2023-2024学年上海市虹口区复兴高级中学高三（上）开学数学试卷（9月份）（含解析）

2023-2024学年上海市虹口区复兴高级中学高三（上）开学数学试卷（9月份）
一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知，都是自然数，则“是偶数”是“，都是偶数”的条件．( )
A. 充分而不必要 B. 必要而不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
2. 虚数的平方一定是( )
A. 正实数 B. 负实数 C. 虚数 D. 虚数或负实数
3. 已知函数与它的导函数的定义域均为，现有下述两个命题：
“为奇函数”是“为偶函数”的充分非必要条件；
“为严格增函数”是“为严格增函数”的必要非充分条件．
则说法正确的选项是( )
A. 命题和均为真命题 B. 命题为真命题，命题为假命题
C. 命题为假命题，命题为真命题 D. 命题和均为假命题
4. “阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥九章算术总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为尺和尺，高为尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为平方尺．( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）
5. 已知集合，，则______．
6. 函数的定义域是______．
7. 复数，则______．
8. 已知向量，，若，则的值为______ ．
9. 的二项展开式中的系数为______ ．
10. 若圆锥的轴截面是边长为的正三角形．则圆锥的侧面积是______．
11. 若两个正数、的几何平均值是，则与的算术平均值的最小值是______．
12. 已知，则曲线在处的切线方程是______．
13. 已知二次函数的值域为，则函数的值域为______．
14. 从正方体的个顶点中任选个，则这个点在同一个平面的概率是______结果用简分数表示．
15. 已知是圆柱的一条母线，是圆柱下底面的直径，是圆柱下底面圆周上异于、的点．若圆柱的侧面积为，则三棱锥外接球体积的最小值为______．
16. 已知、为椭圆：的左右焦点，为的上顶点，直线经过点且与交于、两点．若垂直平分线段，则的周长是______．
三、解答题（本大题共5小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知函数，．
求函数的单调增区间；
在锐角中，角、、的对边分别为、、，当，，且三角形的面积为时，求．
18. 本小题分
已知数列是公差不为的等差数列，，且，，成等比数列．
求数列的通项公式；
求当为何值时，数列的前项和取得最大值．
19. 本小题分
如图，棱长为的正方体中，、、分别是、C、的中点．
证明：、、、四点共面；
求异面直线与所成角的大小；结果用反三角函数值表示
求三棱锥的体积．
20. 本小题分
已知抛物线：的焦点为，准线为．
若为双曲线：的一个焦点，求双曲线的方程；
设与轴的交点为，点在第一象限，且在上，若，求直线的方程；
经过点且斜率为的直线与相交于、两点，为坐标原点，直线、分别与相交于点、试探究：以线段为直径的圆是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由．
21. 本小题分
定义如果函数和的图像上分别存在点和关于轴对称，则称函数和具有关系．
判断函数和是否具有关系；
若函数和不具有关系，求实数的取值范围；
若函数和在区间上具有关系，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：令，，满足是偶数，但，都不是偶数，故充分性不成立，
，都是偶数，
则是偶数，故必要性成立，
故“是偶数”是“，都是偶数”的必要不充分条件．
故选：．
根据已知条件，依次讨论充分性，必要性，即可求解．
本题主要考查充分条件与必要条件的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
，
当时，是负实数，
当时，是虚数，
虚数的平方一定是虚数或负实数．
故选：．
利用虚数的定义、运算法则直接求解．
本题考查虚数的定义、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，
对于，若为奇函数且在其定义域内可导，函数的图象关于原点对称，则其图象任意一点的切线斜率必定关于轴对称，即其导函数必为偶函数，
反之，若为偶函数，则不一定为奇函数，如，其导数为偶函数，
故“为奇函数”是“为偶函数”的充分非必要条件，是真命题；
对于，若为严格增函数，但不一定严格增函数，如，其导数，
故“为严格增函数”不是“为严格增函数”的必要条件，是假命题；
故选：．
根据题意，依次分析两个命题的真假，即可得答案．
本题考查命题真假的判断，涉及导数与函数单调性的关系，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意可得这个四棱锥的外接球的直径是：
长、宽分别为尺和尺，高为尺的长方体的直径，设外接球的半径为，
则，
该球的表面积为，
故选：．
根据题意可得这个四棱锥的外接球的直径是：长、宽分别为尺和尺，高为尺的长方体的直径，再利用长方体的对角线公式求出球的直径，从而可得球的表面积．
本题考查四棱锥的外接球问题，分割补形法，属基础题．
5.【答案】
【解析】解：，，
则．
故答案为：．
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：函数的定义域满足，
解得，
函数的定义域是．
故答案为：．
函数的定义域满足，由此能求出结果．
本题考查对数函数的定义域的求法，是基础题，解题时要注意分式不等式的合理运用．
7.【答案】
【解析】解：，
．
故答案为：．
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：，且，，
，
解得，，
．
故答案为：．
根据向量共线定理的坐标式，建立方程，即可求解．
本题考查向量共线定理的坐标式，方程思想，属基础题．
9.【答案】
【解析】解：，
，
当时，的二项展开式中的系数为：
．
故答案为：．
推导出，当时，能求出的二项展开式中的系数．
本题考查二项式定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：圆锥的轴截面是边长为的正三角形，
圆锥的底面半径，母线，
故圆锥的侧面积．
故答案为：．
根据题意可得圆锥的底面半径和母线长，进而根据圆锥侧面积公式求得结果．
本题考查圆锥的侧面积的计算，属基础题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，两个正数、的几何平均值是，即，
而与的算术平均值为，
则有，即与的算术平均值的最小值是；
故答案为：．
根据题意，由基本不等式可得，结合几何平均值和算术平均值的定义，即可得答案．
本题考查基本不等式的性质以及应用，注意几何平均值和算术平均值的定义，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：，
，又，
利用点斜式得到切线方程为：，即．
故答案为：．
对函数求导，切线斜率，利用点斜式即得切线方程．
本题考査了导数在切线问题中的应用，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，二次函数的值域为，则有，
解可得：，
则，
由于，则，即函数的值域为；
故答案为：．
根据题意，由二次函数的性质求出的值，结合对数函数的性质分析可得答案．
本题考查函数的值域计算，涉及二次函数的性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：从个顶点中任选个共有种选法，
在同一个平面的选法共有种，对角面的选法共有种，所以个点在同一个平面的共有个，
所以所求事件的概率为，
故答案为：．
分别求出选取的总的个数以及所求事件的个数，然后根据古典概型的概率计算公式即可求解．
本题考查了古典概型的概率计算公式的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：如图：设圆柱的母线长为，底面半径为，
则由题可得：，可得，
又是圆柱的一条母线，是圆柱下底面的直径，是圆柱下底面圆周上异于、的点，
则，又，
，，平面，
可得面，
又面，
可得，
故A是和的公共斜边，
故A即为所求球的直径，
而，当且仅当，即，时等号成立，
所以球的半径的最小值为，
故三棱锥外接球体积的最小值为
故答案为：
根据已知条件得到，进而推导得到即为所求球的直径，结合基本不等式求出球的半径的最小值，进而求解结论．
本题主要考查三棱锥的外接球，考查基本不等式的应用以及线面垂直的证明，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由题意可知，，，，
设的中点为，则，
直线经过点且与交于、两点且垂直平分线段，
，
则，解得，
，
又垂直平分线段，
，，
的周长．
故答案为：．
由题意可知，，，，设的中点为，则，根据直线经过点且与交于、两点且垂直平分线段，求得和，又，，根据椭圆的定义即可求解．
本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
17.【答案】解：，
要求的单调增区间，只需，，
解得，，
故函数的单调增区间为，．
由已知得，结合为锐角，
，解得，
又，且三角形的面积为，故，
解得，所以，
故．
【解析】先将原函数化为的形式，再利用正弦函数的单调性、复合函数单调性的性质求解；
据题意，求出，再结合面积公式求出的值，最后利用余弦定理求出．
本题考查三角恒等变换以及正余弦定理、面积公式的应用，属于中档题．
18.【答案】解：设公差为，由已知得，
解得或舍，故；
由，该数列为递减数列，
令，得，故为最大值，
即的值为或时，数列的前项和取得最大值．
【解析】根据已知条件列出，的方程组，求解即可；
可知，所有非负项之和最大，求出时，的最大值即可．
本题考查等比数列通项的求法，以及利用性质研究前项和的最值，属于中档题．
19.【答案】证明：如图，连接，
、分别是、的中点，，而，
，即、、、四点共面；
解：，即为异面直线与所成角，
连接，由已知可得，，，
，
异面直线与所成角的大小为；
解：取的中点，连接，，设交平面于，连接，，
可得，则，求得，，
，
．
【解析】连接，证明，可得、、、四点共面；
由知，可得为异面直线与所成角，然后求解三角形可得答案；
直接利用等体积法求解．
本题考查多面体体积的求法，考查划归与转化、数形结合思想，考查推理论证能力与运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：由抛物线：，可得焦点，准线：．
为双曲线：的一个焦点，
，解得，
故，
故双曲线的方程为；
与轴的交点为，设点，
点在上，，
，，解得，，
，
直线的方程为：，化为：．
设，，
直线的方程为：，，
联立，化为：，
，，
直线的方程为：，可得，
直线的方程为：，可得，
线段的中点，
，
其半径．
以线段为直径的圆方程为：，化为，
令，则，或．
以线段为直径的圆过定点，或．
【解析】由抛物线：，可得焦点，准线：．
由为双曲线：的一个焦点，可得，解得，即可得出双曲线的离心率．
与轴的交点为，设点，根据点在上，，可得，，解得，，进而得出直线的方程．
设，，直线的方程为：，，与抛物线方程联立化为：，可得根与系数的关系，直线的方程为：，可得坐标，直线的方程为：，可得坐标，可得线段的中点，进而得出以线段为直径的圆方程，即可判断出结论．
本题考查了抛物线与双曲线的标准方程及其性质、圆的标准方程、直线与抛物线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、直线相交问题、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
21.【答案】解：由已知得，化简得，
解得，故此时函数和具有关系；
由已知得在上无解，
显然不满足上式，故当且仅当时取等号，
故时，原方程无解，即函数和不具有关系，
即所求的范围是；
由已知得在上有解，
即在上有解，令，，
，，
再令，
当时，，且，故此时，
当时，易知时，，
此时，故在上递增，故在上恒成立，
即在上恒成立，故在单调递增，
而，且时，，
故，即，解得即为所求，
故所求的范围是．
【解析】即判断当时，是否有解；
即当时，没解，求的范围；
即研究当在上有解时，求的范围，可分离参数求解．
本题考查新定义问题，函数零点的存在性问题，以及利用二阶导数导数研究函数的单调性，进而解决函数值域问题的思路，属于较难的题目．
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