第十一章 三角形基础知识检测题（含解析）

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第十一章 三角形基础知识检测题
一、单选题
1．下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（　　）
A．3cm，5㎝，8㎝ B．8cm,8cm,18cm
C．0.1cm,0.1cm,0.1cm D．3cm,40cm,8cm.
2．下列线段长能构成三角形的是（　　）
A．3、4、8 B．2、3、6 C．5、6、11 D．5、6、10
3．下列长度的三条线段，能首尾相连围成三角形的是（　　）
A．1cm，2cm，3cm B．2cm，3cm，4cm
C．1cm，1cm，2cm D．1cm，2cm，4cm
4．在中，，直线，分别与相交于点D，E，若，则∠C的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．如图所示，下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图所示，△ABC中，BC边上的中线是（　　）
A．线段AD B．线段AE C．线段AF D．线段AG
7．如图，∠1＝120°，∠E＝80°，则∠A的大小是（　　）
A．10° B．40° C．30° D．80°
8．七边形的内角和是（　　）
A．360° B．540° C．720° D．900°
9．三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
10．如图，在△ABC中，延长CA至点F，使得AF＝CA，延长AB至点D，使得BD＝2AB，延长BC至点E，使得CE＝3CB，连接EF、FD、DE，若S△DEF＝36，则S△ABC为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
11．一个三角形的三条高线的交点在三角形的外部，则这个三角形是　 　 三角形
12．如图，已知在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P．当∠A=70°时，则∠BPC的度数为　 　．
13．如图，直线，点E、F分别为直线和上的点，点P为两条平行线间的一点，连接和，过点P作的平分线交直线于点G，过点F作，垂足为H，若，则　 　°．
三、计算题
14．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=60°，求∠DAC的度数．
四、解答题
15．若一个多边形的每一个内角都等于120°，求该多边形的边数．
16．如图
（1）如图①，△ABC 是锐角三角形，高 BD、CE 相交于点 H，找出∠BHC和∠A 之间存在何种等量关系；
（2）如图②，若△ABC 是钝角三角形，∠A＞90°，高 BD、CE 所在的直线相交于点
H，把图②补充完整，并指出此时（1）中的等量关系是否仍然成立？
17．如图所示， △ABC的 ∠C的外角平分线与BA的延长线相交于D．求证：∠BAC>∠B．
五、作图题
18．如图，已知，根据下列要求画图并回答问题：
（1）画边上的高，过点画直线，交于点；（不要求写画法和结论）
（2）在（1）的图形中，如果，，，求直线与间的距离．
六、综合题
19．如图
（1）如图1我们称之为“8字形”，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：　 　；
（2）如图2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝　 　度；
（3）如图3所示，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，猜想∠B，∠P，∠D之间的数量关系，并证明．
20．如图 ，直线 与直线 、 分别交于点E、F， 与 互补.
（1）试判断直线 与直线 的位置关系，并说明理由；
（2）如图 ， 与 的角平分线交于点P， 与 交于点G，点H是 上一点，且 ，求证： ；
（3）如图 ，在（2）的条件下，连接 ，K是 上一点使 ，作 平分 ，问 的大小是否发生变化？若不变，请求出求值；若变化，说明理由.
七、实践探究题
21．在平面直角坐标系中，若点的坐标满足，则我们称点N为“健康点”；若点的坐标满足，则我们称Q为“快乐点”．
（1）若点是“健康点”，则点A的坐标为　 　．
（2）在（1）的条件下，若点B是x轴上的“健康点”，点C是y轴上的“快乐点”，如果P为x轴上一点，且与面积相等，求点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：由三角形三边的关系：两边之和大于第三边
A、3+5=8,不能构成三角形，故不符合题意；
B、8+8<18，不能构成三角形，故不符合题意;
C、0.1+0.1>0.1，能构成三角形，故符合题意；
D、3+8<40, 不能构成三角形，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由三角形三边的关系：两边之和大于第三边,逐项代入满足这一数量关系的即为正确答案.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：A、3+4＜8，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误；
B、2+3＜6，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误；
C、5+6=11，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误；
D、5+6＞10，6+10＞5，5+10＞6，符合三角形三边关系定理，故本选项正确；
故答案为：D.
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边可判断求解.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：A、1cm+2cm=3cm，不能构成三角形，故A不符合题意；
B、2cm+3cm＞4cm，能构成三角形，故B符合题意；
C、1cm+1cm=2cm，不能构成三角形，故C不符合题意；
D、1cm+2cm＜4cm，不能构成三角形，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】三角形三边的关系：三角形的任意两边之和大于第三边，在运用三角形三边关系判断三条线段能否构成三角形时不一定要列出三个不等式，只要两条短线段长度之和大于较长的线段的长度，即可判断这三条线段能构成一个三角形，据此逐项判断，即可求解.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据三角形外角的性质得∠AED=∠ADM-∠A=79°，进而再根据二直线平行，同位角相等可得∠C的度数.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，
在△AEF中，∠1＞∠2，
在△BCE中，∠2＞∠B，
∴∠1＞∠2＞∠B。
故答案为：D。
【分析】根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可知三角形的一个外角大于任意一个与之不相邻的内角，从而即可得出∠1＞∠2，∠2＞∠B，从而即可得出答案。
6．【答案】B
【解析】【解答】解：△ABC中，BC边上的中线是线段AE，
故答案为：B．
【分析】根据中位线的定义求解即可。
7．【答案】B
【解析】【解答】解：由三角形的外角的性质可知，∠A＝∠1﹣∠E＝40°，
故答案为：B.
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和计算.
8．【答案】D
【解析】【解答】（7﹣2）×180°=900°．
故答案为：D．
【分析】n边形的内角和是（n﹣2） 180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．
9．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，当∠ACD为锐角时，
∵∠ACB+∠ACD=180°，
∴∠ACB=180°-∠ACD>90°，
∴∠ACB是钝角，
△ABC是钝角三角形.
故答案为：B.
【分析】根据题意画图，设三角形的一个外角为锐角，然后根据邻补角的性质推得它的邻角为钝角，得出三角形为钝角三角形.
10．【答案】A
【解析】【解答】如图，连接AE，CD，设△ABC的面积为m，
BD= 2AB，
S△BCD=2S△ABC =2m，
S△ACD= S△BCD + S△ABC =3m，
AC= AF，
S△ADF= S△ACD=3m，
EC=3BC，
S△ECA==3S△ABC =3m，
S△EDC= 3S△BCD =6m，
AC= AF，
S△AEF= S△EAC= 3m，
S△DEF= S△ABC+ S△BCD + S△EDC + S△ECA + S△AEF + S△ADF
=m + 2m +6m+3m+3m+3m
= 18m = 36，
m= 2，
△ABC的面积为2，
故答案为：A．
【分析】连接AE，CD，设△ABC的面积为m，利用割补法可得S△DEF= S△ABC+ S△BCD + S△EDC + S△ECA + S△AEF + S△ADF，再将数据代入计算即可。
11．【答案】钝角
【解析】【解答】解：由题意知，如果一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，那么这个三角形是钝角三角形.
故答案为：钝角.
【分析】钝角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的外部；锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高的交点是三角形的直角顶点，由此即可得出答案．
12．【答案】125°
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣70°=110°，
∴BP，CP分别为∠ABC与∠ACP的平分线，
∴∠2+∠4= （∠ABC+∠ACB）= ×110°=55°，
∴∠P=180°﹣（∠2+∠4）=180°﹣55°=125°．
故答案为：125°．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再由角平分线的定义得出∠2+∠4的度数，由三角形内角和定理即可求出∠BPC的度数．
13．【答案】30
【解析】【解答】解：如图，过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，PQ∥AB，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠AEP=∠EPQ，∠CFP=∠FPQ，
∴∠AEP+∠CFP=∠EPQ+∠FPQ=∠EPF，
∵PG平分∠EPF，
∴∠EPF=2∠FPG，
∴∠AEP=2∠FPG-∠CFP，
∵∠DGP-∠PFH=120°，∠DGP=∠FPG+∠PFH+∠HFG，
∴∠HFG=120°-∠FPG，
∵FH⊥PG，
∴∠PFH=90°-∠FPG，
∴∠CFP=180°-∠PFH-∠HFG=2∠PFG-30°，
∴∠AEP=2∠FPG-∠CFP=30°.
故答案为：30.
【分析】过点P作PQ∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得PQ∥AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠AEP=∠EPQ，∠CFP=∠FPQ，结合角平分线的定义得∠AEP=2∠FPG-∠CFP，根据三角形外角相等及已知条件∠DGP-∠PFH=120°，得∠HFG=120°-∠FPG，由垂直的定义及三角形的内角和定理得∠PFH=90°-∠FPG，进而根据平角定义得∠CFP=180°=2∠PFG-30°，从而即可解决此题.
14．【答案】解：设∠1=∠2=x，则∠3=∠4=2x，
∵∠BAC=60°，∠2+∠4+∠BAC=180°，
∴∠2+∠4=180°﹣60°=120°，即x+2x=120°，解得x=40°，
∴∠DAC=∠BAC﹣∠1=60°﹣40°=20°．
【解析】【分析】设∠1=∠2=x，则∠3=∠4=2x，再由三角形内角和定理求出x的值，进而可得出结论．
15．【答案】解：设这个多边形的边数为n．根据题意，得：
（n﹣2）180°=120°n
解得：n=6
∴这个多边形的边数为6．
【解析】【分析】设这个多边形的边数为n，利用多边形的内角和定理即可列方程求解．
16．【答案】（1）解：由∠BHC 与∠EHD 是对顶角，得
∠BHC=∠EHD．
由高 BD、CE 相交于点 H，得
∠ADH=∠AEH=90°．
由四边形内角和定理，得
∠A+∠AEH+∠EHD+∠HDA=360°，
∠A+∠EHD=360°﹣∠AEH﹣∠HDA=360°﹣90°﹣90°=180°，
∴∠BHC+∠A=180°
（2）解：由∠BHC 与∠EHD 是对顶角，得
∠BHC=∠EHD．
由高 BD、CE 相交于点 H，得
∠ADH=∠AEH=90°．
由四边形内角和定理，得
∠H+∠AEH+∠EHD+∠HDA=360°，
∠H+∠DAE=360°﹣∠AEH﹣∠HDA=360°﹣90°﹣90°=180°，
∴∠BHC+∠BAC=180°．
【解析】【分析】（1）根据对顶角相等得出∠BHC =∠EHD ，在四边形AEHD中，根据四边形的内角和定理，可得结论；
（2）根据对顶角相等得出∠BHC =∠EHD ，在四边形AEHD中，根据四边形的内角和定理，可得结论.
17．【答案】解：如图，
∵CD平分∠ACE，
∴∠1=∠2，
∵∠2是△BDC的一个外角，
∴∠2=∠B+∠D＞∠B，
即∠1＞∠B，
又∵∠BAC是△ADC的一个外角，
∴∠BAC=∠1+∠D＞∠1，
∴∠BAC＞∠B.
【解析】【分析】根据角平分线定义可知∠1=∠2，再根据三角形外角性质可知∠2=∠1＞∠B，∠BAC＞∠1，等量代换即可得证.
18．【答案】（1）解：如图所示，根据三角形的高的画法及过直线外一点作已知直线的平行线的画法作图即可．
（2）解：如图所示，过点作，垂足为．
根据两平行线间距离的定义，可知线段的长度即为直线与间的距离．
根据题意，得
，
即
．
解得
．
所以，直线与间的距离为．
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据题意，利用三角形的面积公式计算求解即可。
19．【答案】（1）∠A+∠B＝∠C+∠D
（2）540°
（3）解：∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，
①∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，
②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，
①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
即2∠P＝∠D+∠B．
【解析】【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D，
故答案为：∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）如图，
∵∠6，∠7的和与∠8，∠9的和相等，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8+∠9＝540°；
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A＋∠D＝∠C＋∠B；（2）∠6，∠7的和与∠8，∠9的和相等．由多边形的内角和得出答案即可；（3）先根据“8字形”中的角的规律，可得∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP①，∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P②，再根据角平分线的定义，得出∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，将①＋②，可得2∠P＝∠D＋∠B．
20．【答案】（1）解：如图1，
∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2=180°.
又∵∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∴AB∥CD；
（2）解：如图2，
由（1）知，AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°.
又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，
∴∠FEP+∠EFP= （∠BEF+∠EFD）=90°，
∴∠EPF=90°，即EG⊥PF.
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH；
（3）解：∠HPQ的大小不发生变化，理由如下：
如图3，
∵∠1=∠2，
∴∠3=2∠2.
又∵GH⊥EG，
∴∠4=90°-∠3=90°-2∠2.
∴∠EPK=180°-∠4=90°+2∠2.
∵PQ平分∠EPK，
∴∠QPK= ∠EPK=45°+∠2.
∴∠HPQ=∠QPK-∠2=45°，
∴∠HPQ的大小不发生变化，一直是45°.
【解析】【分析】（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF、∠CFE互补，所以易证AB∥CD；（2）利用（1）中平行线的性质推知；然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF=90°，即EG⊥PF，故结合已知条件GH⊥EG，易证PF∥GH；
（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠4=90°-∠3=90°-2∠2；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知∠QPK= ∠EPK=45°+∠2；最后根据图形中的角与角间的和差关系求得∠HPQ的大小不变，是定值45°.
21．【答案】（1）
（2）解：点B是x轴上的“健康点”，点C是y轴上的“快乐点”，
则，点B的横坐标为，点B的坐标为；
点C是y轴上的“快乐点”，则，点C的纵坐标为，点C的坐标为；
，
，即，
解得，，
则点P的坐标为或
【解析】【解答】解：（1）∵点是“健康点”，
∴，
解得：a=2，
则A的坐标为：（2，2），
故答案为：.
【分析】（1）根据"健康点"的定义列出方程求解即可；
（2）求出点B、点C的坐标，设点P坐标，再根据面积相等列出方程，即可求解.
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