2弧AE=2弧BE
∵，
∴，
∴AE=BE=CD，
∵ AE+BE> AB，
∴AB< 2CD.
故答案为：B.
【分析】首先取弧AB的中点E，连接AE，BE，易得，由等弧所对的弦相等得AE=BE=CD，然后由三角形的三边关系求得答案.
5．【答案】C
【知识点】垂线段最短；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：当P为AB的中点时，
由垂径定理得，OP⊥AB，此时OP最短，
∵AB=8，
∴AP=BP=4，
在直角三角形AOP中，OA=5， AP=4，
根据勾股定理得：
即OP的最小值为3；
当P与A或B重合时，OP最长，此时OP=5，
则3≤OP≤5，
则使线段OP的长度为整数的点P有3，4，4，5，5，共5个.
故答案为：C.
【分析】当P为AB的中点时OP最短，利用垂径定理得到OP⊥AB，再利用勾股定理求出OP的长；当P与A或B重合时，OP最长，求出OP的范围，由OP为整数，即可得到OP所有可能的长，再利用圆的对称性可得答案..
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；有理数的加法；有理数的乘法
【解析】【解答】解：设方程两根设为x1，x2，
方程整理得：x2+x- 2- p2= 0，
由根与系数的关系得：x1+x2= -1< 0，
x1x2= -2- p2<0，
∴方程的两个根是：一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小.
故答案为：D.
【分析】方程整理为一般形式，设两根分别为x1，x2，利用根与系数的关系，，求出两根之和与两根之积，进而根据有理数的乘法法则及加法法则判断即可.
7．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由题意得，且
∴-（a-b）＞0，即a-b＜0，
则原式=
=
=
故答案为：.
【分析】首先根据二次根式有意义的条件判断得出a-b＜0，进而将根号外的因式移到根号内，化简求出即可.
8．【答案】x2﹣x﹣2＝0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据根与系数的关系：1+（-2）=-1，
1×（-2）=-2，
则以1、﹣2 为根的一元二次方程可为x2﹣x﹣2＝0，
故答案为：x2﹣x﹣2＝0.
【分析】利用根与系数的关系，，求出二次项系数a=1的时候，一次项系数b及常数项c的值，从而根据一元二次方程定义写出方程即可.
9．【答案】60
【知识点】等边三角形的判定；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OB，
∵OA=OB=AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴的度数为60°；
故答案为：60.
【分析】如图，连接OA、OB，先证明△ABC为等边三角形，则可得到∠AOB=60°，然后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数即可得出答案.
10．【答案】k≤1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵当k≠0时，方程kx2+2x+1＝0有实数根，
∴，
解得，k≤1且k≠0；
当k=0时，方程为2x+1=0，是一元一次方程，一定有实数根，
综上k的取值范围为k≤1.
故答案为：k≤1.
【分析】分类讨论：当k=0时，方程为一元一次方程，一定有一个实数根；当k≠0时，方程为一元二次方程，对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意列出不等式，求解并综合两种情况得到k的取值范围即可.
11．【答案】y1＝2，y2＝﹣6
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝3，x2＝﹣5，
∴，，
∴，，
则 方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0 可化为：
a（y+1）2+2a（y+1）-15a＝0，
即（y+1）2+2（y+1）-15＝0，
则[（y+1）-3][（y+1）+5]=0
∴（y+1）-3=0或（y+1）+5=0，
解得y1=2，y2=-6；
故答案为：y1=2，y2=-6.
【分析】根据根与系数的关系：，，导出a，b，c的关系，再将待解方程化为不含a，b，c的一元二次方程，再解出一元二次方程即可求出y的解.
12．【答案】8或2
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：分为两种情况：
①当点在圆内时，如图1，
∵点到圆上的最小距离MB=6cm，最大距离MA = 10cm，
∴直径AB= 6cm+ 10cm = 16cm，
∴半径r= 8cm；
②当点在圆外时，如图2，
∵点到圆上的最小距离MB= 6cm，最大距离MA = 10cm，
∴直径AB=10cm-6cm=4cm，
∴半径r= 2cm，
综上所述，圆的半径为8cm或2cm.
故答案为：8或2.
【分析】根据题意分为两种情况：①点在圆内，②点在圆外，根据题意可分别求出直径，继而可求半径.
13．【答案】﹣2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的两根分别为x1，x2，
∵x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的两实数根互为相反数，
∴x1+x2，＝﹣（k2﹣4）＝0，解得k＝±2，
当k＝2，方程变为：x2+1＝0，△＝﹣4＜0，方程没有实数根，所以k＝2舍去；
当k＝﹣2，方程变为：x2﹣3＝0，△＝12＞0，方程有两个不相等的实数根；
∴k＝﹣2．
故答案为﹣2．
【分析】设方程的两根分别为x1，x2，根据根与系数的关系得到x1+x2，＝﹣（k2﹣4）＝0，解得k＝±2，然后分别计算△，最后确定k＝﹣2．
14．【答案】16°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接DE，
∵过A、C、D三点的圆的圆心为点E，
∴，
∵过B、E、F三点的圆的圆心为D，
∴DE=BD，
∴∠BED=∠B=∠θ，
∴∠AED=180°-∠θ，
∴
∵∠A+∠C+∠B= 180°，
∴ 66° +90°+∠θ+∠θ= 180° ，
解得：∠θ=16°.
故答案为：16°.
【分析】首先连接DE，由过A、 C、D三点的圆的圆心为点E，过B、E、F三点的圆的圆心为D，根据圆的内接四边形的性质可得：， 求得，又由三角形内角和定理，即可求得答案.
15．【答案】故猫和老鼠同时
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：以AB为直径的半圆的长是：，
设四个小半圆的直径分别是a，b，c，d，
则a+b+c+d= AB，
则老鼠行走的路径长是：
故猫和老鼠行走的路径长相同.
故答案为：故猫和老鼠同时.
【分析】利用半圆的弧长公式，即可分别求得两个路径的长，然后进行比较即可.
16．【答案】2或11
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解： x2-（2k+3）x+k2+3k+2＝0，
则x2-（2k+3）x+（k+1）（k+2）=0
则[x-(k+1)][x-(k+2)]=0，
解得x1=k+1，x2=k+2，
∵AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，
∴AB、AC的长分别为（k+1）、（k+2），
∵BC=5，
①当BC为直角三角形斜边时，根据勾股定理得，
，即，
解得k1=2，k2=-5（舍去），
②当BC为直角三角形直角边时，根据勾股定理得，
或，
即
解得k3=11，
则当k=2或k=11时，△ABC是直角三角形.
故答案为：2或11.
【分析】先用因式分解法解出一元二次方程，即将AB、AC用含k的式子表示，再分①BC为直角三角形斜边时，②BC为直角三角形直角边时，两种情况，分别根据勾股定理列出关于k的方程，解出k的值即可.
17．【答案】（1）解：x(x-4)=2(4-x)
移项：x(x-4)-2(4-x)=0，
提公因式：（x-4）（x+2）=0
则：x-4=0或x+2=0，
所以x1＝4，x2＝-2；
（2）解：x2+3x＝4；
x2+3x-4=0，
（x-1）（x+4）=0，
x+4=0或x-1=0，
所以x1＝﹣4，x2＝1；
（3）解：3x2+5x+1＝0；
a＝3，b＝5，c＝1，
，
x＝，
所以x1＝，x2＝；
（4）解：x（2x﹣4）＝5﹣8x．
x（2x﹣4）+8x=5，
2x2+4x=5，
，
，
，
，
所以，.
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程，先移项，再提公因式（x-4），再分别令方程左边的两个因式各自为0，解两个一元一次方程即可求解；
（2）用因式分解法解一元二次方程，先移项，再将方程左边用十字相乘法因式分解，再分别令方程左边的两个因式各自为0，解两个一元一次方程即可求解；
（3）此方程是一元二次方程的一般形式，直接找出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，然后算出根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式“”求出方程的根即可；
（4）用配方法解一元二次方程，①把原方程化为一般形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方“1”；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解.
18．【答案】（1）解：连接OA，
由题意得：AD AB＝30（米），OD＝（r﹣18）米，
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，
解得，r＝34（米）；
（2）解：连接OA′，
∵OE＝OP﹣PE＝30米，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，
解得：A′E＝16（米）.
∴A′B′＝32（米）.
∵A′B′＝32＞30，
∴不需要采取紧急措施.
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）连接OA，由垂径定理得AD=AB=30（米），AD⊥AB，然后在Rt△ADO中，由勾股定理求解即可；
（2）连接OA′，则OE＝OP-PE＝30米，由垂径定理得A'B'=2A'E，AE⊥A'B'在Rt△A′EO中，由勾股定理可得A′E，从而得出A'B'的长然后与30进行比较即可判断.
19．【答案】（1）（51﹣3x）
（2）解：依题意，得：（51﹣3x）x＝210，
整理，得：x2﹣17x+70＝0，
解得：x1＝7，x2＝10．
当x＝7时，AB＝51﹣3x＝30＞25，不合题意，舍去，
当x＝10时，AB＝51﹣3x＝21，符合题意，
答：栅栏BC的长为10米；
（3）解：不可能，理由如下：
依题意，得：（51﹣3x）x＝240，
整理得：x2﹣17x+80＝0，
∵Δ＝（﹣17）2﹣4×1×80＝﹣31＜0，
∴方程没有实数根，
∴矩形围栏ABCD面积不可能达到240平方米．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意得，AD=BC=x，
∵CD中间留有2个1米的小门，
∴AB=CD=49-3x+2=51-3x
故答案为：（51-3x）；
【分析】（1）根据栅栏的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用含x的代数式表示出AB的长；
（2）根据矩形围栏ABCD面积=AB×CD，即可得出关于x的一元二次方程，解之并根据实际情况检验即可得出结论；
（3）根据矩形围栏ABCD面积=AB×CD，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，进而可得出矩形围栏A BCD面积不可能达到240平方米.
20．【答案】（1）解：可设年平均增长率为x，依题意有
2（1+x）2＝2.88，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：年平均增长率为20%；
（2）解：设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润600元，依题意得：
（y﹣10）[120﹣（y﹣15）]﹣168＝600，
解得y1＝18，y2＝22，
∵每碗售价不得超过20元，
∴y＝18．
答：当每碗售价定为18元时，店家才能实现每天利润600元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）可设年平均增长率为x，此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式列出方程，进而利用直接开平方法求解并检验可得答案；
（2）可设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润600元，根据“ 净利润＝总收入﹣总成本﹣其它各种费用 ”的等量关系列出方程求解即可.
21．【答案】（1）PG⊥PC，PG＝PC
（2）解：PG = PC，理由如下：
如图2，延长GP交DC于点H，
∵四边形ABCD和BEFG是矩形，
∴∠FGB＝∠GCD＝∠DCB＝90°，
∴CD∥GF，
∴∠CDP＝∠GFP，
∵P是线段DF的中点，
∴DP＝FP．，
∵在△DHP和△FGP中
，
∴△DHP≌△FGP（ASA），
∴PH＝PG＝HG，
∵∠DCB＝90°，
∴△HCG是直角三角形，
∴CP＝HG，
∴PG＝PC；
（3）解：如图3，延长GP交CD于H，
∵P是DF的中点，
∴DP＝FP，
∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，点A，B，E在同一条直线上，
∴DC∥GF，
∴∠HDP＝∠GFP，
∵在△DHP和△FGP中
，
∴△DHP≌△FGP（ASA），
∴HP＝GP，DH＝FG，
∵CD＝CB，FG＝GB，
∴CD﹣DH＝CB﹣FG，
即：CH＝CG，
∴△HCG是等腰三角形，
∴PC⊥PG，∠HCP＝∠GCP（等腰三角形三线合一）
∴∠CPG＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠DCB＝120°，
∴∠GCP＝∠DCB＝60°，
∴Rt△CPG中，tan∠GCP=tan60°=＝．
【知识点】四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）PG⊥PC且PG = PC；
理由：如图1，延长GP交DC于点H，
∵四边形ABCD和BEFG是正方形，
∴DC=BC，BG=GF，∠FGB=∠CGF=∠DCB=90°，
∴CD//GF，
∴∠CDP= ∠GFP，
∵P是线段DF的中点，
∴DP = FP，
在△DHP和△FGP中，
∴△DHP≌△FGP (ASA)，
∴DH=FG，PH=PG，
∴HC= GC，
∴△HCG是等腰直角三角形，
∵PH=PG，
∴PG⊥PC且PG = PC，
故答案为：PG⊥PC且PG = PC；
【分析】（1） 延长GP交DC于点H，由条件可以利用ASA得出△DHP≌△FGP，就可以得出DH=GF，PH=PG，根据正方形的性质就可以得HC=GC，从而由等腰直角三角形的性质可以得出结论；
（2）如图2，延长GP交DC于点H，由ASA可以得出△DHP≌△FGP，得PH＝PG＝HG，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得CP＝HG，从而就可以得出PG=PC；
（3）如图2，延长GP交DC于点H，由ASA可以得出△DHP≌△FGP，得HP＝GP，DH＝FG，根据菱形的性质可以得出△HCG是等腰三角形，根据等腰三角形的三线合一得PC⊥PG，∠HCP＝∠GCP，结合菱形的性质可以求出∠PCG=60°，由∠GCP的正切函数及特殊角的三角函数值就可以求出结论.
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