广西钦州市灵山县天山中学2023-2024学年高一（上）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年广西钦州市灵山县天山中学高一（上）入学数学试卷
一、单选题（本大题共6小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若，则( )
A. B. C. D.
2. 已知是的边上的一点，过点作交于，若：：，则：( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
3. 若，则( )
A. B. C. D.
4. 我们知道，在中，，，，，由此发现：根据此结论解题：若为锐角，且，则( )
A. B. C. D.
5. 有一块橡皮泥的体积为，起初做成一个长，宽，高依次为，，的长方体现要将它的长增加，宽增加，做成一个新的长方体，体积保持不变，则新长方体高的最大值为( )
A. B. C. D.
6. 在中，，，且为重心，为内心，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）
7. 下列命题正确的有( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，则
8. 将下列多项式因式分解，结果中含因式的有( )
A. B.
C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
9. 不等式的解为______ ．
10. 把二次函数的图象向下平移个单位，再向左平移个单位，得到函数的图像，则 ______ ．
11. 黎锦有着悠久的历史，已被列入世界非物质文化遗产名录如图是黎锦上的图案，每个图案都是由相同菱形构成的，若按照第个图至第个图中的规律编织图案，则第个图中有______ 个菱形．
12. 如图，在中，，，，的半径为，为圆上一动点，连接，，则的最小值为______ ．
四、解答题（本大题共4小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13. 本小题分
已知关于的方程有两个实数根，，且，求的值．
14. 本小题分
已知，，．
求的最小值；
求的最大值．
15. 本小题分
解关于的不等式．
16. 本小题分
几何原本是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，在几何原本第六卷给出了内角平分线定理，其内容为：在一个三角形中，三角形一个内角的角平分线内分对边所成的两条线段，与这个角的两邻边对应成比例例如，在中图，为的平分线，则有：：．
试证明角平分线定理；
如图，已知的重心为，内心为若，的连线求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
直接利用立方差公式展开化简，再整体代入即可．
本题考查了多项式的化简，立方差公式，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：作交于，若：：，
可得∽，
且：：：，
即有：：．
故选：．
由题意可得∽，可得面积比为相似比的平方，即可得到所求面积的比．
本题考查三角形的相似和性质，考查面积比喻边长的比的关系，考查运算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意，
即，
，
而．
故选：．
直接利用完全平方公式，整体代入即可．
本题考查了指数幂的运算，完全平方公式，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：，左边算式同时除以可得，
则，即，
为锐角，
则，
则．
故选：．
左边算式同时除以，再结合的范围，即可求解．
本题主要考查三角函数的同角公式，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：依题意，设新长方体高为，
则，
解得，
当且仅当，即，时取等号，
的最大值为．
故选：．
由体积公式得，长宽高变化后，根据条件得到，得到，再利用基本不等式能求出结果．
本题考查长方体的结构特征、体积公式、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
6.【答案】
【解析】解：如图，在中，，，
取中点，连接，
则，，
，
，
为的重心，
，
为的内心，
到的三边距离相等，设为，
，
，即，
．
故选：．
由题意，中为等腰三角形，可得重心和内心在高线上，再由三角形的重心与外心的性质可求解．
本题考查等腰三角形的性质，属于中档题，熟练掌握三角形的重心与外心的性质是解答本题的关键．
7.【答案】
【解析】解：根据不等式的性质可知，若时，一定有，A正确；
B.取，则不成立，故B错误；
C.根据，，取，，，，
则不成立，故C错误；
D.若，则由幂函数在上单调递增可知，成立，故D正确．
故选：．
根据各选项的条件取特殊值或利用不等式的基本性质，即可判断．
本题考查了不等式的基本性质，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：对于选项A，因为，正确；
对于选项B，因为，不正确；
对于选项C，因为，正确；
对于选项D，因为，正确．
故选：．
利用十字相乘法、配凑法等，逐一对各个选项分析判断即可求出结果．
本题考查因式分解，属于基础题．
9.【答案】或
【解析】解：由，得到或，
即或，所以解集为或，
故答案为：或．
利用绝对值不等式的解法即可求出结果．
本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：先将二次函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，
再将所得图象向上平移个单位，可得到函数的图象，
所以，，则．
故答案为：．
利用函数的平移变换，逆向推得原二次函数的解析式，从而得解．
本题主要考查了二次函数图象的平移，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：设第个图中有个菱形，
则，，，，
归纳得，
则，即第个图中有个菱形．
故答案为：．
设第个图中有个菱形，根据题干，可写出数列的前四项，进而归纳出数列的通项，由此得解．
本题考查归纳推理，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：如图，连接，在上取点，使，则有，
又，，
，．
要使最小，只要最小，
当点，，在同一条直线时，最小，即最小值为，
在中，，，
，
所以的最小值为．
故答案为：．
利用三角形相似，将问题转化为求的最小值，从而得解．
本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属中档题．
13.【答案】解：关于的方程有两个实数根，，
则，，
，
或，解得或，
当时，，不符合题意，
故或．
【解析】根据已知条件，结合韦达定理，以及二次函数的判别式法，即可求解．
本题主要考查韦达定理的应用，是基础题．
14.【答案】解：因为，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为．
因为，
所以，当且仅当，即，时取等号，
所以的最大值为．
【解析】根据条件得到，再利用均值不值式即可求出结果；
根据条件得到，再利用均值不值式即可求出结果．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
15.【答案】解：将原不等式化为，
当时，有；
当时，有，，
，
当时，或；当时，，，且；
当时，有，或；
当时，，．
综上，时，不等式的解集为；时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为，且；
当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为
【解析】将原不等式化为分，，三种情况进行讨论．、易解不等式；当时，按照对应方程的两根大小分三种情况讨论即可．
该题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想，含参数的一元二次不等式的求解，要明确分类讨论的标准：是按照不等式的类型、两根大小还是的符号，要不重不漏．
16.【答案】证明：如图，过点作交延长线于点，
因为，所以，
因为，所以，则，
又，所以∽，所以，
则，即：：；
不妨设，的延长线交于，，连接，
因为为的重心，所以，
因为，所以，
因为Ⅰ为的内心，所以是的角平分线，
即是的角平分线，所以在中，
利用角平分线定理得，即，
同理在中，，
所以．
【解析】过点作交延长线于点，利用三角形相似即可得证；
利用三角形重心得到，再利用平行线分线段成比例与三角形内心的性质，结合角平分线定理，证得与，从而得证．
本题考查三角形中的几何证明，考查角平分线定理的证明，考查三角形重心、内心的性质，属中档题．
第1页，共1页