2.2基本不等式 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
2.2 基本不等式第1课时
第二章等式性质与不等式性质
一
二
三
教学目标
掌握基本不等式，了解基本不等式的证明过程
理解基本不等式的取最值成立条件
（一正二定三相等）
利用基本不等式解决简单的最值问题
教学目标
难点
重点
易错点
在不等关系与不等式一节，我们由赵爽弦图(如下左图)抽象出了一类重要不等式： a2+b2≥2ab ①
不难发现，公式①中，a、b∈R, 当且仅当a=b时等号成立.
a2+b2≥2ab (a、b ∈R，当a=b时取等号) ①
a×a+b×b
a×b+b×a
≥
二次式
二次式
自乘的和
互乘的和
不小于
如果把两个数相乘看成一次合作“圈地”(如图)，那么公式 ①折射出生活的哲理：
自立自强比互相合作更重要！
重要不等式
a
a
b
b
特别地：
a2+b2≥2ab (a、b ∈R，当a=b时取等号) ①
重要不等式
当b=1时，有a2+1≥2a(a∈R) （降次功能）
当b=时，有a2+≥2(a≠0) （消元功能）
求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ca (a、b、c ∈R)
练一练
提示：a2+b2≥2ab
b2+c2≥2bc
c2+a2≥2ca
问题 特别地，如果a>0，b>0，我们用 分别代替上式中的a，b，可以得到怎样的式子？
PART 基本不等式
当且仅当a=b时，等号成立
算术平均数
几何平均数
文字表述：两个正数的算术平均数大于等于几何平均数
【例】
(1) 设a,b,c均为正实数,求证:a+b+c≥++;
(2) 设a,b,c为不全相等的正实数,且a+b+c=1,求证:>8.
思路点拨　(1) 由待证的不等式形式引发用基本不等求解的想法.　
(2) 由于不等式右边的常数“8”,产生直觉——对左边运用三次基本不等式进行放缩.
【证明】
a,b,c均为正实数,可得a+b≥2,b+c≥2,c+a≥2,三式相加可得(a+b)+(b+c)+(c+a)≥2+2+2,即a+b+c≥++.　
(2) 由a+b+c=1,可得-1==,同理可得-1=,-1=,故而=.由a,b,c均为正实数,可得b+c≥2>0,c+a≥2>0,a+b≥2>0,从而(b+c)(c+a)(a+b)≥2·2·2=8abc,当且仅当b=c且c=a且a=b,即a=b=c=时等号成立,但a,b,c不全相等,故等号不成立,因此(b+c)(c+a)(a+b)>8abc,即>8.
2.(1) 证明不等式的方法比较灵活,常用的有:比较法、综合法和分析法等.对涉及正数的条件以及具有和、积的结构特征等的不等式证明,运用基本不等式直接证明常可取到简捷明快的效果.(2) 在证明不等式的过程中,要注意不等式的基本性质的正确应用.
【方法规律】
1.对已知符合基本不等式条件的不等式进行证明，应首先考虑运用基本不等式直接证明．证明方法1是先展开，再运用基本不等式证明；证明方法2是直接运用基本不等式，得到两个同向正数不等式，再运用不等式的性质两边相乘得到要证的不等式。
基本不等式
≤ (a>0, b>0) 的几何解释：
D
A
B
C
E
如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD,
则CD= , 半径为 .
思考：图中什么时候 = ？
基本不等式的简单变形
≥ (a>0, b>0)
≤()2 (a>0, b>0)
≤ (a>0, b>0)
和
积
基本不等式的功能：和积转化
例1.1 如果，求的最小值？
一正
三相等
二定
解：因为，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立
因此所求最小值为2.
例1.2如果，求的最大值？
一正
二定
三相等
负号改变开口方向
例1.3.如果，求的最小值？
解　因为x>1，故有x－1>0，
一正
二定
三相等
拼凑成分母数式
已知 都是正数，证明：
（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值;
(2)如果和等于定值S，那么当时，积有最大值 。
证明：因为都是正数，所以
（1）当积等于定值时， ，所以 ，
当且仅当时，上式等号成立。于是，当时，和有最小值。
（2）和等于定值S时， ，所以，
当且仅当时，上式等号成立。于是，当时，积有最大值。
积定和最小和定积最大
练习1：已知，求证：.
【证明】
，即.
课堂练习
练习2：已知都是正数，且，求证：
（1） （2）
（1）∵ ，
∴ ，
由于，等号取不到，
所以
（2）∵ ， ， ，
∴ ，
∴
∴
∴
∴ ，
【证明】
本题可拓展到求，等同类式子的最小值.
练习3：取何值时，取得最小值？最小值是多少？
【解】由题意∵ ， 所以，
∴,
当且仅当，即时，取得最小值，最小值为
练习4：已知直角三角形的面积为50，当两条直角边的长度各为多少时，
两条直角边的和最小？最小值是多少？.
【解】由题意设两条直角边的长度分别为，且
则面积为，即，
所以，
当且仅当 时，两条直角边的和有最小值20
课堂小结
通常称不等式(1)为基本不等式，其中，叫做正数a，b的算术平均数，正数a，b的几何平均数。
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
即：
谢谢大家
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