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3.4 循环小数 教学设计
一、教学目标
1.学习目标描述：使学生初步认识循环小数、有限小数和无限小数，能用简便记法表示循环小数，能用循环小数表示除法的商，并能正确区分有限小数和无限小数。
2.学习内容分析：循环小数是在学生学习了小数除法的意义、小数除法的计算法则及商的近似数的基础上进行教学的。这部分内容概念较多，也比较抽象，是教学的一个难点。本节课主要使学生理解小数的意义，初步认识有限小数，掌握循环小数的表示方法。
3.学科核心素养分析：让学生经历猜想、验证的探究过程，培养学生的探究精神和意识。学生能在学习过程中获得成功体验，培养学生积极的数学情感。
二、教学重难点
1.重点：认识循环小数，会用简便记法表示循环小数。
2.难点：认识循环小数、有限小数和无限小数及它们之间的关系。
三、教学过程
教学目标 教学活动 设计意图 效果评价
导入新课 1.做游戏课件出示——游戏规则：根据老师的指令做动作。（上上下下，左左右右，前前后后；上上下下，左左右右，前前后后……）2.学生和老师做动作。师：你发现这个游戏有什么特点？学生根据自己的理解自由说说。根据学生的回答，师总结出关键词：依次、不断、重复出现师：生活中，还有哪些现象是这样的？学生结合实际自由说说。师：像这样依次不断重复出现的现象叫做“循环现象”，其实在数学中也存在着类似的现象，今天我们就一起来找找。揭示课题：循环小数 通过复习旧知，检查学生掌握知识的情况，同时为后面学习新的知识奠定基础。通过交流，激发学生探究新知的欲望和积极性。 教师观察学生的参与程度，给予及时的鼓励与表扬。
探究新知 任务一：初步感知循环小数课件出示：王鹏跑400 m用时75秒，他平均每秒跑多少米 师：从图中获得了什么数学信息？学生自由说说。师：需要解决什么问题？学生：要解决的问题是他平均每秒跑多少米。师：要求平均每秒跑多少米，应该怎样列式？学生：算式是400÷75。师：你能列竖式计算一算吗？学生尝试用竖式计算，师巡视指导。当学生发现除不尽时，师提问：大家算完了吗？学生：没有，除不尽。师：除不尽？那么大家在计算中，你发现了什么？学生1：商的小数部分总是重复出现“3”。学生2：余数总是“25”。师：商的小数部分怎么总是3呢？引导学生观察得出：如果继续除下去，无论除到哪一位，只要余数重复出现“25”，它的商也就会重复出现“3”。继续除下去，可能永远也除不完。师：那么这样的商又该怎样表示呢？学生结合知识经验自由说说。师揭示：400÷75的商可以用5.333…的形式表示，读作：五点三三循环。课件完善横式，并提问：省略号表示什么？学生：表示后面的数字都是3。师提醒：为了清楚表示出数字的重复，一般在“…”之前要把重复的数字至少写两遍。注意：数学中的省略号只写三个点。 通过计算，让学生初步发现规律，激发学生进一步探究的欲望和积极性。 教师观察学生的活动参与程度和提取已有知识经验的能力，给予及时的鼓励与表扬。
任务二：认识循环小数课件出示：计算下面各题，说一说商有什么特点？28÷18= 78.6÷11=师：你能列竖式计算一算吗？学生尝试用竖式计算，师巡视指导。师：比较28÷18， 78.6÷11的商，你有什么发现？学生1：商中有一个数字5重复出现。学生2：商中有两个数字45重复出现。师：观察下面的两个小数，它们有什么相同点和不同点？引导学生观察：相同点：小数部分的一个数字或几个数字重复出现。不同点：1.555…是从小数部分第一位就开始重复出现；7.14545…是从小数部分第二位才开始重复出现。师：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。像上面1.555…和7.14545…都是循环小数。课件出示——自学提示：自学教材第34页上面的内容，思考：什么是循环节？学生自学，然后反馈：一个循环小数的小数部分，依次不断地重复出现的一个或几个数字，叫做这个循环小数的循环节。师：5.333…，37.14545…，6.9258258…的循环节是什么？学生自由说说：5.333…的循环节是3。37.14545…的循环节是45；6.9258258…的循环节是258。师：写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。例如：师：在计算小数除法时，如果遇到除不尽的情况可以根据要求取商的近似值，也可以用循环小数表示除得的商。 通过观察交流，培养学生的观察能力与语言表达能力，同时为后面总结循环小数的意义做准备。通过本环节的学习，帮助学生进一步认识循环小数，拓展学生的思维，加深学生对循环小数的进一步认识。
任务三：认识有限小数和无限小数师：算一算。课件出示：15÷16= 1.5÷7=学生独自计算，然后展示反馈。师：观察上面两个算式的结果，想一想，两个数相除，所得的商如果不是整数，会有哪些情况 学生1：商是小数。学生2：商是循环小数。师：你能数数上面两个小数的位数吗？学生1：0.9375是一个四位小数。学生2：是一个循环小数，位数是无限的。师揭示：小数部分的位数有限的小数是有限小数。例如，0.9375 是一个有限小数。小数部分的位数无限的小数是无限小数。例如，是一个无限小数。师：循环小数、有限小数和无限小数之间的有什么关系？根据学生的回答，课件出示： 通过计算交流，让学生感受小数位数的特点，进而揭示有限小数和无限小数的意义，符合学生的认知特点。 教师观察学生的活动参与程度和提取已有知识经验的能力，给予及时的鼓励与表扬。
迁移运用 任务四：课堂练习基础题：1.找出循环小数，涂上自己喜欢的颜色。2.连一连。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。 分层挑选学生的作答，及时了解不同层次学生的课堂效果，收集本节课学生知识吸收的反馈信息。
提高题：3.计算下面各题，除不尽的先用循环小数表示所得的商，再保留两位小数写出它的近似数。 （1）4.7÷3=( )≈( )（2）13÷3=( )≈( )（3）3.32÷1.5=( )≈( )
拓展题 4.1÷7的商是循环小数，这个小数的小数点右边第100位上的数字是多少？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题：1.连一连。2.王华4分钟加工13个零件，李明3分钟加工11个零件，董军5分钟加工17个零件，谁的工作效率高？选做题：1.写出下面各循环小数的近似数。（保留三位小数）2.3÷14的小数点后第2009个数字是多少？【综合实践类作业】 找找生活中的循环现象，用同伴交流。
板书设计 循环小数循环小数：依次 不断 重复
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循环小数
人教版五年级上册
教学目标
1.使学生初步认识循环小数、有限小数和无限小数，并能正确区分有限小数和无限小数。
2.能用简便记法表示循环小数，能用循环小数表示除法的商。
3.学生能在学习过程中获得成功体验，培养学生积极的数学情感。
新知导入
游戏规则：
根据老师的指令做动作。（上上下下，左左右右，前前后后；上上下下，左左右右，前前后后……）
新知导入
口令：
上上下下，左左右右，前前后后；上上下下，左左右右，前前后后……
你发现这个游戏有什么特点？
依 次
不 断
重复出现
新知导入
生活中，还有哪些现象是这样的？
春夏秋冬四季的变换
太阳东升西落
像这样依次不断重复出现的现象叫做“循环现象”。
新知讲解
王鹏跑400 m用时75秒，他平均每秒跑多少米
400÷75=____________
你能列竖式计算一算吗？
新知讲解
400÷75=____________
75
4 0 0
5
3 7 5
2 5 0
2 2 5
.
3
2 5
2 5 0
3
2 2 5
2 5 0
2 2 5
3
在计算中，你发现了什么？
商的小数部分总是重复出现“3”。
余数总是“25”。
商的小数部分怎么总是3呢？
新知讲解
400÷75=____________
75
4 0 0
5
3 7 5
2 5 0
2 2 5
.
3
2 5
2 5 0
3
2 2 5
2 5 0
2 2 5
3
只要余数重复出现“25”，它的商也就会重复出现“3”。
继续除下去，可能永远也除不完。
5.333…
读作：五点三三循环
省略号表示后面的数字都是3。
新知讲解
为了清楚表示出数字的重复，一般在“…”之前要把重复的数字至少写两遍。注意：数学中的省略号只写三个点。
1
5
5
新知讲解
计算下面各题，说一说商有什么特点？
28÷18= 78.6÷11=
5
28
18
18
10
0
9 0
1 0
0
9 0
1 0
0
9 0
1 0
1.555…
4
78.6
11
7
77
1
1
1 1
5
0
44
6
0
55
5
0
5
4
44
6
6
5
0
55
5
7.14545…
商中有一个数字5重复出现。
商中有两个数字45重复出现。
新知讲解
观察下面的两个小数，它们有什么相同点和不同点？
1.555…
7.14545…
相同点：小数部分的一个数字或几个数字重复出现。
从小数部分第一位就开始重复出现。
从小数部分第二位才开始重复出现。
不同点:
新知讲解
一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。像上面1.555…和7.14545…都是循环小数。
新知讲解
自学提示：
自学教材第34页上面的内容，思考：什么是循环节？
新知讲解
一个循环小数的小数部分，依次不断地重复出现的一个或几个数字，叫做这个循环小数的循环节。
5.333…的循环节是3。
37.14545…的循环节是45；
6.9258258…的循环节是258。
新知讲解
写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。例如：
5.333…
写作：5.3
.
6.9258258…
写作：6.9258
.
.
新知讲解
在计算小数除法时，如果遇到除不尽的情况可以根据要求取商的近似值，也可以用循环小数表示除得的商。
新知讲解
算一算：
15÷16= 1.5÷7=
0.9375
0.2142857
.
.
思考：
观察上面两个算式的结果，想一想，两个数相除，所得的商如果不是整数，会有哪些情况
新知讲解
算一算：
15÷16= 1.5÷7=
0.9375
0.2142857
.
.
商是小数。
商是循环小数。
是一个四位小数
一个循环小数，位数是无限的
新知讲解
小数部分的位数有限的小数是有限小数。例如，0.9375 是一个有限小数。小数部分的位数无限的小数是无限小数。例如， 是一个无限小数。
新知讲解
小数
有限小数
无限小数
无限不循环小数
循环小数
循环小数、有限小数和无限小数之间的关系：
课堂练习
基础题：
1.找出循环小数，涂上自己喜欢的颜色。
4.55555
7.89191…
3.1415926…
5.111…
6.453453…
0.3121515…
课堂练习
基础题：
2.连一连。
5.33…
4.3267
3.55…
7.2317…
有限小数
无限小数
（1）4.7÷3 =( )≈( )
（2）13÷3=( )≈( )
（3）3.32÷1.5=( )≈( )
课堂练习
提高题：
3. 计算下面各题，除不尽的先用循环小数表示所得的商，再保留两位小数写出它的近似数。
1.566…
1.57
4.333…
4.33
2.2133…
2.21
课堂练习
拓展题：
4.1÷7的商是循环小数，这个小数的小数点右边第100位上的数字是多少？
1÷7=0.142857
100÷6=16……4
答：这个小数的小数点右边第100位上的数字是8。
.
.
课堂总结
通过今天的学习，你有哪些收获？
我认识了循环小数，还学会了循环小数的简写方法。
我还认识了有限小数和无限小数。
板书设计
循环小数
循环小数：依次 不断 重复
小数
有限小数
无限小数
无限不循环小数
循环小数
作业布置
【知识技能类作业】
必做题：
1. 连一连。
作业布置
【知识技能类作业】
必做题：
2.王华4分钟加工13个零件，李明3分钟加工11个零件，董军5分钟加工17个零件，谁的工作效率高？
13÷4=3.25（个）
11÷3≈3.7（个）
17÷5=3.4（个）
因为3.7＞3.4＞3.25
答：李明的工作效率最高
作业布置
【知识技能类作业】
选做题：
1.写出下面各循环小数的近似数。（保留三位小数）
2.9494…≈ _____ 0.0183 ≈_____ 0.999...≈_____
7.275≈_____ 12.5757...≈_____ 9.0505...≈_____
. .
. .
2.949
0.018
1.000
7.276
12.576
9.051
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
2.3÷14的小数点后第2009个数字是多少？
3÷14=0.2142857142857…
循环节为142857，每6位数为一个循环：1、4、2、8、5、7
2008÷6=334…4
答：这个小数的小数点后第2009位上的数字是8。
作业布置
找找生活中的循环现象，用同伴交流。
【综合实践类作业】
谢谢
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《小数除法》单元整体设计
一、单元主题解读
（一）课程标准要求分析
《小数除法》单元是数与代数领域第三学段“数与运算”和“数量关系”中的重要内容。
《课程标准》在“内容要求”中指出：“能进行简单的小数、分数四则运算和混合运算，感悟运算的一致性，发展运算能力和推理意识。在解决实际问题的过程中，会选择合适的方法进行估算。”
在“学业要求”中指出：“能进行简单小数和分数的四则运算和混合运算（不超过三步），并说明运算过程。能在较复杂的真实情境中，选择恰当的运算方法解决问题，形成运算能力和推理意识。”
（二）单元教材内容分析
本单元主要学习的内容有：除数是整数的小数除法、一个数除以小数、商的近似数、循环小数、用计算器探索规律、解决问题以及整理和复习。教材在编排时通过创设与生活实际相关的情境引出用小数除法，注重从现实中抽象出算式，巧妙地将解决问题和探究计算方法结合起来。在教学小数除法时，教材重点突出怎样把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法，注重探究的过程。商的近似值和循环小数都是进一步研究商，通过学习，学生可以根据具体情况灵活地处理商，并认识循环小数等有关概念。用计算器探索规律是让学生借助计算工具探索数学规律。
（三）学生认知情况
在学习本单元之前，学生已经学会了用竖式计算整数除法和商不变的性质等基础知识。小数除以整数的算理要给学生充分的时间和空间，让学生真正弄懂，那么除数是小数的除法也就水到渠成。难点是商的小数点的位置，老师需要根据商不变的规律来帮助理解。
二、单元目标拟定
1.掌握小数除法的计算方法，能正确地进行计算。
2.会用“四舍五入”法、“进一法”和“去尾法”求取商是小数的近似值。
3.初步认识循环小数、有限小数和无限小数。
4.在探索新知的过程中,感受转化的思想方法，发展初步的归纳推理、概括能力。
三、关键内容确定
（一）教学重点
掌握小数除法的计算方法，能正确地进行计算。
（二）教学难点
1.会用“四舍五入法”求取商是小数的近似值，能结合实际情况用“进一法”和“去尾法”求取商的近似值。
2.初步认识循环小数、有限小数和无限小数。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内容。在计算教学中,要求学生将运算技能与逻辑思维有机整合，有效落实核心素养，培养学生具有数学思维与思想方法的计算技能，使学生的计算可持续发展，成为后续学习的有力支撑。
本单元教科书编写的基本特点主要体现在：
（1）结合具体情境和学生的生活经验、已有知识，引导学生探索小数除法的计算方法。
除数是整数的小数除法，教材通过创设具体的情境，结合小数的意义，帮助学生理解算理，探索“商的小数点要与被除数的小数点对齐”。在探究计算时，教材渗透转化的思想，将没有学过的知识转化为已经学过的知识。
（2）重视计算方法的概括
教材注重通过解决问题探究计算方法，然后采用引导性的语言引导学生自主探究算法、概括算法，如“计算除数是整数的小数除法要注意什么 ”“计算除数是小数的除法的计算法则”“求商的近似数的方法”等。
（3）重视解决问题的一般过程
在“解决问题”一课中，教材呈现“阅读与理解”“分析与解答”“回顾与反思”的结构思路，不仅让学生经历“整理信息一分析关系一列式计算一检验反思”的全过程，还体现了“解决问题”的基本步骤，展现教学的基本脉络与思路，实现认知过程与教学过程的有机统一。
五、单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 数与代数 □图形与几何 □统计与概率 □综合与实践
单元数量 3
单元主题 单元名称 主要内容 课时
数与代数 小数除法 除数是整数的小数除法（1） 1
除数是整数的小数除法（2） 1
一个数除以小数 1
商的近似数 1
循环小数 1
用计算器探索规律 1
解决问题 1
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 分类 集合 对应 演绎 归纳 类比 转化 数形结合 □极限 模型 □方程 □函数 统计 分析 综合 比较 □假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
3.1《除数是整数的小数除法（1）》 目标： 探索并初步掌握除数是整数的小数除法的计算方法，懂得商的小数点与被除数的小数点对齐的道理，会用竖式进行计算。 任务一：获取信息，提出问题 → 任务二：探究计算方法→ 1.能说出已知条件和问题。 2.利用已有的知识经验探究用竖式计算除数是整数的小数除法的计算方法。
3.2《除数是整数的小数除法（2）》 目标： 探索除数是整数的小数除法的计算方法，结合数的意义理解并掌握“除到被除数的末尾还有余数和整数部分不够商1”的小数除法的计算方法和算理。 任务一：探究“除到被除数的末尾还有余数”的小数除法 → 任务二：探究“整数部分不够商1”的小数除法 → 1.借助已有的知识经验，探究“除到被除数的末尾还有余数”的小数除法的计算方法。 2.自主探究“整数部分不够商1”的小数除法的计算方法。
3.3《一个数除以小数》 目标： 通过自主探索，理解并掌握一个数除以小数的方法，并能正确进行计算。 任务一：探究除数是小数的计算方法 → 任务二：探究被除数位数不够的小数除法 → 任务三：总结除数是小数的除法计算方法 → 1.自主探究用竖式计算除数是小数的计算方法。 2.借助已有的知识经验，自主探究被除数位数不够的小数除法的计算方法。 3.总结概括一个数除以小数的计算法则。
3.4《商的近似数》 目标： 经历用“四舍五入”法求商的近似数的过程，掌握取商的近似值的一般方法。 任务一：求商的近似数 → 任务二：总结方法 → 1.结合已有的知识经验和生活经验，探究求商的近似数的方法。 2.总结概括求商的近似数的方法。
3.5《循环小数》 目标： 初步认识循环小数、有限小数和无限小数，能用简便记法表示循环小数，能用循环小数表示除法的商。 任务一：初步感知循环小数 → 任务二：认识循环小数 → 任务三：认识有限小数和无限小数 → 1.通过计算，初步发现商和余数的规律，尝试用循环小数表示商。 2.通过观察交流，进一步认识循环小数，能用简便记法表示循环小数。 3.通过计算交流，感受小数位数的特点，进而理解有限小数和无限小数的意义。
3.6《用计算器探索规律》 目标： 借助计算器探求数学规律，会根据发现的规律写商，并能按规律直接填得数。 任务一：算一算，说一说 → 任务二：按规律填一填 → 1.用计算器计算，观察发现规律。 2.按规律直接填得数。
3.7《解决问题》 目标： 实际应用中，会灵活的选用“去尾法”和“进一法”取商的近似值。 任务一：用“进一法”解决问题 → 任务二：用“去尾法”解决问题 → 1.独立思考、合作交流探索出用“进一法”解决问题的方法。 2.通过解决问题，体会计算在解决问题中的实际作用和价值，体会“去尾法”的必要性和实用性。
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