2023-2024学年人教版九年级数学上册 第二十一章一元二次方程单元复习题（含解析）

人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程单元复习题
一、选择题
1．一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的一次项系数是（　　）
A．2 B．3 C．1 D．﹣3
2．一元二次方程x2－4x－1＝0配方后正确的是（　　）
A．（x－2）2＝1 B．（x－2）2＝5
C．（x－4）2＝1 D．（x－4）2＝5
3．若关于x的一元二次方程x2＋3x－k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为（　　）
A．k＞ B．k≥ C．k＜ D．k≤
4．一元二次方程x2＝3x的解是（　　）
A．x＝3 B．x＝﹣3
C．x1＝3，x2＝0 D．x1＝﹣3，x2＝0
5．若，是一元二次方程的两个根，则，的值分别是（ ）
A．1和6 B．5和-6 C．-5和6 D．5和6
6．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．4，6，1 B．4，6，－1 C．4，－6，1 D．4，－6，－1
7．已知关于的一元二次方程的两根分别为，，则原方程可化为（　　）
A． B．
C． D．
8．设方程的两根分别是、，则（　　）
A．-3 B．2 C．-2 D．3
9．在一次同学聚会上，参加的每个人都与其他人握手一次，共握手95次，设参加这次同学聚会的有x人，可得方程（　　）
A．x（x﹣1）＝190 B．x（x﹣1）＝380
C．x（x﹣1）＝95 D．（x﹣1）2＝380
10．关于x的一元二次方程 有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程 同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；② ；③ ．其中正确结论的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
11．已知关于x的方程x2+3x-m=0的一个根为-2，则m的值是　 　.
12．已知方程的一根为3，则方程的另一根为　 　
13．已知是一元二次方程的两根，则　 　.
14．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样多数目的小分支，主干、支干、小分支一共是91个，则每个支干长出的小分支数目为　 　.
三、计算题
15．解一元二次方程
（1）
（2）
四、解答题
16．已知 是方程 的一个实数根，求代数式 的值．
17．用公式法解方程：．
18．关于的方程有实数根，且为非正整数．求的值及此时方程的根．
19．已知一元二次方程的一个根是1．求的值和方程的另一个根．
20．某医疗器械生产厂生产某种医疗器械，80条生产线齐开，每条生产线每个月可生产8台该种医疗器械.该厂经过调研发现：当生产线适当减少后（减少的条数在总条数的20%以内时），每减少10条生产线，每条生产线每个月反而会多生产4台.若该厂需要每个月的产能达到840台，那么应减少几条生产线？
五、综合题
21．已知关于的一元二次方程．其中分别为三边的长．
（1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由．
22．已知关于的一元二次方程.
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是3，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长.
23．某单位准备组织员工到武夷山风景区旅游，旅行社给出了如下收费标准（如图所示）：
设参加旅游的员工人数为x人．
（1）当25＜x＜40时，人均费用　 　元，当x≥40时，人均费用为　 　元；
（2）该单位共支付给旅行社旅游费用27000元，请问这次参加旅游的员工人数共有多少人？
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解： 一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的一次项系数是-3.
故答案为：D.
【分析】说明各项系数时，先将一元二次方程化成一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），可得到一次项的系数（连同前面的符号带上）.
2．【答案】B
3．【答案】A
4．【答案】C
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ， ．
故答案为：C．
【分析】先求出，再利用因式分解法解方程即可。
5．【答案】D
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴x1+x2=5，x1x2=6，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=5，x1x2=6。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是4，-6，1．
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的定义逐项判断即可。
7．【答案】D
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 的两根分别为 ， ，
∴ ，
∴原方程为
∴方程 可化为 ．
∴方程 可化为 ．
故答案为：D．
【分析】根据题意先求出原方程为 ，再求解即可。
8．【答案】B
【解析】【解答】解：∵方程的两根分别是、，
∴ ，
故答案为：B．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得。
9．【答案】A
【解析】【解答】解：设共有x人参加联欢会，可得方程：
x（x﹣1）÷2＝95，
x（x﹣1）＝190．
故答案为：A．
【分析】根据“ 共握手95次 ”即可列出方程。
10．【答案】D
【解析】【解答】解法一：因为关于 的一元二次方程 有两个整数根且乘积为正，由韦达定理得 ，所以 同号；同理 为同号。根据 得 均为负整数，因此结论①正确；又由题意得 ， ，则 ， ，故结论②正确；因为 均为负整数，则它们均小于等于 。设 ， ，则 分别为 的二次函数，其图象开口向上，与横轴的交点坐标均小于或等于 且为整数，因此当 时， 。当 时， ，即 ，故结论③正确。
应选D。
解法二：设 的两个整数根为 、 ，
的两个整数根为 、 ，
则 ， ，
由题意得： ， ，
∴ ， ，
∴ ， ， ， ，∴①正确；
∵ 的两个整数根为 、 ，
∴ ，即 ，
∴ ，同理： 。
∴
，∴②正确；
∵ 、 为负整数，∴ 、 ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，∴
，∴ ，
同理： ，即 ，
∴ ，∴③正确；
故答案为：D.
【分析】根据题意以及一元二次方程根与系数，可得出两个整数根都是负数，可对①作出判断；利用一元二次方程根的判别式，可对②作出判断；利用一元二次方程根与系数进行解答，可对③作出判断，综上所述，可得出答案。
11．【答案】-2
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2+3x-m=0的一个根为-2，
∴4-6-m=0
解之：m=-2.
故答案为：-2
【分析】将x=-2代入方程，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
12．【答案】x=1
【解析】【解答】解：∵方程的一根为3，
∴，
∴，
∴原方程为，
∴，
∴或，
∴，，
∴方程的另一根为x=1．
【分析】将x=3代入求出b的值，可得方程，再利用十字相乘法求解一元二次方程即可。
13．【答案】-3
【解析】【解答】解：是一元二次方程的两根
根据根与系数的关系得，，
化简分式得：
原式，
.
故答案为：.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=3，x1x2=-2，对待求分式进行通分可得，然后代入计算即可.
14．【答案】9
【解析】【解答】解：设支干的数目为x个，根据题意列方程得：x2+x+1=91，
解得：x=9或x=-10(不符合题意，舍去)；
则：x=9.
故答案为：x=9.
【分析】设支干的数目为x个，根据题意可得：x2+x+1=91，求出x的值即可.
15．【答案】（1）解：
解得
（2）解：
解得
【解析】【分析】（1）首先将方程化为一般形式，然后因式分解可得(x-5)(x+3)=0，据此求解；
（2）提取公因式(x+2)可得(x+2)(x+2-10)=0，据此求解.
16．【答案】解：∵ 是方程 的一个根，
∴ ，即 ，
∴
.
【解析】【分析】将a代入方程 可得到 ，然后整体代入原式化简即可求值。
17．【答案】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ， ．
【解析】【分析】此方程是一元二次方程的一般形式，首先找出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，接着求出判别式b2-4ac的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，进而借助求根公式进行计算即可.
18．【答案】解：∵方程有实数根，
∴．
解得：．
又∵为非正整数，
∴．
当时，方程为．
此时方程的解为．
【解析】【分析】根据方程有实数根可得△≥0，代入求解可得m的范围，结合m为非正整数可得m的值，然后代入方程中，利用因式分解法可得方程的根.
19．【答案】解：设另外一根为 ，根据韦达定理可列方程
， =
解得 ，
【解析】【分析】 设另外一根为x2，根据一元二次方程根与系数的关系得出1+x2=-2，x2=a-1，即可得出x2=-3，a=-2.
20．【答案】解：设减少x台生产线
∵80×20％=16
∴
∴ ，即
解得： ， （舍去），
所以应减少10条生产线.
【解析】【分析】设减少x台生产线，根据减少的条数在总条数的20%以内可得x的范围，由题意可得，求解即可.
21．【答案】（1）解：△ABC为等腰三角形，理由如下：
把x=1代入方程得b-c-2a+c+b=0，
则a=b，
所以△ABC为等腰三角形
（2）解：△ABC为直角三角形，理由如下：
根据题意得Δ=（-2a）2-4（b-c）（b+c）=0，
整理得b2-c2=a2，即b2 =a2+c2，
所以△ABC为直角三角形．
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 a=b， 再判断三角形即可；
（2）先求出 Δ=0， 再求出 b2 =a2+c2， 最后作答即可。
22．【答案】（1）证明：∵，
∴方程恒有两个不相等的实数根.
（2）解：根据题意，得，解得，
当时，原方程为，
所以，，其中一个根为3，则方程的另一根为1；
①当该直角三角形的两直角边是1、3时，第三条边长度为 ，则周长为；
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，第三条边长度为，则周长为.
【解析】【分析】（1）先求出b2-4ac的值，将其中转化为a（x-h）2+k的形式，即可证得结论.
（2）将x=3代入方程，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，然后将m的值代入方程，解方程求出x的值；再分情况讨论：当该直角三角形的两直角边是1、3时；当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时；分别利用勾股定理求出第三边的长.
23．【答案】（1）1000﹣20（x﹣25）；700
（2）解：∵25×1000＜27000＜40×700，
∴25＜x＜40．
由题意得：x[1000﹣20（x﹣25）]=27000，
整理得：x2﹣75x+1350=0，
解得：x1=30，x2=45（不合题意，舍去）．
答：该单位这次共有30名员工去旅游．
【解析】【解答】解：（1）∵25+（1000﹣700）÷20=40（人），
∴当25＜x＜40时，人均费用为[1000﹣20（x﹣25）]元，当x≥40时，人均费用为700元．
【分析】（1）求出当人均旅游费为700元时的员工人数，再根据给定的收费标准即可求出结论；
（2）由25×1000＜27000＜40×700可得出25＜x＜40，由总价=单价×数量结合（1）的结论，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．