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2.2.4均值不等式及其应用——题型·技巧攻略
题型1基本不等式取等条件的理解 3
题型2直接法 6
题型3形如型 7
题型4配凑法 8
◆类型1对勾函数法 8
◆类型2公式法 9
◆类型3公式法 10
◆类型4公式法 10
题型5“常数1”之分母是单项式 11
题型6“常数1”之分母是多项式 12
题型7和积可以化“1”型 13
题型8和积不可以化“1”型 14
题型9消元法 15
题型10分子代换消元 16
题型11齐次同除 17
题型12恒成立问题 17
题型13实际应用 18
知识点一.均值不等式的证明
方法1：几何面积法（赵爽所制的弦图)
如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.
设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.
这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有.
得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）
特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：
如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.
通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）
方法2：代数法
∵，当时，；
当时，.所以，（当且仅当时取等号“=”）.
注意：特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：
如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.
通常我们把上式写作：
如果，,，（当且仅当时取等号“=”）.
知识点二.均值不等式的几何意义
如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、.
易证，那么，即.
这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.
注意：在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此均值不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
知识点三.用均值不等式求最大（小）值
在用均值不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.
注意：两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.如是成立的，而不成立.
知识点四.均值不等式的变形
均值不等式 常见形式 使用条件 使用形式 “=”成立的条件
a,b∈R+ a+b≥2 当且仅当a=b时等号成立
a,b∈R a2+b2≥2ab a2+b2≥2|a||b| 当且仅当a=b时等号成立
a,b同号 当且仅当a=b时等号成立
a,b∈R 当且仅当a=b时等号成立
a,b∈R 当且仅当a=b时等号成立
a,b∈R (n>0) 当且仅当a=b时等号成立
题型1基本不等式取等条件的理解
【方法总结】 基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
【例题1】（多选）（2023秋·高一课时练习）已知，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】1. （多选）（2022秋·湖北十堰·高一郧阳中学校考阶段练习）下列推导过程，其中正确的是（ ）
A．因为为正实数，所以
B．因为，所以
C．因为，所以
D．因为，所以，当且仅当时，等号成立
【变式1-1】2. 2023·全国·高一假期作业）不等式中，等号成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】3. （2021秋·上海静安·高一校考期中）给出下列命题中，真命题的个数为（ ）
①已知，则成立；
②已知且，则成立；
③已知，则的最小值为2；
④已知，，则成立．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-1】4. （2022秋·江苏·高三校联考阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．当时，的最小值为2 B．当时，
C．当时，的最小值为2 D．当时，
【变式1-1】5. （2021秋·江西抚州·高一临川一中校考阶段练习）如图是在北京召开的第届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是
A．如果，那么
B．如果，那么
C．对任意正实数和，有， 当且仅当时等号成立
D．对任意正实数和，有，当且仅当时等号成立
【变式1-1】6. （2023春·辽宁·高二凤城市第一中学校联考阶段练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】7. （2021秋·福建宁德·高一福建省宁德第一中学校考阶段练习）《几何原本》卷2的几何代数法（几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明；如图所示图形，点、在圆上，点在直径上，且，，于点，设，，该图形完成的无字证明.则图中表示，的调和平均数、平方平均数的线段分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
题型2直接法
【方法总结】 均值不等式 常见形式使用条件使用形式“=”成立的条件a,b∈R+a+b≥2当且仅当a=b时等号成立a,b∈Ra2+b2≥2ab a2+b2≥2|a||b|当且仅当a=b时等号成立a,b同号当且仅当a=b时等号成立a,b∈R当且仅当a=b时等号成立a,b∈R当且仅当a=b时等号成立a,b∈R(n>0)当且仅当a=b时等号成立
【例题2】（2023秋·上海杨浦·高二复旦附中校考开学考试）已知，且，则的最大值是 .
【变式2-1】1. （2022秋·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）已知a、b大于0，，则的最大值是 ．
【变式2-1】2. （2023春·甘肃兰州·高二兰州一中校考期末）已知，若，则的最大值为 ．
【变式2-1】3. （2023秋·高一课时练习）已知正数满足，求的取值范围．
【变式2-1】4. （2020·全国·高三对口高考）已知x ，且，则的最大值为
【变式2-1】5. （2021秋·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）若正数x，y满足，则的最大值为 ．
题型3形如型
【方法总结】 形如，要分类讨论正负 1.若，则 (当且仅当时取“=”） 2.若，则 (当且仅当时取“=”）
【例题3】（多选）（2022秋·吉林白城·高一校考期中）下列结论正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．的最小值为2
D．的最小值为2
【变式3-1】1. （2023春·山西运城·高二校考阶段练习）已知x∈（0，+∞）.
(1)求的值域；
(2)求的最小值，以及y取得最小值时x的值.
【变式3-1】2. （2022秋·高一课时练习）已知，求的最大值 .
【变式3-1】3. （2023秋·江苏苏州·高三苏州中学校考开学考试）设，则 的最小值为 .
【变式3-1】4.（多选） （2022秋·福建泉州·高一福建省南安第一中学校考阶段练习）已知，，，则的可能取值有（ ）
A． B． C． D．
题型4配凑法
【方法总结】 凑配“对钩”型：添常数凑配.
◆类型1对勾函数法
【例题4-1】（2023·全国·高一专题练习）（1）当时，求函数的最小值；
（2）当时，求函数的最大值；
（3）当时，求函数的最小值；
（4）当时，求函数的最大值；
（5）设，求函数的值域．
（6）①当时，求函数的最大值；
②求函数的最大值；
【变式4-1】1. （2023·全国·高一专题练习）函数取得的最小值时，的值为 ．
【变式4-1】2. （2023·全国·高一课堂例题）函数f（x）＝＋1的最小值为 ．
【变式4-1】3. （2023秋·天津和平·高三天津市第二南开中学校考开学考试）已知，则的最小值为 ．
◆类型2公式法
【例题4-2】（2022秋·陕西商洛·高一校考期中）已知，则取得最大值时x的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】1. （2023·全国·高一课堂例题）函数的最大值是 ．
【变式4-2】2. （2023·全国·高一专题练习）已知，则当取最大值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】3. （2023·全国·高一专题练习）已知，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【变式4-2】4. （2023·全国·高一专题练习），的最大值为 .
【变式4-2】5. （2023秋·江苏淮安·高一统考期末）已知a，b为正实数，满足，则的最小值为 ．
【变式4-2】6.（2022春·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）已知实数a b满足，则的最大值为 .
◆类型3公式法
【例题4-3】（2022秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）已知，则的最大值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【变式4-3】1. （2023秋·山西晋中·高三校考开学考试）已知，则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【变式4-3】2. （2023·高一课时练习）已知正实数x，y满足，则的最大值是 .
【变式4-3】3. （2023·全国·高一专题练习）已知，则的最大值为 .
◆类型4公式法
【例题4-4】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）已知正实数m，n满足，则的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
【变式4-4】1. （2023·全国·高三专题练习）当时，函数的最大值为 .
【变式4-4】2. （2022春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知正数x，y满足，则的最大值为 ．
题型5“常数1”之分母是单项式
【方法总结】 条件和所求式子中有=1与a+b=1，可以借助m=来来构造替换，进而展开用均值不等式
【例题5】（2022秋·天津武清·高一校考阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A． B．9 C． D．
【变式5-1】1. （2023秋·四川巴中·高三统考开学考试）已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．5 B． C．4 D．
【变式5-1】2. (多选)（2023秋·高一单元测试）若，，且，则＋的值可以是（ ）
A．3 B．
C． D．2
【变式5-1】3. （2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考开学考试）已知，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．4
【变式5-1】4. （2022秋·福建泉州·高一统考期中）已知两个正实数x，y满足，则的最小值是 ．
【变式5-1】5.（2023秋·天津西青·高三校考开学考试）已知正实数，满足，则的最小值为 .
【变式5-1】6.（2021春·新疆巴音郭楞·高二校考期中）已知，，则的最小值是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．
【变式5-1】7.（2023·全国·高一专题练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
【变式5-1】8.（2023·全国·高一专题练习）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．9
题型6“常数1”之分母是多项式
【方法总结】 形如a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+m，再利用“1”的代换来求解。 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。
【例题6】（2023秋·四川巴中·高三统考开学考试）已知且，则的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【变式6-1】1. （2023秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）已知，则的最小值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
【变式6-1】2. （2023秋·高一课时练习）若正实数x，y满足，求的最小值．
【变式6-1】3. （2023秋·河南许昌·高三许昌高中校考开学考试）若正数a，b满足，则的取值范围是 ．
【变式6-1】4. （2023春·江西赣州·高三校联考阶段练习）已知不等式的解集为．
(1)求实数的值；
(2)若，且，求的最小值．
【变式6-1】5.（2023秋·浙江杭州·高一杭州市长河高级中学校考期末）若，，且，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
题型7和积可以化“1”型
【方法总结】， 一个式子有 “和”有“积”且无常数型的等式，可以同除积，再进行“1”的代换
【例题7】（2023·全国·高一专题练习）若正数x，y满足，则的最小值是（ ）
A．6 B． C． D．
【变式7-1】1. （2023秋·山东菏泽·高一校考期末）已知正实数、满足，则的最小值是 .
【变式7-1】2.（多选） （2023春·山东德州·高二统考期末）若正实数a，b满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-1】3.（多选） （2023秋·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考开学考试）已知，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-1】4.（2023秋·辽宁丹东·高一丹东市第四中学校考期末）已知正数，满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【变式7-1】5.（2023·全国·高一专题练习）若，，且，的最小值为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
题型8和积不可以化“1”型
【方法总结】 形如求型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的“和”的系数系数，如下：
【例题8】（2023秋·河北保定·高二校联考开学考试）若，且，则的最小值为（ ）
A．1 B．5 C．25 D．12
【变式8-1】1. （2023秋·贵州遵义·高三校考阶段练习）若正数，满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】2. （2023秋·湖南长沙·高二长郡中学校考开学考试）若正实数x，y满足，则下列结论不正确的是（ ）
A．的最小值为4 B．的最大值为4
C．的最小值为 D．的最大值为8
【变式8-1】3.（多选） （2021秋·辽宁大连·高三大连八中校考阶段练习）若实数a，b满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-1】4. （2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知，且，则的最小值为 .
题型9消元法
【方法总结】 如果不容易直接观察出均值，可以反解代入消元，在构造“单变量”均值形式求解
【例题9】（2023·高三课时练习）已知正数 满足，则的最大值是 .
【变式9-1】1. （2023春·江苏苏州·高二校考阶段练习）已知，，且，则的最小值为 .
【变式9-1】2. （2020秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）若，，且，则的最小值是（ ）
A．5 B．8 C．13 D．16
【变式9-1】3. （2023秋·新疆·高一校联考期末）设，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．6
【变式9-1】4. （2021秋·江苏·高一专题练习）已知正数x，y满足，则y的最大值为 ．
【变式9-1】5.（2023·全国·高一专题练习）若正数满足，则的最大值为 ．
题型10分子代换消元
【例题10】（2022秋·云南保山·高一校联考阶段练习）已知，，，则的最小值为 .
【变式10-1】1. （2023·浙江温州·高二统考学业考试）已知正数，满足，则的最小值为 ．
【变式10-1】2. （2023·全国·高一专题练习）已知正数a，b满足，则最小值为（ ）
A．25 B． C．26 D．19
【变式10-1】3. （2023·全国·高一专题练习）若正数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【变式10-1】4.（2022秋·全国·高一专题练习）若，都是正数，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．
【变式10-1】5.（2022秋·贵州毕节·高一统考期末）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．5
【变式10-1】6（2023·全国·高一专题练习）已知a＞0，b＞0，且，则的最小值为 ．
【变式10-1】7.（2023春·云南·高一校考阶段练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型11齐次同除
【方法总结】 一般情况下，满足（1）分式；（2）分子分母齐次。则可以同除构造单变量来求最值。
【例题11】（2023·全国·高一专题练习）已知，则的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
【变式11-1】1. （2022秋·天津北辰·高一校考阶段练习）已知，则的最大值为
【变式11-1】2. （2023·全国·高一专题练习）已知正数x，y满足，则的最大值为 ．
【变式11-1】3. （2023·全国·高一专题练习）已知，，，则的最大值为 ．
【变式11-1】4. （2023秋·辽宁葫芦岛·高一统考期末）对任意正数x，满足，则正实数y的最大值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【变式11-1】5.（2022秋·高一单元测试）已知，则的最大值为 ．
题型12恒成立问题
【例题12】（2022秋·湖北·高一校联考阶段练习）已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．9
【变式12-1】1. （2022秋·高一课时练习）若不等式对任意正数恒成立，则实数x的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．1
【变式12-1】2. (多选)（2023·全国·高一专题练习）已知，且，若不等式恒成立，则的值可以为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7.5
【变式12-1】3. （2023秋·高一单元测试）已知对任意，不等式恒成立，则实数a的最小值为 ．
【变式12-1】4. （2022秋·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）已知，且，若恒成立，则实数的范围是 ．
【变式12-1】5.（2023·全国·高一课堂例题）设，，不等式恒成立，则a的最小值为 ．
题型13实际应用
【例题11】（2023秋·高一单元测试）某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到x元．公司拟投入万元．作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．
【变式13-1】1. （2023秋·高一课时练习）某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4200元/米2，在四个相同的矩形上（图中的阴影部分）铺花岗岩路面，其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2.
(1)设的长为米，试写出总造价（单位：元）关于的函数解析式；
(2)问：当取何值时，总造价最少？求出这个最小值．
【变式13-1】2. （2022秋·四川绵阳·高一四川省绵阳江油中学校考阶段练习）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．
(1)若菜园面积为18m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？
(2)若使用的篱笆总长度为15m，求的最小值．
【变式13-1】3. （2023春·云南玉溪·高一统考期末）一艘船上的某种液体漏到一片海域中，为了治污，根据环保部门的建议，现决定在该片海域中投放一种与污染液体发生化学反应的药剂，已知每投放个单位的药剂，它在海水中释放的浓度（克/升）随着时间（天）变化的函数关系式近似为（投放当天），其中若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当海水中药剂的浓度不低于6（克/升）时，它才能起到有效治污的作用．
(1)若一次投放2个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？
(2)若第一次投放4个单位的药剂，6天后再投放（第二次投放）个单位的药剂，要使第二次投放后的5天（含投放当天）能够持续有效治污，试求的最小值．
【变式13-1】4. （2023·全国·高一专题练习）汽车在隧道内行驶时，安全车距（单位：）正比于车速（单位：）的平方与车身长（单位：）的积，且安全车距不得小于半个车身长．当车速为时，安全车距为个车身长．
(1)求汽车在隧道内行驶时的安全车距与车速之间的函数关系式；
(2)某救灾车队共有10辆同一型号的货车，车身长为，当速度为多少时该车队通过（第一辆车头进隧道起，到最后一辆车尾离开隧道止，且无其它车插队）长度为的隧道用时最短
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2.2.4均值不等式及其应用——题型·技巧攻略
题型1基本不等式取等条件的理解 3
题型2直接法 9
题型3形如型 12
题型4配凑法 15
◆类型1对勾函数法 15
◆类型2公式法 19
◆类型3公式法 22
◆类型4公式法 24
题型5“常数1”之分母是单项式 25
题型6“常数1”之分母是多项式 30
题型7和积可以化“1”型 33
题型8和积不可以化“1”型 37
题型9消元法 40
题型10分子代换消元 43
题型11齐次同除 47
题型12恒成立问题 50
题型13实际应用 53
知识点一.均值不等式的证明
方法1：几何面积法（赵爽所制的弦图)
如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.
设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.
这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有.
得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）
特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：
如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.
通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）
方法2：代数法
∵，当时，；
当时，.所以，（当且仅当时取等号“=”）.
注意：特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：
如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.
通常我们把上式写作：
如果，,，（当且仅当时取等号“=”）.
知识点二.均值不等式的几何意义
如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、.
易证，那么，即.
这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.
注意：在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此均值不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
知识点三.用均值不等式求最大（小）值
在用均值不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.
注意：两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.如是成立的，而不成立.
知识点四.均值不等式的变形
均值不等式 常见形式 使用条件 使用形式 “=”成立的条件
a,b∈R+ a+b≥2 当且仅当a=b时等号成立
a,b∈R a2+b2≥2ab a2+b2≥2|a||b| 当且仅当a=b时等号成立
a,b同号 当且仅当a=b时等号成立
a,b∈R 当且仅当a=b时等号成立
a,b∈R 当且仅当a=b时等号成立
a,b∈R (n>0) 当且仅当a=b时等号成立
题型1基本不等式取等条件的理解
【方法总结】 基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
【例题1】（多选）（2023秋·高一课时练习）已知，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】利用和的变形判断.
【详解】因为，
由得，，故B，C正确；
由由得，，故A正确，D错误．
故选：ABC.
【变式1-1】1. （多选）（2022秋·湖北十堰·高一郧阳中学校考阶段练习）下列推导过程，其中正确的是（ ）
A．因为为正实数，所以
B．因为，所以
C．因为，所以
D．因为，所以，当且仅当时，等号成立
【答案】ABD
【分析】利用均值不等式的“一正、二定、三相等”的条件，逐项分析判断作答.
【详解】对于A，为正实数，有，且，又当且仅当时，成立，满足均值不等式的条件，A正确；
对于B，，当时，，且，显然不存在大于3的正数a使成立，所以，B正确；
对于C，因为，则，不符合均值不等式成立的条件，C错误；
对于D，，则，且，
又当且仅当时，成立，满足均值不等式的条件，D正确.
故选：ABD
【变式1-1】2. 2023·全国·高一假期作业）不等式中，等号成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式的取等条件即可求解.
【详解】由基本不等式可知，当且仅当，
即时等号成立，
故选：.
【变式1-1】3. （2021秋·上海静安·高一校考期中）给出下列命题中，真命题的个数为（ ）
①已知，则成立；
②已知且，则成立；
③已知，则的最小值为2；
④已知，，则成立．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】利用基本不等式以及基本不等式的使用要求逐一判断即可.
【详解】当时，①中的不等式是错误的，①错；
因为与同号，所以是正确的，且，即时等号成立，所以②中的基本不等式计算是正确的，②对；
（当时，无解，等号不成立），故③错；
因为，所以且，且，即时等号成立，所以④中的基本不等式运算是正确的，④对．
故选: B
【变式1-1】4. （2022秋·江苏·高三校联考阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．当时，的最小值为2 B．当时，
C．当时，的最小值为2 D．当时，
【答案】B
【分析】结合基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可.
【详解】选项A，，，等号成立的条件是，等号取不到，所以，故A错误；
选项B，当时，，，当且仅当时等号成立，故B正确；
选项C，，，等号成立的条件是，等号取不到，即，故C错误；
选项D.当时，，等号成立的条件是，即时等号成立，故，故D错误.
故选：B
【变式1-1】5. （2021秋·江西抚州·高一临川一中校考阶段练习）如图是在北京召开的第届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是
A．如果，那么
B．如果，那么
C．对任意正实数和，有， 当且仅当时等号成立
D．对任意正实数和，有，当且仅当时等号成立
【答案】C
【解析】观察图形，设直角三角形的长直角边为，短直角边为，由四个三角形的面积和大正方形的面积的大小关系，得到，结合基本不等式可得出结论.
【详解】通过观察，可以发现这个图中的四个直角三角形是全等的，
设直角三角形的长直角边为，短直角边为，则大正方形的边长为，
如图，整个正方形的面积大于或等于这四个直角三角形的面积和，即，
当时，中间空白的正方形消失，即整个正方形与四个直角三角形重合.
故选：C.
【变式1-1】6. （2023春·辽宁·高二凤城市第一中学校联考阶段练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用数形结合计算出，再在中，利用勾股定理得，再由，可得结论．
【详解】设，可得圆的半径为，
又由，
在中，可得，
因为，所以，当且仅当时取等号．
故选：D.
【变式1-1】7. （2021秋·福建宁德·高一福建省宁德第一中学校考阶段练习）《几何原本》卷2的几何代数法（几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明；如图所示图形，点、在圆上，点在直径上，且，，于点，设，，该图形完成的无字证明.则图中表示，的调和平均数、平方平均数的线段分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】利用图形得到，，然后在和在中，利用勾股定理求得CF，CD，再由求解.
【详解】解：由图形可知：，，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
因为，
所以，
则，即，
所以图中表示，的调和平均数、平方平均数的线段分别是，，
故选：C
题型2直接法
【方法总结】 均值不等式 常见形式使用条件使用形式“=”成立的条件a,b∈R+a+b≥2当且仅当a=b时等号成立a,b∈Ra2+b2≥2ab a2+b2≥2|a||b|当且仅当a=b时等号成立a,b同号当且仅当a=b时等号成立a,b∈R当且仅当a=b时等号成立a,b∈R当且仅当a=b时等号成立a,b∈R(n>0)当且仅当a=b时等号成立
【例题2】（2023秋·上海杨浦·高二复旦附中校考开学考试）已知，且，则的最大值是 .
【答案】
【分析】利用基本不等式求得的最大值.
【详解】，
当且仅当时等号成立.
故答案为：
【变式2-1】1. （2022秋·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）已知a、b大于0，，则的最大值是 ．
【答案】
【分析】利用基本不等式的变形可得答案.
【详解】因为，所以，当且仅当时取到最大值，
故答案为：.
【变式2-1】2. （2023春·甘肃兰州·高二兰州一中校考期末）已知，若，则的最大值为 ．
【答案】2
【分析】利用基本不等式即可得到答案.
【详解】因为，所以，解得，
当且仅当即，时，等号成立．
所以的最大值为2.
故答案为：2
【变式2-1】3. （2023秋·高一课时练习）已知正数满足，求的取值范围．
【答案】
【分析】对题干条件直接使用一次基本不等式即可
【详解】由于都是正数，又，根据基本不等式，，
对不等式平方整理可得，，当时取得等号，
即
【变式2-1】4. （2020·全国·高三对口高考）已知x ，且，则的最大值为
【答案】或
【分析】由题意可得，变形可求的最大值即可.
【详解】因为且，
所以，即，
当且仅当，即且时取等号，
此时取最大值为.
故答案为：.
【变式2-1】5. （2021秋·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）若正数x，y满足，则的最大值为 ．
【答案】4
【分析】结合已知条件利用均值不等式求解即可.
【详解】因为，，
故由均值不等式可知，，即，
当且仅当时，即，时，取得最大值4.
故答案为：4.
题型3形如型
【方法总结】 形如，要分类讨论正负 1.若，则 (当且仅当时取“=”） 2.若，则 (当且仅当时取“=”）
【例题3】（多选）（2022秋·吉林白城·高一校考期中）下列结论正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．的最小值为2
D．的最小值为2
【答案】AB
【分析】根据题意，由基本不等式对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】当时，，当且仅当时，即时，等号成立，故A正确；
当时，，当且仅当时，即时，等号成立，故B正确；
当时，显然不成立，故C错误；
因为，当且仅当时，此时
无解，故取不到等号，故D错误；
故选：AB
【变式3-1】1. （2023春·山西运城·高二校考阶段练习）已知x∈（0，+∞）.
(1)求的值域；
(2)求的最小值，以及y取得最小值时x的值.
【答案】(1)[2，+∞）
(2)最小值2+2，
【分析】（1）由题意利用基本不等式即可求解．
（2）由已知可得y2+（x），利用基本不等式即可求解．
【详解】（1）因为x∈（0，+∞），
所以，
取等号条件：x，x2＝1．
因为x∈（0，+∞），
所以x＝1，
所以函数的值域为[2，+∞）．
（2）y2+（x），
因为x∈（0，+∞），
所以x2，
所以y＝2+（x）≥2+2，取等号条件：x，x2＝3，
因为x∈（0，+∞），
所以，当时，该函数取最小值2+2．
【变式3-1】2. （2022秋·高一课时练习）已知，求的最大值 .
【答案】/
【分析】化简得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由，
因为，可得，
当且仅当时，即等号成立，
所以，即最大值为.
故答案为：.
【变式3-1】3. （2023秋·江苏苏州·高三苏州中学校考开学考试）设，则 的最小值为 .
【答案】/
【分析】先将化简为，再利用基本不等式即可.
【详解】因为，为正数，由 ，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：.
【变式3-1】4.（多选） （2022秋·福建泉州·高一福建省南安第一中学校考阶段练习）已知，，，则的可能取值有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】依题意可得且，分和去掉绝对值号 ，然后用基本不等式求出其最值，从而得到答案.
【详解】由，，，得，则且.
当时，=
=，当且仅当即 时取等号；
当时，
=，当且仅当即时取等号.
综上可得.
故选：AB.
题型4配凑法
【方法总结】 凑配“对钩”型：添常数凑配.
◆类型1对勾函数法
【例题4-1】（2023·全国·高一专题练习）（1）当时，求函数的最小值；
（2）当时，求函数的最大值；
（3）当时，求函数的最小值；
（4）当时，求函数的最大值；
（5）设，求函数的值域．
（6）①当时，求函数的最大值；
②求函数的最大值；
【答案】（1）；（2）；（3）;（4）;（5）;（6）①1；②.
【分析】（1）将函数变形为，利用基本不等式求解；
（2）将函数变形为，利用基本不等式求解；
（3）将函数变形为，利用基本不等式求解；
（4）将函数变形为，再用换元法，利用基本不等式求解；
（5）将函数变形为，利用基本不等式求解；
（6）①利用换元法，以及基本不等式求解；②利用换元法，结合对勾函数的单调性求解.
【详解】（1）因为，所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以函数的最小值为.
（2）因为，所以，
，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以
，
所以函数的最大值为.
（3）因为，所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以函数的最小值为.
（4），
令，则，
所以，
因为，所以，
当且仅当，即，也即时，取得等号，
所以，
所以函数的最大值为.
（5）,
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，取得等号，
所以，
所以函数的值域为.
（6）①令，因为，所以，
所以，
因为，
当且仅当，即，也即时，取得等号，
所以，
所以函数的最大值为1.
②令，则，所以，
所以，
因为函数在单调递增，
所以当时，即时，有最小值为4，
所以，
所以函数的最大值为.
【变式4-1】1. （2023·全国·高一专题练习）函数取得的最小值时，的值为 ．
【答案】4
【分析】将函数化成的形式，然后用均值不等式可求出答案.
【详解】.当且仅当，即时，
等号成立.故的最小值为6.
故答案为：4
【变式4-1】2. （2023·全国·高一课堂例题）函数f（x）＝＋1的最小值为 ．
【答案】＋1
【分析】先对函数进行化简，然后利用对勾函数的单调性可求出有最小值.
【详解】f（x）＝＋1＝＋1＝＋＋1，
令，t∈[，＋∞），
则函数f（x）可转化为g（t）＝t＋＋1，t∈[，＋∞）．令u（t）＝t＋（t≥），
则由u（t）在[，＋∞）上单调递增可知，u（t）≥＋＝，
则g（t）≥，
所以函数f（x）的最小值为；
故答案为：.
【变式4-1】3. （2023秋·天津和平·高三天津市第二南开中学校考开学考试）已知，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据题意，化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由，
可得，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
◆类型2公式法
【例题4-2】（2022秋·陕西商洛·高一校考期中）已知，则取得最大值时x的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分子分母乘以，直接利用基本不等式即可.
【详解】，
则由基本不等式得，，
当且仅当，即时，等号成立，
故取得最大值时x的值为
故选：
【变式4-2】1. （2023·全国·高一课堂例题）函数的最大值是 ．
【答案】/
【分析】方法一：将函数变形为，然后利用基本不等式可求出其最大值，方法二：将函数变形为，然后利用基本不等式可求出其最大值.
【详解】方法一：，
∵，∴，，
∴，当且仅当，即时取等号．
故当时，．
方法二：由知，∴，
当且仅当，即时取等号．
故当时，．
故答案为：
【变式4-2】2. （2023·全国·高一专题练习）已知，则当取最大值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由，结合等号成立的条件，即可求解.
【详解】由，可得，
则，当且仅当，即时取等号，
所以时，取得最大值.
故选：B.
【变式4-2】3. （2023·全国·高一专题练习）已知，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】利用基本不等式可求得的最大值，进而求解即可.
【详解】因为，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
所以的最大值为2.
故选：D.
【变式4-2】4. （2023·全国·高一专题练习），的最大值为 .
【答案】/
【分析】根据题意，由基本不等式即可得到结果.
【详解】因为，所以，，由基本不等式可得
，当且仅当，即时，等号成立．所以，的最大值为.
故答案为：.
【变式4-2】5. （2023秋·江苏淮安·高一统考期末）已知a，b为正实数，满足，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用基本不等式求解即可.
【详解】为正实数，满足，
，
，则，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
【变式4-2】6.（2022春·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）已知实数a b满足，则的最大值为 .
【答案】
【分析】利用基本不等式计算可得；
【详解】解：因为，所以，
所以，
即，即，当且仅当，
即，时取等号，
故的最大值为.
故答案为：
◆类型3公式法
【例题4-3】（2022秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）已知，则的最大值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】直接使用基本不等式可得.
【详解】因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值是.
故选：C
【变式4-3】1. （2023秋·山西晋中·高三校考开学考试）已知，则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】利用基本不等式进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
当且仅当时取等号，因为，解得，
故选：B
【变式4-3】2. （2023·高一课时练习）已知正实数x，y满足，则的最大值是 .
【答案】/
【分析】由题可得代入，结合基本不等式即可得出答案.
【详解】由可得：，
则.
当且仅当，即时取等.
故答案为：.
【变式4-3】3. （2023·全国·高一专题练习）已知，则的最大值为 .
【答案】
【分析】变形，利用基本不等式求解.
【详解】，，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：.
◆类型4公式法
【例题4-4】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）已知正实数m，n满足，则的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式求解即可.
【详解】由于，
所以，
即，当且仅当时等号成立．
故选:B．
【变式4-4】1. （2023·全国·高三专题练习）当时，函数的最大值为 .
【答案】
【分析】由已知条件可得出，结合基本不等式可求得函数的最大值.
【详解】因为，则，，所以，，
所以，
，
所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，当时，函数的最大值为.
故答案为：.
【变式4-4】2. （2022春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知正数x，y满足，则的最大值为 ．
【答案】2
【分析】将变形为即，然后利用不等式即可求得答案.
【详解】因为 ,则，
故由题意，正数x，y满足，可得：，
即，故，
当且仅当时取等，
故答案为：2．
题型5“常数1”之分母是单项式
【方法总结】 条件和所求式子中有=1与a+b=1，可以借助m=来来构造替换，进而展开用均值不等式
【例题5】（2022秋·天津武清·高一校考阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A． B．9 C． D．
【答案】B
【分析】运用“1”代换及基本不等式即可求得结果.
【详解】因为，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为9.
故选：B.
【变式5-1】1. （2023秋·四川巴中·高三统考开学考试）已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．5 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】首先乘以，然后根据基本不等式求解；
【详解】因为，
则，
当且仅当，即时取等号,
故选：．
【变式5-1】2. (多选)（2023秋·高一单元测试）若，，且，则＋的值可以是（ ）
A．3 B．
C． D．2
【答案】ABC
【分析】由条件可得，利用基本不等式“1”的应用可求最小值，从而选出可能取的值.
【详解】由，得，
所以
，
当且仅当时取等号，
故选：ABC
【变式5-1】3. （2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考开学考试）已知，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．4
【答案】B
【分析】根据得到，然后利用基本不等式求最值即可.
【详解】设，，则，，
，当且仅当，即，时，等号成立.
故选：B.
【变式5-1】4. （2022秋·福建泉州·高一统考期中）已知两个正实数x，y满足，则的最小值是 ．
【答案】9
【分析】结合，利用基本不等式求和的最小值.
【详解】因为正实数x，y满足，所以，
当且仅当，时，等号成立．
即的最小值是9.
故答案为：9.
【变式5-1】5.（2023秋·天津西青·高三校考开学考试）已知正实数，满足，则的最小值为 .
【答案】
【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解．
【详解】因为，则，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
【变式5-1】6.（2021春·新疆巴音郭楞·高二校考期中）已知，，则的最小值是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式求得正确答案.
【详解】
，
当且仅当时等号成立.
故选：C
【变式5-1】7.（2023·全国·高一专题练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
【答案】D
【分析】由题意利用“1”的妙用，可先求出的最小值，再由求出答案.
【详解】由
（当且仅当时取等号），
又由（当且仅当a＝4，b＝2时取等号），有，
可得的最小值为32．
故选：D．
【变式5-1】8.（2023·全国·高一专题练习）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．9
【答案】C
【分析】化简已知式可得，因为，由基本不等式求解即可.
【详解】
，
而，
当且仅当，即取等.
故选：C.
题型6“常数1”之分母是多项式
【方法总结】 形如a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+m，再利用“1”的代换来求解。 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。
【例题6】（2023秋·四川巴中·高三统考开学考试）已知且，则的最小值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【分析】令，结合可得，由此即得，展开后利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意得，，
令，则，
由得，
故
，
当且仅当，结合，即时取等号，
也即，即时，等号成立，
故的最小值为9，
故选：B
【变式6-1】1. （2023秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）已知，则的最小值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】A
【分析】根据“1”技巧，利用均值不等式求解.
【详解】，，
，
，
，
，
当且仅当，即，时等号成立，
故选：A
【变式6-1】2. （2023秋·高一课时练习）若正实数x，y满足，求的最小值．
【答案】
【分析】利用“1”的代换，式子变形展开后利用基本不等式求最值即可.
【详解】因为，所以，又，
所以＝
当且仅当，即时，等号成立．
所以的最小值为.
【变式6-1】3. （2023秋·河南许昌·高三许昌高中校考开学考试）若正数a，b满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先分离常数，再化简应用基本不等式计算范围即可.
【详解】，
因为正数a，b满足，所以，所以．
故答案为：
【变式6-1】4. （2023春·江西赣州·高三校联考阶段练习）已知不等式的解集为．
(1)求实数的值；
(2)若，且，求的最小值．
【答案】(1)4
(2)
【分析】（1）分，，三种情况讨论即可；
（2）设，，则.利用和基本不等式即可求解.
【详解】（1）当时，不等式的解集为，不合题意；
当时，不等式的解集为，不合题意;
当时，，即，
因为不等式的解集为，所以.
（2）由(1)知，，
设，，则.
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
【变式6-1】5.（2023秋·浙江杭州·高一杭州市长河高级中学校考期末）若，，且，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】设，可将题目转化为已知，求的最小值，再结合基本不等式可求最小值.
【详解】设，则，且，
题目转化为已知，求的最小值，
即，
而，
当且仅当，即时等式成立.
所以.
故选：C.
题型7和积可以化“1”型
【方法总结】， 一个式子有 “和”有“积”且无常数型的等式，可以同除积，再进行“1”的代换
【例题7】（2023·全国·高一专题练习）若正数x，y满足，则的最小值是（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】C
【分析】对变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】因为正数x，y满足，
所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为
故选：C
【变式7-1】1. （2023秋·山东菏泽·高一校考期末）已知正实数、满足，则的最小值是 .
【答案】
【分析】由已知等式变形可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为正实数、满足，等式两边同时除以可得，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，的最小值为.
故答案为：.
【变式7-1】2.（多选） （2023春·山东德州·高二统考期末）若正实数a，b满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】举出反例即可判断A；利用基本不等式即可判断B；由题意可得，再利用基本不等式中“1”的等量代换即可判断C；将两边平方，再利用作差法即可判断D.
【详解】对于A，当时，满足，故A错误；
对于B，由，得，所以或（舍去），
所以，当且仅当时，取等号，故B正确；
对于C，由，得，
则，
当且仅当，即时，取等号，故C正确；
对于D，由，得，
则，
当且仅当时，取等号，
所以，故D正确.
故选：BCD.
【变式7-1】3.（多选） （2023秋·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考开学考试）已知，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式和不等式的性质对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】根据基本不等式可知，则，
当且仅当，时，等号成立，故A正确；
因为，，变形得，
所以
当且仅当，即，时，等号成立，
所以，故B错误；
由，，，所以，即，故C正确；
由，可得，
根据前面分析得，即，所以，即，故D正确．
故选：ACD
【变式7-1】4.（2023秋·辽宁丹东·高一丹东市第四中学校考期末）已知正数，满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】先利用基本不等式中“1”的妙用求得的取值范围，从而求得的最大值.
【详解】因为，，，所以，
故，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以，故，则的最大值为.
故选：B.
【变式7-1】5.（2023·全国·高一专题练习）若，，且，的最小值为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】D
【分析】由，可得，后由基本不等式可得答案.
【详解】，，
于是，
当且仅当，即时取等号.
故选：D
题型8和积不可以化“1”型
【方法总结】 形如求型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的“和”的系数系数，如下：
【例题8】（2023秋·河北保定·高二校联考开学考试）若，且，则的最小值为（ ）
A．1 B．5 C．25 D．12
【答案】C
【分析】利用基本不等式计算即可.
【详解】因为，所以，
当且仅当时取等号，解不等式，，当，时，取等号.
故选：C
【变式8-1】1. （2023秋·贵州遵义·高三校考阶段练习）若正数，满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意结合基本不等式运算求解.
【详解】因为，均为正数，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，即的最大值为.
故选：C.
【变式8-1】2. （2023秋·湖南长沙·高二长郡中学校考开学考试）若正实数x，y满足，则下列结论不正确的是（ ）
A．的最小值为4 B．的最大值为4
C．的最小值为 D．的最大值为8
【答案】D
【分析】根据基本不等式及其变形逐项判断即可.
【详解】对于A项，，整理得，
解得，当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B项，由A项可知，所以，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C项，由题可知，
故，
当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D项，，又，所以的最小值为8，当且仅当2时取得最小值，故D错误.
故选：D.
【变式8-1】3.（多选） （2021秋·辽宁大连·高三大连八中校考阶段练习）若实数a，b满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据给定的等式，利用均值不等式及重要不等式建立不等式，再求解不等式判断作答.
【详解】，由，得，
于是，整理得，当且仅当时取等号，
解得，A正确，B错误；
又，即，当且仅当时取等号，C正确, ,D错误.
故选：AC
【变式8-1】4. （2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知，且，则的最小值为 .
【答案】
【分析】先由条件变形为正数乘积形式，再将所求配凑成正数和的形式，最后利用基本不等式求解最值即可.
【详解】由 ，得，
由得，
所以，
当且仅当时，等号成立.
故答案为：.
题型9消元法
【方法总结】 如果不容易直接观察出均值，可以反解代入消元，在构造“单变量”均值形式求解
【例题9】（2023·高三课时练习）已知正数 满足，则的最大值是 .
【答案】-1
【分析】由题设可得，代入后，利用均值不等式求解即可.
【详解】由题意，，
∴，
当且仅当，即时等号成立.
∴的最大值是.
故答案为：
【变式9-1】1. （2023春·江苏苏州·高二校考阶段练习）已知，，且，则的最小值为 .
【答案】8
【分析】由题意，，所以代入化简得，将其化简为的形式，利用均值不等式即可求出其最小值．
【详解】因为，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，当且仅当即时取等．
则的最小值为.
故答案为：.
【变式9-1】2. （2020秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）若，，且，则的最小值是（ ）
A．5 B．8 C．13 D．16
【答案】C
【分析】由可得，从而将化为，利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意，，得，
故，
由于，故，
当且仅当即时取等号，即，
故的最小值是13，
故选：C
【变式9-1】3. （2023秋·新疆·高一校联考期末）设，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．6
【答案】A
【分析】先将目标函数化简，得到，再利用均值定理即可求得其最小值.
【详解】由题意，所以，所以
，
当且仅当，即时等号成立．
故选：A
【变式9-1】4. （2021秋·江苏·高一专题练习）已知正数x，y满足，则y的最大值为 ．
【答案】
【分析】将目标式中的进行分离，用表达，利用基本不等式即可其求得的范围.
【详解】因为x，y为正数，所以，故，
则，故，所以，时取等号，
整理得，且，解得，
故y的最大值为．
故答案为：.
【变式9-1】5.（2023·全国·高一专题练习）若正数满足，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据，可得 ，将其代入所求式子中，转化为基本不等式的形式，即可求最值.
【详解】正数满足，，解得，
，
当且仅当时，即等号成立，的最大值为．
故答案为：
题型10分子代换消元
【例题10】（2022秋·云南保山·高一校联考阶段练习）已知，，，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】将所求式子化简整理为，利用基本不等式可求得结果.
【详解】
（当且仅当，即，时取等号），
的最小值为.
故答案为：.
【变式10-1】1. （2023·浙江温州·高二统考学业考试）已知正数，满足，则的最小值为 ．
【答案】16
【分析】由结合均值不等式得出结果.
【详解】由得，即，
则
，
当，且时，即时取等号.
所以的最小值为16.
故答案为：16.
【变式10-1】2. （2023·全国·高一专题练习）已知正数a，b满足，则最小值为（ ）
A．25 B． C．26 D．19
【答案】A
【分析】先进行化简得，再利用乘“1”法即可得到答案.
【详解】因为正数a，b满足，
所以
，当且仅当，联立，
即时等号成立，
故选：A.
【变式10-1】3. （2023·全国·高一专题练习）若正数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式及不等式的性质即可求解.
【详解】因为正数满足，
所以.
所以,
当且仅当，即时，取等号，
当时，取得的最小值为.
故选：A.
【变式10-1】4.（2022秋·全国·高一专题练习）若，都是正数，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】C
【分析】通过条件，将变形成和为定值的形式，利用基本不等式，即可求出最小值.
【详解】因为，又，都是正数，且，
所以，
当且仅当，即 时等号成立．
故选：C．
【变式10-1】5.（2022秋·贵州毕节·高一统考期末）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．5
【答案】C
【分析】根据题意整理可得，再利用基本不等式求解即可.
【详解】由于，，且，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.
故选：C．
【变式10-1】6（2023·全国·高一专题练习）已知a＞0，b＞0，且，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】由，再由基本不等式求解即可.
【详解】因为
.
当且仅当，即时取等，
故的最小值为.
故答案为：
【变式10-1】7.（2023春·云南·高一校考阶段练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】整理得出，由已知变形可得，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.
【详解】因为，，则，因为，则，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为.
故选：B.
题型11齐次同除
【方法总结】 一般情况下，满足（1）分式；（2）分子分母齐次。则可以同除构造单变量来求最值。
【例题11】（2023·全国·高一专题练习）已知，则的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设，化二元变量问题为一元变量，结合基本不等式处理.
【详解】，设，则.
于是，
令，则，
当，即，也即时，取到最小值.
故选：C
【变式11-1】1. （2022秋·天津北辰·高一校考阶段练习）已知，则的最大值为
【答案】/
【分析】令，然后分离常数，利用基本不等式可得.
【详解】，
令，则上式，
因为，所以，
所以，即，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：
【变式11-1】2. （2023·全国·高一专题练习）已知正数x，y满足，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】由题设将目标式化为，应用基本不等式求最大值，注意取值条件.
【详解】，仅当时等号成立．
所以目标式最大值为.
故答案为：
【变式11-1】3. （2023·全国·高一专题练习）已知，，，则的最大值为 ．
【答案】/
【分析】将化为，继而将变形为，展开后利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由已知，，，
则，
而，当且仅当时等号成立，
故的最大值为.
故答案为： .
【变式11-1】4. （2023秋·辽宁葫芦岛·高一统考期末）对任意正数x，满足，则正实数y的最大值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】先将两边同时除以，得，再根据的范围得到不等式，解得的范围，即可求得的最大值
【详解】，两边同时除以得：，
，当且仅当“ ”时，即“”时取等号，
，
，，解得：，
的最大值为.
故选：C.
【变式11-1】5.（2022秋·高一单元测试）已知，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】通分化简整理 ，再利用基本不等式求得最大值.
【详解】因为，则，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
则的最大值为.
故答案为：.
题型12恒成立问题
【例题12】（2022秋·湖北·高一校联考阶段练习）已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．9
【答案】D
【分析】根据基本不等式即可求解最值，进而由即可求解.
【详解】因为，当且仅当且时取等号，
所以，整理得，解得，故正实数的最小值为9.
故选:D.
【变式12-1】1. （2022秋·高一课时练习）若不等式对任意正数恒成立，则实数x的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】C
【分析】将不等式对任意正数恒成立，化为恒成立，利用基本不等式求得的最小值，即可求得答案.
【详解】由题意不等式对任意正数恒成立，
即恒成立，
又，当且仅当时，等号成立，
则，
当且仅当时，等号成立，
故，即实数x的最大值为，
故选：C
【变式12-1】2. (多选)（2023·全国·高一专题练习）已知，且，若不等式恒成立，则的值可以为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7.5
【答案】BC
【分析】根据基本不等式求出的最小值，得的取值范围，根据范围可得答案.
【详解】由，且，
可得 ，
当且仅当时，即时，等号成立，
又因为不等式恒成立，所以，又，结合选项，可得BC符合题意.
故选：.
【变式12-1】3. （2023秋·高一单元测试）已知对任意，不等式恒成立，则实数a的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据基本不等式求得的最小值，由此可得关于a的不等式，即可求得答案.
【详解】因为，故，所以
，
当且仅当，即时等号成立，
即有，所以，即a的最小值为，
故答案为：
【变式12-1】4. （2022秋·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）已知，且，若恒成立，则实数的范围是 ．
【答案】
【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得解.
【详解】因为，且，若恒成立，
则，
又
，
当且仅当，即，时，等号成立，
，即实数的取值范围是．
故答案为：
【变式12-1】5.（2023·全国·高一课堂例题）设，，不等式恒成立，则a的最小值为 ．
【答案】/
【分析】由易得，要使此式恒成立，必须使a大于或等于的最大值，在求的最大值时，可以将其平方，利用基本不等式求解即可．
【详解】显然，由题意知，不等式恒成立，
则a必须大于或等于的最大值，
而，
当且仅当时，取等号，
故的最大值为，
故，即a的最小值是．
故答案为：.
题型13实际应用
【例题11】（2023秋·高一单元测试）某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到x元．公司拟投入万元．作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．
【答案】(1)40元
(2)10.2万件，该商品的每件定价为30元
【分析】（1）设每件定价为元，依题意得，从而可求出的范围，进而可得答案，
（2）由题意可得当时，有解，利用基本不等式可求出的最小值，从而可求得答案.
【详解】（1）设每件定价为元，依题意得，
整理得，解得．
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
（2）依题意知当时，不等式有解，
等价于时，有解，
由于，当且仅当，即时等号成立，
所以，
当该商品改革后销售量至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
【变式13-1】1. （2023秋·高一课时练习）某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4200元/米2，在四个相同的矩形上（图中的阴影部分）铺花岗岩路面，其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2.
(1)设的长为米，试写出总造价（单位：元）关于的函数解析式；
(2)问：当取何值时，总造价最少？求出这个最小值．
【答案】(1)
(2)时，（元）
【分析】（1）设，得到，求得，进而得到总造价（单位：元）关于的函数解析式；
（2）令，得到且，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）解：设，则，所以，
由，可得，
所以总造价（单位：元）关于的函数解析式为：
.
（2）解：令，则且，
因为函数，
当且仅当时，即时，即时，等号成立，
所以总造价的最小值为元.
【变式13-1】2. （2022秋·四川绵阳·高一四川省绵阳江油中学校考阶段练习）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．
(1)若菜园面积为18m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？
(2)若使用的篱笆总长度为15m，求的最小值．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）由题意得，利用基本不等式求出的最小值及时等号成立；
（2）根据题意得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最值.
【详解】（1）由已知可得，而篱笆总长为．
又∵，当且仅当，即时等号成立．
∴菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小．
（2）由已知得，又∵，
∴，当且仅当x＝y，即x＝5，y＝5时等号成立．
∴的最小值是．
【变式13-1】3. （2023春·云南玉溪·高一统考期末）一艘船上的某种液体漏到一片海域中，为了治污，根据环保部门的建议，现决定在该片海域中投放一种与污染液体发生化学反应的药剂，已知每投放个单位的药剂，它在海水中释放的浓度（克/升）随着时间（天）变化的函数关系式近似为（投放当天），其中若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当海水中药剂的浓度不低于6（克/升）时，它才能起到有效治污的作用．
(1)若一次投放2个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？
(2)若第一次投放4个单位的药剂，6天后再投放（第二次投放）个单位的药剂，要使第二次投放后的5天（含投放当天）能够持续有效治污，试求的最小值．
【答案】(1)1天
(2)2
【分析】（1）根据题意得到，分类讨论，列出不等式，即可求解；
（2）根据题意，求得当时，，转化为对于恒成立，结合基本不等式求得最小值，列出不等式，即可求解．
【详解】（1）解：因为，所以，
①当时，由，解得，所以此时；
②当时，由，解得，所以此时为空集；
综上可得，一次投放个单位的药剂，则有效治污时间为1天．
（2）解：当时，
可得 ，
根据题意，可得对于恒成立，
因为，而，所以，
由，
当且仅当时，有最小值为，
令，解得，所以实数的最小值为．
【变式13-1】4. （2023·全国·高一专题练习）汽车在隧道内行驶时，安全车距（单位：）正比于车速（单位：）的平方与车身长（单位：）的积，且安全车距不得小于半个车身长．当车速为时，安全车距为个车身长．
(1)求汽车在隧道内行驶时的安全车距与车速之间的函数关系式；
(2)某救灾车队共有10辆同一型号的货车，车身长为，当速度为多少时该车队通过（第一辆车头进隧道起，到最后一辆车尾离开隧道止，且无其它车插队）长度为的隧道用时最短
【答案】(1)
(2)km/h
【分析】（1）根据题意为定值，设比例常数为，则，代入数值，得到，令，则，最后写出分段函数解析式即可；
（2）设通过隧道的时间为，则，分当和两种情况，结合幂函数的性质及基本不等式计算可得．
【详解】（1）根据题意为定值，设比例常数为，则，
所以，所以，
所以，令，则，
所以.
（2）设通过隧道的时间为，则．
①当时，．
②当时，
．
当且仅当，即时等号成立．
又，
所以当时用时最短．
答：当速度为 时该车队通过该隧道用时最短．
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