2023-2024学年人教版数学九年级上册《第二十二章 二次函数》自主检测试卷（含解析）

初三数学《二次函数》自主检测试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列函数中，y是x的二次函数的是（　　）
A．y＝（x﹣1）2﹣x2；B．y＝﹣x（x+2）；C．y＝；D．x＝y2
2．一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A．B．C．D．
3．若抛物线y＝﹣2（x+m﹣1）2﹣3m+6的顶点在第二象限，则m的取值范围是（　　）
A．m＞1 B．m＜2 C．1＜m＜2 D．﹣2＜m＜﹣1
4．二次函数y＝（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（　　）
A．（3，﹣1） B．（﹣3，1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，1）
5．把抛物线y＝2（x﹣1）2+3先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式是（　　）
A．y＝2（x+2）2+4；B．y＝2（x﹣4）2+4；C．y＝2（x+2）2+2；D．y＝2（x﹣4）2+2
6．已知二次函数y＝﹣x2+2x﹣3，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（　　）
A．有最大值﹣3，最小值﹣11 B．有最大值﹣6，最小值﹣11
C．有最大值﹣2，最小值﹣11 D．有最大值﹣2，最小值﹣3
7．抛物线y＝x（x+k）﹣k+1（k是常数）与x轴的交点情况是（　　）
A．没有交点；B．有唯一的交点；C．有两个不同的交点；D．以上结果都有可能
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 3 …
y＝ax2+bx+c … n 3 m 3 …
且当x＝时，与其对应的函数值y＜0．则（　　）
A．m＜n B．m＝n C．m＞n D．无法判断
9．已知点A（﹣2，y1），B（1，y2）均在抛物线y＝ax2+2ax+2a+1上，且满足y1＞y2，当﹣2≤x≤1时，y的最小值为﹣4，则a的值为（　　）
A．﹣4 B． C．﹣2 D．﹣1
10．已知点A（m，y1）、B（m+3，y2）、C（x0，y0）在二次函数y＝ax2+6ax+c（a≠0）的图象上，且C为抛物线的顶点．若y0≤y1＜y2，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣4.5 B．m＞﹣3 C．m＜﹣4.5 D．m＜﹣3
二．填空题（共8小题）
11．二次函数y＝2x2﹣4x的顶点坐标为 　 　．
12．对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有公共点，则b的取值范围是 　 　．
13．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点是（3，0），则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根是 　 　．
第13题第16题
14．将二次函数y＝x2+4x﹣1化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为y＝　 　．
15．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B两点，则点B的坐标为　 　．
16．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，﹣3），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是　 　．
17．抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2+m，m），B（2﹣m，m），C（0，﹣3）三点，且当4≤x＜5时，对应的函数值y恰好有3个整数值，则a的取值范围是 　 　．
18．如图，已知抛物线y＝﹣过原点和点A，点B为抛物线的顶点，连结OB，点P是线段OA上的一个动点，过点P作PC⊥OB于点C．
（1）将△POC绕着点P按顺时针方向旋转90°得到△PO′C′，当点C′落在抛物线上时，点P的坐标为 　 　；
（2）当PB⊥OA时，将线段PC绕平面某点Q旋转180°得到线段EF，若点E、F都落在抛物线上，则点Q的坐标为 　 　．
三．解答题（共10小题）
19．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、C（0，﹣3）两点．
（1）求抛物线解析式和顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，请直接写出y的取值范围．
20．如图所示，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（5，0）．
（1）求抛物线的解析式并写出顶点M的坐标；
（2）若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积．
21．如图，若抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y＝x﹣3经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点M，连接PC．
①线段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；
②在点P运动的过程中，是否存在点M，恰好使△PCM是以PM为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
22．某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本价为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应：销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售量利润为y元．
（1）每天的销售量为　 　瓶，每瓶洗手液的利润是　 　元；（用含x的代数式表示）
（2）若这款洗手液的日销售利润y达到300元，则销售单价应上涨多少元？
（3）当销售单价上涨多少元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利润为多少元？
23．已知二次函数y＝ax2+（1﹣a）x+．
（1）若二次函数图象的对称轴为直线x＝1，求a的值；
（2）当x≥2时，y随x的增大而减小，求a的取值范围；
（3）已知A（﹣1，0），B（2，0），若二次函数的图象与线段AB只有一个交点，求a的取值范围．
24．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣4x+2m+1与x轴交于A、B两点．
（1）求m的取值范围；
（2）若A、B两点横坐标分别为x1，x2，且x1﹣x2＝2，求m的值．
25．已知抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的对称轴为直线x＝1．
（1）求a的值；
（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．比较y1与y2的大小，并说明理由；
（3）设直线y＝m（m＞0）与抛物线y＝ax2﹣2x+1交于点A、B，与抛物线y＝3（x﹣1）2交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比．
26．已知：如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过原点O（0，0）和点A（3，3），P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为B（m，0），并与直线OA交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值；
（3）过点A作AD⊥x轴于点D，在抛物线上是否存在点P，使得以P、A、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
27．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为M（2，﹣），抛物线与x轴的一个交点为A（4，0），点B（2，2）与点C关于y轴对称．
（1）判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；
（2）顺次连接AB，BC，CO，判断四边形ABCO的形状并证明；
（3）设点P是抛物线上的动点，连接PA、PC、AC，△PAC的面积S随点P的运动而变化，请探究S的大小变化并填写表格①～④处的内容；当S的值为②时，求点P的横坐标的值．
直线AC的函数表达式 S取的一个特殊值 满足条件的P点的个数 S的可能取值范围
①　 　 6 4个 ③　 　
②　 　 3个 \
10 2个 ④　 　
28．如图，直线y＝﹣x+分别交x轴、y轴于点A，B，过点A的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一交点为C，与y轴交于点D（0，3），抛物线的对称轴l交AD于点E，连接OE交AB于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：OE⊥AB；
（3）P为抛物线上的一动点，直线PO交AD于点M，是否存在这样的点P，使以A，O，M为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【分析】二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，根据二次函数的定义判断即可．
【解答】解：A、y＝（x﹣1）2﹣x2＝x2﹣2x+1﹣x2＝﹣2x+1，这个函数是一次函数，故此选项不符合题意；
B、y＝﹣x（x+2）＝﹣x2﹣2x，这个函数是二次函数，故此选项符合题意；
C、y＝不是二次函数，故此选项不符合题意；
D、x＝y2，这里y不是x的二次函数，故此选项不符合题意．故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的定义．掌握二次函数的一般形式y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）是解题的关键．
2．【分析】根据二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）可以求得它们的交点坐标，从而可以判断哪个选项是正确的．
【解答】解：解得或．故二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x轴上或点（1，a+b）．故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点．
3．【分析】求出函数的顶点坐标为（1﹣m，﹣3m+6），再由第二象限点的坐标特点得到：1﹣m＜0，﹣3m+6＞0即可求解．
【解答】解：∵y＝﹣2（x+m﹣1）2﹣3m+6，∴顶点为（1﹣m，﹣3m+6），
∵顶点在第二象限，∴1﹣m＜0，﹣3m+6＞0∴1＜m＜2，故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数顶点坐标的求法，结合第二象限内点的坐标特点求解是关键．
4．【分析】根据抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k）直接写出即可．
【解答】解：抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标是（3，1）．故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．
5．【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：把抛物线y＝2（x﹣1）2+3先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式是y＝2（x﹣4）2+4，故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
6．【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，然后根据﹣2≤x≤2，即可得到相应的最大值和最小值，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，
∴该函数的对称轴是直线x＝1，函数图象开口向下，∴在﹣2≤x≤2的取值范围内，当x＝1时取得最大值﹣2，当x＝﹣2时，取得最小值﹣11，故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，求出相应的最值．
7．【分析】先令y＝0，得出关于x的一元二次方程，由Δ＞0可得答案．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+kx﹣k+1（k为常数），∴当y＝0时，0＝x2+kx﹣k+1，
∴△＝k2﹣4×1×（﹣k+1）＝k2+4k﹣4＝（k+2）2﹣8，
∴不确定△的范围，故选：D．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8．【分析】根据二次函数图象具有对称性和表格中的数据，可以得到该函数的对称轴x＝，顶点y＜0，根据﹣1，1到对称轴的距离可判断．
【解答】解：由表格可得，二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝，
∵当x＝时，与其对应的函数值y＜0，由表格可知是最小值，
∴抛物线开口向上，∴1离对称轴比较近，∴n＞m，故选：A．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
9．【分析】由y1＞y2可得a＜0，从而得出当x＝﹣2时，y最小，即可得出关于a的方程，求出a即可．
【解答】解：∴y1＝4a﹣4a+2a+1＝2a+1，y2＝a+2a+2a+1＝5a+1，y1＞y2，
∴2a+1＞5a+1，∴2a＞5a，∴a＜0，∴开口方向向下，∴抛物线的顶点处是函数的最大值，∴函数的最小值出现在两个端点处，即y1或y2，
又∵y1＞y2，∴最小值为y2，∴当 x＝1时，y最小，最小值为﹣4，
∴5a+1＝﹣4，∴a＝﹣1，故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象上点的特征，关键是求出a的范围，确定开口方向．
10．【分析】先求出抛物线的对称轴方程，再根据已知判断出开口方向，然后根据y的大小关系列出不等式即可得到m的范围．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣3，
∵C为抛物线的顶点，∴x0＝﹣3，
∵y0≤y1＜y2，∴抛物线开口向上，
∵m＜m+3，y0≤y1＜y2，∴＞﹣3；∴m＞﹣4.5．故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
二．填空题（共8小题）
11．【分析】把y＝2x2﹣4x化为顶点式即可求得顶点坐标．
【解答】解：y＝2x2﹣4x，＝2（x2﹣2x），＝2（x2﹣2x+1﹣1），
＝2（x2﹣2x+1）﹣2，＝2（x﹣1）2﹣2，
∴二次函数y＝2x2﹣4x的顶点坐标为（1，﹣2），故答案为：（1，﹣2）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，会把抛物线的一般式化为顶点式或运用顶点坐标公式是求出顶点坐标的关键．
12．【分析】根据题意得4a2﹣4（a+b）≥0，求得a2﹣a的最小值，即可得到b的取值范围．
【解答】解：∵对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有交点，
∴△≥0，则（2a）2﹣4（a+b）≥0，整理得b≤a2﹣a，
∵a2﹣a＝（a﹣）2﹣，∴a2﹣a的最小值为﹣，∴b≤﹣，故答案为b≤﹣．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，根据题意得到b≤a2﹣a是解题的关键．
13．【分析】利用“方程的解即为对应函数与x轴的交点横坐标”和二次函数的对称性求解两根．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点是（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为x＝3或x＝﹣1．故答案为：x＝3或x＝﹣1．
【点评】本题考查了函数与方程的联系，即“函数与x轴的交点横坐标就是y＝0时的方程的解”，同时也考查了二次函数的轴对称性．
14．【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y＝x2+4x﹣1＝x2+4x+4﹣4﹣1＝（x+2）2﹣5．故答案为：y＝（x+2）2﹣5．
【点评】本题主要考查二次函数的三种形式的知识点，二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
15．【分析】求出函数的对称轴为x＝﹣＝2，由点A、B关于x＝2对称，即可求解．
【解答】解：函数的对称轴为x＝﹣＝2，
由点A、B关于x＝2对称得，点B（5，0），故答案为：（5，0）．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
16．【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，﹣3），B（3，q）两点，
观察函数图象可知：当x﹣2＜x＜3时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+c的上方，
∴不等式ax2+c＜mx+n的解集为﹣2＜x＜3，
即不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是﹣2＜x＜3．故答案为﹣2＜x＜3．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
17．【分析】根据对称点求对称轴，再根据x＝求a、b数量关系，把x＝4、x＝5分别代入整理后的函数式，再根据当4≤x＜5时，对应的函数值y恰好有3个整数值这个条件，分两种情况就可求出a的取值范围．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过C（0，﹣3），∴c＝﹣3，
∵A（2+m，m），B（2﹣m，m），纵坐标相同，∴对称轴为直线x＝2，∴﹣＝2，
∴b＝﹣4a，∴y＝ax2﹣4ax﹣3，∴当x＝4时，y＝﹣3，x＝5时，y＝5a﹣3，
∵当4≤x＜5时，对应的函数值y恰好有3个整数值，
∴①抛物线开口向上，及a＞0时，它的三个整数分别是﹣3，﹣2，﹣1，
∴﹣1＜5a﹣3≤0，∴＜a≤，
②抛物线开口向下，及a＜0时，它的三个整数分别是﹣3，﹣4，﹣5，
∴﹣6≤5a﹣3＜﹣5，∴﹣≤a＜﹣，
综上所述，a的取值范围是：＜a≤或﹣≤a＜﹣．
【点评】本题考查了二次函数的性质和解一元一次不等式，掌握二次函数的对称性，分情况讨论是解题关键．
18．【分析】（1）证明△PDC为等腰直角三角形，设点P的横坐标为m，得到点O′坐标为：（m，m），点C′坐标为：（，），进而求解；
（2）设旋转中点Q的坐标为（a，b），由中点公式得，点E、F的坐标分别为（2a﹣1，2b﹣1）、（2a﹣2，2b），将点E、F的坐标分别代入抛物线表达式，即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣过原点，∴c＝0，∴抛物线为y＝﹣x2+2x，
∵y＝﹣x2+2x＝﹣x（x﹣4）＝﹣（x﹣2）2+2．
∴点B的坐标为（2，2）．∴∠BOA＝45°．∴△POC为等腰直角三角形．
如图1，过C′作C′D⊥O′P于D，设点P的横坐标为m，
∵O′P＝OP＝m，∴C′D＝O′P＝，
∴点O′坐标为（m，m），点C′坐标为：（，）．
当点O′在y＝﹣x2+2x上．则y＝﹣m2+2m＝m．解得：m1＝2，m2＝0（舍去）．
∴m＝2．当点C′在y＝﹣x2+2x上，同理可得：m＝或0（舍去），
∴m＝，故点P的坐标为（，0）；
（2）如图2，当PB⊥OA时，则点P（2，0），点C的坐标为（1，1），
设线段PC绕Q旋转180°得到线段EF，
点P与点E为对应点（点P与点F是对应点计算结果相同），设Q的坐标为（a，b），
由中点公式得，点E、F的坐标分别为（2a﹣1，2b﹣1）、（2a﹣2，2b），
将点E、F的坐标分别代入抛物线表达式得：，
解得．∴点Q的坐标为．
【点评】本题主要考查的是二次函数图象上点的坐标特征、旋转的性质，解题的关键是表示出C′、E、F的坐标．
三．解答题（共10小题）
19．【分析】（1）把A点和C点坐标代入y＝x2+bx+c得到关于b、c的方程组，再解方程组可确定抛物线解析式，然后把一般式配成顶点时得到顶点坐标；
（2）分别确定自变量为0和3对应的函数值，然后结合函数图象和二次函数的性质求解．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）和C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c得，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）∵当x＝0时，y＝﹣3；当x＝3时，y＝x2﹣2x﹣3＝9﹣6﹣3＝0，
∴当0＜x＜3时，y的取值范围为﹣4≤y＜0．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式．也考查了二次函数的性质．
20．【分析】（1）列出交式即可求得；
（2）根据S四边形AMBC＝S△ABM+S△ABC即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（5，0）．
∴函数的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5）＝（x2﹣4x﹣5）＝x2﹣x﹣，
点M坐标为（2，﹣3）；
（2）当x＝8时，y＝（x+1）（x﹣5）＝9，即点C（8，9），
因为AB＝5+1＝6，且△ABM、△ABC的高分别是点M、点C纵坐标的绝对值，
所以S四边形AMBC＝S△ABM+S△ABC＝+＝36．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，四边形的面积，难度不大．
21．【分析】（1）由直线表达式求出点B、C的坐标，将点B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）①根据PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+即可求解；
②分PM＝PC、PM＝MC两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）对于y＝x﹣3，令x＝0，y＝﹣3，y＝0，x＝3，
故点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），
将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设：点M（x，x﹣3），则点P（x，x2﹣2x﹣3），
①有，理由：PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，
∵﹣1＜0，故PM有最大值，当x＝时，PM最大值为：；
②存在，理由：
PM2＝（x﹣3﹣x2+2x+3）2＝（﹣x2+3x）2；PC2＝x2+（x2﹣2x﹣3+3）2；
MC2＝（x﹣3+3）2+x2；
（Ⅰ）当PM＝PC时，则（﹣x2+3x）2＝x2+（x2﹣2x﹣3+3）2，
解得：x＝0或2（舍去0），故x＝2，故点P（2，﹣3）；
（Ⅱ）当PM＝MC时，则（﹣x2+3x）2＝（x﹣3+3）2+x2，
解得：x＝0或3±（舍去0和3+），
故x＝3﹣，则x2﹣2x﹣3＝2﹣4，故点P（3﹣，2﹣4）．
综上，点P的坐标为：（2，﹣3）或（3﹣，2﹣4）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质等，其中（2）②，要注意分类求解，避免遗漏．
22．【分析】（1）根据题意列代数式即可得到结论；
（2）根据题意列方程，解方程即可得到结论；
（3）根据题意列函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）每天的销售量为（60﹣5x）瓶，每瓶洗手液的利润是（4+x）元；
故答案为：（60﹣5x）；（4+x）；
（2）根据题意得，（60﹣5x）（4+x）＝300，解得：x1＝6，x2＝2，
答：销售单价应上涨2元或6元；
（3）根据题意得，y＝（60﹣5x）（4+x）＝﹣5（x﹣12）（x+4）＝﹣5（x﹣4）2+320，
答：当销售单价上涨4元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利润为320元．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，一元二次方程的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键．
23．【分析】（1）直接根据二次函数对称轴的概念可得答案；
（2）根据二次函数的性质可得问题的答案；
（3）根据根的判别式可得答案．
【解答】解：（1）由题意得，x＝﹣＝1，解得a＝﹣1；
（2）由题意得，x≥2时，y随x 的增大而减小，
∴二次函数开口向下，且对称轴位于x＝2 的左侧或对称轴为直线x＝2，
∴﹣≤2，a＜0，解得a；
（3）当Δ＝0时，二次函数与AB只有一个交点，∵A（﹣1，0），B（2，0），
∴①Δ＝b2﹣4ac＝（1﹣a）＝1﹣2a＝0，∴a＝．
②当x＝﹣1时，y＝a﹣1；当x＝2时，y＝a+2，
∴﹣且a≠0
综上，﹣且a≠0，a＝．
【点评】此题考查的是二次函数的图象与系数的关系，掌握对称轴的概念、二次函数的图象的性质及判别式是解决此题关键．
24．【分析】（1）根据抛物线与x轴有两个交点，得到Δ＞0，由此求得m的取值范围；
（2）根据一元二次方程根与系数关系得两根之和为4，与已知等式组成方程组，求解可得点A、B的坐标，代入解析式可得答案．
【解答】解：（1）由题知Δ＝（﹣4）2﹣4（2m+1）＞0，∴．
（2）∵x1、x2是x2﹣4x+2m+1＝0的两根，∴，
∴，解得，∴A（3，0），B（1，0）
∵抛物线过点B（1，0），∴1﹣4+2m+1＝0，∴m＝1．
【点评】考查了抛物线与x轴的交点坐标，一元二次方程根与系数的关系等知识点，根据二次函数图象与系数关系得到方程组求解是解决此题关键．
25．【分析】（1）根据公式，对称轴为直线x＝﹣，代入数据即可；
（2）结合函数的图象，根据二次函数的增减性可得结论；
（3）分别联立直线y＝m与两抛物线的解析式，表示出A，B，C，D的坐标，再表示出线段AB和线段CD的长度，即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意可知，抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的对称轴为直线：x＝﹣＝＝1，∴a＝1．
（2）由（1）可知，抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∵a＝1＞0，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，∴1＜1﹣x1＜2，0＜x2﹣1＜1，
结合函数图象可知，当抛物线开口向上时，距离对称轴越远，值越大，∴y1＞y2．
（3）联立y＝m（m＞0）与y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，可得A（1+，m），B（1﹣，m），∴AB＝2，
联立y＝m（m＞0）与y＝3（x﹣1）2，可得C（1+，m），D（1﹣，m），
∴CD＝2×＝，∴＝．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，二次函数与一次函数交点问题等，题目难度适中，数形结合思想及求二次函数与一次函数交点需要联立方程是解题基础．
26．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）设P（m，﹣m2+4m），C（m，m）可得PC＝PB﹣CB＝﹣m2+4m﹣m＝﹣m2+3m，利用二次函数的性质即可解决问题；
（3）由（2）可知，由AD＝3，当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是 ．推出点P在直线OA的下方，过点D作DP∥OA交抛物线于P和P′，此时四边形ADPC和四边形ADP′C′是平行四边形，求出直线DP的解析式，利用方程组即可解决问题；
【解答】（1）解：把O（0，0）和点A（3，3）代入y＝ax2+4x+c得到，
解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x．
（2）解：0＜m＜3，PC＝PB﹣CB，
∵D（m，0），PD⊥x轴，P在y＝﹣x2+4x上，C在OA上，A（3，3），
∴P（m，﹣m2+4m），C（m，m）
∴PC＝PB﹣CB＝﹣m2+4m﹣m＝﹣m2+3m，＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣1＜0，开口向下，∴有最大值，当D（ ，0）时，PCmax＝，
答：当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是 ．
（3）由（2）可知，∵AD＝3，当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是 ．
∴点P在直线OA的下方，过点D作DP∥OA交抛物线于P和P′，此时四边形ADPC和四边形ADP′C′是平行四边形，∵直线OA的解析式为y＝x，∴直线DP的解析式为y＝x﹣3，由，解得或，∴m的值为．
【点评】本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的判定和性质，二次函数的最值等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建一次函数，利用方程组确定两个函数的交点坐标，属于中考压轴题．
27．【分析】（1）运用待定系数法，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2﹣，将A（4，0）代入，即可求得抛物线解析式，当x＝﹣2时，y＝2，故点C在该抛物线上；
（2）根据B（2，2），C（﹣2，2）的纵坐标相等可判断BC∥x轴，再由BC＝4，可判断四边形ABCO是平行四边形，再运用两点间距离公式求出OC＝4，运用菱形的判定定理即可．
（3）①设y＝kx+b，将A，C坐标代入即可求出直线AC的函数表达式；
②当点P在直线AC下方的抛物线上时，如图2，设P（t，t2﹣t），过点P作PH∥y轴交直线AC于点H，则H（t，t+），根据满足条件的P点有3个，可得在直线AC下方的抛物线上只有1个点P，即S△PAC的值最大，再利用二次函数最值性质即可得出答案；
③由满足条件的P点有3个，结合②即可得出答案；
④满足条件S△PAC＝S的P点只有2个，而在直线AC上方的抛物线上一定有2个点P，满足S△PAC＝S，故在直线AC下方的抛物线上没有点P，满足S△PAC＝S，结合②即可得出答案．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2﹣，将A（4，0）代入，
得：0＝a（4﹣2）2﹣，解得：a＝，
∴抛物线解析式为y＝（x﹣2）2﹣＝x2﹣x，
∵点B（2，2）与点C关于y轴对称，∴C（﹣2，2），
当x＝﹣2时，y＝（﹣2﹣2）2﹣＝2，
∴点C在该抛物线y＝（x﹣2）2﹣上；
（2）四边形ABCO是菱形．
证明：∵B（2，2），C（﹣2，2），∴BC∥x轴，BC＝2﹣（﹣2）＝4，
∵A（4，0），∴OA＝4，∴BC＝OA，∴四边形ABCO是平行四边形，
∵OC＝＝4，∴OC＝OA，∴四边形ABCO是菱形．
（3）①设直线AC的函数表达式为y＝kx+b，
∵A（4，0），C（﹣2，2），∴，解得：，
∴直线AC的函数表达式为y＝x+；故答案为：y＝x+；
②当点P在直线AC下方的抛物线上时，如图2，
设P（t，t2﹣t），过点P作PH∥y轴交直线AC于点H，则H（t，t+），
∴PH＝t+﹣（t2﹣t）＝﹣t2+t+，
∵满足条件的P点有3个，
∴在直线AC下方的抛物线上只有1个点P，即S△PAC的值最大，
∵S△PAC＝S△PHC+S△PHC＝PH [4﹣（﹣2）]＝3PH＝3（﹣t2+t+）
＝（t﹣1）2+，∴当t＝1时，S△PAC取得最大值，故答案为：；
③由②知，当0＜S＜时，在直线AC下方的抛物线上有2个点P，满足S△PAC＝S，
在直线AC上方的抛物线上一定有2个点P，满足S△PAC＝S，
∴满足条件S△PAC＝S的P点有4个，符合题意．故答案为：0＜S＜；
④∵满足条件S△PAC＝S的P点只有2个，而在直线AC上方的抛物线上一定有2个点P，满足S△PAC＝S，∴在直线AC下方的抛物线上没有点P，满足S△PAC＝S，
由②知，当S＞时，在直线AC下方的抛物线上没有点P，满足S△PAC＝S，符合题意．故答案为：S＞．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象和性质，菱形的判定，利用二次函数求最值等，利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，表达出三角形面积是解题关键．
28．【分析】（1）根据直线y＝﹣x+分别交x轴、y轴于点A，B，求出点A、B的坐标，再利用待定系数法即可求得答案；
（2）运用待定系数法求出直线AD的解析式为y＝﹣x+3，得出E（1，2），运用三角函数定义得出tan∠OAB＝tan∠OEG，进而可得∠OAB＝∠OEG，即可证得结论；
（3）运用待定系数法求出直线CD解析式为y＝3x+3，根据以A，O，M为顶点的三角形与△ACD相似，分两种情况：①当△AOM∽△ACD时，∠AOM＝∠ACD，从而得出OM∥CD，进而得出直线OM的解析式为y＝3x，再结合抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，即可求得点P的横坐标；②当△AMO∽△ACD时，利用＝，求出AM，进而求得点M的坐标，得出直线AM的解析式，即可求得答案．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+分别交x轴、y轴于点A，B，
∴A（3，0），B（0，），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（3，0），D（0，3），
∴，解得：，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
设直线AD的解析式为y＝kx+a，将A（3，0），D（0，3）代入，
得：，解得：，∴直线AD的解析式为y＝﹣x+3，∴E（1，2），
∵G（1，0），∠EGO＝90°，∴tan∠OEG＝＝，
∵OA＝3，OB＝，∠AOB＝90°，∴tan∠OAB＝＝＝，
∴tan∠OAB＝tan∠OEG，∴∠OAB＝∠OEG，
∵∠OEG+∠EOG＝90°，∴∠OAB+∠EOG＝90°，∴∠AFO＝90°，∴OE⊥AB；
（3）存在．
∵A（3，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，∴C（﹣1，0），∴AC＝3﹣（﹣1）＝4，
∵OA＝OD＝3，∠AOD＝90°，∴AD＝OA＝3，
设直线CD解析式为y＝mx+n，∵C（﹣1，0），D（0，3），
∴，解得：，∴直线CD解析式为y＝3x+3，
①当△AOM∽△ACD时，∠AOM＝∠ACD，如图2，
∴OM∥CD，∴直线OM的解析式为y＝3x，
结合抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，得：3x＝﹣x2+2x+3，
解得：x1＝，x2＝，
②当△AMO∽△ACD时，如图3，∴＝，
∴AM＝＝＝2，
过点M作MG⊥x轴于点G，则∠AGM＝90°，
∵∠OAD＝45°，∴AG＝MG＝AM sin45°＝2×＝2，
∴OG＝OA﹣AG＝3﹣2＝1，∴M（1，2），
设直线OM解析式为y＝m1x，将M（1，2）代入，得：m1＝2，
∴直线OM解析式为y＝2x，
结合抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，得：2x＝﹣x2+2x+3，解得：x＝±，
综上所述，点P的横坐标为±或．
【点评】本题是关于二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，三角函数定义，相似三角形的判定和性质等，是中考数学压轴题，综合性较强，难度较大；熟练掌握待定系数法和相似三角形的判定和性质等相关知识，灵活运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．