2022-2023学年江苏省盐城市亭湖高级中学高三（上）摸底数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省盐城市亭湖高级中学高三（上）摸底数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，为质数，则的非空子集个数为( )
A. B. C. D.
2. 已知命题：，，则为( )
A. B.
C. D.
3. 函数的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
4. 为了得到函数的图像，只需把函数的图像上的所有点( )
A. 向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度
B. 向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度
D. 向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度
5. 函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
6. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上是单调递增的设，，
，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7. 已知函数的定义域为、且满足：，又为偶函数，当时，，则的值为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数，，若存在，对任意，使得，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 图中阴影部分所表示的集合是( )
A.
B.
C.
D.
10. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数可以是( )
A. B. C. D.
11. 已知定义在上的偶函数满足，且当时，是减函数，则下列四个命题中正确的是( )
A.
B. 直线 为函数 图象的一条对称轴
C. 函数 在区间上存在 个零点
D. 若 在区间上的根为 ，，则
12. 任何一个正整数都可以表示成，此时则下列结论正确的是( )
真数
近似值
A. 是位数 B. 是位数 C. 是位数 D. 是位数
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 函数的定义域为 ．
14. 写出一个同时具有性质对任意，都有；的函数 ______ ．
15. 设，为正实数，已知，则的值为______ ．
16. 已知是定义在上的偶函数，且，当时，，若函数且有且仅有个零点，则的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知集合，．
若，求；
在，中任选一个，补充到横线上，并求解问题．
若_____，求实数的取值范围．
18. 本小题分
已知函数的解析式．
求；
若，求的值；
画出的图象，并写出函数的值域直接写出结果即可．
19. 本小题分
已知函数，若在点处的切线方程为．
求，的值；
求函数在上的最大值．
20. 本小题分
某医药公司研发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，由监测数据可知，服用后小时内每毫升血液中含药量单位：微克与时间单位：时之间的关系满足如图所示的曲线，当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数，且图象的一部分，根据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于微克时，治疗有效．
试求服药后小时内每毫升血液中含药量与时间之间的函数关系式；
问服药多久后开始有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？参考数据
21. 本小题分
已知函数．
判断并证明在其定义域上的单调性；
若对任意恒成立，求实数的取值范围．
22. 本小题分
已知函数．
当时，求的单调区间；
若，设，是的两个极值点，求证；．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为集合，为质数，
则的非空子集个数．
故选：．
由已知先求出，然后结合集合子集个数的规律可求．
本题主要考查了集合交集运算及集合子集个数的求解，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据命题的否定可知，
为．
故选：．
根据全称命题的否定，即可解出．
本题考查了全称命题的否定，学生的逻辑推理能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查复合函数的单调性及对数函数的图象和性质．
由得：或，令，结合复合函数单调性“同增异减”的原则，可得答案．
【解答】解：由得：或，
即的定义域为或，
令，
在内单调递增，
而时，为减函数，时，为增函数，
故函数的单调递增区间是．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：因为，
所以为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度．
故选：．
将所得函数解析式变形为，然后利用函数图像的平移法则可得出结论．
本题考查了函数图像的平移变换，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：函数的定义域为，
且，
则函数为奇函数，排除选项D；
当时，，则，
当时，，则排除选项选项B、．
故选：．
由函数的奇偶性排除选项D，由函数的趋近性排除选项B、，由此可得答案．
本题考查根据函数解析式确定函数图象，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由于函数是定义在上的偶函数，且在上是单调递增的，
故函数在为单调递减函数，
由于，且，
故．
故选：．
直接利用函数的单调性和奇偶性的应用及对数的运算的应用求出数的大小关系．
本题考查的知识要点：函数的单调性和奇偶性的应用，对数的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由，可知函数关于点中心对称，即有，
由为偶函数，可得函数关于对称，即有，
所以，所以，
从而可得，因此可得函数的周期为，
所以，，
再由，令，可得，即，
所以．
故选：．
由，可得，再根据条件得到周期后即可求解．
本题主要考查函数奇偶性的性质，判断函数的周期是解题的关键，考查运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：函数在上单调递增，
；
又在上单调递增，
．
又存在，对任意，使得恒成立，
，
即，解得，
即实数的取值范围是，
故选：．
依题意，可求得与，由已知可得，解不等式，即可求得的取值范围，得到答案．
本题考查了函数恒成立问题及对勾函数与对数函数的单调性质，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：如图所示的韦恩图，
选项：，故A正确；
选项：，故B错；
选项：，故C正确；
选项：，故D错．
故选：．
根据交并补的计算和韦恩图判断即可．
本题主要考查了集合的交集，并集及补集运算，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：“”．
“”，或．
“”是“”的充分不必要条件，
，或，解得：，或，
则实数可以是．
故选：．
分别解出””，“”，根据”是“”的充分不必要条件，即可得出．
本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查抽象函数的应用，涉及函数的奇偶性、单调性与周期性，考查逻辑推理能力，属于中档题．
利用赋值法及偶函数的性质，结合函数的周期性，对称性和单调性即可求解．
【解答】
解：令，得，则，
又函数是偶函数，故，故A正确；
根据可得，所以，
由，所以，
故直线是函数图象的一条对称轴，故B正确；
由为偶函数，周期为，，且当时，是减函数，
可得函数在区间上存在个零点，故C不正确；
易得函数的图象关于直线对称，故，即，故D正确．
故选ABD．
12.【答案】
【解析】解：，所以是位数，故A正确，不正确；
设，则，所以，所以是位数，故C不正确；
对于，若，则，则，故是位数，故D正确．
故选：．
结合已知条件以及对数运算对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
由对数式的真数大于，分母中根式内部的代数式大于，联立不等式组求解．
【解答】
解：要使原函数有意义，则，解得．
函数的定义域为．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：因为对任意，都有，
所以函数在上减函数．
又，故函数可以为．
故答案为：答案不唯一．
根据题意可得函数在为减函数，且再写出即可．
本题主要考查了函数性质的简单应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，为正实数，
由，
可得，
则，
则，
则，
两边同时除以得．
故答案为：．
根据对数的运算法则及根式的运算法则计算可得．
本题考查对数的运算法则及根式的运算法则，比较基础．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数零点问题，利用对数函数的图象与性质求参，以及函数的对称性、周期性，属于较难题．
由题意易知为的周期函数，利用偶函数性质得到函数一个周期上的解析式，函数且有且仅有个零点，等价于函数与函数有个交点，分别画出两个函数图像，使其有个交点，即可列出不等式组，解出即可．
【解答】
解：因为是定义在上的偶函数，所以，
又，所以，
所以为的周期函数，
令，则，
所以，
又，所以当时，，
函数且有且仅有个零点，等价于函数与函数有个交点，
当时，函数与函数只有个交点，不满足题意；
当时，画出图像：
如图所示，要使函数与函数有个交点，
则，解得．
故答案为：．
17.【答案】解：当时，集合，
，
则．
选择，
则，
当时，，解得，符合题意，
当时，，解得，
综上所述，实数的取值范围为，．
选择，
则，
当时，，解得，符合题意，
当时，，解得，
综上所述，实数的取值范围为，．
【解析】先求出集合，再结合并集的定义，即可求解．
选择，推出，再分是否为空集讨论，即可求解．
选择，推出，再分是否为空集讨论，即可求解．
本题主要考查并集、交集的运算，属于基础题．
18.【答案】解：，，
；
，，
或或，解得或，
故或；
作出函数，如图所示：
由图象得，的最大值为，故函数的值域为．
【解析】本题考查分段函数的性质、函数的图象和函数的值，考查分类讨论思想和数形结合思想，属于中档题．
根据分段函数的性质，先求的值，即可得出答案；
根据分段函数的性质，分类讨论即可得出答案；
根据分段函数的性质，即可作出函数图象，由图象可知函数值域．
19.【答案】解：，
由题意得，
所以，；
由得，，
因为，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
故当时，函数取得极大值，
又，，
故函数在上的最大值为．
【解析】本题主要考查了导数的几何意义及导数与单调性及最值关系的应用，属于中档题．
先对函数求导，然后结合导数的几何意义即可求解，；
结合导数分析函数的单调性，然后结合单调性与最值关系可求函数的最大值．
20.【答案】解：当时，由图象可设，
将点的坐标代入上述方程，解得，
即当时，，
当时，将点代入，
解得，
故；
令，解得，
即，又因为，
所以，故服药小时之后开始有治疗效果，
令，解得，
又因为，
所以，
综上，
所以服药后的治疗效果能持续小时．
【解析】利用待定系数法求出每一段的函数解析式，最后写成分段函数的形式即可；
利用二次函数和对数函数的性质求解．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于中档题．
21.【答案】解：在上单调递增，证明如下：
设，
，
，
，
又，
，即，
在上单调递增；
法一：，
为上的奇函数，
由得，，
由知，在上单调递增，
在上恒成立，
当时，，
在上恒成立，
令，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增．
，
，
故实数的取值范围为．
法二：，
为上的奇函数，
由得，，
由知，在上单调递增，
在上恒成立，
令，则，即在上恒成立，
令，，
，解得，
故实数的取值范围为．
【解析】在上单调递增，根据定义：取值，作差，变形，比较大小，即可证明；
法一：先为奇函数，则题意转化为在上恒成立，分离变量得在上恒成立，构造函数，求出其最小值即可得出答案．
法二：先为奇函数，则题意转化为在上恒成立，令，则，转化为在上恒成立，令，根据二次函数的图象和性质，列出不等式求解即可．
本题考查函数的单调性、奇偶性及不等式恒成立问题，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：当，
求导，得恒成立，
所以函数的减区间为，无增区间；
证明：依题意，，其中，
当时，有两根，即，是的两个极值点，
所以，
，
所以，
只需证：，
即证：，不妨设，
只证：，
即证，
即证：，
故证，
设函数，则，
故在区间内单调递增，
所以，即，
从而．
【解析】对函数求导，判断导数的符号可证，由此可得的减区间，无递增区间；
分析条件可知，要想证明结论只需证：，利用分析法和导数进行分析证明即可．
本题考查了导数的综合应用，属于难题．
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