天津市重点中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题（含解析）

天津市重点中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题
一、单选题（本大题共10小题，共50.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 过点与点的直线的倾斜角为( )
A. B. C. 或 D.
2. 离心率为的双曲线的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
3. 已知直线：与圆：交于，两点，若，则( )
A. B. C. D.
4. 圆和圆交于、两点，则相交弦的垂直平分线的方程为( )
A. B. C. D.
5. 椭圆的焦点为，，与轴的一个交点为，若，则( )
A. B. C. D.
6. 设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若，则( )
A. B. C. D.
7. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，的面积为，过点的直线交于点，，且的周长为，则的标准方程为( )
A. B. C. D.
8. 过抛物线焦点的直线交抛物线于两点点在第一象限，若直线的倾斜角为，则的值为( )
A. B. C. D.
9. 已知等轴双曲线的焦距为，左、右焦点，在轴上，中心在原点，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
10. 已知椭圆的方程为，焦距为，直线与椭圆相交于，两点，若，则椭圆的离心率为．
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
11. 已知直线：与直线：平行，则的值为__________．
12. 若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为 ．
13. 若直线经过抛物线的焦点，则__________．
14. 已知直线与椭圆相交于，两点，若中点的横坐标为，则的值为__________．
15. 已知抛物线：的准线为，若为上的一个动点，设点的坐标为，则的最小值为__________．
16. 如图，双曲线：的左、右焦点分别为，，过作线段与交于点，且为的中点若等腰的底边的长等于的半焦距，则的离心率为 ．
三、解答题（本大题共4小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
在直角中，是直角，顶点，的坐标分别为，，圆是的外接圆．
求圆的方程；
求过点且与圆相切的直线的方程．
18. 本小题分
如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为棱的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
求平面与平面的夹角的余弦值．
19. 本小题分
已知椭圆：，离心率，上顶点．
求椭圆的标准方程；
已知过点的直线交椭圆于点，交轴于点，且满足，求该直线的方程．
20. 本小题分
已知椭圆过点，且半焦距．
求椭圆的标准方程；
如图，已知，过点的直线与椭圆相交于两点，直线与轴分别相交于两点，试问是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查已知两点求直线的倾斜角，熟记斜率计算公式即可，属于基础题．
根据斜率的两点式求出斜率，即可得出倾斜角．
【解答】
解： ，
故直线的倾斜角为 ．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，属于基础题．
设，，根据双曲线的离心率为，求出与的比值，然后求出双曲线的渐近线方程．
【解答】
解：不妨设，，
由双曲线的离心率为，
可得，即．
所以该双曲线的渐近线方程为，即．
故选D．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于基础题．
根据圆的方程求出圆心和半径，写出圆心到直线的距离，结合垂径定理可得结果．
【解答】
解：的圆心坐标为，半径，
圆心到直线的距离，
则 ，
解得：，
即．
故选．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆与圆的公共弦问题，求直线方程，属基础题．
两圆的相交弦的垂直平分线是通过两个圆圆心的直线，根据两圆的一般方程求得圆心的坐标，利用直线方程的两点式求得直线的方程．
【解答】
解：由两圆的方程可得两圆的圆心分别为
两圆的相交弦的垂直平分线是通过圆心 的直线，
由直线方程的两点式得到直线 的方程为： ，
整理得： ，
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了椭圆的性质，考查了计算能力，属于基础题．
由题意利用椭圆的性质可求，，可求，解三角形即可求解的值．
【解答】
解：由题意可得，，
又因为，可得，
可得，解得．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抛物线的定义应用，属基础题．
将 代入抛物线方程，再利用焦半径公式可得 ，联立求解．
【解答】
解：因为 ，
根据抛物线定义 ，
又 ，可得 ．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的标准方程和椭圆简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．
利用已知条件列出方程组，求出，，根据椭圆的焦点在轴上，即可得到椭圆方程．
【解答】
解：由题意可得解得，，
因为椭圆的焦点在轴上，
所以的标准方程为．
故选C．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，考查学生的分析问题和解决问题能力，属于中档题．
设出直线方程代入抛物线方程，求出、两点纵坐标，利用抛物线定义，即可得到结论．
【解答】
解：设，，，
直线的方程为：，
将直线方程代入抛物线方程，消去可得，
点在第一象限，解得：，，
，
故选B．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的定义与几何性质，理解等轴双曲线的概念是解题的突破口，利用双曲线的定义解决最值问题是关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
易知，，，从而判断点在双曲线外，再结合双曲线的定义，可推出当、、三点共线时，取得最小值．
【解答】
解：由题意知，，，
，
，，
点，，
点的坐标为，
点在双曲线外，如图所示，
由双曲线的定义知，，
，
当、、三点共线时，取等号，
的最小值为．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与椭圆的位置关系和椭圆的几何性质，属于中档题．
根据直线过原点，且，则，设出点的坐标，利用已知条件，求出点坐标，代入椭圆即可求解．
【解答】
解：椭圆为，焦距为，直线与椭圆相交于，两点，
设直线与椭圆在第一象限的交点为，
由直线过原点，且，得，即，
解得则，故点的坐标为，
代入椭圆的方程得：，
又，则，即，则，
又解得，即 ．
故选A．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两直线平行的性质，属基础题．
根据两直线平行的条件列式求解即可．
【解答】
解：由题意可知， 的斜率 ， 的斜率 ，
， 解得 ．
故当 时，直线 ： 与直线 ： 平行．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，两直线垂直时斜率满足的关系，以及直线的点斜式方程，其中根据题意得到圆心与点连线垂直于弦所在的直线是解本题的关键．属于基础题．
由点为圆中弦的中点，连接圆心与点，由圆心与坐标求出其确定直线的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为，求出弦所在直线的斜率，由求出的斜率及的坐标，写出弦所在直线的方程即可．
【解答】
解：为圆的弦的中点，
圆心与点确定的直线斜率为，
弦所在直线的斜率为，
则弦所在直线的方程为，即．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抛物线的标准方程求焦点，属于基础题．
先将抛物线的方程化为标准方程得 ，再根据题意求解即可得答案．
【解答】
解：抛物线方程可化为 ，
所以焦点在轴上，
又直线 经过焦点，
所以焦点为 ，
因此 ，解得 ．
故答案为： ．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与椭圆的位置关系，考查了中点坐标公式，属基础题．
把直线方程代入到椭圆方程，消元得，再用韦达定理及中点坐标公式，计算即可得解．
【解答】
解：设 ， ，
把 代入 得 ， ，
因为中点的横坐标为，
所以 ，解得 ．
故答案为： ．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抛物线有关的最值问题，属基础题．
先求得抛物线 的方程，设 ，结合两点间的距离公式，求得 的最小值，由此求得 的最小值．
【解答】
解：由题意知， ，
抛物线 ： ．
设 ，由题意知 ，
则 ，
当 时， 取得最小值，
的最小值为 ．
故答案为： ．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了双曲线的简单性质，考查了运算求解能力和推理论证能力，属于中档题．
根据双曲线的定义和等腰三角形的性质，即可得到，，化简整理可得．
【解答】
解：连结，由条件知，且．
由双曲线定义知，
在中，，
即，
即
解得的离心率，负值舍去
故答案为：．
17.【答案】解：在直角 中， 是直角，顶点 ， 的坐标分别为 ， ，
是直径，则 的中点 ，即圆心 ，
半径 ，
则圆 的方程为 ．
，
点 在圆外，
当切线斜率不存在时，此时切线方程为 ，
圆心到切线的距离 ，此时满足直线和圆相切，
当直线斜率存在时，设为 ，则切线方程为 ，即 ，
则圆心到直线的距离 ，
即 ，平方得 ，
即 ，则 ，此时切线方程为 ，
综上求过点 且与圆 相切的直线的方程为 或 ．

【解析】本题考查求圆的标准方程、切线方程，点到直线的距离公式，两点间距离公式，属于中档题．
由 是直径，可得圆的半径和圆心坐标，进而可得圆的方程．
先考虑斜率不存在的直线是否为切线，再考虑斜率存在时，设切线方程为 ，由圆心到切线距离等于半径求得 ，即可得切线方程．
18.【答案】证明：连接，交于点，连接，又，分别为和的中点，
所以 ，
因为 平面， 平面，所以 平面；
解：因为 平面， 平面，所以 ，
又四边形为矩形，所以 ，
所以以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
， ， ， ， ， ，
所以 ， ，
设平面的法向量 ，
， ，令，解得 ，
所以
又 ．
设直线与平面所成角的正弦值为 ，
所以 ，
所以直线与平面所成角的正弦值 ；
解：由 ， ， ，
设平面的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 ， ，
所以平面的法向量 ，
所以 ，
所以平面与平面的夹角的余弦值为 ．

【解析】本题考查两平面夹角、线面角的求解，线面平行的证明，利用向量法求解是关键，属中档题．
连接，交于点，连接，由中位线定理和线面平行判定定理即可证明结果；
建立空间直角坐标系，写出坐标，求得平面 的法向量，根据线面角公式即可求得直线 与平面 所成角的正弦值；
由可知平面 的法向量，再求得平面 的法向量，利用空间向量法即可求出结果．
19.【答案】解：上顶点 ， ，
又，即，所以，
由得：，解得：，所以，
故椭圆的标准方程为．
当直线 斜率不存在时，此时点与原点重合，为下顶点，此时，不合题意，舍去；
当直线 斜率存在，设 ： ，
令，得，所以．
由，所以．
，如图时，可以得到，
即，

如图时，可以得到．
即 ，
所以直线 的方程为 或 ．

【解析】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
根据离心率得到 ，通过上顶点坐标求出 ，结合 ，求出椭圆的标准方程；
先考虑直线 斜率不存在时，再考虑 斜率存在时，设出 的方程，联立后求出 ，结合图象，把 转化为 与 的横坐标的比，求出直线 的方程．
20.【答案】解：设椭圆的左、右焦点分别为 ，则 ，
由椭圆的定义可得 ，解得 ，
所以 ，
所以椭圆的标准方程为 ．
设直线的方程为 ，
当直线 的斜率不存在时，易知直线 与椭圆相切，不符合题意，同理可得直线 的斜率存在，故直线 的方程为 ，
则 ，即 ，
同理 ．
由 得 ，
由 得 ，
又 ，
所以
，
故 为定值，且 ．

【解析】本题考查了椭圆中的定值问题，直线和椭圆的位置关系应用，属较难题．
由椭圆的定义可得 ，进而由已知求得 ，得出结果．
设直线 的轴截距式方程： ，结合直线方程可得 ， 联立直线方程与椭圆方程有 ，结合根与系数的关系可得 ，则 为定值．
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