19.2.3 正方形（2） ( http: / / )
(第2课时)
三维目标
一、知识与技能
1．知道正方形的判定方法．
2．会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的论证和计算．
二、过程与方法
1．经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的习惯，逐步掌握说理的基本方法．
2．利用判定条件解决实际问题．
三、情感态度与价值观
1．进一步加深对“特殊与一般”的认识．
2．通过正方形有关知识的学习，感受正方形的完美特征；
3．理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点．
教学重点 掌握正方形的判定条件．
教学难点 合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算．
教具准备 多媒体课件．
教学过程
一、创设问题情境，引入新课 ( http: / / )
师：同学们，我们学行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？请填入下图中．
通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，还是特殊的平行四边形；而正方形、矩形、菱形都是平行四边形；矩形、菱形是特殊的平行四边形．
师：播放课件并提出问题：
1．怎样判定一个四边形是矩形？
2．怎样判定一个四边形是菱形？
3．怎样判定一个四边形是平行四边形？
4．怎样判定一个平行四边形是矩形、菱形？
（目的在于系统复习平行四边形、矩形、菱形的判定方法，让学生通过框架图理清思考方法，为正方形的判定做准备）
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议一议：
你有什么办法判定一个四边形是正方形？
二、讲授新课
1．探索正方形的判定条件
学生活动：
四人一组进行讨论研究，老师巡回其间，进行引导、质疑、解惑，通过分析与讨论，师生共同总结出判定一个四边形是正方形的基本方法．
（1）直接用正方形的定义判定，即先判定一个四边形是平行四边形，若这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么就可以判定这个平行四边形是正方形；（2）先判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形，那么这个四边形是正方形；（3）先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形，那么这个四边形是正方形．后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理．矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础．这三个方法还可写成：有一个角是直角，且有一组邻边相等的四边形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形．上述三种判定条件是判定四边形是正方形的一般方法，可当作判定定理用，但由于判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件各不相同，所以判定一个四边形是不是正方形的具体条件也相应可作变化，在应用时要仔细辨别后才可以作出判断．
2．正方形判定条件的应用
【例1】判断下列命题是真命题还是假命题？并说明理由．
（1）四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；
（2）四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；
（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
（4）对角线互相垂直平分的四边形是正方形；
（5）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形．
师生共析： ( http: / / )
（1）真命题．因为四条边相等的四边形是菱形，又四个角相等，根据四边形的内角和定理知每个角为90°，所以由有一个角是直角的菱形是正方形可判定此命题为真命题．
（2）真命题．四个角相等可知每个角都是直角，是矩形，由对角线互相垂直可判定这个矩形是菱形，所以根据是矩形又是菱形的四边形是正方形，可判定其为真．
（3）真命题．方法一对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线垂直的平行四边形是菱形，所以是矩形又是菱形的四边形是正方形．可判定其为真．
方法二：
→正方形
方法三：
→正方形
（4）假命题．对角线平分的四边形是平行四边形，对角线垂直的平行四边形是菱形，所以它不一定是正方形．如左下图满足AO=CO，BO=DO且AC⊥BD但四边形ABCD不是正方形．
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（5）假命题．它可能是任意四边形．如右上图AC⊥BD且AC=BD，但四边形ABCD不是正方形．
总结：通过辨析，掌握判定正方形的各种方法和思路，从题中所给各种不同条件出发寻找命题成立的判定依据，以便灵活应用．
【例2】如下图E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF=45°，试说明EF=BE+DF．
师生共析：
要证EF=BE+DF，如果能将DF移到EB延长线或将BE移到FD延长线上，然后证明两线段长度相等，此时可依靠全等三角形来解决．
像这种在EB上补上DF或在FD上补上BE的方法叫做补短法．
解：将△ADF旋转到△ABG，
则△ADF≌△ABG，
∴AF=AG，∠DAF=∠BAG，DF=BG．
∵∠EAF=45°且四边形ABCD是正方形，
∴∠DAF+∠BAE=45°，
∴∠GAB+∠BAE=45°．
即∠GAE=45°，
∴△AEF≌△AEG（SAS）．
∴EF=EG=EB+BG=EB+DF．
【例3】画一个正方形，使它的对角线长等于30cm，并说明画法的依据．
画法：1．画线段AC=30cm，取AC的中点O．
2．过点O画AC的垂线，并分别在AC的两侧取OB=OD=15cm．
3．连结AB、BC、CD、DA．
则四边形ABCD就是所要画的正方形．
证明：∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AC=BD，∴ABCD是矩形．
∵AC⊥BD，
∴ABCD是菱形．
∴四边形ABCD是正方形（四边形既是矩形又是菱形，则四边形是正方形）．
说明：由学生分析画法，教师做课件演示，在证明过程中让学生逐一说出判定理由，以加深对正方形的判定方法的认识．
三、随堂练习
课本P112练习3．
解：（1）、（2）、（3）、（4）都是正方形．
通过练习进一步巩固正方形的判定方法的应用．
四、课时小结
师生共同总结，归纳得出正方形的判定方法，同时播放课件，通过直观感受进一步加深理解正方形判定方法的应用．
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五、课后作业
习题19．2 14、15、16、17．
板书设计
19．2．3 正方形（二）
1．正方形的判定方法
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2．应用举例
例1 例2 例3
3．随堂练习
4．小结
5．作业 习题19．2 14、15、16、17 ( http: / / )
活动与探究
如何设计花坛？
在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路花将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）
（图形如P115的图）
解：过正方形两条对角线的交点任意作两条互相垂直的直线，即可将正方形分成大小、形状完全相同的四部分．下面是其中的三种分法．
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习题详解
习题19．2
1．是一个矩形．
因为∠1=∠2，所以OB=OC．
又四边形ABCD是平行四边形．
∴OB=OD，OC=OA．
∴AC=BD
由对角线相等的平行四边形是矩形知，四边形ABCD是矩形．
四个角都是直角四边形是矩形．
3．能得到矩形踏板．
分别与长边垂直方向锯两次，说明对边平行且有两个直角．
矩形
4．∠A=60° ∠B=30°
5．（1）∠BAD=60° ∠ABC=120°
（2）AB=6cm AC=6cm
6．
四边形ABCD是菱形．
7．剪口与折痕成45°的角．
8．矩形．因为四个角都是直角的四边形是矩形．
9．
∠BCD=22.5°
∠DCA=∠B=90°-∠BCD=67.5°
EC=EA=EB
∠B=∠ECB=67.5，
∴∠ECD=∠ECB-∠DCB=45°．
四边形AMEN是菱形．
同理可证四边形EFCG也是菱形．
11．AD==5（cm），
S菱形ABCD=AB·DH=AC·BD，
∴DH==4.8（cm）．
12．B（-2，0），C（0，-2），D（2，0）．
13．四边形EFMN是正方形，
∵AE=BF=CM=DN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，
∴AN=DM=CF=BE．
又∠EAN=∠MDN=∠FCM=∠EBF=90°．
∴△ANE≌△DMN≌△CFM≌△BEF．
∴EF=FM=MN=NE．
∴四边形EFMN是菱形．
又由四个直角三角形全等还可得
∠NEA+∠FEB=90°，
∴∠FEN=90°，
∴四边形EFMN是正方形．
14．能拼成下列四种四边形．
图（1）中AB=m DD′=．
图（2）中AB=m DD′=m．
图（3）中AD=h BC′=2．
图（4）中BD=n AA′=2．
15．∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD．
∵DE⊥AG，
∴∠ADE+∠EAD=90°．
又∵BAE+∠EAD=90°，
∴∠BAE=∠EDA．
又BF∥DE，∴BF⊥AG．
∴△ABF≌△DAE．
∴AE=BF．
∴AF-BF=AF-AE=EF．
16．作BO的中点M，CO的中点N，连接MN、EM、DN、DE，因为D、E分别是AB、AC的中点，所以EDBC，MNBC
所以EDMN．
于是得四边形EDNM是平行四边形． ( http: / / )
所以OM=OD，
而OM=BO，
所以BO=2OD．
BC边上的中线是过定点O，这是因为取BC的中点H，连OH，NH，DN则DN∥OA．
NHOB，又OB=2OD，
∴NHOD．
∴四边形OHND是平行四边形．
∴DN∥OH．
∴点A、O、H三点共线，所以说BC边上的中线过O点．
17．过正方形的中心做两条互相垂直的直线这样即可将正方形分成面积相等的四部分，所以满足要求的方法可以有无数多种．
备课资料
参考例题
【例1】如下图，E为正方形ABCD的BC边上的一点，CG平分∠DCF，连结AE，并在CG上取一点G，使EG=AE．
求证：AE⊥EG．
分析：由于CG是角平分线，CA是∠BCD的平分线，于是我们可以判定∠ACG=90°，因而只要证明∠AEG=∠ACG即可，从图中可以看出，只要证明∠1=∠G就可以得到所求证的结论．
证明：连结AC，并延长AC到M，使CM=CG，连结EM．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC平分∠BCD．
∴∠ECM=135°．
又∵CG平分∠DCF，
∴∠GCF=45°，
∴∠ECG=135°．
∴∠ECG=∠ECM．
而EC=EC，CG=CM．
∴△ECM≌△ECG．
∴∠M=∠G，EM=EG．
而EA=EG，∴EA=EM．
∴∠1=∠M．
∴∠1=∠G而∠2=∠3．
∴∠AEG=∠ACG．
又∵∠ACD=45°，∠DCG=45°，
∴∠ACG=90°．
∴∠AEG=90°．
即AE⊥EC．
【例2】已知如下图，正方形ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延长线上一点，CE=CF．
（1）求证：△BEC≌△DFC；
（2）若∠BEC=60°，求∠EFD的度数．
分析：要证△BEC≌△DFC，则需找全等的条件，由正方形的性质可得出．
要求∠EFD的度数，可由三角形中角的关系求得．
证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC
∠BCD=90°=∠DCF．
在Rt△BCE和Rt△DCF中，BC=DC，CE=CF．
∴Rt△BCE≌Rt△DCF．
（2）∵CE=CF，∴∠CEF=∠CFE．
∴∠CFE=（180°-90°）=45°．
∵Rt△BCE≌Rt△DCF， ( http: / / )
∴∠CFD=∠BEC=60°．
∴∠EFD=∠DFC-∠EFC=15°．
- 1 -19.2.3 正方形（1） ( http: / / )
(第1课时)
三维目标
一、知识与技能
1．能说出正方形的定义和性质．
2．会运用正方形的概念和性质进行有关的论证和计算．
二、过程与方法
1．经历探究正方形性质的过程，进一步发展学生的合情论证能力．
2．通过由一般到特殊的研究方法，分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质之间的区别与联系．
3．探索并掌握正方形的性质．
三、情感态度与价值观 ( http: / / )
1．在探究正方形性质的过程中，发现正方形的结构美和应用美，激发学生学习数学的热情．
2．进一步加深对“特殊与一般”的认识．
教学重点 正方形的定义与性质．
教学难点 选择适当的方法解决有关正方形的问题．
教具准备 多媒体课件．
教学过程
一、创设问题情境，搭建探究平台
师：在小学学过的平行四边形、矩形、菱形、正方形这些特殊的四边形中，我们已学行四边形、矩形、菱形的定义、性质和判定，而正方形还没有研究过，根据小学学过的正方形的知识，同学们能说出它的哪些性质？
生：正方形四条边相等；
正方形四个角是直角；
正方形的面积等于边长的平方；
正方形是轴对称图形，也是中心对称图形．
师：大家说得不错，生活中有很多地方用到正方形，我们感到正方形很熟悉，但与已学过的平行四边形、矩形、菱形比较，对正方形还没有深入地研究，同学们不想知道它其中的奥秘吗？
生：想．
师：好．我们现在就来研究正方形具有哪些特性． ( http: / / )
二、讲授新课
师：演示课件，展现把一个平行四边形的一个角变成直角，再移动一条短边，截成一组邻边相等，此时平行四边形变成一个正方形的变化的全过程；同时再展现先移动一条短边，截成一组邻边相等的平行四边形，而把一个角变成直角，此时平行四边形变成正方形的过程．
请同学们给正方形下一个定义．
生：一组邻边相等的矩形叫做正方形；
一个角为直角的菱形叫做正方形．
一组邻边相等且一个角为直角的平行四边形叫正方形．
师：大家说得都不错．正方形是特殊的矩形，即邻边相等的矩形，也就是特殊的菱形，即有一个角是直角的菱形；而矩形、菱形又是特殊的正方形，所以正方形也是特殊的平行四边形．即一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形．
做一做：
把一个长方形纸片如图那样折一下，即可折出一个正方形纸片．请你说明其中的道理．
学生活动：
通过折叠裁剪，得出正方形，并观察其图形特征，明白制作原理：邻边相等的矩形是正方形．
师：类比平行四边形、矩形、菱形的性质我们来研究正方形的性质，可以从正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形入手，分别从边、角、对角线三个方面进行归纳总结．
学生活动：（讨论后发现）
边：正方形四条边都相等；对边平行；
角：正方形四个角都是直角；
对角线：正方形两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角．
由此发现正方形的性质概括了平行四边形、矩形、菱形关于边、角、对角线的全部性质．在利用这些性质解决问题时，要根据需要选用相应的结论，做到“对症下药”．
应用举例： ( http: / / )
【例4】求证正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
师生共析：
因为是正方形，所以两条对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角，平分可以产生线段等量关系和角的等量关系，垂直可以产生直角，于是可以得到四个全等的等腰直角三角形．
已知：如图（2）四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相互交于点O．
求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，AC⊥BD，
∴AO=BO=CO=DO．
∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，
并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO．
拓展讨论：
1．图中有多少个等腰直角三角形．
2．正方形ABCD有多少条对称轴？请分别写出这些对称轴．
解析：图中共有八个等腰直角三角形，它们分别是△ABO，△BCO，△CDO，△DAO；△ABD，△BCD，△ABC，△ADC．且△ABO≌△BCO≌△COD≌△DAO，△ABD≌△BCD≌△ABC≌△ADC．
连结正方形对边中点的连线是对称轴，这样的对称轴有两条；两条对角线也分别是正方形的对称轴，所以正方形共有4条对称轴．这进一步体现了它既具有矩形的性质，同时也具有菱形的性质．
补充题：已知如图，△ABC中∠ACB=90°，CD是角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是E、F．
求证：DECF是正方形．
证明：
四边形DECF是正方形
三、随堂练习
课本P112练习2．（学生板演）
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴△EBC是直角三角形，
∴BC==20（m）．
∴S正方形ABCD=BC2=800（m2），
对角线长AC=BD==40（m）．
四、课时小结
（老师播放课件，打出下列空表，请同学们填写）
平行四边形 矩形 菱形 正方形
对边平行且相等 ∨ ∨ ∨ ∨
四条边都相等 ∨ ∨
对角相等 ∨ ∨ ∨ ∨
四个角都是直角 ∨ ∨
对角线互相平分 ∨ ∨ ∨ ∨
对角线互相垂直 ∨ ∨
对角线相等 ∨ ∨
每条对角线平分一组对角 ∨ ∨
（通过画“∨”，使学生理解正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，又具有自身的特殊性质，所以矩形、菱形都是特殊的平行四边形，正方形不仅是特殊的平四边形，而且也是特殊的矩形，特殊的菱形）
五、课后作业
习题19．2 7、8、13．
板书设计
19．2．3 正方形（一）
1．正方形定义
( http: / / )
正方形是特殊的平行四边形，特殊的矩形，特殊的菱形．
2．正方形的性质
边：四条边都相等．
角：四个角都是直角．
对角线：相等、互相垂直平分、每条对角线平分一组对角．
3．应用举例
例4 补充题
4．课本P112练习2（学生板演）
5．小结
6．作业 习题19．2 7、8、13
活动与探究
如下图，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成四个矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE的面积的2倍，试确定∠HAF的大小并证明你的结论．
( http: / / )
过程：让学生探讨、归纳，使其懂得：对于正方形问题，常将某个三角形绕正方形的顶点旋转90°，将分散的条件集中，使问题朝着有利问题解决的方向转化．
因为与正方形有关的角有45°，90°，所以本题可猜想∠HAF=45°，要证这一结论，可将△ADH旋转到△ABM的位置，使∠HAM=90°，若证∠HAF=∠FAM，则结论成立．
结果：证明：连接FH，延长CB到M，使BM=DH，连接AM．
则△ADH≌△ABM，∴AM=AH，
设AG=a，BG=b，AE=x，ED=y，
则
由①得：a-x=y-b．
两边平方，得：
a2-2ax+x2=y2-2by+b2
把②代入，得：
a2-2ax+x2=y2-4ax+b2
则（a+x）2=b2+y2
a+x==FH，
∴FM=FH．
又∵AF=AF，∴△MAF≌△HAF．
∴∠HAF=∠MAF．
又∵∠HAF+∠MAF=∠HAF+∠BAF+∠DAH=90°，
∴∠HAF=45°．
备课资料
1．依次连接任意四边形的各边中点，你会得到什么样的图形．
2．依次连接特殊四边形的四边中点，你会得到什么样的图形．
( http: / / )
依次连接四边形四边中点所得的四边形的形状是由原四边形两条对角线的位置关系和数量关系决定的．
原四边形对角线关系 不相等不垂直 相等 垂直 相等且垂直
所得新四边形形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形
3．依次连接矩形四边中点可以得到一个__________；依次连接一个四边形四边的中点，如果得到的是一个菱形，那么这个四边形一定是________．
4．若依次连接一个四边形四边的中点可以得到一个矩形，那么原四边形只需要满足 ( http: / / )___________．
5．若依次连接一个四边形四边的中点可以得到一个正方形，那么原四边形只需要满足条件__________．
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