2023-2024学年河北省保定师范附属学校九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年河北省保定师范附属学校九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共20小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2. 一元二次方程的解是( )
A. B.
C. ， D. ，
3. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角互补
4. 课堂上老师在黑板上布置了如框所示的题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？( )
用平方差公式分解下列各式：
A. 第道题 B. 第道题 C. 第道题 D. 第道题
5. 如图，已知菱形的周长为，，则对角线的长是( )
A.
B.
C.
D.
6. 如图所表示的是下面那一个不等式组的解集( )
A. B. C. D.
7. 如图所示，中，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
8. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了个人，列出的方程是( )
A. B. C. D.
9. 如图，任意四边形各边中点分别是、、、若对角线、的长分别是、，则四边形的周长是( )
A.
B.
C.
D.
10. 用求根公式解一元二次方程时，，的值是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
11. 下列命题中，假命题是( )
A. 平行四边形的对角线互相垂直平分 B. 矩形的对角线相等
C. 菱形的面积等于两条对角线乘积的一半 D. 对角线相等的菱形是正方形
12. 小明解方程的过程如下：
解：去分母，得，
去括号，得，
合并同类项，得，
移项，得，
系数化为，得
他的解答过程中开始出现错误的是步骤( )
A. B. C. D.
13. 如图，在正方形外侧，作等边三角形，、相交于点，则为( )
A. B. C. D.
14. 九章算术中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，能够刚好在规定时间送到，如果用快马送，所需的时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求两匹马的速度设慢马的速度为里天，则可列方程为( )
A. B. C. D.
15. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
16. 如图在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是( )
A. B. C. D.
17. 若不等式组无解，则的值可能( )
A. B. C. D.
18. 如图，将一个边长为和的长方形纸片折叠，使点与点重合，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
19. 如图，直线交轴于点，直线交轴于点，这两条直线相交于点，则不等式组的解集为( )
A.
B.
C.
D.
20. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为的正六边形绕点顺时针旋转个，得到正六边形，当时，正六边形的顶点的坐标是( )
A. B. C. D.
二、解答题（本大题共3小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. 本小题分
计算：
因式分解：；
解一元二次方程：；
解一元二次方程：；
解分式方程：．
22. 本小题分
台风“杜苏芮”牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款元，第三天收到捐款元．
如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
按照中收到的捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？
23. 本小题分
【问题情境】如图，在矩形中，，，点为边上一动点，连接，将沿翻折，得到，点的对应点为点，射线交边于点．
【实践探究】：
如图，若点与点重合，则 ______ ；
当平分时，则的面积 ______ ；
【拓展提升】：
若点从图中的位置开始向右运动直至点停止；
在运动过程中，点的对应点到边的最小值 ______ ；
整个运动过程中，点运动的路径长 ______ ．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：选项A、、均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
本题考查了中心对称图形的概念，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
2.【答案】
【解析】解：，
可得或，
解得：，．
故选：．
方程利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解．
本题考查因式分解解一元二次方程，掌握因式分解是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：、菱形对角线互相垂直，而矩形的对角线则不一定垂直只有作为特殊矩形的正方形对角线才垂直；故本选项符合要求；
B、矩形的对角线相等，而菱形不一定具备这一性质只有作为特殊菱形的正方形对角线才相等；故本选项不符合要求；
C、菱形和矩形的对角线都互相平分；故本选项不符合要求；
D、矩形对角互补，但菱形不一定具备对角互补这一性质只有作为特殊菱形的正方形对角才互补；故本选项不符合要求；
故选：．
根据菱形对角线垂直平分的性质及矩形对角线相等平分的性质对各个选项进行分析，从而得到最后的答案．
此题主要考查了学生对菱形及矩形的性质的理解及运用．菱形和矩形都具有平行四边形的性质，但是菱形的特性是：对角线互相垂直、平分，四条边都相等．
4.【答案】
【解析】解：，它是利用平方差公式因式分解的；
，它是利用平方差公式因式分解的；
，它不是利用平方差公式因式分解的；
，它是利用平方差公式因式分解的；
综上，第道题错误，
故选：．
将各式因式分解后进行判断即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，特别注意因式分解必须彻底．
5.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，
又，
是等边三角形，
，
故选：．
由菱形的性质可证是等边三角形，即可求解．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：由图示可看出，从出发向右画出的线且处是空心圆，表示；
从出发向左画出的线且处是实心圆，表示，所以这个不等式组为．
故选：．
写出图中表示的两个不等式的解集，这两个式子就是不等式．这两个式子组成的不等式组就满足条件．
不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
7.【答案】
【解析】解：将绕点按顺时针方向旋转，
，
，
故选：．
由旋转的性质可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：
整理得，．
故选：．
平均一人传染了人，根据有一人患了流感，第一轮有人患流感，第二轮共有人，即人患了流感，由此列方程求解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．
9.【答案】
【解析】解：，，，，是四边形各边中点，
，，．
又，，
四边形的周长是．
故选：．
利用三角形中位线定理易得所求四边形的各边长都等于，或的一半，进而求四边形周长即可．
本题考查了中点四边形，三角形的中位线定理，解决本题的关键是找到四边形的四条边与已知的两条对角线的关系．三角形中位线的性质为我们证明两直线平行，两条线段之间的数量关系又提供了一个重要的依据．
10.【答案】
【解析】解：，
，
，，，
故选：．
先将方程化为一般形式，然后即可写出、、，本题得以解决．
本题考查解一元二次方程的一般形式、解一元二次方程公式法，解答本题的关键是明确一元二次方程的一般形式．
11.【答案】
【解析】解：、平行四边形的对角线互相平分但不一定垂直，故错误，是假命题；
B、矩形的对角线相等，正确，是真命题；
C、菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，正确，是真命题；
D、对角线相等的菱形是正方形，正确，是真命题，
故选：．
利用平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的面积计算方法及正方形的判定等知识分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的面积计算方法及正方形的判定等知识，难度不大．
12.【答案】
【解析】解：去分母，得，
去括号，得，
合并同类项，得，
移项，得，
系数化为，得
则他的解答过程中开始出现错误的是步骤．
故选：．
观察解方程的过程，找出出现错误的步骤即可．
此题考查了解分式方程，以及解一元一次方程，解分式方程利用了转化的思想，注意要检验．
13.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
，，
，，
．
故选：．
根据等边三角形和正方形的性质可知，，再利用三角形的内角和定理可得答案．
本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握正方形和等边三角形的性质是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：设慢马的速度为里天，则快马的速度为里天，
根据题意，得，
故选：．
设慢马的速度为里天，则快马的速度为里天，由题意得等量关系：慢马所需的天数快马所需的天数，根据等量关系，可得方程．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
15.【答案】
【解析】解：一元二次方程有实数根，
，且，
解得且，
故选：．
根据一元二次方程的定义及根的判别式即可判断．
此题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的定义及根的判别式是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：作于．
由作图可知：平分，
，，
，
，
故选：．
作于利用角平分线的性质定理证明即可解决问题．
本题考查作图基本作图，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
17.【答案】
【解析】解：，
由得，
由得，
不等式组无解，
，
，
故选：．
解不等式组可得，，由不等式组无解可得，求出的范围即可求解．
本题考查一元一次不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：根据翻折可知：，
四边形是矩形，
，，，
，
在中，根据勾股定理得：
，
，
．
故选：．
利用翻折变换的知识，可得到，根据勾股定理可求出．
本题考查了折叠的知识，矩形的性质，勾股定理等知识点的理解和运用，关键是掌握翻折的性质．
19.【答案】
【解析】解：，则，
，则，
不等式组的解集即为：，
故选：．
，则，，则，即可求解．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确的确定出的值，是解答本题的关键．
20.【答案】
【解析】解：将边长为的正六边形绕点顺时针旋转个，
，
当时，，
则的坐标与的坐标相同，
，
则，
如图，过点作于，过点轴于点，
，，
≌，
，，
正六边形的一个外角，
，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
由于正六边形每次转，根据，则的坐标与的坐标相同，求得的坐标即可求解．
本题考查了旋转的性质，解直角三角形，正六边形的性质，正多边形的外角和，内角和，求得的位置是解题的关键．
21.【答案】解：原式；
，
，
或，
解得，；
，
，
，
，
解得，；
方程两边同时乘以得，
，
，
，
解得，
经检验是原分式方程的解．
【解析】利用平方差公式进行因式分解即可；
利用因式分解法求出的值即可；
利用因式分解法求出的值即可；
先把分式方程化为整式方程，求出的值，再进行检验即可．
本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程及解分式方程，熟知解分式方程要验根是解题的关键．
22.【答案】解：设捐款增长率为，根据题意列方程得，
，
解得，不合题意，舍去，
答：捐款增长率为．
元．
答：第四天该单位能收到元捐款．
【解析】解答此题利用的数量关系是：第一天收到捐款钱数每次增长的百分率第三天收到捐款钱数，设出未知数，列方程解答即可；
第三天收到捐款钱数每次增长的百分率第四天收到捐款钱数，依此列式子解答即可．
本题考查了一元二次方程的应用，列方程的依据是：第一天收到捐款钱数每次降价的百分率第三天收到捐款钱数．
23.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，，
由翻折的性质得：，，，
，
，
设，
则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
故答案为：；
四边形是矩形，
，
如图，设交于点，
当平分时，，
由翻折的性质得：，，，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
故答案为：；
由翻折的性质得：，
点在以为圆心为半径的圆上，
在边上时，点到边的距离最小，
此时，点到边的最小值为，
故答案为：；
如图，当时，点于点重合，
此时，四边形为正方形，
，
，
点从图中的位置开始向右运动到时，点移动的距离为；
如图，当时，
由翻折的性质得：，，，
四边形为矩形，
，，
，
，
．
则和中，
，
≌，
，
设，则，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
点从到运动到点时，点移动的距离为，
点运动的路径长为，
故答案为：．
由矩形的性质得，，，由翻折的性质得，，，再由勾股定理求出，设，则，，然后由勾股定理得，列出方程，解方程即可；
先证为等边三角形，再由三角形面积公式即可得出答案；
由翻折的性质得，则点在以为圆心为半径的圆上，推出在边上时，点到边的距离最小，即可得出答案；
当时，点于点重合，，即点从图中的位置开始向右运动到时，点移动的距离为；当时，先证≌，得出，再设，则，由勾股定理得，求出，点从到运动到点时，点移动的距离为，即可得出结果．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、翻折的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义、三角形面积计算等知识，熟练掌握正方形的性质和翻折的性质是解题的关键．
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