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2.2.2不等式的解集——题型·技巧攻略
题型1一元一次不等式(组）的解法 3
◆类型1一元一次不等式 4
◆类型2一元一次不等式组 4
题型2含参一元一次不等式(组）的解法 5
◆类型1含参一元一次不等式 5
◆类型2已知解集取值（范围问题） 6
◆类型3有解问题 7
◆类型4无解问题 7
◆类型6整数解问题 8
题型3绝对值不等式 8
◆类型1小于取中间大于取两边 9
◆类型2零点分段法 10
◆类型3平方法 11
题型4距离问题与中点问题 11
◆类型1距离问题 11
◆类型2中点问题 11
◆类型3取值范围问题 12
题型5含参绝对值不等式 12
◆类型1已知解集问题 12
◆类型2充分（必要）结合问题 13
◆类型3恒成立问题 13
◆类型4有解问题 14
◆类型5最值问题 14
◆类型6含参整数解问题 14
题型6新定义 14
知识点一.不等式（组）的解集
1.不等式的解集：一般地，能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．
2.不等式组的解集：对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集.
注意：解不等式的理论依据是：不等式的性质.
知识点二. 绝对值不等式
1.绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．
2.绝对值不等式的解集
不等式 m>0时不等式的解集 m<0时不等式的解集 m=0时不等式的解集
x|
|x|>m {x|x>m或x<-m} R {x|x≠0且x∈R}
提升：(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c －c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.
3.含有绝对值的不等式的性质
(1)如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立；
(2)|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|；
(3)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.
注意：
①.绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，数形结合法，构造函数法.
②.不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决.
③.可以利用绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|求函数最值，要注意其中等号成立的条件.
4.绝对值不等式的几何意义
（1）数轴上两点之间的距离公式∶数轴上两点A（a），B（b）之间的距离AB =|a-b|
（2）数轴上两点的中点坐标公式∶数轴上两点A（a），B（b）的中点坐标
绝对值不等式的几何意义.
不等式（m>0） 解集的几何意义
|x||x|>m 数轴上与原点的距离大于m的所有数的集合
|x-b||x-b|>m 数轴上与表示b的点的距离大于m的所有数的集合解集的几何意义
（4）本质∶就是表示未知量到数轴上某点处的距离.
（5）应用∶利用绝对值的几何意义可以较快求解简单的绝对值不等式问题以及由两个简单绝对值和构成的不等式问题. 思考
注意：数轴上任意两点之间的距离都可以利用此公式计算。
题型1一元一次不等式(组）的解法
【方法总结】 1.一元一次不等式的解法 解一元一次不等式的一般步骤： （1）去分母； （2）去括号； （3）移项； （4）化成（或等）的形式（其中）； （5）两边同时除以未知数的系数，得到不等式的解集． 2.解一元一次不等式组的一般步骤 （1）求出不等式组中各个不等式的解集； （2）在数轴上表示各个不等式的解集； （3）确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集．
◆类型1一元一次不等式
【例题1-1】（2021秋·海南·高一海南二中校考阶段练习）不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】1. （2022秋·全国·高一专题练习）不等式的解集为（ ）
A．或 B．
C． D．
【变式1-1】2. （2021·高一课时练习）不等式的负整数解有（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-1】3. （2022秋·全国·高一专题练习）关于x 的不等式 2x-2 <(x-3)-(5-x)的解集是 .
◆类型2一元一次不等式组
【例题1-2】（2023·高一课时练习）设不等式组的解集为，则下列集合中包含于的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】1. （2022·全国·高一专题练习）不等式组的整数解共有 个.
【变式1-2】2. （2020秋·云南玉溪·高一云南省玉溪第一中学校考阶段练习）解不等式组，则该不等式组的最大整数解是 .
【变式1-2】3. （2023·高一课时练习）解不等式组.
【变式1-2】4.（2020·高一课时练习）不等式组的解集在数轴上应表示为（ ）
A． B．
C． D．
题型2含参一元一次不等式(组）的解法
【方法总结】 求解含参不等式的问题，一定要讨论x的系数的取值范围
◆类型1含参一元一次不等式
【例题2-1】（2023·高一课时练习）关于x的不等式的解集，下列说法不正确的是（ ）
A．可能为 B．可能为 C．可能为 D．可能为
【变式2-1】1. （2022秋·上海奉贤·高一校考阶段练习）设，解关于的不等式，下列说法正确的是（ ）
A．该不等式的解集为； B．该不等式的解集为；
C．该不等式的解集可能为； D．该不等式的解集不可能为.
【变式2-1】2. （2021·全国·高一专题练习）不等式组有解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
【变式2-1】3. （2022秋·全国·高一专题练习）设m为实数，解关于x的不等式.
【变式2-1】4. （2022秋·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）已知，解关于x的不等式组
【变式2-1】5. （2022秋·全国·高一专题练习）求关于的不等式的解集.
◆类型2已知解集取值（范围问题）
【例题2-2】（2022秋·上海宝山·高一上海市行知中学校考期中）若关于的不等式解集为，则关于的不等式的解集为 .
【变式2-2】1. （2021秋·上海浦东新·高一上海市进才中学校考阶段练习）已知，为常数，若的解集是，则的解集是 ．
【变式2-2】2. 2022秋·辽宁大连·高一校考阶段练习）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ）.
A． B． C． D．
【变式2-2】3.（2022秋·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考阶段练习）已知不等式组解为，则的值为 .
【变式2-2】4.（2022秋·全国·高一专题练习）若1是关于的不等式的解，则实数的取值范围是 .
【变式2-2】5. （2021·高一单元测试）不等式组的解集是，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】6. （2019·高一课时练习）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是
A． B． C． D．
◆类型3有解问题
【例题2-3】（2023·高一课时练习）若不等式组有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】1. （2022秋·上海奉贤·高一校考期中）关于的不等式组的解集不是空集，则实数的取值范围是
【变式2-3】2. （2022秋·吉林·高一吉林毓文中学校考阶段练习）若不等式组有解，则实数的取值范围为（ ）
A． B．或 C． D．或
◆类型4无解问题
【例题2-4】（2023·高一课时练习）已知关于x的不等式的解集为，则 ．
【变式2-4】1. （2022秋·山东潍坊·高一寿光市第一中学校考阶段练习）已知关于的不等式组的解集是，则的取值范围是
A． B． C． D．
【变式2-4】2. （2019·高一课时练习）若不等式无解，则实数的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【变式2-4】3. （2021·高一课时练习）已知关于的不等式，若解集为，则，满足的条件是 ；若解集为，则，满足的条件是 .
【变式2-4】4. （2023·高一课时练习）已知关于的不等式组
（1）当时，求不等式组的解集；
（2）当取何值时.该不等式组的解集是
◆类型5解集为R问题
【例题2-5】（2022秋·全国·高一专题练习）已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A． B． C． D．不存在
◆类型6整数解问题
【例题2-6】（2020·安徽宣城·高一泾县中学校考强基计划）若关于的不等式只有一个整数解2，则实数的取值范围为 ．
【变式2-6】1. （2022·上海·高一专题练习）设a为实数，若关于x的一元一次不等式组的解集中有且仅有4个整数，则a的取值范围是 .
【变式2-6】2. （2023·高一课时练习）如果关于x的不等式组的整数解仅有1，2，试求整数a，b的所有可能的值．
题型3绝对值不等式
【方法总结】 含有绝对值不等式的解法 （1）|x|0);|x|0)的口诀：小于取中间大于取两边. （3）形如|a|<|b|的绝对值不等式的常用方法：两边平方. （4）|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． （5）利用绝对值不等式的性质：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.（三角不等式） （6）充分利用绝对值的几何意义，灵活运用数形结合思想解绝对值不等式.
◆类型1小于取中间大于取两边
【例题3-1】（2021春·陕西渭南·高二校考阶段练习）不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【变式3-1】1. （2022秋·北京·高一校考期中）不等式的解集是 ．
【变式3-1】2. （2019·天津·高考真题）设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式3-1】3. （2022春·江西鹰潭·高二贵溪市实验中学校考期末）已知命题，命题 ，则A是B的什么条件（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
【变式3-1】4. （2019·高一课时练习）不等式2＜|2x＋3|≤4的解集为( )
A． B．
C． D．
【变式3-1】5.（2021秋·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考开学考试）不等式1≤|x＋1|＜3的解集为
◆类型2零点分段法
【例题3-2】（2023·高一课时练习）求下列不等式的解集：
（1）
（2）
（3）
（4）．
【变式3-2】1. （2022秋·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校考开学考试）不等式|x－1|＋|x－2|≤3的最小整数解是（ ）
A．0 B．－1
C．1 D．2
【变式3-2】2. （2022秋·全国·高一专题练习）不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C．且 D．或
【变式3-2】3. （2023·上海松江·校考模拟预测）已知，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件； B．必要不充分条件；
C．充要条件； D．既不充分也不必要条件．
【变式3-2】4. （2021秋·高一课时练习）不等式的解集为 ；
◆类型3平方法
【例题3-3】（2023·全国·高一课时练习）不等式|x－2|－|x－1|＞0的解集为
A． B． C． D． 【答案】A
【变式3-3】1. 不等式的解集为
【变式3-3】2. 解下列不等式：．
题型4距离问题与中点问题
◆类型1距离问题
【例题4-1】（2023·全国·高一课时练习）在数轴上，已知，，原点为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】1. （2022·全国·高一专题练习）已知数轴上，两点的坐标分别为，，则为（ ）.
A．0 B． C． D．
【变式4-1】2. （2023·全国·高一课时练习）数轴上的三点M，N，P的坐标分别为3，-1，-5，则MP-PN等于（ ）
A．-4 B．4 C．12 D．-12
◆类型2中点问题
【例题4-2】（2022·全国·高一专题练习）已知数轴上不同的两点，，则在数轴上满足条件的点的坐标为（ ）.
A． B． C． D．
【变式4-2】（2023·全国·高一课时练习）已知数轴上不同的两点，，若点的坐标为3，且，则线段的中点的坐标为（ ）.
A． B． C．4 D．或
◆类型3取值范围问题
【例题4-3】（2022·全国·高一专题练习）设数轴上点A与数3对应，点B与数x对应，已知线段的中点到原点的距离不大于5，求x的取值范围．
【变式4-3】1. （2022·全国·高一专题练习）已知数轴上三点，，.
（1）若其中一点到另外两点的距离相等，求实数的值；
（2）若中点到线段中点的距离大于1，求实数的取值范围.
【变式4-3】2. （2022·全国·高一专题练习）已知数轴上，．
（1）若A与C关于点B对称，求x的值；
（2）若线段的中点到C的距离小于5，求x的取值范围．
题型5含参绝对值不等式
◆类型1已知解集问题
【例题5-1】（2023·高一课时练习）已知关于x的不等式的解集是，则实数m的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】1. （2020秋·江苏南京·高一校考阶段练习）关于x的不等式|mx－2|＜3的解集为，则m＝ ．
【变式5-1】2. （2019·高一课时练习）若关于的不等式的解集为，求实数的值.
【变式5-1】3. （2019·高一课时练习）关于的不等式的解集为，则实数
【变式5-1】4. （2020·高一课时练习）已知的解集为.
（1）求的值；
（2）若，求证：.
◆类型2充分（必要）结合问题
【例题5-2】（2021秋·湖南常德·高一常德市鼎城区第一中学校考阶段练习）若不等式成立的充分非必要条件是，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】1. （2021秋·江西宜春·高二校考阶段练习）已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则实数的值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】2. （2023·高一课时练习）如果是不等式成立的充分条件，但不是必要条件，则实数的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
◆类型3恒成立问题
【例题5-3】（2020·高一课时练习）对于任意实数x，不等式|x＋7|≥m＋2恒成立，则实数m的取值范围是 ．
【变式5-3】1. （2021秋·高一课时练习）关于x的不等式对任意恒成立，求a的取值范围.
【变式5-3】2. （2019·高一课时练习）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【变式5-3】3. （2022秋·浙江嘉兴·高三嘉兴一中校考期中）已知，则“”是“恒成立”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式5-3】4. （2020·高一课时练习）若关于的不等式在[﹣1,1]上恒成立，则实数的取值范围为 ；
◆类型4有解问题
【例题5-4】（2011·陕西·高考真题）不等式若关于x的不等式存在实数解，则实数的取值范围是
◆类型5最值问题
【例题5-5】（2019·高一课时练习）已知有理数满足：，若的最小值为，最大值为，则 .
◆类型6含参整数解问题
【例题5-6】若不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为________．
题型6新定义
【例题6】（2023·高一课时练习）我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例如.如果，则其解集是
A． B． C． D．
【变式6-1】1. （2023·高一课时练习）对x，y定义一种新运算T，规定：T(x，y)＝ (其中a，b均为非零常数)，这里等式右边是普通的四则运算，例如：T(0，1)＝＝b.已知T(1，－1)＝－2，T(4，2)＝1.
（1）求a，b的值；
（2）若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求实数p的取值范围．
【变式6-1】2. （2020秋·北京·高一北京市第十一中学校考期中）已知，定义：表示不小于的最小整数．如，．若，则的取值范围是 ；若且，则的取值范围是 ．
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2.2.2不等式的解集——题型·技巧攻略
题型1一元一次不等式(组）的解法 3
◆类型1一元一次不等式 4
◆类型2一元一次不等式组 5
题型2含参一元一次不等式(组）的解法 8
◆类型1含参一元一次不等式 8
◆类型2已知解集取值（范围问题） 11
◆类型3有解问题 14
◆类型4无解问题 16
◆类型6整数解问题 19
题型3绝对值不等式 20
◆类型1小于取中间大于取两边 21
◆类型2零点分段法 23
◆类型3平方法 27
题型4距离问题与中点问题 28
◆类型1距离问题 28
◆类型2中点问题 29
◆类型3取值范围问题 30
题型5含参绝对值不等式 31
◆类型1已知解集问题 31
◆类型2充分（必要）结合问题 34
◆类型3恒成立问题 36
◆类型4有解问题 38
◆类型5最值问题 39
◆类型6含参整数解问题 40
题型6新定义 40
知识点一.不等式（组）的解集
1.不等式的解集：一般地，能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．
2.不等式组的解集：对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集.
注意：解不等式的理论依据是：不等式的性质.
知识点二. 绝对值不等式
1.绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．
2.绝对值不等式的解集
不等式 m>0时不等式的解集 m<0时不等式的解集 m=0时不等式的解集
x||x|>m {x|x>m或x<-m} R {x|x≠0且x∈R}
提升：(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c －c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.
3.含有绝对值的不等式的性质
(1)如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立；
(2)|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|；
(3)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.
注意：
①.绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，数形结合法，构造函数法.
②.不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决.
③.可以利用绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|求函数最值，要注意其中等号成立的条件.
4.绝对值不等式的几何意义
（1）数轴上两点之间的距离公式∶数轴上两点A（a），B（b）之间的距离AB =|a-b|
（2）数轴上两点的中点坐标公式∶数轴上两点A（a），B（b）的中点坐标
绝对值不等式的几何意义.
不等式（m>0） 解集的几何意义
|x||x|>m 数轴上与原点的距离大于m的所有数的集合
|x-b||x-b|>m 数轴上与表示b的点的距离大于m的所有数的集合解集的几何意义
（4）本质∶就是表示未知量到数轴上某点处的距离.
（5）应用∶利用绝对值的几何意义可以较快求解简单的绝对值不等式问题以及由两个简单绝对值和构成的不等式问题. 思考
注意：数轴上任意两点之间的距离都可以利用此公式计算。
题型1一元一次不等式(组）的解法
【方法总结】 1.一元一次不等式的解法 解一元一次不等式的一般步骤： （1）去分母； （2）去括号； （3）移项； （4）化成（或等）的形式（其中）； （5）两边同时除以未知数的系数，得到不等式的解集． 2.解一元一次不等式组的一般步骤 （1）求出不等式组中各个不等式的解集； （2）在数轴上表示各个不等式的解集； （3）确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集．
◆类型1一元一次不等式
【例题1-1】（2021秋·海南·高一海南二中校考阶段练习）不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据一元一次不等式的解法求得正确答案.
【详解】，.
所以不等式的解集为.
故选：A
【变式1-1】1. （2022秋·全国·高一专题练习）不等式的解集为（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接求解一元一次不等式.
【详解】，得，所以不等式的解集是.
故选：C
【变式1-1】2. （2021·高一课时练习）不等式的负整数解有（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据解不等式的步骤解出不等式的解集，再找出符合条件的整数即可．
【详解】由可得，所以不等式的负整数解有，，共2个，故选B.
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的解法，掌握解一元一次不等式的基本步骤是关键．
【变式1-1】3. （2022秋·全国·高一专题练习）关于x 的不等式 2x-2 <(x-3)-(5-x)的解集是 .
【答案】
【分析】由不等式性质，计算即可得出结果.
【详解】去括号得， 2x-2 则-2<-8.所以不等式无解，即解集为空集 .
故答案为： .
◆类型2一元一次不等式组
【例题1-2】（2023·高一课时练习）设不等式组的解集为，则下列集合中包含于的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先解一元一次不等式组，再根据集合的包含关系判断可得；
【详解】解：因为不等式，解得，解得，综上可得，所以原不等式组的解得，所以，真包含于，真包含于
故选：D
【变式1-2】1. （2022·全国·高一专题练习）不等式组的整数解共有 个.
【答案】4
【分析】取不等式和的解集的交集，结合x是整数即可确定所有的整数解.
【详解】由得：，由得：，∴不等式组的解集是，
∴不等式组的整数解是0，1，2，3，共4个．
故答案为：
【变式1-2】2. （2020秋·云南玉溪·高一云南省玉溪第一中学校考阶段练习）解不等式组，则该不等式组的最大整数解是 .
【答案】
【解析】解不等式组求得的取值范围，由此求得的最大整数解.
【详解】依题意，
所以的最大整数解为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查不等式的解法，属于基础题.
【变式1-2】3. （2023·高一课时练习）解不等式组.
【答案】
【分析】先分别求出每个不等式的解集，再求出公共解集即可求解.
【详解】由（1）可得，解得：；
由（2）可得，也即，解得：，
所以原不等式组的解集为.
【变式1-2】4.（2020·高一课时练习）不等式组的解集在数轴上应表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】解不等式组解得，然后在数轴上表示；注意实心点、空心点的区别：实心表示包含2 (≤2)，空心表示不包含1 (＞1)
【详解】
∵解不等式(1)得：
解不等式(2)得：
∴不等式组的解集为
在数轴上表示不等式组的解集如下
故选：C
【点睛】本题考查了解不等式、数轴表示不等式解集；数轴上表示解集时注意实心点与空心点的区别
题型2含参一元一次不等式(组）的解法
【方法总结】 求解含参不等式的问题，一定要讨论x的系数的取值范围
◆类型1含参一元一次不等式
【例题2-1】（2023·高一课时练习）关于x的不等式的解集，下列说法不正确的是（ ）
A．可能为 B．可能为 C．可能为 D．可能为
【答案】A
【分析】对a的取值进行分类讨论，然后解不等式.
【详解】若，不等式的左边=0，，B正确；
若，则，D正确；
若，则，C正确；
故选：A.
【变式2-1】1. （2022秋·上海奉贤·高一校考阶段练习）设，解关于的不等式，下列说法正确的是（ ）
A．该不等式的解集为； B．该不等式的解集为；
C．该不等式的解集可能为； D．该不等式的解集不可能为.
【答案】C
【分析】对分四种情况讨论得解.
【详解】解：当时，，该不等式的解集为；
当时，，该不等式的解集为；
当，时，该不等式的解集为；
当，时，该不等式的解集为.
故选：C
【变式2-1】2. （2021·全国·高一专题练习）不等式组有解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】A
【分析】根据给定条件化简不等式组，再列式即可求解作答.
【详解】依题意，，而不等式组有解，则不等式成立，
因此，，即，解得，
所以实数a的取值范围是：.
故选：A
【变式2-1】3. （2022秋·全国·高一专题练习）设m为实数，解关于x的不等式.
【答案】答案见解析
【分析】根据含参数的一元一次不等式的解法，分类讨论，即可求解.
【详解】由题意，不等式，可化为，
当时，即时，不等式为不成立，所以解集为空集；
当时，即时，可得，即解集为；
当时，即时，可得，即解集为，
综上可得，当时，不等式的解集为空集；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
【变式2-1】4. （2022秋·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）已知，解关于x的不等式组
【答案】见解析
【分析】分，，三种情况讨论即可.
【详解】，解得，
， ，
当，显然不等式无解，
当时，，，此时比较与的大小关系，
①，即时，此时，不等式无解，
②，即时，此时不等式解为，
当时，，，，
若，，又，则，此时不等式解集为
综上所述：，不等式无解，
，不等式解集为，
，不等式解集为.
【变式2-1】5. （2022秋·全国·高一专题练习）求关于的不等式的解集.
【答案】答案见解析.
【分析】将转化为，利用一元一次不等式的解法求解.
【详解】不等式等价于，
①当时，原不等式的解集为.
②当时，原不等式等价于
若，则，上述不等式组的解集为；
若，则，上述不等式组的解集为.
③当时，
若，则原不等式等价于由于，故上述不等式组的解集为；
若，则原不等式的解集为;
若，则原不等式等价于由于，故上述不等式组的解集为.
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
◆类型2已知解集取值（范围问题）
【例题2-2】（2022秋·上海宝山·高一上海市行知中学校考期中）若关于的不等式解集为，则关于的不等式的解集为 .
【答案】
【分析】根据给定的解集，求出a，b的关系，再代入求解不等式作答.
【详解】因关于的不等式解集为，则1是方程的根，且，
因此，且，不等式化为：，而，解得，
所以关于的不等式的解集为.
故答案为：
【变式2-2】1. （2021秋·上海浦东新·高一上海市进才中学校考阶段练习）已知，为常数，若的解集是，则的解集是 ．
【答案】
【分析】由不等式的解集可得且，代入不等式中求解即可.
【详解】由题意，不等式解得，∴，，即，
则即，解得，所以解集为．
故答案为：
【变式2-2】2. 2022秋·辽宁大连·高一校考阶段练习）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式的解集，求出参数的值，再代入不等式中，求解即可．
【详解】关于的不等式的解集是，
，把代入得，解得，故选A.
【点睛】本题考查不等式的解集，掌握不等式的解法是解题的关键．
【变式2-2】3.（2022秋·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考阶段练习）已知不等式组解为，则的值为 .
【答案】1
【分析】根据已知求出的值即得解.
【详解】解：，解不等式①得，解不等式②得，
∴原不等式组的解为，∵该不等式组的解为-2所以且，
∴ a=3，b=4，∴.
故答案为：1
【变式2-2】4.（2022秋·全国·高一专题练习）若1是关于的不等式的解，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据1是关于的不等式的解，将1代入求解.
【详解】因为1是关于的不等式的解，
所以，解得，
所以实数的取值范围是，
故答案为：
【变式2-2】5. （2021·高一单元测试）不等式组的解集是，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】化简不等式组得到，结合不等式的解集，得出不等式，求解即可得到m的取值范围.
【详解】,可化为
因为不等式组的解集是
所以，解得：
故选：D
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，属于基础题.
【变式2-2】6. （2019·高一课时练习）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别求出每个不等式的解集，根据不等式组的解集为x＜2可得关于a的不等式，解之可得．
【详解】解①得，解②得，
不等式组的解集为， ，
.
故选D.
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
◆类型3有解问题
【例题2-3】（2023·高一课时练习）若不等式组有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分别解两个不等式，根据原不等式组有解可得出关于实数的不等式，进而可求得实数的取值范围.
【详解】解不等式可得；
解不等式，即，解得.
由于原不等式组有解，则，解得.
故选：C.
【点睛】本题考查根据不等式组有解求参数，考查计算能力，属于基础题.
【变式2-3】1. （2022秋·上海奉贤·高一校考期中）关于的不等式组的解集不是空集，则实数的取值范围是
【答案】
【分析】由题意，分类讨论的范围，先判断时满足条件，当时，再根据，求出的范围，综合即可得出结果.
【详解】解：关于的不等式组的解集不是空集，，
当时，满足不等式组的解集不是空集，满足条件；
当时，不等式组，即，
它的解集不是空集，
，即，即，，
综上可得，的范围为，，，
故答案为：，，.
【点睛】本题考查根据不等式组的解集求参数范围，以及一元二次不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题.
【变式2-3】2. （2022秋·吉林·高一吉林毓文中学校考阶段练习）若不等式组有解，则实数的取值范围为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】A
【分析】由题意可知，从而求出的取值范围即可．
【详解】不等式组有解，
，解得，
即实数的取值范围为．
故选：A．
◆类型4无解问题
【例题2-4】（2023·高一课时练习）已知关于x的不等式的解集为，则 ．
【答案】
【分析】就的符号分类讨论后可求的值.
【详解】当时，的解为，与题设矛盾；
当时，的解为，与题设矛盾；
当时，
若时，即为，此时不等式的解为一切实数，与题设矛盾；
若时，即为，此时不等式的解集为空集，符合题设；
故答案为：
【变式2-4】1. （2022秋·山东潍坊·高一寿光市第一中学校考阶段练习）已知关于的不等式组的解集是，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先分别解两个不等式，再利用交集为空集列不等式求解即可
【详解】解不等式①，得，解不等式②，得.
原不等式组的解集是， ，解得.
故选A.
【点睛】主要考查了一元一次不等式解集的求法，考查交集运算，是基础题
【变式2-4】2. （2019·高一课时练习）若不等式无解，则实数的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别求出各不等式的解集，由题意各不等式的解集为空集，即可求出参数的取值范围．
【详解】
由①得，，由②得，，
又因为不等式组无解，所以.故选A.
【点睛】本题考查不等式组无解问题，属于基础题．
【变式2-4】3. （2021·高一课时练习）已知关于的不等式，若解集为，则，满足的条件是 ；若解集为，则，满足的条件是 .
【答案】 ，
【分析】根据一元一元不等式的解得特征解答即可；
【详解】解：关于的不等式，若解集为，则，；
若解集为，则；
故答案为：，；；
【变式2-4】4. （2023·高一课时练习）已知关于的不等式组
（1）当时，求不等式组的解集；
（2）当取何值时.该不等式组的解集是
【答案】（1）（2）
【分析】（1）将解不等式求交集即可
（2）解不等式利用交集为空集列不等式求解即可
【详解】（1）当时，
解不等式①得，解不等式②得，
不等式组的解集为.
（2）解不等式，得.
不等式组的解集为，
，
.
【点睛】本题考查了解一次不等式组，准确计算是关键，能根据空集求出不等式组的解集是解此题的关键．
◆类型5解集为R问题
【例题2-5】（2022秋·全国·高一专题练习）已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A． B． C． D．不存在
【答案】B
【分析】当时，恒成立，即可得到答案；
【详解】当时，恒成立，不等式的解集为，
故选：B
◆类型6整数解问题
【例题2-6】（2020·安徽宣城·高一泾县中学校考强基计划）若关于的不等式只有一个整数解2，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】求出不等式的解后可得端点满足的不等式组，从而可求参数的取值范围.
【详解】的解为，
因为不等式的整数解只有2，故，故，
故答案为：.
【变式2-6】1. （2022·上海·高一专题练习）设a为实数，若关于x的一元一次不等式组的解集中有且仅有4个整数，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】求得不等式组的解集为，则0一定为不等式组的一个整数解，分不等式的4个整数解为0，1，2，3和不等式的4个整数解为两种情况讨论，即可得出答案.
【详解】解：关于x的一元一次不等式组的解集为，则，
故0一定为不等式组的一个整数解，
若不等式的4个整数解为0，1，2，3时，
则，解得；
当不等式的4个整数解为时，
则，不等式组无解，
综上所述，a的取值范围是.
故答案为：.
【变式2-6】2. （2023·高一课时练习）如果关于x的不等式组的整数解仅有1，2，试求整数a，b的所有可能的值．
【答案】a的值可能为1或2或3，b的值可能为4或5.
【分析】求得不等式组的解，根据整数解确定不等关系得范围，从而得可能的整数值．
【详解】原不等式组的解集可利用a，b表示为.根据不等式组的整数解仅有1，2，可确定a，b的范围为0＜≤1，2≤＜3，
即0＜a≤3，4≤b＜6.因为a，b均为整数．所以a的值可能为1或2或3，b的值可能为4或5.
【点睛】本题考查不等式组的整数解问题，掌握解不等式组是解题基础．
题型3绝对值不等式
【方法总结】 含有绝对值不等式的解法 （1）|x|0);|x|0)的口诀：小于取中间大于取两边. （3）形如|a|<|b|的绝对值不等式的常用方法：两边平方. （4）|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． （5）利用绝对值不等式的性质：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.（三角不等式） （6）充分利用绝对值的几何意义，灵活运用数形结合思想解绝对值不等式.
◆类型1小于取中间大于取两边
【例题3-1】（2021春·陕西渭南·高二校考阶段练习）不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【分析】由绝对值不等式的解法解原不等式即可得解.
【详解】由可得，解得，
故原不等式的解集为.
故选：A.
【变式3-1】1. （2022秋·北京·高一校考期中）不等式的解集是 ．
【答案】或
【分析】利用公式求解绝对值不等式.
【详解】，即或，
解得：或，
故解集为：或
故答案为：或
【变式3-1】2. （2019·天津·高考真题）设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】求出的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】等价于，故推不出；
由能推出．
故“”是“”的必要不充分条件．
故选B．
【点睛】充要条件的三种判断方法：
(1)定义法：根据p q，q p进行判断；
(2)集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题
【变式3-1】3. （2022春·江西鹰潭·高二贵溪市实验中学校考期末）已知命题，命题 ，则A是B的什么条件（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
【答案】B
【分析】解不等式，求出集合，由充分条件、必要条件的定义即可得出答案.
【详解】由得，则，所以集合，
集合，
显然是的子集，所以A是B必要不充分条件.
故选：B.
【变式3-1】4. （2019·高一课时练习）不等式2＜|2x＋3|≤4的解集为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】把原不等式化为2＜2x+3≤4 或﹣4≤2x+3＜﹣2，再把每个不等式的解集取并集．
【详解】由2＜|2x＋3|≤4，可得2＜2x＋3≤4或－4≤2x＋3＜－2.
解得－＜x≤或－≤x＜－.
【点睛】本题考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式来解．
【变式3-1】5.（2021秋·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考开学考试）不等式1≤|x＋1|＜3的解集为
【答案】(－4，－2]∪[0，2)
【分析】对x＋1进行分类讨论，去掉绝对值可得.
【详解】当时，原不等式等价于，解得；
当时，原不等式等价于，解得；综上可得不等式1≤|x＋1|＜3的解集为(－4，－2]∪[0，2).
【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法，通常采用分段讨论法，去掉绝对值求解.
◆类型2零点分段法
【例题3-2】（2023·高一课时练习）求下列不等式的解集：
（1）
（2）
（3）
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】（1）采用零点分区间法，分类讨论解答.
（2）采用零点分区间法，分类讨论解答.
（3）采用零点分区间法，分类讨论解答.
（4）采用零点分区间法，分类讨论解答.
【详解】解：（1）
当时，原不等式可化为，解得；
当时，原不等式化为，解得；
当时，原不等式化为，解得．
综上，原不等式的解集为．
（2）
当时，原不等式可化为，解得；
当时，原不等式化为，即解得；
当时，原不等式化为，解得．
综上，可得原不等式的解集为．
（3）
当时，原不等式可化为，解得；
当时，原不等式化为，解得；
当时，原不等式化为，解得．
综上，可得原不等式的解集为．
（4）
当时，原不等式可化为，解得；
当时，原不等式化为，解得；
当时，原不等式化为，解得．
综上，原不等式的解集为．
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，采用零点分区间法或绝对值的几何意义是两种有效的方法，属于基础题.
【变式3-2】1. （2022秋·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校考开学考试）不等式|x－1|＋|x－2|≤3的最小整数解是（ ）
A．0 B．－1
C．1 D．2
【答案】A
【分析】首先对的范围进行讨论，去掉绝对值符号，转化三个不等式组，求得结果.
【详解】原不等式可化为或或，
解得0≤x≤3，
所以最小整数解是0，
故选：A.
【点睛】该题考查的是有关绝对值不等式的问题，涉及到的知识点有分类讨论去绝对值符号解绝对值不等式，属于简单题目.
【变式3-2】2. （2022秋·全国·高一专题练习）不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C．且 D．或
【答案】D
【分析】根据绝对值不等式的解法，对分类讨论求解即可.
【详解】解：当时，即时，有，解得；
当时，即时，有，解得；
综上不等式的解集为或.
故选：D.
【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法，通常采用分段讨论法，去掉绝对值求解.
【变式3-2】3. （2023·上海松江·校考模拟预测）已知，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件； B．必要不充分条件；
C．充要条件； D．既不充分也不必要条件．
【答案】B
【分析】解出不等式的解集，判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即得答案.
【详解】解，当时，即，则，此时解集为，
当时，即，则，此时解集为，
当时，即，则，此时解集为，
故“”成立时，等价于；
当“”成立时，等价于，
故成立时，不一定推出成立，反之成立，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
【变式3-2】4. （2021秋·高一课时练习）不等式的解集为 ；
【答案】
【分析】根据绝对值定义去掉绝对值符号后再解不等式．
【详解】时，原不等式可化为，，∴；
时，原不等式可化为，，∴．
综上原不等式的解为．
故答案为．
【点睛】本题考查解绝对值不等式，解绝对值不等式的常用方法是根据绝对值定义去掉绝对值符号，然后求解．
◆类型3平方法
【例题3-3】（2023·全国·高一课时练习）不等式|x－2|－|x－1|＞0的解集为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由不等式|x﹣2|﹣|x﹣1|＞0 不等式|x﹣2|＞|x﹣1| （x﹣2）2＞（x﹣1）2即可求得答案．
【详解】∵|x﹣2|﹣|x﹣1|＞0，∴|x﹣2|＞|x﹣1|≥0，∴（x﹣2）2＞（x﹣1）2，
可得﹣4x+4＞﹣2x+1∴x＜．∴不等式|x﹣2|﹣|x﹣1|＞0的解集为{x|x＜}．
故选A.
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，将绝对值不等式转化为二次不等式是关键，着重考查转化思想与运算能力，属于中档题．
【变式3-3】1. 不等式的解集为
【解析】 由不等式两边平方得，，整理得，即，解得，所以，原不等式的解集为.
【变式3-3】2. 解下列不等式：．
【答案】
【分析】不等式变形为，然后由，根式有意义，再平方后求解．
【解析】原不等式化为，所以，解得或，所以．
所以原不等式的解集为．
题型4距离问题与中点问题
◆类型1距离问题
【例题4-1】（2023·全国·高一课时练习）在数轴上，已知，，原点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由与互为相反数，即可得到答案；
【详解】 与互为相反数， ，故选：D
【变式4-1】1. （2022·全国·高一专题练习）已知数轴上，两点的坐标分别为，，则为（ ）.
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴上两点、的距离公式即可得．
【详解】.
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，属于基础题．
【变式4-1】2. （2023·全国·高一课时练习）数轴上的三点M，N，P的坐标分别为3，-1，-5，则MP-PN等于（ ）
A．-4 B．4 C．12 D．-12
【答案】B
【分析】直接根据距离公式计算可得；
【详解】解：，，.
故选：B
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离公式的应用，属于基础题.
◆类型2中点问题
【例题4-2】（2022·全国·高一专题练习）已知数轴上不同的两点，，则在数轴上满足条件的点的坐标为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意，则设点的坐标为，再根据列出等式化简即可解决．
【详解】设点的坐标为.，，即，因为不同的两点，，故，解得故选：C.
【变式4-2】（2023·全国·高一课时练习）已知数轴上不同的两点，，若点的坐标为3，且，则线段的中点的坐标为（ ）.
A． B． C．4 D．或
【答案】D
【分析】由题意根据的坐标及可求的坐标，然后根据中点坐标公式可求中点的坐标．
【详解】记点，，则.，即，解得或.当时，的坐标为；当时，的坐标为.故选D.
【点睛】数轴上两点，的中点坐标公式为．
◆类型3取值范围问题
【例题4-3】（2022·全国·高一专题练习）设数轴上点A与数3对应，点B与数x对应，已知线段的中点到原点的距离不大于5，求x的取值范围．
【答案】
【解析】依题意得到的中点对应的数为，即，根据绝对值的几何意义解答.
【详解】解：因为的中点对应的数为，所以由题意可知，即，因此，所以，因此的取值范围是
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，属于基础题.
【变式4-3】1. （2022·全国·高一专题练习）已知数轴上三点，，.
（1）若其中一点到另外两点的距离相等，求实数的值；
（2）若中点到线段中点的距离大于1，求实数的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）讨论P,Q,R分别为中点；利用中点坐标公式求解即可
（2）利用距离公式求解即可
【详解】（1）若是线段的中点，则， ；
若是线段的中点，则；若是线段的中点，则， .
（2）由题意，知，即， 或，解得或，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查数轴的点坐标，考查中点坐标及距离公式，考查绝对值不等式解法，是基础题
【变式4-3】2. （2022·全国·高一专题练习）已知数轴上，．
（1）若A与C关于点B对称，求x的值；
（2）若线段的中点到C的距离小于5，求x的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）依题意，B为的中点，根据中点公式解答.
（2）首先表示出的中点，再根据数轴上两点的距离公式得到不等式，解得.
【详解】解：（1）∵A与C关于点B对称，∴B为的中点，∴．
（2）∵的中点对应的数为，∴由题意得，即，
解得，∴的取值范围是．
【点睛】本题考查绝对值的几何意义，属于基础题.
题型5含参绝对值不等式
◆类型1已知解集问题
【例题5-1】（2023·高一课时练习）已知关于x的不等式的解集是，则实数m的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解不等式即可.
【详解】由已知，易知，由得：；
故选：A.
【变式5-1】1. （2020秋·江苏南京·高一校考阶段练习）关于x的不等式|mx－2|＜3的解集为，则m＝ ．
【答案】-6
【分析】利用绝对值性质不等式转化为－1＜mx＜5，然后按和分类讨论解得不等式，再结合已知解集求解．
【详解】|mx－2|＜3 －3＜mx－2＜3 －1＜mx＜5，
①若m＞0，则，
由题意得且，无解．
②若m＜0，则，
由题意得且，
所以m＝－6，
综上可得m＝－6.
故答案为：．
【点睛】本题考查解含绝对值的不等式，解题方法是利用绝对值的性质得出等价不等式，直接求解后利用已知解集求参数
【变式5-1】2. （2019·高一课时练习）若关于的不等式的解集为，求实数的值.
【答案】
【分析】解绝对值不等式，讨论a的正负，并利用是解集的端点列方程求解即可
【详解】由得，即.
若，则，则
解得（舍）
若，不等式的解集为（舍）
若，则，则解得.
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查方程思想的应用，是基础题
【变式5-1】3. （2019·高一课时练习）关于的不等式的解集为，则实数
【答案】2
【分析】由可得，根据不等式的解集为列方程求解即可,
【详解】因为，
所以 ,即,
又关于的不等式的解集为，
，且，
，故选答案为2．
【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题.
【变式5-1】4. （2020·高一课时练习）已知的解集为.
（1）求的值；
（2）若，求证：.
【答案】（1）.（2）见解析
【分析】（1）先解绝对值不等式，由此求得的值
（2）利用绝对值不等式求证即可．
【详解】（1）解：不等式可化为，
解得，所以，，.
（2）证明：若，则，即.
【点睛】本题考查了绝对值不等式的基本解法，以及绝对不等式的应用属于基础题．
◆类型2充分（必要）结合问题
【例题5-2】（2021秋·湖南常德·高一常德市鼎城区第一中学校考阶段练习）若不等式成立的充分非必要条件是，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求得不等式的解集，根据充分非必要条件列不等式组，由此求得的取值范围.
【详解】不等式，
由于不等式成立的充分非必要条件是，
所以，
所以的取值范围是.
故选：A
【变式5-2】1. （2021秋·江西宜春·高二校考阶段练习）已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则实数的值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意，可先解出：与：，再由是的充分不必要条件列出不等式即可得出a的取值范围.
【详解】由条件，解得或，故：，
由条件得：，
∵是的充分不必要条件，
∴，
故选：A.
【点睛】本题以不等式为背景考查充分条件必要条件的判断，考查了推理判断能力，准确理解充分条件与必要条件是解题的关键.
【变式5-2】2. （2023·高一课时练习）如果是不等式成立的充分条件，但不是必要条件，则实数的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意，解不等式，求得其解集，进而结合充分、必要条件与集合间包含关系的对应关系，可得不等式组（等号不同时成立），解不等式组即可得答案．
【详解】根据题意，不等式的解集是，设其为，为，
则的充分不必要条件是，
则表示的集合是表示的集合的真子集.
则有（等号不同时成立），解得，故选B.
【点睛】本题考查充分、必要条件的判断及运用，注意与集合间关系的对应即可，对于本题应注意得到的不等式的等号成立与否，需要验证分析．
◆类型3恒成立问题
【例题5-3】（2020·高一课时练习）对于任意实数x，不等式|x＋7|≥m＋2恒成立，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】求出的最小值，然后解不等式可得参数范围．
【详解】令y＝|x＋7|，要使任意x∈R，|x＋7|≥m＋2恒成立，只需m＋2≤ymin，
因为ymin＝0，所以m＋2≤0，
所以m≤－2，所以m的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查含绝对值不等式恒成立问题，解题关键是问题转化，转化为求函数最小值，然后易得参数范围．
【变式5-3】1. （2021秋·高一课时练习）关于x的不等式对任意恒成立，求a的取值范围.
【答案】.
【解析】当时，可化为，结合参数分离思想解参数a的取值范围.
【详解】解：因为，所以原不等式可化为：，
，
对任意恒成立，
.
【点睛】本题考查根据绝对值不等式恒成立求参问题，难度一般，解答时可利用参变分离思想求解参数的取值范围.
【变式5-3】2. （2019·高一课时练习）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将不等式去掉绝对值符号，然后变量分离转为求函数的最值问题.
【详解】不等式去掉绝对值符号得，
即对任意恒成立，
变量分离得，只需，即
所以a的取值范围是
故选B
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和恒成立问题的处理方法，属于基础题.
【变式5-3】3. （2022秋·浙江嘉兴·高三嘉兴一中校考期中）已知，则“”是“恒成立”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】令函数y＝|x﹣2|+|x|，得，然后转化为一个恒成立的判断，再结合充分不必要条件的定义进行判断即可．
【详解】函数y＝|x﹣2|+|x|的值域为[2，+∞），则当a时，|x﹣2|+|x|＞a不恒成立.
若|x﹣2|+|x|＞a恒成立，则说明a小于函数y＝|x﹣2|+|x|的最小值2，即a＜2.
故“a”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的必要不充分条件.
故选B．
【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，根据绝对值不等式的性质是解决本题的关键，属于中档题．
【变式5-3】4. （2020·高一课时练习）若关于的不等式在[﹣1,1]上恒成立，则实数的取值范围为 ；
【答案】[-1,1]
【分析】利用绝对值不等式的定义化简|ax﹣1|≤2，再根据x∈[﹣1，1]讨论a的取值情况，即可求出实数a的取值范围．
【详解】不等式|ax﹣1|≤2，
∴﹣2≤ax﹣1≤2，
∴﹣1≤ax≤3；
又x∈[﹣1，1]，
若a＞0，则﹣a≤ax≤a，∴，解得0＜a≤1；
若a=0，则﹣1≤0≤3，满足条件；
若a＜0，则a≤ax≤﹣a，∴，解得﹣1≤a＜0；
综上，实数a的取值范围是[﹣1，1]．
故答案为[﹣1，1]．
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法与在定义域内的值域问题，利用子集的关系，求出参数的范围应用问题．
◆类型4有解问题
【例题5-4】（2011·陕西·高考真题）不等式若关于x的不等式存在实数解，则实数的取值范围是
【答案】
【详解】先确定的取值范围，再使得能取到此范围内的值即可．
当时，；
当时，；
当时，；
综上可得，所以只要，解得或，
即实数的取值范围是．
◆类型5最值问题
【例题5-5】（2019·高一课时练习）已知有理数满足：，若的最小值为，最大值为，则 .
【答案】5
【分析】首先解不等式：，即可求得x的范围，即可根据x的范围去掉|3﹣x|﹣|x+2|中的绝对值符号，即可确定最大与最小值，从而求得．
【详解】解:解不等式
得，则，
当时，，则，则最大值是，最小值是；
当时，，则.
综上，，，
.
故答案为5
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的求解方法，解不等式要依据不等式的基本性质，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
◆类型6含参整数解问题
【例题5-6】若不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为________．
【答案】(5,7)
【解析】由|3x－b|＜4得－4＜3x－b＜4，即＜x＜，∵不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则 ∴5＜b＜7.
题型6新定义
【例题6】（2023·高一课时练习）我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例如.如果，则其解集是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二阶行列式的运算法则，列出关于x的一元一次不等式，解之即可．
【详解】根据题意得，整理得，解得.
故选A.
【点睛】本题考查解一元一次不等式，考查行列式定义，是基础题
【变式6-1】1. （2023·高一课时练习）对x，y定义一种新运算T，规定：T(x，y)＝ (其中a，b均为非零常数)，这里等式右边是普通的四则运算，例如：T(0，1)＝＝b.已知T(1，－1)＝－2，T(4，2)＝1.
（1）求a，b的值；
（2）若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求实数p的取值范围．
【答案】（1）；（2）－2≤p＜－.
【分析】（1）根据新定义运算列方程组可解得；
（2）利用新定义运算把新不等式组转化为一元一次不等式组，然后解之，再利用不等式组的解恰好有3个整数可得的不等关系，从而得出结论．
【详解】（1）由T(1，－1)＝－2，T(4，2)＝1，得
即
解得
（2）由（1），得T(x，y)＝，则不等式组可化为
解得－≤m＜.
因为不等式组恰好有3个整数解，所以2＜≤3，解得－2≤p＜－.
【点睛】本题考查新定义运算，解题关键是正确理解新定义，利用新定义把问题转化为我们熟知的一元一次不等式组求解
【变式6-1】2. （2020秋·北京·高一北京市第十一中学校考期中）已知，定义：表示不小于的最小整数．如，．若，则的取值范围是 ；若且，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据可得，解不等式可得结果；将不等式化为，分类讨论可知当时有符合题意的解集，由此可得结果.
【详解】由得：，解得：，即的取值范围为；
由得：，即，
当时，，则（舍）；
当时，，则，解得：；
当时，，则，解得：（舍）；
依次类推可知，当时，不成立，
综上所述：，即的取值范围为.
故答案为：；．
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