分式方程

16．3 分式方程（三）
三维目标
一、知识与技能
1．通过对实际问题的分析，进一步感受分式方程是刻画现实世界的有效模型．
2．解一类含已知字母的分式方程．
二、过程与方法
1．经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力．
2．认识运用方程解决实际问题的关键是审清题意，寻找等量关系，建立数学模型．
3．会解一类字母方程，发展符号感．
三、情感态度与价值观
经历建立分式方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的应用价值，从而提高学习数学的兴趣，培养学生的创新精神．
教学重点 审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型．
教学难点 寻求实际问题中的等量关系．
教具准备 电脑课件、投影仪．
教学过程
一、提出问题、引入新课
师：上节课，我们用列分式方程解决生活中的实际问题，这节课，我们来继续探讨实际问题中的分式方程．
二、讲授新课
活动1
【例4】从2004年5月起某列车平均提速v千米/时，用同样的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度为多少？
设计意图：
这是一个行程问题，它有三个量：路程、时间、速度．结合它们之间的关系：路程＝速度×时间，及其题中的含义建立数学模型．让学生理解表达问题时，用字母不仅可以表示未知数（量），也可以表示已知数（量），发展学生的符号感．
这是一个含有字母的分式方程的应用题，结合前面分式方程的解法，探讨出含字母的分式方程的解法，培养学生应用数学于现实生活的意识．
师生行为：
教师提出问题，学生思考，审清题意．
教师与学生一起分析．
本题的等量关系：列车提速前行驶s千米所用时间＝列车提速后行驶（s+50）千米所用时间．
这里的字母v，s表示已知数据，设提速前列车的平均速度是x千米/时．
提速前列车行驶s千米所用时间为小时，提速后列车的平均速度为（v+x）千米/时，提速后列车运行（s+50）千米所用时间为：小时．
根据行驶时间的等量关系即可列出方程．
此题的数量关系还可以用表格表示出来．
路程 速度 时间
提速前 s x
提速后 s+50 v+x
解：设提速前这次列车的平均速度为x千米/时，则提速前它行驶s千米所用时间为小时，提速后列车的平均速度为（x+v）千米/时，提速后它运行（s+50）千米所用时间为小时．
根据行驶时间的等量关系，得=
方程两边同乘x（x+v），得：s（x+v）=x（s+50）
去括号，得 sx+sv=sx+50x
移项、合并，得：50x=sv
解得：x=
检验：由于s、v都是正数，x=时x（x+v）≠0．因此，x=是原分式方程的解．
答：提速前列车的平均速度为千米/时．
说明：在本例中，出现了用一些字母表示已知数据的形式，这在分析问题寻找规律时经常出现．此例的方程是以x为未知数的分式方程，其中v、s是已知常数，根据它们所表示的实际意义可知，它们是正数．
三、随堂练习
活动2
练习：1．教科书第38页 2
2．教科书第37页 2
设计意图：
通过数学实验，实际问题转化为数学问题，然后练习解方程的技能．这样及时了解学习效果．
让学生在经历运用知识解决问题的过程中，获得成功体验的空间，激发学生的积极性，建立学好数学的自信心．
师生行为：
学生思考独立解决问题；教师总结结论．
教师在本次活动中重点关注：
（1）学生能否会解含字母的分式方程；
（2）学生能否找到能反映实际问题的数量关系，即：等量关系；
（3）学生能否有条理地表达自己的思考过程；
（4）学生能否通过自我评价了解自己对知识的掌握知识．
教科书第38页 2
（1）+b=1 （b≠1）
解：两边同时乘以（x-a），得a+b（x-a）=x-a．
去括号，得a+bx-ab=x-a．
移项、合并，得：（b-1）x=ab-2a．
系数化为1，得：x= （b≠1）
经检验：x=是原分式方程的解．
（2）=0 （m≠0）
解：方程两边同乘以x（x+1），得m（x+1）-mn=0
去括号，得：mx+m-xn=0．
移项、合并，得：（n-m）x=m．
系数化为1，得： x= （m≠n）
经检验：x=是原分式方程的解．
教科书第37页 2
一个圆柱形容器的容积为v立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t分，求两根水管各自的注水速度．
解：设小水管的注水速度为x立方米/分，则大水管的注水速度为2x立方米/分，用小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半时所用的时间为分，用大水管向容器内注水，把剩下的容器装满时所用的时间为分．根据等量关系，得：-=t．
将方程变形，得：=t．
通分，得：=t．
合并，得：=t．
∴x=（t>0）．
经检验：x=是原分式方程的解．
2x=．
答：两根水管各自的注水速度分别为：立方米/分，立方米/分．
四、课时小结
活动3
小结：
本节课学习了哪些内容？你有何收获？列方程解应用题的关键是寻找等量关系．
布置作业：教科书第39页 6、7、8
设计意图：
复习、巩固本节的知识，学会总结反思，进一步学会自我评价．
通过课后作业，教师及时了解学生对本节知识的掌握情况．对教学进度和教学方法进行适当调整，并对有困难的学生给予适时的指导．
师生行为：
教师结合本节内容，进行总结，使学生巩固本节知识．
学生通过小组讨论，掌握所学内容．
本次活动中，教师应重点关注：
（1）学生能否用文字、字母符号等清楚地表达解决问题的过程；
（2）学生是否愿意表达自己的观点．
板书设计
16．3 分式方程（三）
1．行程问题
【例4】（1）路程、时间、速度．
（2）字母v、s表示已知数据．
2．练习
3．小结
活动与探究
把总价值都是360元的甲、乙两种糖混合在一起卖，为保证总价不变，混合后糖的价格每千克要比甲种糖少0.3元，比乙种糖多0.2元，求原来甲、乙两种糖的价格．
过程：糖的总价值和总量在混合前后都没有改变，即题中隐含着“混合前甲种糖的数量＋混合前乙种糖的数量＝混合后的总量”．
结果：解：设混合后糖的价格为x元／千克，则甲种糖的价格为（x+0.3）元／千克，乙种糖的价格为（x-0.2）元／千克．
根据上述相等关系，得：
解得：x=1.2．
经检验：x=1.2是原方程的解，所以x+0.3=1.5，x-0.2=1.0．
即：原来甲、乙两种糖的价格分别为每千克1.5元和1.0元．
习题详解
习题16．3
1．解：（1）方程两边同时乘以x（x+3），得：x+3=5x．
移项、合并，得：4x=3．
系数化为1，得：x=．
检验：当x=时，x（x+3）≠0．
所以x=是原分式方程的解．
（2）方程两边同乘以2（x-1），得：2x=3-2（2x-2）．
去括号，得：2x=3-4x+4．
移项、合并，得：6x=7．
系数化为1，得：x=．
检验：当x=时，2（x-1）≠0
所以x=是原分式方程的解．
（3）方程两边同乘以（2x+1）（2x-1），得：2（2x+1）=4．
即：2x+1=2，x=．
检验：当x=时，（2x+1）（2x-1）=0，不是原方程的解，原分式方程无解．
（4）方程两边同乘以x（x+2）（x-2），得：3（x-2）-（x+2）=0．
化简，得2x=8．解得：x=4．
检验：x=4时，x（x-2）（x+2）≠4，是原分式方程的解．
（5）
方程变形为：1+
即：．
分子相等，分母必相等，所以x-3=x-1．
此方程无解．
所以，原分式方程无解．
（6）方程变为：
移项，得：+1=0，=-1，
所以：x=2-x，2x=2，x=1．
检验：x=1时，x-2≠0．1是原分式方程的解．
（7）方程两边同乘6x（x+1），得
6（2x+1）=5x．
化简，得7x=-6．
系数化为1，得：x=-．
检验：x=-时，6x（x+1）≠0，-是原分式方程的解．
（8）方程两边同乘2（3x-1），得3（3x-1）-2=5
化简，得9x=10
解得：x=
检验：x=时，2（3x-1）≠0
2．略（这节课后的练习中有）
3．解：设A型机器人每小时搬去xkg化工原料，则B型机器人每小时搬运（x-30）kg）化工原料．
根据题意，得：
解得：x=90．
检验x=90时，x（x-30）≠0．90是原分式方程的解．x-30=60．
答：A型、B型机器人每小时分别搬运90kg，60kg化工原料．
4．解：设甲、乙两人的速度分别是3x千米/时，4x千米/时
根据等量关系，得：．
解得：x=1.5．
经检验x=1.5是原方程的解．
∴3x=4.5，4x=6．
答：甲、乙的速度分别是每小时4.5千米和每小时6千米．
5．解：设李强单独清点这批图书需要x小时．
根据等量关系，得
解得：x=．
检验：x=时，x≠0，是原分式方程的解．
答：李强单独清点这批图书需要小时．
6．解：设原来玉米的平均每公顷产量为x吨，则现在玉米的平均每公顷产量为（x+a）吨．
根据等量关系，得：．
解得：x=．
检验：x=时，x（x+a）≠0，是原分式方程的解．
x+a=+a=．
答：原来和现在玉米的平均每公顷产量分别是吨和吨．
7．解：设第二组的攀登速度是x米/分，则第一组的攀登速度是1.2x米/分．
根据等量关系，得：．
解得：x=5．
检验：x=5时，1.2x≠0，5是原分式方程的解．
1.2x=6．
答：两个小组的攀登速度分别是6米/分，5米/分．
8．联系实际和所学的应用题进行编写．
如：王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元，后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需要480元．参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元，原定的人数是多少？
解：设原定是x人，那么每人平均分摊元；人数增加到原来的人数的2倍后，每人平均分摊元．
根据题意：得：-4=．
解得：x=15．
经检验：x=15是原分式方程的解．
答：原定的人数是15人．
备课资料
数学符号的创用
在古代，无论是埃及、希腊，还是我国都没有系统地运用数学符号．数学命题和各种定义、定理、法则靠语言和文字来表达，而不是用数学符号．所以古代数学和现代数学相比，这种叙述显然十分冗长和繁琐．
文艺复兴时期前后，由于东、西方数学的汇合，以及人们对数学的认识加深，逐渐产生了数学符号．现代人们通用的一些数学符号，大多数是在14～17世纪间逐渐被人们所选定运用．符号的创用是数学史上的一件大事，符号不仅能帮助人快速思维，而且还能以极其精炼的形式克服一般语言中容易出现岐义的现象．
“＋”号的创造者是15世纪德国数学家魏得美，他在一条横线上加一竖，表示增加．“－”号的创造者也是这位数学家，他从加号中减去竖，表示减少．“×”号创造者是17世纪数学家奥特雷德．“×”的意思是表示增加的另一种方法，即把加号斜过写．“÷”号的创造者是18世纪的瑞士人哈纳．它的含义是分解的意思，即用一条横线把两个圆分开．“＝”号的创造者是16世纪英国数学家莱克得．他认为世界上再也没有比两条平行而又相等的直线相同的了．所以用它来表示相等．除此以外，乘号“．”、除号“：”是由德国数学家莱布尼兹在17世纪末期创用，幂“a、a…”由法国数学家笛卡尔在1637年创造．平方根“”由德国数学家鲁道夫1525年创造并使用．各种类型的括号大约都是在16～17世纪初起用的．上述数学符号大都在19世纪60年代才代入我国．
- 1 -16．3 分式方程
从容说课
分式方程是人教实验版，数学八年级下册第十六章第三节内容，它是继学生学过的整式方程：（一元一次方程和二元一次方程组）之后的又一类方程．从分析分式方程的特点入手，引出解分式方程的基本思路，即：通过去分母使分式方程转化为整式方程，从而求出未知数的值，这样既突出了分式方程解法上的特点及其算理，又反映了分式方程与整式方程在解法上的内在联系．
本节内容分三节课．
其目标主要是结合分析和解决实际问题，讨论可化为一元一次方程的分式方程．掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．
本节内容的重点是能根据实际问题的数量关系列出分式方程，并能熟练掌握分式方程的解法；其难点，明确分式方程验根的必要性及能根据实际问题中的等量关系列出方程．
分式方程的解法与整式方程的解法有两个明显的区别：
（1）一般说，解分式方程时要通过去分母使它转化为整式方程，也就是使未知数从分母的位置“移到”分子上来．注意这里的去分母是在方程两边同乘一个含未知数的式子而不是一个非零常数．因此这样的去分母不能保证新方程与原方程同解．
（2）通过去分母得出的解必须经过检验．当这个解使得分式方程的分母不为零时，它才是分式方程的解．
由于解一元一次方程已不是新问题，所以上述两点就成为本章解分式方程的关键步骤．因此，在教学中必须说明这两点．
教学教程是按五个步骤进行的，即：创设问题情境、引入新课；讲授新课；随堂练习；课时小结；课后作业．在这五个步骤中，重点以活动形式进行，以学生思考、观察等思维活动为主，这样便于提高学生的综合能力．
16．3 分式方程（一）
三维目标
一、知识与技能
1．通过对实际问题的分析，感受分式方程刻画现实世界的有效模型的意义．
2．通过观察、思考，归纳分式方程的概念．
3．解分式方程的一般步骤．
4．了解解分式方程验根的必要性．
二、过程与方法
1．通过具体例子，让学生独立探索方程的解法，经历和体会解分式方程的必要步骤．
2．使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径．
三、情感态度与价值观
1．培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养严谨的治学态度．
2．运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，从而获得一种成就感和学习数学的自信心．
教学重点
1．解分式方程的一般步骤，熟练掌握分式方程的解法．
2．明确解分式方程验根的必要性．
教学难点 明确分式方程验根的必须性．
教具准备 电脑、课件、投影仪．
教学过程
一、创设问题情境、引入新课
活动1
想一想，做一做：
一般轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？
设计意图：
通过对实际问题的分析，感受分式方程是刻画现实世界的有效模型，用引言中的问题来提问，使整个教学过程贯穿一线，体现了本章问题解决的主线之一．
师生行为：
教师展示问题，让学生思考、回顾，充分发表意见．
经过分析，得出分式方程的概念．
师生共析：
设：江水的流速为v千米/时，则：轮船顺流航行速度为（20+v）千米/时，逆流航行速度为（20-v）千米/时，顺流航行100千米所用的时间为小时，逆流航行60千米所用的时间为小时．
根据“两次航行所用时间相等”可以得到方程：=
说明：这个方程的分母中含未知数v，像这样的方程叫分式方程．即：
分母中含未知数的方程叫做分式方程．
（fractional equation）
二、讲授新课，探索分式方程的解法
活动2
思考：
分式方程的特征是什么？如何解分式方程？
设计意图：
首先要让学生理解分式方程的概念，然后通过分析分式方程的特点，找出与其他方程不同之处．结合方程的特点探索分式方程的解法，这样步步逼近，使学生认识到进一步学习的必要性，激发学生学习的主动积极性．
师生行为：
教师提出问题，学生思考、讨论；师生共同得出结论：
分式方程的特征：分母中含有未知数．
这是与前面我们学习的整式方程的最大区别点．（整式方程的未知数不在分母中）．
在探讨分式方程的解法时，可联系一元一次方程的解法．
如：解方程．
解：去分母，方程两边同乘以分母的最小公倍数6，得：
3（3x-1）+2（5x+2）=6×2-（4x-2）
去括号，得：9x-3+10x+4=12-4x+2
移项，得：9x+10x+4x=12+2+3-4
合并同类项，得：23x=13
系数化为1，得：x=
由上述解法，我们自然会想到通过“去分母”实现把分式方程转化为整式方程．
“去分母”是将分式方程转化成整式方程的关键步骤．
解方程：=
去分母，方程两边同时乘以各分母的最简公分母（20+v）（20-v）得
100（20-v）=60（20+v）
解得：v=5．
检验：将v=5代入原方程中，左边＝4=右边，因此v=5是分式方程的解．
由此可知：江水的流速为5千米/时．
归纳：
解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法．
活动3
解方程：
设计意图：
让学生尝试解分式方程，及时了解学生理解程度，并由此例说明分式方程检验的必要性．
鼓励学生在独立思考的基础上，积极的参与到对数学问题的讨论中来，敢于发表自己的观点、见解．
师生行为：
教师出示例题，学生动手操作，思考，然后分组交流．
教师进行评价，提出质疑，然后进行说明强调．
解：
去分母，在方程两边同时乘以最简公分母，（x-5）（x+5），得整式方程 x+5=10
解得：x=5．
师：x=5是原方程的解吗？
生：将x=5代入原分式方程检验，发现这时分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义，所以……
师：对，因此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原方程的解，实际上，这个分式方程无解．
活动4
思考：
在上面两个分式方程中，为什么=①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？
设计意图：
让学生通过实践，激发学生积极思考，继续探索，将新知识更加系统化．
师生行为：
学生思考，分母讨论，发表自己的见解．
教师的解释应根据学生知识水平的高低，理解的程度进行调整，学生知道的由学生自己说出来，教师不代替．
教师解释：解分式方程去分母时，方程两边要同乘一个含未知数的式子（最简公分母），方程①两边同乘（20+v）（20-v），得到整式方程并进而得到它的解v=5．当v=5时，（20+v）（20-v）≠0，这就是说，为去分母，①两边同乘了一个不为0的式子．因此所得整式方程的解与①的解相同．方程②两边同乘（x-5）（x+5），得到整式方程并进而得到它的解x=5，当x=5时，（x-5）（x+5）=0，这就是说，为去分母，②两边同乘了一个等于0的式子．这时所得整式方程的解使②出现分母为0的现象．因此这样的解不是②的解，通常把它叫做②的增根．
活动5
问题1：在把分式方程转化为整式方程的过程中会产生增根，那么是不是就不要这样的解呢？采用什么样的方法补救？
问题2：怎样检验较简单呢？还需要将整式方程的解分别代入原方程的左、右两边吗？
设计意图：
通过上面的思考、分析，加上这两个问题，使学生进一步理解分式方程的解必须进行检验．
师生行为：
教师提问问题，学生讨论、回答．
问题1的解答：
还是要把分式方程转化为整式方程来解，解出整式方程的解后可用检验的方法看是不是原方程的解．
问题2的解答：
不用，产生增根的原因是这个根使去分母时的最简公分母为零造成的．因此最简单的检验方法是：把整式方程的解代入最简公分母．若使最简公分母为零，则是原方程的增根；若使最简公分母不为零，则是原方程的解．是增根，必舍去．一般地，说明原方程无解．
归纳：
一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0．因此应如下检验：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，是增根，舍去．
活动6
【例1】解方程：
【例2】解方程：
设计意图：
在初步了解解分式方程的解法后，提出这两个例题，让学生尝试解答，从而激发了学生的求知欲，有利于提高学生的动手能力．
师生行为：
教师出示例题，学生动手操作．
教师强调：去分母时，方程两边的每一项都要乘同一整式，不要漏乘某项．
1．解：方程两边同乘x（x-3），得：2x=3x-9
解得：x=9
检验：x=9时，x（x-3）≠0，9是原分式方程的解．
2．解：方程两边同乘（x-1）（x+2）
得：x（x+2）-（x-1）（x+2）=3
化简，得：x+2=3
解得：x=1
检验：x=1时，（x-1）（x+2）=0，1不是原分式方程的解，故原分式方程无解．
归纳：
解分式方程的一般步骤如下：
( http: / / )
三、随堂练习
活动7
练习：教科书第35页练习1，2
设计意图：及时巩固所学知识．
师生行为：学生练习，教师巡视、辅导．
四、课时小结
活动8
小结
布置作业 习题16．3 1
设计意图：
回顾本节课所学的内容，进一步巩固所学知识，及时了解学生掌握情况．
师生行为：
师生共同进行：
学习了哪些知识？解分式方程的一般步骤是什么？
教师重点强调解分式方程的三个步骤：（一去分母；二解整式方程；三检验）缺一不可．
其次使学生明白、体验“转化”思想．
板书设计
16．3 分式方程（一）
1．分式方程
特征：分母中含未知数
2．分式方程的解法
（1）= （2）
例1：
例2：
3．解分式方程的一般步骤
（1）去分母
（2）解整式方程
（3）检验
4．练习
5．小结
6．作业
活动与探究
若关于x的方程有增根，求m的值．
过程：首先增根是分式方程转化为整式方程时整式方程的根，但却使最简公分母为零．
结果：关于x的方程有增根，则此增根必使3x-9=3（x-3）=0，所以增根为x=3，去分母，方程两边同乘以3（x-3）得：3（x-1）=m2．
根据题意：得x=3是上面整式方程的根，所以3（3-1）=m2，则m=±．
备课资料
一、巧去分母
解分式方程的基本思想是去分母，课本介绍了在方程两边同乘以最简公分母的去分母的方法，现再介绍几种灵活的去分母技巧．
1．叉乘
【例1】解方程
解：即7x=5（x-2），解得x=-5．检验略．
【例2】解方程
解：即：x（x-6）=（x-2）（x-5），解得x=10．检验略．
2．换元
【例3】解方程-3
解：设y=x-2，则x=y+2．
原方程变为：=-2．
亦即0=-2矛盾，故原方程无解．
3．对等
【例4】解关于x的方程（a≠b）
解：原方程化为：．
由于分子相等，那么分母必相等．
得x=ab．
检验略．
4．并项
【例5】解方程
解：原方程可化为＝2，即1=2矛盾，故原方程无解．
5．拆项
【例6】解方程
解：原方程可化为：1-+=8，即1=8矛盾，故原方程无解．
6．通分
【例7】解方程＝1
解：通分，得＝0．
故x=0．
检验略．
7．相消
【例8】解方程x-2+=2x+
解：分式相消，得x-2=2x．
故x=-2．
检验略．
二、参考练习
1．方程的解是________．
2．当m≠______时，关于x的方程-3不会有增根．
3．如果关于x的方程有增根，则a的值等于________．
4．解下列方程：
（1）
答案：1．x≠-5的全体实数 2．±2 3．±4，±8
4．（1）x=-，（2）x=3是增根，方程无解．
- 11 -16．3 分式方程（二）
三维目标
一、知识与技能
1．用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题．
2．用分式方程来解决现实情境中的问题．
二、过程与方法
1．经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力．
2．认识运用方程解决实际问题的关键是审清题意，寻找等量关系，建立数学模型．
三、情感态度与价值观
1．经历建立分式方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的应用价值，从而提高学习数学的兴趣．
2．培养学生的创新精神，从中获得成功的体验．
教学重点
1．审清题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型．
2．根据实际意义检验解的合理性．
教学难点 寻求实际问题中的等量关系，寻找不同的解决问题的方法．
教具准备 课件、投影仪．
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
师：上节课，我们认识了分式方程这样的数学模型，并且学会了解分式方程．
接下来，我们就用分式方程来解决生活中的实际问题．
二、讲授新课
活动1
【例3】两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？
设计意图：
这是一道有关工程施工的问题．由于建筑业在全国乃至世界都普遍，因此工程的快慢有时决定工程队的命运，这里以问题的形式出现，激发学生学习数学的求知欲．
师生行为：
教师展示例题．
学生读题．因为理解问题本身是解决问题的基础．然后让学生思考、分析、讨论．
师生共析：
这是一道工程问题，有工作效率、工作时间和工作总量等三个数量，其关系是：工程总量＝工作效率×工作时间．这里把总工程量为1．
甲队1个月完成总工程的，设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的，那么甲队半个月完成总工程的，乙队半个月完成总工程的，两队半个月完成总工程的．
师：问题中的哪个等量关系可以用来列方程？
生：以工程总量为等量关系来列方程．
由此得出分式方程：++＝1
解：设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的．
记总工程量为1，根据工程的实际进度，得：++＝1
方程两边同乘6x，得：2x+x+3=6x
解得：x=1
检验：x=1时，6x≠0，x=1是原分式方程的解．
由上可知，若乙队单独工作1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的．可知乙队施工速度快．
三、随堂练习
活动2
1．教科书第37页练习1．
八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度．
2．补充
某单位将沿街的一部分房屋出租，每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元．
（1）你能找出这一情境的等量关系吗？
（2）根据这一情境，你能提出哪些问题？
（3）你能解决（2）中提出的问题吗？
设计意图：
通过这两个练习题，使学生进一步理解用分式方程的数学模型反映现实情境．
补充练习题是个开放性的题目，通过此题的练习，可以培养学生用数学的意识，体会到数学的价值．
师生行为：
学生思考、交流，解出答案．
教师巡视，指导．
1．此题的等量关系：可以以汽车走10千米所用的时间；也可以以骑自行车走10千米所用的时间为等量关系．
解：设骑车同学的速度为x千米/时，根据等量关系得：
解这个方程得：x=15．
经检验x=15是原方程的解，也符合题意．
故，骑车同学的速度为15千米/时．
2．解：（1）等量关系：
第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500元
第一年租车的房屋间数=第二年租出的房屋间数．
（2）提出的问题如下：
①每年各有多少间房屋出租？
②这两个每年房屋的租金各是多少？
（3）①设每年各有x间房屋出租，那么第一年每间房屋的租金为元，第二年每间房屋的租金为元，根据题意，得=+500
解这个方程，得：x=12
经检验x=12是原方程的解，也符合题意．
所以每年各有12间房屋出租．
②第一年每间房屋的租金为=8 000（元）
第二年每间房屋的租金为=8 500（元）
四、课时小结
活动3
小结：本节课你学到了什么？
布置作业：习题16．3 3．4．5
设计意图：
通过小结，使学生把所学知识进一步系统化．
师生行为：
教师引导学生总结：
列方程解决实际情境中的具体问题，是数学实用性最直接的体现，而解决这一问题是如何将实际问题建立方程这样的数学模型，关键则在于审清题意，找出题中的等量关系，找到它就为列方程指明了方向．
板书设计
16．3 分式方程（二）
1．工程问题
工程总量＝工作效率×工作时间
以工程总量为等量关系．
解：设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的．
++＝1．
解得：x=1．
检验．
2．随堂练习
3．小结
审清题意，找出等量关系
4．作业
活动与探究
如下图，小明家、王老师家、学校在同一条路上，小明家到王老师家路程为3km，王老师家到学校的路程为0.5km．由于小明的父母战斗在抗“非典”第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？
过程：分析题目中的等量关系．
王老师骑车速度＝王老师步行速度×3；
王老师从家出发骑车接小明所用的时间＝平时步行上学所用时间＋20分钟．
结果：设王老师步行速度为xkm/h，则骑自行车的速度为3xkm/h．
依题意，得：
解得：x=5．
经检验：x=5是原方程的根，这时3x=15．
答：王老师步行速度为5km/h，骑自行车的速度为15km/h．
备课资料
一、参考例题
【例1】某工人原计划若干天内生产840个零件，开始4天按原计划进行生产，以后每天生产的零件比原计划增加了25%，结果提前2天完成了任务．求原计划多少天完成任务？
分析：如果按题目的意思 “直译式”地列出方程，就比较复杂．
设原计划每天做x个零件，按题意列出方程：＝2
如果根据工作量一定，工作天数与工作效率成反比例的道理，列出的方程就简单多了．
设原计划需x天完成任务，按题意列出方程：．
解得x=14．
经检验：x=14是原方程的解．
解答略．
注意：原计划若干天内生产840个零件与原计划若干天内生产一批零件是同一回事．
【例2】某自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过5m3，则每立方米收费1.5元；若每户每月用水超过5m3，则超出部分每立方米收取较高的定额费用．1月份，张家用水量是李家用水量的，张家当月水费是17.5元，李家当月水费是27.5元，超过5m3的部分每立方米收费多少元？
分析：此题的等量关系：
1月份张家用水量是李家用水量的．
解：设超出5m3的部分水每立方米收费为x元，则1月份张家超过5m2的部分水费为（17.5-1.5×5）元，超过5m3的用水量为：m3，总用水量为5+，1月份李家超过5m3的部分水费为（27.5-1.5×5）元，超过5m3的用水量为m3．总用水量为（5+）m3．
根据题意，得：+5=（+5）
解得：x=2．
经检验x=2是原方程的解．
所以超过5m3部分的水每立方米收费2元．
二、参考练习
小芳带了15元钱去商店买笔记本，如果买一种软皮本，正好需付15元钱，但售货员建议她买一种质量好的硬皮本，这种本子的价格比软皮本高出一半．因此她只能少买一本笔记本，这种软皮本和硬皮本的价格各是多少？
解：设软皮本的价格为x元，则硬皮本的价格为（1+）x元．
根据题意得：+1
解得：x=5
经检验：x=5是原方程的解，也符合题意，所以（1+）x=×5=7.5（元）．
故这种软皮本和硬皮本的价格各为5元和7.5元．
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