2023-2024学年人教版八年级数学上册 11.1.2三角形的高、中线、角平分线课件 34张PPT
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年人教版八年级数学上册 11.1.2三角形的高、中线、角平分线课件 34张PPT |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-27 22:12:19 | ||
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文档简介
(共34张PPT)
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
第十一章 三角形
八年级数学上（RJ）
教学课件
君子成人之美，不成人之恶
学习目标
1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念.（重点）
2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法.
3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.（难点）
君子成人之美，不成人之恶
知识回顾
概念
三角形
三角形的分类
三角形的三边关系
按角分类
按边分类
三角形两边的和
大于第三边
三角形两边的差
小于第三边
边、顶点、角
君子成人之美，不成人之恶
回顾旧知
画一个三角形，思考下列问题.
(1) 画一个三角形，指出三角形的重要要素.
(2) 关于顶点、边(线段)、角，你联系到那些知识？
A
B
C
a
b
c
顶点、 边(线段)、 角
垂线
中点
角平分线
高 线
中 线
角平分线
君子成人之美，不成人之恶
复习回顾
导入新课
定义 图示
垂线
线段中点
角平分线
O
B
A
A
B
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线
把一条线段分成两条相等的线段的点
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线
君子成人之美，不成人之恶
你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
放、
靠、
过、
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
画.
思考：过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗
复习导入
导入新课
君子成人之美，不成人之恶
三角形的高
一
三角形的高的定义
A
从三角形的一个顶点，
B
C
向它的对边
所在直线作垂线，
顶点
和垂足
D
之间的线段
叫作三角形的高线，
简称三角形的高.
如右图, 线段AD是BC边上的高.
和垂足的字母.
注意
!
标明垂直的记号
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
讲授新课
君子成人之美，不成人之恶
表示方法：从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高. 记作AD⊥BC于点D.
知识点1 三角形的高
新知探究
A
B
C
D
三角形的高是一条垂线段
君子成人之美，不成人之恶
新知探究
B
C
A
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这边上的高，简称三角形的高.
D
∵ ∠ADB=90 °
∴ AD是△ABC的高
∵ AD是△ABC的高
②∠ADB=∠CDA=90°
∴ ①AD⊥BC,垂足为D
君子成人之美，不成人之恶
思考：你还能画出一条高来吗？
一个三角形有三个顶点，应该有三条高.
君子成人之美，不成人之恶
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗
(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？
O
(3) 锐角三角形的三条高是在三角
形的内部还是外部
锐角三角形的三条高交于同一点；
锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
锐角三角形的三条高
如图所示；
君子成人之美，不成人之恶
直角边BC边上的高是 ;
直角边AB边上的高是 ;
(2) AC边上的高是 ;
直角三角形的三条高
A
B
C
(1) 画出直角三角形的三条高,
AB
BC
它们有怎样的位置关系？
D
直角三角形的三条高交于直角顶点.
BD
君子成人之美，不成人之恶
钝角三角形的三条高
(1) 你能画出钝角三角形的三条
高吗？
A
B
C
D
E
F
(2) AC边上的高呢？
AB边上呢？
BC边上呢？
BF
CE
AD
君子成人之美，不成人之恶
A
B
C
D
F
(3)钝角三角形的三条高
交于一点吗？
(4)它们所在的直线交于
一点吗？
O
E
钝角三角形的三条高
不相交于一点；
钝角三角形的三条高所在直线交于一点.
君子成人之美，不成人之恶
新知探究
三角形 高的数量 高的位置 高的关系
3
3
3
都在三角形内部
一条在三角形内
部，两条是三角形
的两条直角边
一条在三角形
外部，两条在
三角形内部
相交于一点
在三角形内部
相交于一点
为点C
相交于一点
在三角形外部
垂心
君子成人之美，不成人之恶
张大爷有一块三角形土地，他想平均分给两个儿子，并且两人所得土地都得挨着水井A，都得靠道路BC.你能帮张大爷出主意吗？
情境导入
君子成人之美，不成人之恶
0
难点知识▲
三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线.
∵AD是△ABC的中线
三角形中线的理解
新知探究
君子成人之美，不成人之恶
画出三角形的三条中线，并认真观察三条中线的位置关系.
A
B
C
●
●
E
F
O
D
三角形的三条中线都在三角形内部，并且相交于一点，这个点就是三角形的重心.
新知探究
君子成人之美，不成人之恶
E
A
B
C
D
解：相等.
∵D是BC的中点
∴BD=DC
而△ABD的面积= BD×AE
△ADC的面积= DC×AE
△ABD的面积与△ADC的面积相等
例1：如图,在△ABC中,AD,AE分别是BC边上的中线和高.试判断△ABD和△ADC的面积是否相等
中线的性质
新知探究
君子成人之美，不成人之恶
三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两个面积相等的三角形
总结归纳
几何语言：
∵BD是△ABC的中线
∴AD=CD(中线定义)
∴S△ABD=S△CBD(等底同高)
君子成人之美，不成人之恶
1.如图，AD为△ABC的中线，E为边AD上的中点，且△AEC的面积为3，则△ABC的面积为________．
应用练习
君子成人之美，不成人之恶
应用练习
2.已知
则
君子成人之美，不成人之恶
3.有一质地均匀的三角形铁片，若阿龙想用木棒撑住此铁片，则支撑点应设在该三角形的 处最恰当.
例题讲解-重心及应用
君子成人之美，不成人之恶
4.已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示,点A，B， C，P均在格点上,则点P叫做△ABC的( )
A. 内心 B. 重心 C. 外心 D. 无法确定
应用练习
君子成人之美，不成人之恶
知识点 三角形的角平分线
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
如图，AD是△ABC的角平分线，则AD平分∠BAC，即∠1=∠2.
三角形的三条角平分线交于三角形内部一点。
君子成人之美，不成人之恶
如图,在△ABC中, BD是∠ABC的角平分线,已知∠ABC=80°,则∠DBC=___°.
例题讲解
君子成人之美，不成人之恶
如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=52°，AD平分∠BAC，求∠DAC的度数.
应用练习
君子成人之美，不成人之恶
课堂小结
三角形中的重要线段
线段 位置 交点位置
高 锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
中线
角平分线
一条高位于三角形内部，另外两条高位于三角形外部
全在三角形内部
全在三角形内部
一条高位于三角形内部，另外两条高与直角边重合
全在三角形内部
在三角形内部
在三角形直角顶点
在三角形外部
在三角形内部（重心）
在三角形内部
君子成人之美，不成人之恶
1.如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，
DE⊥BC于点E，则下列说法中正确的是（ ）
A．DE是△ACE的高 B．BD是△ADE的高
C．AB是△BCD的高 D．DE是△BCD的高
【解析】因为∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，DE⊥BC于点E，所以DE是△CDB的高，BD是△ABC的高，AB是△ABC的高.故选D．
D
课堂训练
君子成人之美，不成人之恶
2.下列说法正确的是（ ）
A．三角形的三条高线交于一点 B．直角三角形有三条高
C．三角形的高、中线、角平分线一定在三角形的内部
D．三角形的角平分线是射线
B
【解析】A.三角形三条高线所在的直线一定交于一点，但三角形的三条高线不一定交于一点，比如钝角三角形，因为高线是线段不可延长，故
错误；C.锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与
直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．D.三角形的角平分线是线段.故选B ．
君子成人之美，不成人之恶
3.如图，△ABC中，AB=15，BC=9，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为30，则△BCD的周长是（ ）
A．20 B．24 C．26 D．28
B
【解析】方法一：因为BD是AC边上的中线，所以AD
=CD．因为△ABD的周长为30，所以AB+BD+AD=30．
所以BD+AD=30﹣AB=30﹣15=15．所以△BCD的周长为BC+CD+BD=BC+AD+BD=9+15=24．方法二：因为BD是AC边上的中线，所以△ABD的周长-△BCD的周长=AB-BC=15-9=6．又因为△ABD的周长为30，所以△BCD的周长=30﹣6=24．故选B．
君子成人之美，不成人之恶
4.如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，则下列结论正确
的有（ ）
①AD平分∠BAF；②AF平分∠BAC；③AE平分∠DAF；
④AF平分∠DAC；⑤AE平分∠BAC．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
C
【解析】因为∠1=∠2，所以AE平分∠DAF，故③正确；又因为∠3=∠4，所以∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BAE=∠EAC，所以AE平分∠BAC，故⑤正确．故选C．
君子成人之美，不成人之恶
5.如图，AD是△ABC的中线，AE是△ADC的中线，则有BD＝ CE．
2
【解析】因为AD是△ABC的中线，所以BD=CD.因为AE是△ADC的中线，
所以CD=2CE.所以BD=2CE.故答案为2．
君子成人之美，不成人之恶
6．若△ABC中，∠ACB是钝角，AD是BC边上的高，若AD＝2，BD＝3，
CD＝1，则△ABC的面积等于 ．
【解析】分析画图如图所示．因为BD=3，CD=1，所以BC=BD﹣CD=2，又因为AD是BC边上的高，AD=2，所以△ABC的面积= BC AD= ×2×2=2．故答案为2．
2
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
第十一章 三角形
八年级数学上（RJ）
教学课件
君子成人之美，不成人之恶
学习目标
1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念.（重点）
2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法.
3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.（难点）
君子成人之美，不成人之恶
知识回顾
概念
三角形
三角形的分类
三角形的三边关系
按角分类
按边分类
三角形两边的和
大于第三边
三角形两边的差
小于第三边
边、顶点、角
君子成人之美，不成人之恶
回顾旧知
画一个三角形，思考下列问题.
(1) 画一个三角形，指出三角形的重要要素.
(2) 关于顶点、边(线段)、角，你联系到那些知识？
A
B
C
a
b
c
顶点、 边(线段)、 角
垂线
中点
角平分线
高 线
中 线
角平分线
君子成人之美，不成人之恶
复习回顾
导入新课
定义 图示
垂线
线段中点
角平分线
O
B
A
A
B
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线
把一条线段分成两条相等的线段的点
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线
君子成人之美，不成人之恶
你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
放、
靠、
过、
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
画.
思考：过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗
复习导入
导入新课
君子成人之美，不成人之恶
三角形的高
一
三角形的高的定义
A
从三角形的一个顶点，
B
C
向它的对边
所在直线作垂线，
顶点
和垂足
D
之间的线段
叫作三角形的高线，
简称三角形的高.
如右图, 线段AD是BC边上的高.
和垂足的字母.
注意
!
标明垂直的记号
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
讲授新课
君子成人之美，不成人之恶
表示方法：从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高. 记作AD⊥BC于点D.
知识点1 三角形的高
新知探究
A
B
C
D
三角形的高是一条垂线段
君子成人之美，不成人之恶
新知探究
B
C
A
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这边上的高，简称三角形的高.
D
∵ ∠ADB=90 °
∴ AD是△ABC的高
∵ AD是△ABC的高
②∠ADB=∠CDA=90°
∴ ①AD⊥BC,垂足为D
君子成人之美，不成人之恶
思考：你还能画出一条高来吗？
一个三角形有三个顶点，应该有三条高.
君子成人之美，不成人之恶
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗
(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？
O
(3) 锐角三角形的三条高是在三角
形的内部还是外部
锐角三角形的三条高交于同一点；
锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
锐角三角形的三条高
如图所示；
君子成人之美，不成人之恶
直角边BC边上的高是 ;
直角边AB边上的高是 ;
(2) AC边上的高是 ;
直角三角形的三条高
A
B
C
(1) 画出直角三角形的三条高,
AB
BC
它们有怎样的位置关系？
D
直角三角形的三条高交于直角顶点.
BD
君子成人之美，不成人之恶
钝角三角形的三条高
(1) 你能画出钝角三角形的三条
高吗？
A
B
C
D
E
F
(2) AC边上的高呢？
AB边上呢？
BC边上呢？
BF
CE
AD
君子成人之美，不成人之恶
A
B
C
D
F
(3)钝角三角形的三条高
交于一点吗？
(4)它们所在的直线交于
一点吗？
O
E
钝角三角形的三条高
不相交于一点；
钝角三角形的三条高所在直线交于一点.
君子成人之美，不成人之恶
新知探究
三角形 高的数量 高的位置 高的关系
3
3
3
都在三角形内部
一条在三角形内
部，两条是三角形
的两条直角边
一条在三角形
外部，两条在
三角形内部
相交于一点
在三角形内部
相交于一点
为点C
相交于一点
在三角形外部
垂心
君子成人之美，不成人之恶
张大爷有一块三角形土地，他想平均分给两个儿子，并且两人所得土地都得挨着水井A，都得靠道路BC.你能帮张大爷出主意吗？
情境导入
君子成人之美，不成人之恶
0
难点知识▲
三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线.
∵AD是△ABC的中线
三角形中线的理解
新知探究
君子成人之美，不成人之恶
画出三角形的三条中线，并认真观察三条中线的位置关系.
A
B
C
●
●
E
F
O
D
三角形的三条中线都在三角形内部，并且相交于一点，这个点就是三角形的重心.
新知探究
君子成人之美，不成人之恶
E
A
B
C
D
解：相等.
∵D是BC的中点
∴BD=DC
而△ABD的面积= BD×AE
△ADC的面积= DC×AE
△ABD的面积与△ADC的面积相等
例1：如图,在△ABC中,AD,AE分别是BC边上的中线和高.试判断△ABD和△ADC的面积是否相等
中线的性质
新知探究
君子成人之美，不成人之恶
三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两个面积相等的三角形
总结归纳
几何语言：
∵BD是△ABC的中线
∴AD=CD(中线定义)
∴S△ABD=S△CBD(等底同高)
君子成人之美，不成人之恶
1.如图，AD为△ABC的中线，E为边AD上的中点，且△AEC的面积为3，则△ABC的面积为________．
应用练习
君子成人之美，不成人之恶
应用练习
2.已知
则
君子成人之美，不成人之恶
3.有一质地均匀的三角形铁片，若阿龙想用木棒撑住此铁片，则支撑点应设在该三角形的 处最恰当.
例题讲解-重心及应用
君子成人之美，不成人之恶
4.已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示,点A，B， C，P均在格点上,则点P叫做△ABC的( )
A. 内心 B. 重心 C. 外心 D. 无法确定
应用练习
君子成人之美，不成人之恶
知识点 三角形的角平分线
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
如图，AD是△ABC的角平分线，则AD平分∠BAC，即∠1=∠2.
三角形的三条角平分线交于三角形内部一点。
君子成人之美，不成人之恶
如图,在△ABC中, BD是∠ABC的角平分线,已知∠ABC=80°,则∠DBC=___°.
例题讲解
君子成人之美，不成人之恶
如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=52°，AD平分∠BAC，求∠DAC的度数.
应用练习
君子成人之美，不成人之恶
课堂小结
三角形中的重要线段
线段 位置 交点位置
高 锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
中线
角平分线
一条高位于三角形内部，另外两条高位于三角形外部
全在三角形内部
全在三角形内部
一条高位于三角形内部，另外两条高与直角边重合
全在三角形内部
在三角形内部
在三角形直角顶点
在三角形外部
在三角形内部（重心）
在三角形内部
君子成人之美，不成人之恶
1.如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，
DE⊥BC于点E，则下列说法中正确的是（ ）
A．DE是△ACE的高 B．BD是△ADE的高
C．AB是△BCD的高 D．DE是△BCD的高
【解析】因为∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，DE⊥BC于点E，所以DE是△CDB的高，BD是△ABC的高，AB是△ABC的高.故选D．
D
课堂训练
君子成人之美，不成人之恶
2.下列说法正确的是（ ）
A．三角形的三条高线交于一点 B．直角三角形有三条高
C．三角形的高、中线、角平分线一定在三角形的内部
D．三角形的角平分线是射线
B
【解析】A.三角形三条高线所在的直线一定交于一点，但三角形的三条高线不一定交于一点，比如钝角三角形，因为高线是线段不可延长，故
错误；C.锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与
直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．D.三角形的角平分线是线段.故选B ．
君子成人之美，不成人之恶
3.如图，△ABC中，AB=15，BC=9，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为30，则△BCD的周长是（ ）
A．20 B．24 C．26 D．28
B
【解析】方法一：因为BD是AC边上的中线，所以AD
=CD．因为△ABD的周长为30，所以AB+BD+AD=30．
所以BD+AD=30﹣AB=30﹣15=15．所以△BCD的周长为BC+CD+BD=BC+AD+BD=9+15=24．方法二：因为BD是AC边上的中线，所以△ABD的周长-△BCD的周长=AB-BC=15-9=6．又因为△ABD的周长为30，所以△BCD的周长=30﹣6=24．故选B．
君子成人之美，不成人之恶
4.如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，则下列结论正确
的有（ ）
①AD平分∠BAF；②AF平分∠BAC；③AE平分∠DAF；
④AF平分∠DAC；⑤AE平分∠BAC．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
C
【解析】因为∠1=∠2，所以AE平分∠DAF，故③正确；又因为∠3=∠4，所以∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BAE=∠EAC，所以AE平分∠BAC，故⑤正确．故选C．
君子成人之美，不成人之恶
5.如图，AD是△ABC的中线，AE是△ADC的中线，则有BD＝ CE．
2
【解析】因为AD是△ABC的中线，所以BD=CD.因为AE是△ADC的中线，
所以CD=2CE.所以BD=2CE.故答案为2．
君子成人之美，不成人之恶
6．若△ABC中，∠ACB是钝角，AD是BC边上的高，若AD＝2，BD＝3，
CD＝1，则△ABC的面积等于 ．
【解析】分析画图如图所示．因为BD=3，CD=1，所以BC=BD﹣CD=2，又因为AD是BC边上的高，AD=2，所以△ABC的面积= BC AD= ×2×2=2．故答案为2．
2