18.2 勾股定理的逆定理

18.2 勾股定理的逆定理（三）
教学时间 第7课时
三维目标
一、知识与目标
能运用勾股定理的逆定理解决简单的实际问题．
二、过程与方法
1．经历将实际问题转化为数学模型的过程，体会用勾股定理的逆定理解决实际问题的方法，发展学生的应用意识．
2．在解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，发展学生的实践能力和创新精神．
3．在解决实际问题的过程中，学会与人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识．
三、情感态度与价值观
1．在用勾股定理的逆定理探索解决实际问题的过程中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心．
2．在解决实际问题的过程中，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考问题的习惯．
教学重点 运用勾股定理的逆定理解决实际问题．
教学难点 将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题．
教具准备 多媒体课件．
教学过程
一、创设问题情境，引入新课 ( http: / / )
活动1
问题1：小红和小军周日去郊外放风筝，风筝飞得又高又远，他俩很想知道风筝离地面到底有多高，你能帮助他们吗？
问题2：如下图所示是一尊雕塑的底座的正面，李叔叔想要检测正面的AD边和BC边是否垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺．
( http: / / )
（1）你能替他想想办法完成任务吗？
（2）李叔叔量得AD的的长是30厘米，AB的长是40厘米，BD的长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？
（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？
设计意图：
通过对两个实际问题的探究，让学生进一步体会到勾股定理和勾股定理的逆定理在实际生活中的广泛应用，提高学生的应用意识，发展学生的创新精神和应用能力．
在将实际问题转化为数学问题时，肯定要有一定的困难，教师要给学生充分的时间和空间去思考，从而发现解决问题的途径．
师生行为：
先由学生自主独立思考，然后分组讨论，交流各自的想法．
教师应深入到学生的讨论中去，对于学生出现的问题，教师急时给予引导． ( http: / / )
在此活动中，教师应重点关注学生：
①能否独立思考，寻找解决问题的途径．
②能否积极主动地参加小组活动，与小组成员充分交流，且能静心听取别人的想法．
③能否由此活动，揭发学生学习数学的兴趣．
生：对于问题1，我们组是这样考虑的：小红拉着风筝站在原地，小军到风筝的正下方也就是说小军的头顶就是风筝．小红放线，使线端到达他所站的位置，然后在线端做一记号，最后收回风筝，量出放出的风筝线的总长度AB，再量出小明和小军所站位置的两点间的距离BC，利用勾股定理便可以求出AB的长度（如下图所示）
( http: / / )
生：对于问题2，我们组是这样考虑的：李叔叔随身只带卷尺检验AD，BC是否与底边垂直，也就是要检测∠DAB=90°，∠CBA=90°，连接BD或AC，也就是要检测△DAB和△CBA是否为直角三角形．很显然，这是一个需要用勾股定理的逆定理来解决的实际问题．
根据我们的分析，用勾股定理的逆定理来解决，要检测△DAB是否为直角三角形，即∠DAB=90°，李叔叔只需用卷尺分别量出AB、BD、DA的长度，然后计算AB2+DA2和BD2，看他们是否相等，若相等，则说明AD⊥AB，同理可检测BC是否垂直于AB．
师：很好，对于问题2中的第（2）个小问题，李叔叔已量AD，AB，BD的长度，根据他量出的长度能说明DA和AB垂直吗？
生：可以，因为AD2+AB2=302+402=2 500，而BD2=2 500，所以AD2+AB2=BD2．可得AD与AB垂直．
师：小明带的刻度尺长度只有20厘米，他有办法检验AD与AB边的垂直吗？
生：可以利用分段相加的方法量出AD，AB，BD的长度．
生：这样做误差太大，可以AB， ( http: / / )AD上各量一段较小的长度．例如在AB边上量一小段AE=8cm在AD边上量一小段AF=6cm，而AE2+AF2=82+62=64+36=100=102，这时只要量一下EF是否等于10cm即可．
如果EF=10cm，EF2=100，则有AE2+AF2=EF2，根据勾股定理的逆定理可知△AEF是直角三角形，∠EAF=90°即∠DAB=90°所以AD⊥AB；如果EF≠10cm，则EF2≠100，所以AE2+AF2≠EF2，△AEF不是直角三角形，即AD不垂直于AB．
师：看来，同学们方法还真多，没有被困难吓倒，祝贺你们．
接下来，我们继续用勾股定理的逆定理解决几个问题．
二、讲授新课
活动2
问题：【例1】判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形．
（1）a=15，b=8，c=17；
（2）a=13，b=14，c=15；
（3）求证：m2-n2，m2+n2，2mn（m>n，m，n是正整数）是直角三角形的三条边长．
设计意图：
进一步让学生体会用勾股定理的逆定理，实现数和形的统一，第（3）题又让学生从一次从一般形式上去认识勾股数，如果能让学生熟记几组勾股数，我们在判断三角形的形状时，就可以避开很麻烦的运算．
师生行为：
先由学生独立完成，然后小组交流．
教师应巡视学生解决问题的过程，对成绩较差的同学给予指导．
在此活动中，教师应重点关注学生：
①能否用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
②能否发现问题，反思后及时纠正．
③能否积极主动地与同学交流意见．
生：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边 ( http: / / )长的平方和是否等于最大边长的平方．
解：（1）因为152+82=225+64=289，172=289，
所以152+82=172，这个三角形是直角三角形．
（2）因为132+142=169+196=365，152=365
所以132+142≠152，这个三角形不是直角三角形．
生：要证明它们是直角三角形的三边，首先应判断这三条线段是否组成三角形，然后再根据勾股定理的逆定理来判断它们是否是直角三角形的三边长．
（3）证明：m>n，m，n是正整数
（m2-n2）+（m2+n2）=2m2>2mn，
即（m2-n2）+（m2+n2）>2mn．
又因为（m2-n2）+2mn=m2+n（2m-n），
而2m-n=m+（m-n）>0，
所以（m2-n2）+2mn>m2+n2
这三条线段能组成三角形．
又因为（m2-n2）2=m4+n4-2m2n2
（m2+n2）2=m4+n4+2m2n2
（2mn）2=4m2n2，
所以（m2-n2）2+（2mn）2
=m4+n4-2m2n2+4m2n2=m4+n4+2m2n2=（m2+n2）2
所以，此三角形是直角三角形，m2-n2，2mn，m2+n2（m>n，m，n是正整数）这三边是直角三角形的三边．
师：我们把像15、8、7这样，能够成为三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．
而且我们不难发现m2-n2，m2+n2，2mn也是一组勾股数，而且这组勾股数由于m，n取值的不同会得到不同的勾股数．
例如m=2，n=1时，m2-n2=22-12=3，m2+n2=22+12=5，2mn=2×2×1=4，而3，4，5就是一组勾股数．
你还能找到不同的勾股数吗？
生：当m=3，n=2时，m2-n2=32-22=5，m2+n2=13，2mn=2×3×2=12，所以5，12，13也是一组勾股数．
当m=4，n=2时，m2-n2=42-22=12，m2+n2=20 ( http: / / )，2mn=2×4×2=16，所以12，16，20也是一组勾股数．
……
师：由此我们发现，勾股数组有无数个，而上面介绍的就是寻找勾股数组的一种方法．
17世纪，法国数学家费尔马也研究了勾股数组的问题，并且在这个问题的启发下，想到了一个更一般的问题，1637年，他提出了数学史上的一个著名猜想──费马大定理，即当n>2时，找不到任何的正整数组，使等式xn+yn=zn成立，费马大定理公布以后，引起了各国优秀数学家的关注，他们围绕着这个定理顽强地探索着，试图来证明它．1995年，英籍数学家怀尔斯终于证明了费马大定理，解开了这个困惑世间无数智者300多年的谜．
活动3
问题：【例2】“远航”号，“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
设计意图：
让学生体会勾股定理的逆定理在航海中的应用，从而树立远大理想，更进一步体会数学的实用价值．
师生行为：
教师先鼓励学生根据题意画出图形， ( http: / / )然后小组内交流讨论，教师需要巡视，对有困难的学生一个启示，帮助他们寻找解题的途径．
在此活动中，教师应重点关注：
①学生能否根据题意画出图形．
②学生能否积极主动地参与活动．
③学生是否充满信心解决问题．
生：我们根据题意画出图形，（如下图），可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了．
解：根据题意画出右图
( http: / / )
PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18，QR=30．
因为242+182=302，即PQ2+PR2=QR2．
所以∠QPR=90°
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠QPS=45°，所以∠RPS=45°，即“海天”号沿西北或东南方向航行．
三、巩固提高
活动4
问题：A、B、C三地两两距离如下图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向？
( http: / / )
设计意图：
进一步熟练掌握勾股定理的逆定理的应用．
师生行为：
由学生独立完成后，由一个学生板演，教师讲解．
解：BC2+AB2=52+122=169，
AC2=132=169．
所以BC2+AB2=AC2，即BC的方向与BA方向成直角，∠ABC=90°，C地应在B地的正北方向．
四、课时小结
活动5
问题：谈谈这节课的收获有哪些？掌握勾股定理及逆定理，来解决简单的应用题，会判断一个三角形是直角三角形．
设计意图：
这种形式的小结，激发了学生的主动参与意识，调动了学生的学习兴趣，为每一位学习都创造了在数学学习活动中获得成功体验的机会．
师生行为：
教师课前可准备一组小卡片，卡片上写上针对这节课内容不同形式的小问题，请同学们抽签回答．
板书设计
18．2 勾股定理的逆定理（三）
1．勾股定理的逆定理→实际问题（判定直角三角形的形状）
2．勾股数组
3．在实际生活中的应用
活动与探究
如下图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点，且CF= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 CD．
求证：△AEF是直角三角形．
( http: / / )
过程：要证△AEF是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要证AE2+EF2=AF2即可．
利用代数方法（即勾股定理的逆定理）计算三角形的三边长，看它们是否是勾股数，以判断三角形是否是直角三角形，这是解决几何问题常用的方法之一．
结果：设正方形ABCD的边长是a，则BE=CE=a，CF=a，DF=a，在Rt△ABE中，由勾股定理得
AE2=AB2+BF2=a2+（a）2=a2．
同理，在Rt△ADF中，AF2=AD2+DF2=a2+（a）2=a2，在Rt△CEF中，EF2=CE2+CF2=（a）2+（a）2= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 a2．
所以，AF2=AE2+EF2．
所以，△AEF是直角三角形．
习题详解
习题18．2
1．解：（1）a2=49，b2=576，c2=625
a2+b2=49+576=625，c2=625
所以，a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理，得由线段a=7，b=24，c=25能组成直角三角形．
（2）a2=2.25，b2=4，c2=6.25，
而a2+b2=2.25+4=6.25，
所以，a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理，得由线段a=1.5，b=2，c=2.5可组成直角三角形．
（3）a2=，b2=1，c2=，b2+c2=1+= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ．即a2=b2+c2，所以，以a=，b=，c=为边可组成直角三角形．
（4）a2=1 600，b2=2 500，c2=3 600．
而a2+b2=4 100≠3 600，即a2+b2≠c2，不能构成直角三角形．
2．（1）逆命题：两直线平行，同旁内角互补．此逆命题成立．
（2）逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角，此逆命题不成立．
（3）逆命题：如果两个三角形三边对应相等，那么这两个三角形全等，此逆命题成立．
（4）逆命题：已知两个数，如果它们的平方相等，则这两个数也相等，此逆命题不成立．
3．解：根据题意，如下图所示AB=80m，BC=60m，CA=100m．因为，802+602=1002，即AB2+BC2=AC2，所以△ABC为Rt△，即小明向东走了80m后又向北或向南走了60m，最后回到原地（A点）．
( http: / / )
4．解：a2=4m2，b2=（m2-1）2=m4-2m2+1，c2=（m2+1）2=m4+2m2+1，而a2+b2=4m2+m4-2m2+1=m4+2m2+1，所以a2+b2=c2，即a，b，c为勾股数．
当m=2时，可得一组勾股数：4，3，5；
当m=3时，可得一组勾股数：6，8，10；
当m=4时，可得一组勾股数：8，15，17；
……
5．解：AD是BC边上的中线，且BC=10cm，所以BD=DC=BC=5cm，
( http: / / )
AB=13cm，AD=12cm
132=122+52，所以AB2=AD2+BD2．
△ABD为Rt△且∠ADB=90°，所以∠ADC=90°，
AC= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 = 13．
6．3，4，5是一组勾股数，那么3k，4k，5k（k是正整数）也是一组勾股数，
因为（3k）2+（4k）2=（5k）2；
同样a，b，c是一组勾股数，则a2+b2=c2，而（ak）2=a2k2，（bk）2=b2k2，（ck）2=c2k2，所以a2k2+b2k2=c2k2，则ak，bk，ck，（k为正整数）也是一组勾股数．
备课资料 以盈补虚原理
赵爽和其他数学家们证明勾股定理所用的以盈补虚原理，说来道理非常浅显，方法也简单，但是思路却是别出心裁的，他们只是利用平面几何的图形分、合、移、补，就巧妙地推导出许多有用处的公式．
如下图，取三角形ABC中AB、AC的中点D和E，过A，B，C分别作DE或其延长线的垂线，垂足为F、G、H；原图形中解体而出的①②移补于′、′，从而得知S△ABC=S矩形GBCH，为求CH．BC，但CH为BC边上的高的一半，最后求出，三角形的面积等于高的一半乘底边长．
( http: / / )
赵爽的割补法经过后来刘徽在《九章算术》注中加以确认和发挥，得到范围更广泛的应用．
“今有圭田广十二步，正从二十一步，问为田几何？”答曰：“一百二十六步”．术曰：“半广以乘正从．”
（译文：有一块三角形田地，底边长12步，高21步，问这块田地的面积是多少？答案是126平方步．解法是用底边长的一半乘高）．
刘徽解释这种方法时指出：“半广者，以盈补虚为直田（矩形田）也；亦可半正从以乘广”．
半正从以乘广，是说用高的一半乘底边长，就是以上从图8割补的结果，而利用图9，又可以得出三角形面积等于“等边长的一半乘高”的结论．
AH是BC边上的高，D、E分别是BH、HC的中点，割①、②补1′、2′则三角形ABC的面积就相当于矩形DEFG了．
同样用这种方法也可以推导出求梯形面积公式，从以下题目解法可见：
( http: / / )
“今有邪田（梯形田），一头广（一底宽）三十步，一头广（另一底宽）四十二步，正从（高）六十四步，问为田几何”？解法是：“并二邪而半之，以乘正从若广”．即：把上底加下底的一半当做宽，乘高即得．
刘徽解释梯形求积为：“并而半之者，以盈补虚也．”是说：取上底加下底的一半，就是以盈补虚法．
如下图，取BE、FC的中点G、H，则梯形ABCD的面积相当于矩形GHIJ．
( http: / / )
除了确定求积公式外，以盈补虚原理还可以用于更繁杂的情况．
用以盈补虚原理求解一些问题不但易懂，而且也别开生面．
- 2 -18.2 勾股定理的逆定理（二）
教学时间 第6课时
三维目标
一、知识与技能
1．了解证明勾股定理逆定理的方法．
2．理解逆定理，互逆定理的概念．
二、过程与方法
1．经历证明勾股定理逆定理的过程，发展学生的逻辑思维能力和空间想象能力．
2．经历互为逆定理的讨论，培养学生严谨的治学态度和实事求是求学精神．
三、情感态度与价值观
1．经历探索勾股定理逆定理证明的过程，培养学生克服困难的勇气和坚强的意志．
2．培养学生与人合作、交流的团队意识．
教学重点 勾股定理逆定理的证明，及互逆定理的概念．
教学难点 互逆定理的概念．
教具准备 多媒体课件．
教学过程
一、创设问题情境，引入新课 ( http: / / )
活动1
以下列各组线段为边长，能构成三角形的是_______（填序号），能构成直角三角形的是______．
①3，4，5 ②1，3，4 ③4，4，6 ④6，8，10 ⑤5，7，2 ⑥13，5，12 ⑦7，25，24
设计意图：帮助学生回忆构成三角形的条件和判定一个三角形为直角三角形的条件．
师生行为：
由学生自己独立完成；教师巡视学生填的结果．
在此活动中，教师应重点关注：
①学生是否熟练地完成填空；
②学生是否积极主动地完成任务．
生：能构成三角形的是：①③④⑥⑦；
能构成直角三角形的是：①④⑥⑦．
二、讲授新课 ( http: / / )
活动2
问题：命题2是命题1的逆命题，命题1我们已证明过它的正确性，命题2正确吗？如何证明呢？
设计意图：
由特殊猜想得到的结论，会让一些同学产生疑虑，我们的猜想是否正确，必须有严密的推理证明过程，才能让大家用的放心．通过对命题2的证明，还可以提高学生的逻辑推理能力．
师生行为：
让学生试着寻找解题思路；教师可引导学生发现证明的思路．
本活动中，教师应重点关注学生：
①能否在教师的引导下，理清思路．
②能否积极主动地思考问题，参与交流、讨论．
师：△ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，如果△ABC是直角三角形，它应与直角边是a，b的直角三角形全等，实际情况是这样吗？
我们画一个直角三角形A′B′C′，使B′C′=a，A′C′=b，∠C′=90°（如下图）把画好的△A′B′C′剪下，放在△ABC上，它们重合吗？
( http: / / )
生：我们所画的Rt△A′B′C′，A′B′2=a2+b2，又因为c2=a2+b2，所以A′B′2=C2，即A′B′=C．
△ABC和△A′B′C′三边对应相等，所以两个三角形全等，∠C=∠C′=90°．△ABC为直角三角形．
即命题2是正确的．
师：很好，当我们证明了命题2是正确的，那么命题就成为一个定理．由于命题1证明正确以后称为勾股定理，命题2又是命题1的逆命题，在此，我们就称定理2是勾股定理的逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定 ( http: / / )理称为互为逆定理．
师：但是不是原命题成立，逆命题一定成立吗？
生：不一定，如命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么它们是对顶角”不成立．
师：你还能举出类似的例子吗？
生：例如：如果两个实数相等，那么它们的绝对值也相等．
逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个实数相等．
显示原命题成立，而逆命题不成立．
活动3
练习：1．如果三条线段长a，b，c满足a2=c2-b2，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？
2．说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗？
（1）两条直线平行，内错角相等．
（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对 ( http: / / )值相等．
（3）全等三角形的对应角相等．
（4）在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
设计意图：
进一步理解和掌握勾股定理的逆定理的本质特征，以及互为逆命题的关系及正确性；提高学生的数学应用意识和逻辑推理能力．
师生行为：
学生独立思考，自主完成；教师 ( http: / / )巡视完成练习的情况，以不同层次的学生给予辅导．
在此活动中，教师应重点关注学生．
①学生对勾股定理的逆定理的理解．
②学生对互为逆命题的掌握情况．
③学生面对困难，是否有克服困难的勇气．
师：我们先来完成练习第1题．
生：a2=c2-b2，移项得a2+b2=c2，所以根据勾股定理的逆定理，这三条线段组成的三角形是直角三角形．
生：2．（1）逆命题：如果内错角相等，那么两直线平行，此逆命题成立．
（2）逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个实数也相等，此逆命题不成立．
（3）逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等，此逆命题不成立．
（4）逆命题：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线 ( http: / / )上，此逆命题成立．
三、巩固提高
活动4
【例1】一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量出了这个零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗？
( http: / / )
【例2】（1）判断以a=10，b=8，c=6为边组成的三角形是不是直角三角形．
解：因为a2+b2=100+64=164≠c2．
即a2+b2≠c2，所以由a，b，c不能组成直角三角形。
请问：上述解法对吗？为什么？
（2）已知：在△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm．
求证：AB=AC．
这是利用勾股定理的逆定理解决实际问题的例子，可以使学生进一步理解勾股定理的逆定理，体会数学与现实世界的联系．
学生只要能用自己的语言表达清楚解决问题的过程即可．
师生行为：
先由学生独立完成，然后小组交流，讨论；教师巡视学生完成问题的情况，及时给予指导．
在此活动中，教师应重点 ( http: / / )关注学生：
①能否进一步理解勾股定理的逆定理．
②能否用语言比较规范地书写过程，说明理由．
③能否从中体验到学习的乐趣．
生：例1：分析：这是一个利用直角三角形的判定条件解决实际问题的例子．
解：在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角．
在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=132=CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角．
因此这个零件符合要求．
例2：（1）解：上述解法是不对的．因为a=10，b=8，c=6，b2+c2=64+36=100=102=a2，即b2+c2=a2．所以由a，b，c组成的三角形两边的平方和等于第三边的平方，利用勾股定理的逆定理可知a，b，c可构成直角三角形，其中a是斜边，b，c是两直角边．
评注：在解题时，我们不能简单地看两边的平方和是否等于第三边的平方，而应先判断哪一条边有可能作为斜边．往往只需看最大边的平方是否等于另外两边的平方和．
（2）证明：根据题意，画出图形，AB=13cm，BC=10cm．
( http: / / )
AD是BC边上的中线→BD=CD=5cm，在△ABD中AD=12cm，BD=5cm，AB=13cm，AB2=169，AD2+BD2=122+52=169．所以AB2=AD2+BD2．则∠ADB=90°．∠ADC=180°-∠ADB=180°-90°=90°．
在Rt△ADC中，AC2=AD2+CD2=122+52=132．
所以AC=AB=13cm．
四、课时小结
活动5
问题：你对本节的内容有哪些认识？掌握勾股定理的逆定理及其应用，熟记几组勾股数．
设计意图：
这种形式的小结，激发了学生主动参与意识， ( http: / / )调动了学生的学习兴趣．为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功的体验机会．
小结活动既要注重，引导学生将数学知识体系化，又要从能力、情感态度等方面关注学生对课堂的整体感受．
师生行为：
教师可准备好写有勾股数的卡片，让学生随机抽取，让学生说明如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形吗？
在活动5，教师应重点关注学生：
①不同层次的学生对本节知识的认识程度．
②学生再谈收获是对不同方面的感受．
③学生独立面对困难和克服困难的能力．
板书设计
18．2 勾股定理的逆定理（二）
勾股定理的逆定理的证明
构造Rt△A′B′C′，使两直角边为 ( http: / / )a，b，∠C′=90°，从而得斜边A′B′=C，得到△ABC≌△A′B′C′，所以∠C′=∠C=90°，△ABC为直角三角形．
活动与探究
给出一组式子：32+42=52，82+62=102，152+82=172，242+102=262．
（1）你能发现上面式子的规律吗？请你用发现的规律，给出第5个式子；
（2）请你证明你所发现的规律．
过程：观察式子，要注意这些式子中不变的形式，如等式两边每一项的指数为2，等式左边是平方和的形式，右边是一个数的平方．很显然，我们发现的规律一定是“（）2＋（）2＝（）2”的形式．然后再观察每一项与序号的关系，如32，82，152，242与序号有何关系，可知32=（22-1）2，82=（32-1）2，152=（42-1）2，242=（52-1）2；所以我们可推想，第一项一定是（n2-1）2．（其n>1，n为整数）．同理可得第二项一定是（2n）2，等式右边一定是（n2+1）2（其中n>1，n为整数）．
（1）解：上面的式子是有规律的，即（n2-1）2+（ ( http: / / )2n）2=（n2+1）2（n为大于1的整数）．
第5个式子是n=6时，即（62-1）2+（2×6）2=（62+1）2化简，得352+122=372．
（2）证明：左边=（n2-1）2+（2n）2=（n4-2n2+1）+4n2=n4+2n2+1=（n2+1）2=右边，证毕．
备课资料
参考练习
1．小红要求△ABC的最长边上的高，测得AB=8cm，AC=6cm，BC=10cm．则可知最长边上的高是（ ）
A．48cm B．4．8cm C．0.48cm D．5cm
2．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A．b2=c2-a2 B．a：b：c=3：4：5
C．∠C=∠A-∠B D．∠A：∠B：∠C=12：13：15
3．在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ）
A．5，6，7 B．1，4，9 C．5，12，13 D．5，11，12
4．若一个三角形的三边长的平方 ( http: / / )分别为：32，42，x2，则此三角形是直角三角形的x2的值是（ ）
A．42 B．52 C．7 D．52或7
5．如果△ABC的三边分别为m2-1，2m，m2+1（m>1）那么（ ）
A．△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1
B．△ABC是直角三角形，且斜边长为2m
C．△ABC是直角三角形，但斜边长需由n的大小确定
D．由△ABC不是直角三角形
6．已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c．试判断△ABC的形状．
7．阅读下列解题过程中：已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判定△ABC的形状．
解：∵a ∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2）②
∴c2=a2+b2 ③
∴△ABC是直角三角形．
问：上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号：_______，错误的原因为________；本题正确的结论是________．
答案：1．B 2．D 3．C
4．D 解析：注意有两种 ( http: / / )情况（i）32+42=52， （ii）32+72=42．
5．A
6．解：由已知得（a2-10a+25）+（b2-24b+144）+（c2-26c+169）=0，
（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0，
由于（a-5）2≥0，（b-12）2≥0，（c-13）2≥0．
所以a-5=0，得a=5；
b-12=0，得b=12；
c-13=0，得c=13．
又因为132=52+122．
即a2+b2=c2，
所以△ABC是直角三角形．
7．③ a2-b2可以为零 △ABC为直角三角形或等腰三角形 ( http: / / )
2c2-b2c2=a4-b4 ①18.2 勾股定理的逆定理
从容说课
本节从古埃及人画直角的方法谈起，然后让学生画一些三角形（已知三边，并且两边的平方和等于第三边的平方）．从而发现画出的三角形是直角三角形．猜想如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，即教科书中的命题2，把命题2的条件、结论与上节命题1的条件、结论作比较，引出逆命题的概念．接着探究证明命题2的思路，用三角形全等证明命题2后，顺势引出逆定理的概念．
命题1，命题2属于原命题成立，逆命题也成立的情况．为了防止学生由此误认为原命题成立，逆命题一定成立，教科书特别举例说明有的原命题成立，逆命题不成立．
本节的重点是，如何用三角形三边之间的关系判断一个三角形是否为直角三角形．难点是会应用直角三角形判别方法解决实际问题，教学时要给学生充分交流的时间和空间，在学生学会自主学习．
18．2 勾股定理的逆定理（一） ( http: / / )
教学时间 第5课时
三维目标
一、知识与技能
1．掌握直角三角形的判别条件．
2．熟记一些勾股数．
3．掌握勾股定理的逆定理的探究方法．
二、过程与方法
1．用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想．
2．通过对Rt△判别条件的研究，培养学生大胆猜想，勇于探索的创新精神．
三、情态度与价值观
1．通过介绍有关历史资料，激发学生解决问题的愿望．
2．通过对勾股定理逆定理的探究，培养学生学习数学的兴趣和创新精神．
教学重点
探究勾股定理的逆定理，理解互逆命题，原命题、逆命题的有关概念及关系．
教学难点 归纳、猜想出命题2的结论．
教具准备 多媒体课件．
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
活动1
（1）总结直角三角形有哪些性质．
（2）一个三角形，满足什么条件是直角三角形？
设计意图：
通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直 ( http: / / )角三角形，提高学生发现反思问题的能力．
师生行为：
学生分组讨论，交流总结；教师引导学生回忆．
本活动，教师应重点关注学生：
①能否积极主动地回忆，总结前面学过的旧知识；
②能否“温故知新”．
生：直角三角形有如下性质：
（1）有一个角是直角；（2）两个锐角互余；（3）两直角边的平方和等于斜边的平方；（4）在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半．
师：那么，一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢？
生：有一个内角是90°，那么这个三角形就为直角三角形．
生：如果一个三角形，有两个角的和是90°，那么这个三角形也是直角三角形．
师：前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a，b，斜边c具有一定的数量关系即a2+b2=c2，我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢？我们来看一下古埃及人如何做？
二、讲授新课
活动2
问题：据说古埃及人用下图的方法画直角；把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．
( http: / / )
这个问题意味着，如果围成的三角形的三边分别为3、4、5，有下面的关系“32+42=52”，那么围成的三角形是直角三角形．
画画看，如果三角形的三边分别为2.5cm、6cm、6.5cm，有下面的关系，“2.52+62=6.52，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4cm、7.5cm、8.5cm，再试一试．
设计意图：
由特殊到一般，归纳猜想出“ ( http: / / )如果三角形三边a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就为直角三角形的结论，培养学生动手操作能力和寻求解决数学问题的一般方法．
师生行为：
让学生在小组内共同合作，协手完成此活动．
教师参与此活动，并给学生以提示、启发．在本活动中，教师应重点关注学生：
①能否积极动手参与．
②能否从操作活动中，用数学语言归纳、猜想出结论．
③学生是否有克服困难的勇气．
生：我们不难发现上图中，第（1）个结到第（4）个结是3个单位长度即AC=3；
同理BC=4，AB=5，因为32+42=52．我们围成的三角形是直角三角形．
生：如果三角形的三边分别是2.5cm，6cm，6.5cm，我们用尺规作图的方法作此三角形，经过测量后，发现6.5cm的边所对的角是直角，并且2.52+62=6.52．
再换成三边分别为4cm，7.5cm，8.5cm的三角形，目标可以发现8.5cm的边所对的角是直角，且也有42+7.52=8.52．
是不是三角形的三边只要有两边的平方和等于第三边的平方，就能得到一个直角三角形呢？
活动3
下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c．
5，12，13；7，24，25；8，15，17．
（1）这三组数都满足a2+b2=c2吗？
（2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
设计意图：
本活动通过让学生按已知数据作出三角形，并测量三角形 ( http: / / )三个内角的度数来进一步获得一个三角形是直角三角形的有关边的条件．
师生行为：
学生进一步以小组为单位，按给出的三组数作出三角形，从而更加坚信前面猜想出的结论．
教师对学生归纳出的结论应给予解释，我们将在下一节给出证明．
本活动教师应重点关注学生：
①对猜想出的结论是否还有疑虑．
②能否积极主动的操作，并且很有耐心．
生：（1）这三组数都满足a+b=c．
（2）以每组数为边作出的三角形都是直角三角形．
师：很好，我们进一步通过实际操作，猜想结论．
命题2 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2
那么，这个三角形是直角三角形．
同时，我们也进一步明白了古埃及人那样做的道理．实际上，古代中国人也曾利用相似的方法得到直角．直至科技发达的今天──人类已跨入21世纪，建筑工地上的工人师傅们仍然离不开“三四五放线法”．
“三四五放线法”是一种古老的归方操作．所谓“归方”就是“做成直角”譬如建造房屋，房角一般总是成90°，怎样确定房角的纵横两线呢？
如右图，欲过基线MN上的一点C作它的垂线，可由三名工人操作：一人手拿布尺或测绳的0和12尺处，固定在C点；另一人拿4尺处，把尺拉直，在MN上定出A点，再由一人拿9尺处，把尺拉直，定出B点，于是连结BC，就是MN的垂线．
( http: / / )
建筑工人用了3，4，5作出了一个直角，能不能用其他的整数组作出直角呢？
生：可以，例如7，24，25；8，15，17等．
据说，我国古代大禹治水测量工程时，也用类似的方法确定直角．
活动4
问题：命题1 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
命题2 如果三角形的三边长分别为a，b，c，满足
a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形．
它们的题设和结论各有何关系？
设计意图：
认识什么样的两个命题是互逆命题，明白什么是原命题，什么是逆命题？你前面遇到过有互逆命题吗？
师生行为：
学生阅读课本，并回忆前面学过的一些命题．
教师认真倾听学生的分析．
教师在本活动中应重点关注学生：
①能否发现互逆命题的题设和结论之间的关系．
②能否积极主动地回忆我们前面学过的互逆命题．
生：我们可以看到命题2与命题1的题设．结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．例如把命题1当成原命题，那么命题2是命题1的逆命题．
生：我们前面学过平行线的性质和判定．其中“两直线平行，同位角相等”和“同位角相等，两直线平行”是互逆命题，“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆命题．
生：“两直线平行，同旁内角互补”和“同旁内角互补，两直线平行”也是互逆命题．
……
三、课时小结
活动5
问题：你对本节内容有哪些认识？
设计意图：
这种形式的小结，激发了学生的主动参与 ( http: / / )意识，调动了学生的学习兴趣，为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功体验的机会，并为程度不同的学生提供了充分展示自己的机会，尊重学生的个体差异，满足学生多样化学习的需要．
师生行为：
教师课前准备卡片，卡片上写出三个数，让学生随意抽出，判断以这三个数为边的三角形能否构成直角三角形．
在活动5中，教师应重点关注学生：
（1）不同层次的学生对本节的认知程度．
（2）学生再谈收获是对不同方面的感受．
（3）学生独立面对困难和克服困难的能力．
板书设计
( http: / / )
活动与探究
Tom和Jerry去野外宿营，在某地要确定两条互相垂直的线，而身边又未带直角尺，可利用的只有背包带，你能帮他们想一个简单可行的办法吗？
过程：确定垂线，即为确定一个直角，进而想到构造直角三角形．
结果：可在背包带上打结，在背包带上打13个等距离的结，把第5个结固定在地上，Tom拿住第1个和第13个结，而Jerry拿住第8个结，拉直背包带，第5个结处即为直角．（图略）
备课资料 费尔马
费尔马出身于法国的一个皮革商人家庭．由于家境富裕，父亲特意给他请了两个家庭教师，不入校门在家里接受系统教育，小时候的费尔马虽称不上是神童，可也算聪明．费尔马父亲比较开通，不宠爱孩子，因此，费尔马学习十分努力，文科理科都不差，不过他最喜欢的功课还是数学．
费尔马是一个不追名逐利的人，因此平时比较清闲，空余时间他常看些古书，尤其爱看古希腊的数学名著．他不时做些题目，还作些数学研究，与当时的数学名家，如帕斯卡、笛卡儿、华利斯等人通信，交流心得体会，由于他刻苦 ( http: / / )钻研，又敢于进行创造性的思考，所以取得的成果很多．他与笛卡儿并列为解析几何的发明者，又与帕斯卡一起分享开创概率论的荣誉．微积分虽说是由牛顿和莱布尼兹最后完成的，但大家公认费尔马为他们作了奠基工作．不过，费尔马最显赫的业绩是近代数论，也是近代数论的开创者．
说起数论，费尔马还是由于读了丢番图的《算术》一书，才开始产生兴趣．在这本书中．丢番图叙述了他是“怎样将一个平方数（z2），拆成两个平方数（x2与y2）之和”的，也即叙述了他对方程x2+y2=z2的求解过程．费尔马非常善于联想，他读了丢番图的这段文章后，由此及彼地提出了一连串的同类问题：“能否将一个立方数（z3）表示为两个立方数（x3与y3）之和；将一个四次方数（z4）表示为两个四次方数（x4与y4）之和；……这一连串问题归结起来就是：方程xn+yn=zn是否存在正整数解，其中n是大于或等于2的正整数．当n=2时，方程z2=x2+y2，这是被丢番图和刘徽解决了的勾股方程．十世纪时，阿尔柯坦第曾对n=3的情况，即对方程z3=x3+y3提出过不存在正整数解的结论．显然这都是特殊情况．一旦费尔马所提出的问题得到解决，那么这些特殊情况也就随之解决．
费尔马在丢番图著作的空白处写道：”我已经发现了这个结论的一个奇妙的证明，由于这里篇幅太小，写不下”．
费尔马果真证明了他自己提出的结论吗？在费尔马死后人们提出了疑问，这个定理公布以后，引起了各国数学家的关注．他们围绕着这个 ( http: / / )定理顽强地探索着，试图证明它．1995年，数学家怀尔斯终于证明了费尔马大定理，解开了这个困惑世间无数智者300多年的谜．
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