2.2基本不等式 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
第一章 统计案例
2.2
基 本 不 等 式
学习目标
1.掌握基本不等式及其推导过程.
2.能用基本不等式解决简单的最值问题.
3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.
4.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性
问题 试比较a2+b2与2ab的大小关系？
解：
当且仅当a=b时，等号成立
PART 重要不等式
当且仅当a=b时，等号成立
文字表述：两个实数的平方和大于等于它们乘积的2倍
重要不等式
上节课我们利用面积法和完全平方公式得出了重要不等式：
，有：
当且仅当时，等号成立.
基本不等式
特别地，如果，我们用分别代替上式中的，可得：
当且仅当时，等号成立
等号成立条件
算术平均数
几何平均数
前提
条件
即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
证明：要证明 ，
只需证明 ，
所以原不等式成立．
只需证 ，
只要证
而 显然成立．
过程：执果索因
分析法
新知探究
分析法
新知探索
在图中，是圆的直径，点是上一点，过点作垂直于的弦，连接你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？
如图，可证 因而
由于小于或等于圆的半径，用不等式表示为.
显然，当且仅当点与圆心重合，即当时，上述不等式的等号成立.
基本不等式的前提条件
在问题“已知x>0，求 x + 的最小值”的解决过程中不难发现：最小值是一个常数2，并且只能在x=1时取到. 换一句话说：如果x<0,或x>2等等，x + 的最小值就不是2或者不存在.
由此我们归纳，依a+b≥2 求两个数和或积的最值，
必须要满足条件：(1) ；
(2) ；
(3) .
1.已知x，y都是正数，求证：
(１)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值２；
(２)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2．
方
法
总结
核心素养 之 逻辑推理 + 数学建模
问
题
分
析
提示：因为x，y都是正数，所以x＋y ≥2．
无论是“和”定还是“积”定，不等号的另一侧部分将会取得最
值，且都在x＝y时取得等号.
基本不等式从一侧到另一侧，本质上是一种放大或缩小；当一侧为定值时，即为另一侧的一最值；当然，要满足取等的条件.
2.已知a，b都是正数，求证：
(１) ≤； (２)≤．
方
法
总结
核心素养 之 逻辑推理 + 数学运算
问
题
分
析
提示：(1) ≥2
(2) )2=≤.
不等式证明过程中，可以先局部使用基本不等式放缩，再整体观察化归； 也可以先两边平方或开方，再用基本不等式.
3.某企业要建造一个容积为18cm3,深为2m的长方体形无盖贮水池，如果池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，怎样设计该水池可使得总造价最低？最低总造价为多少？
方
法
总结
核心素养 之 数学抽象 + 数学建模
问
题
分
析
设贮水池池底长和宽分别为xm,ym，水池总造价为z元，则由容积为18m3, 可得2xy=18, 因此xy=9,
z=200×9+150(2×2x+2×2y)=1800+600(x+y)
≥1800+600×2=5400 当x=y=3时，等号成立.
目标函数中出现两个正变量的和，则依据基本不等式可得其最小值，最后要确认取等条件成立.
【例题】用篱笆围成一个面积为100平方米的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用的篱笆最少，最短长度是多少？
【解】由题意设篱笆的长和宽分别为米，且
所以米
当且仅当米，即围成正方形时，有最短长度40米
基本不等式的实际应用
【例题】用一段长为36米的铁丝网围成一个矩形菜园，当这个矩形的长和宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
【解】由题意设篱笆的长和宽分别为米，且
所以为平方米，根据基本不等式，
，即
当且仅当，即围成正方形时，有最大面积81平方米.
基本不等式的实际应用
【例题】某工厂要建造一个长方体形状的无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深为3米.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池才能使总造价最低？最低造价是多少？
【解】设水池底面的长和宽分别为米，且，总造价元，
根据题意，有
因为容积为，所以，，
当且仅当米时，取得最低总造价
元
，
基本不等式的实际应用
基本不等式
利用基本不等式求最值的条件：
一正、二定、三相等。
基本不等式
基本不等式
3.已知都是正数，求证：
（1）如果等于定值P，那么当时，有最小值
证明：所以
（1）等于定值P时， ，∴
当且仅当时，上式等号成立，此时有最小值
（2）如果等于定值S，那么当时，有最大值
（2）时， ，两边平方，
当且仅当时，上式等号成立，此时有最大值
课堂小结
课堂小结：
(1)重要不等式；
(2)基本不等式.
谢谢大家
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