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1.1.2集合的基本关系——题型·技巧攻略
题型1集合间关系的判断 3
◆类型1定义法判断集合关系 3
◆类型2数形结合法 6
◆类型3点的几何意义 7
◆类型4与二次函数结合 9
◆类型5其他型 10
题型2子集真子集个数判断 12
◆类型1子集真子集个数问题 13
◆类型2根据条件求集合 15
题型3集合关系与参数问题 16
◆类型1参数取值问题 16
◆类型2与不等式有关的取值范围问题 19
◆类型3与二次方程有关的取值范围问题 21
题型4集合相等 23
题型5符号辨析问题 26
题型6新定义题型 29
知识点一.子集
1.概念：一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B 的子集.
2.记法：A B（或B A）.
3.读法：A包含于B（或"B包含A"）.
4.如果A不是B的子集，记作AB（或B A），读作“A不包含于B”（或“B不包含A”）.
5.性质：A A； A.
6.图形表示：
知识点二.真子集
1.概念：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集.
2.记法：A B（或BA）.
3.读法：A真包含于B（或“B真包含A”）.
4.性质：对于集合A，B，C，①如果A B,B C,则A C
②如果A B，B C，则A C；
5.图形表示：
知识点三.Venn图
用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
知识点四.集合的相等与子集的关系
1.定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等
2.图形表示：
3.如果 A B，且B A则 A= B。
4.如果A=B则A B且B A。
题型1集合间关系的判断
【方法总结】 判断集合间关系的方法 (1)用定义判断 ①任意x∈A时，x∈B，则A B. ②当A B时，存在x∈B，且x A，则A B. ③若既有A B，又有B A，则A＝B. (2)数形结合判断 对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．
◆类型1定义法判断集合关系
【例题1-1】（2023·江苏·高一假期作业）设集合，，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据集合与集合间的关系可得出结论.
【详解】因为，，则.
故选：D.
【变式1-1】1.（2023·全国·高一假期作业）下列各式：①，②，③，④，⑤，其中错误的个数是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【分析】由元素与集合的关系，集合与集合的关系考查所给式子是否正确即可．
【详解】由元素与集合的关系可知，故①错误；
由集合与集合的关系可知，故②错误；
任何集合都是自身的子集，故③正确；
空集是任何非空集合的子集，故④正确；
集合中的元素具有互异性和无序性，故⑤正确；
综上可得，只有①②错误．
故选B．
【变式1-1】2.（2022·高一课时练习）已知集合，，，，求集合，，，之间的关系．
【答案】答案见解析
【分析】直接利用四边形的关系，判断即可．
【详解】解：因为矩形、正方形、菱形都是特殊的平行四边形，所以 ， ， ；
又正方形是特殊的矩形、特殊的菱形，所以 ， ；
【变式1-1】3.（2022·河南新乡·高一统考阶段练习）下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求出集合M、N，然后根据集合之间的关系选出对应的韦恩图.
【详解】解：由题意得：
由题意得，
所以N是M的真子集．
故选：B
【变式1-1】4.（2022·高一课时练习）已知集合， ，则与的关系是（ ）
A． B．
C． D．M，N无公共元素
【答案】D
【分析】先求得集合，结合集合间的关系进行判定，即可求解.
【详解】由，可得，解得，
即集合中的元素是有序实数对，
又由中的元素是实数，所以两个集合无公共元素.
故选：D．
◆类型2数形结合法
【例题1-2】（2023秋·辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】运用集合与集合的包含关系分析即可.
【详解】由题意知，，
所以.
故选：B.
【变式1-2】1.（2020秋·江西九江·高一校考阶段练习）已知集合，，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据两集合元素的特征判断即可.
【详解】解：因为，，
所以 ；
故选：D
【变式1-2】2（2022·高一单元测试）已知集合，，有以下结论：①；②；③．其中错误的是（ ）．
A．①③ B．②③
C．①② D．①②③
【答案】C
【分析】解出不等式，得到集合，然后逐一判断即可.
【详解】由可得
所以，故①错；，②错；，③对，
故选：C．
【变式1-2】3.（2021秋·天津武清·高一天津英华国际学校校考阶段练习）集合，集合，则P与Q的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】计算，，得到包含关系.
【详解】，，故.
故选：C.
◆类型3点的几何意义
【例题1-3】（2021秋·高一课时练习）已知集合和，那么（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先利用不等式的性质化简集合，再利用集合与集合间的关系可知，，从而得解.
【详解】由，得到，
所以，
又，所以，
故选：C.
【变式1-3】1.（2020秋·江西南昌·高一校联考期中）若，，则必有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先判断P是实数集合，再判断Q是点集，然后得出结果.
【详解】是大于等于零的实数构成的集合，
而是由抛物线上的点构成的集合，两个不同属性的集合没有关系，所以ABD都不对，
故选：C.
【变式1-3】2.(多选)（2021秋·山西运城·高一芮城中学校考阶段练习）集合，集合之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】求出集合B，从而可得出两集合的关系.
【详解】解：，
所以或.
故选：BD.
【变式1-3】3.（2022秋·河南信阳·高一校联考阶段练习）设，，，则集合的关系是________．
【答案】
【分析】根据集合表示的含义即可判断.
【详解】集合表示直线上所有的点组成的集合，
集合中，，，表示直线上除了原点之外的所有点组成的集合，
所以有.
故答案为：.
◆类型4与二次函数结合
【例题1-4】（2023·高一课时练习）设集合，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将集合化简，即可由集合间的关系求解.
【详解】由，所以 ，
故选：B
【变式1-4】1.（2022秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）如果集合且，，则集合的关系是 _____．
【答案】或.
【分析】由子集的定义结合已知可判断，再利用元素2即可判断.
【详解】因为，
所以，且，
因为且，
所以，
所以，
因为，
故答案为：或.
【变式1-4】2.（2022·上海·高一专题练习）集合A＝{y|y＝x2+3x+1}，B＝{y|y＝x2﹣3x+1}，则集合A与集合B之间的关系是 _____（用 、 、＝来表示）
【答案】＝
【分析】根据配方法求出一元二次函数的值域，进而判定两集合的关系．
【详解】因为，
且，
所以，
即集合A与集合B之间的关系是＝.
故答案为：＝．
◆类型5其他型
【例题1-5】（2023·全国·高一假期作业）设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别分析两个集合中的元素所代表的意思即可判断选项.
【详解】解：因为，因为，
所以集合是由所有奇数的一半组成，
而集合是由所有整数的一半组成，故.
故选：B
【变式1-5】1.（2021秋·河南郑州·高一校考阶段练习）已知集合，，，若，，则（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】B
【分析】利用奇数偶数集的性质即可求解.
【详解】由题知，是非负偶数集，
是非负奇数集，
是由4的倍数加1构成的非负集合；
又 ，，
是奇数；
故，，与的关系不确定.
故选：B.
【变式1-5】2.（2021秋·天津宁河·高一天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】列出集合、，可判断两者之间的关系.
【详解】∵集合，
，
∴.
故选：B.
【变式1-5】3.（2023秋·江苏扬州·高一期末）若集合是与的公倍数，，，且，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．以上选项均不正确
【答案】C
【分析】根据集合的描述法，对两个集合中描述元素的语言和等式进行分析即可.
【详解】对于集合，当时，是与的公倍数，因此是的正整数倍，
即是与的公倍数，，且，
∴由集合中元素的互异性，集合中元素有，，，，，，
对于集合，当时，是的正整数倍，
∴集合中元素有，，，，，，
∴.
故选：C.
题型2子集真子集个数判断
【方法总结】 1．元素个数与集合子集个数的关系 (1)探究. 集合A集合A中元素的个数n集合A子集个数真子集的个数非空真子集 {a}{a，b}{a，b，c}{a，b，c，d}
结论： ①A的子集的个数有2n个． ②A的真子集的个数有(2n－1)(n≥1)个． ③A的非空子集的个数有(2n－1)(n≥1)个． ④A的非空真子集的个数有(2n－2)(n≥1)个． 2．求给定集合的子集的两个关注点 (1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写． (2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身． 提醒：真子集个数是在子集的基础上去掉集合本身，做题时看清是真子集还是子集．
◆类型1子集真子集个数问题
【例题2-1】写出集合{a、b、c}的所有子集，并指出它的真子集有多少个？
【答案】 子集有：{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}， 共8个．
真子集有：{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}， 共7个．
【变式2-1】1.（2023·全国·高一假期作业）已知集合，则含有元素0的A的子集个数是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】列出含有元素0的A的子集，求出答案.
【详解】含有元素0的A的子集有，，，，，，，，
故含有元素0的A的子集个数为8.
故选：D.
【变式2-1】2.（2023春·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期中）已知集合M {2，3，5}，且M中至少有一个奇数，则这样的集合M共有（ ）
A．5个 B．6个
C．7个 D．8个
【答案】B
【分析】利用集合子集的概念及题意一一列举即可.
【详解】若M有一个元素，则；
若M有两个元素，则；
若M有三个元素，则
∴满足题意的集合M的个数为6个.
故选：B.
【变式2-1】3．（2023·全国·高一假期作业）集合的子集个数为（ ）．
A．4 B．7 C．8 D．16
【答案】C
【分析】解出集合，再计算集合的子集个数.
【详解】因为，
所以该集合的子集的个数为，
故选：C．
【变式2-1】4.（2022秋·西藏拉萨·高一校考期中）已知集合，则集合的子集为______.
【答案】
【分析】根据子集概念求解即可。
【详解】因为，
所以的子集为.
故答案为：.
◆类型2根据条件求集合
【例题2-2】（2023·全国·高一专题练习）已知集合满足，那么这样的集合M的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】根据集合的包含关系一一列举出来即可.
【详解】因为，
所以集合可以为：，
共8个，
故选：C.
【变式2-2】1.（2020秋·江西九江·高一校考阶段练习）已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】先化简集合A，B，再根据求解.
【详解】因为集合，
，且，
所以.
故选：B.
【变式2-2】2.（2022秋·广西桂林·高一桂林市第一中学校考期中）如果集合满足，则满足条件的集合的个数为_________．
【答案】
【分析】根据子集和真子集的定义即可写出所有满足条件的集合，从而求出满足题意的集合的个数．
【详解】由题意知集合中必须包含0，2两个元素，
但集合；
∴满足条件的集合为：，，
；
∴满足条件的集合的个数为．
故答案为：．
【变式2-2】3.（2022秋·西藏拉萨·高一校考期中）已知集合，集合，则满足关系的所有集合为______.
【答案】，，，,
【分析】根据子集概念求解即可,
【详解】因为，，
所以集合为，，，,
故答案为：，，，
题型3集合关系与参数问题
◆类型1参数取值问题
【例题3-1】（2023春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考期末）设集合，，若，则（ ）．
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
【变式3-1】1.（2023·江苏·高一假期作业）设集合，且，则的值为________.
【答案】或.
【分析】由，得到或，求得或，结合集合间的包含关系，即可求解.
【详解】由，可得或，解得或，
当时，，此时满足，符合题意；
当时，，此时满足，符合题意，
所以实数的值为或.
故答案为：或.
【变式3-1】2.（2023·江苏·高一假期作业）若，，则成立是真命题，求实数a的值．
【答案】或或.
【分析】根据题意可得或或，再根据元素与集合的关系即可求解.
【详解】∵集合，，成立是真命题．
∴或或，
当时，；
当时，，；
当时，，，
∴或或.
【变式3-1】3.（2023·全国·高一假期作业）已知集合，且，则实数a的值是_________．
【答案】-3
【分析】根据得出是方程的解，将代入方程中进行计算，即可得出结果.
【详解】因为，，，
所以是方程的解，
即，解得.
经检验，符合题意，所以.
故答案为：.
【变式3-1】4.（2023·高一课时练习）已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的特性，结合韦达定理即可求解.
【详解】由于表示一元二次方程的解的集合，
而最多有两个不相等的实数根，
由于 ，所以
故由韦达定理可得，
故选：C
则所求实数对为(5,9)或(6,10)或(－3，－7)或(－2，－6)．
◆类型2与不等式有关的取值范围问题
【例题3-2】（2023·江苏·高一假期作业）已知集合，且，则实数m的取值范围是________.
【答案】.
【分析】根据集合间的包含关系，分和，两种情况讨论，即可求解.
【详解】由集合，
若时，可得，此时满足；
若时，要是得到，则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围是.
故答案为：.
【变式3-2】1.（2023·全国·高一专题练习）已知集合，，若，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据定义域求出，由得到a的取值范围.
【详解】由题意得，解得，故，
因为，所以.
故选：A
【变式3-2】2.（2023·江苏·高一假期作业）已知集合.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)不存在
【分析】（1）根据题意，分和两种情况讨论，列出不等式组，即可求解；
（2）根据题意，结合，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）解：①当时，即，解得，此时满足；
②当时，要使得，
则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围是.
（2）解：由题意，要使得，则满足，此时不等式组无解，
所以实数不存在，即不存在实数使得.
【变式3-2】3.（2023·全国·高一假期作业）已知集合.
(1)若，则实数a的值是多少
(2)若，则实数a的取值范围是多少
(3)若B A，则实数a的取值范围是多少
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】利用集合相等的性质及集合的包含关系，结合数轴法求解即可.
【详解】（1）因为集合，，
所以.
（2）因为，如图，
由图可知，即实数a的取值范围是.
（3）因为B A，如图，
由图可知，即实数a的取值范围是.
◆类型3与二次方程有关的取值范围问题
【例题3-3】（2023·高一单元测试）已知，，且，则a的取值范围为_________．
【答案】
【分析】求得集合，根据，分和两种情况讨论，即可求解.
【详解】由题意，集合，
当时，即，解得，此时满足，
当时，要使得 ，则或，
当时，可得，即，此时，满足；
当时，可得，即，此时，不满足，
综上可知，实数的取值范围为.
故答案为：.
【变式3-3】1.（2023·高一单元测试）已知集合.
(1)若集合，且，求的值；
(2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围.
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）利用集合相等的条件求的值；
（2）由与有包含关系得，再利用集合子集的元素关系分类讨论求解即可.
【详解】（1）因为，且，
所以或，
解得或，
故.
（2）因为A与C有包含关系，，至多只有两个元素，
所以.
当时，，满足题意；
当时，
当时，，解得，满足题意；
当时，且，此时无解；
当时，且，此时无解；
当时，且，此时无解；
综上，a的取值范围为.
【变式3-3】2.（2023春·江西九江·高一德安县第一中学校考期中）已知.
(1)若，求a的值；
(2)若，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)或或.
【分析】（1）先求出集合，再利用条件，根据集合与集合间的包含关系，即可求出值；
（2）对集合进行分类讨论：和，再利用集合与集合间的包含关系，即可求出的范围；
【详解】（1）由方程，解得或
所以，又，，
所以，即方程的两根为或，
利用韦达定理得到：，即；
（2）由已知得，又，
所以时，则，即，解得或；
当时，
若B中仅有一个元素，则，即，解得，
当时，，满足条件；当时，，不满足条件；
若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，，解得，满足条件.
综上，实数a的取值范围是或或.
题型4集合相等
【例题4】（2022·江苏·高一假期作业）已知集合，若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．1或
【答案】A
【分析】根据求得，由此求得.
【详解】由于，
所以对于集合有或.
若，则，此时符合题意，.
若，则集合不满足互异性，不符合.
所以的值为.
故选：A
【变式4-1】1.（2023·江苏·高一假期作业）已知，且，则＝________．
【答案】或1
【分析】根据集合相等得到方程组，求出，舍去不合要求的根，得到答案.
【详解】因为，所以①或②，
解①得或，其中不符合集合元素的互异性，舍去；
解②得或，其中不符合集合元素的互异性，舍去；
所以或.
故答案为：或1
【变式4-1】2.2022·高一课时练习）已知集合，，若，求的值．
【答案】
【分析】结合，寻找元素的对应关系，显然不成立，故只能，化简集合，解得参数即可求解的值．
【详解】因为，集合中有一元素为0，显然不成立，故只能，此时，，故满足，解得，经检验，故.
【变式4-1】3.（2021·高一单元测试）已知关于x的方程的解集为，则的值为______．
【答案】1．
【分析】把代入方程求得值，再代入值求得代数式的值．
【详解】由题意，，
所以．
故答案为：1
【变式4-1】4.（2021秋·浙江台州·高一台州市书生中学校考阶段练习）若，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．7
【答案】C
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系，求得P，q的值，由此可得选项.
【详解】因为，
所以，解得，
所以.
故选：C.
【变式4-1】5.（2022秋·江苏常州·高一统考期中）设，且满足且，则______.
【答案】3
【分析】根据集合相等得到，即可得到答案.
【详解】因为且
，
所以，
所以
，即.
故答案为：3
题型5符号辨析问题
【方法总结】 1．元素与集合、集合与集合的关系． “∈”是“元素”与“集合”之间的从属关系，如a∈{a}． “ 或 ”是两个集合之间的包含关系． 2．0、{0}、 、{ }的关系 (1)区别：0不是一个集合，而是一个元素，而{0}， ，{ }都为集合，其中{0}是包含一个元素0的集合； 为不含任何元素的集合；{ }为含有一个元素 的集合，此时 作为集合{ }的一个元素． (2)联系：0∈{0},0 ，0 { }， {0}， {0}， { }， { }．
【例题5】（2022秋·河北承德·高一河北承德第一中学校考期末）有下列关系式：①；②；③；④；⑤ ；⑥.其中不正确的是（ ）
A．①③④ B．②④⑤ C．②⑤⑥ D．③④
【答案】D
【分析】根据集合相等的定义、子集的定义、空集的性质，结合元素与集合的关系进行判断即可.
【详解】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确；
对②：因为集合，故正确，即②正确；
对③：空集是一个集合，而集合是以为元素的一个集合，因此，故③不正确；
对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确；
对⑤：由④可知，非空，于是有 ，因此⑤正确；
对⑥：显然成立，因此⑥正确．
综上，本题不正确的有③④，
故选：D
【变式5-1】1.（2022秋·上海宝山·高一校考期中）已知六个关系式（1）（2）（3）（4）（5）（6），它们中关系表达正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根据集合的基本概念逐一判断即可.
【详解】是以为元素的集合，则，故①正确；
是任何非空集合的真子集，则，，故②③正确；
是不含任何元素的集合，则，故④正确；
是不含任何元素的集合，是以0为元素的集合，则，故⑤错误；
是不含任何元素的集合，是以为元素的集合，则，故⑥正确.
故选：C.
【点睛】本题考查集合的基本概念，考查空集的概念，元素与集合的关系，集合与集合的关系，属于基础题.
【变式5-1】2.（2021秋·河南商丘·高一永城高中校考期中）下面五个关系式：，，，，，其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系及空集的定义判断可得；
【详解】解：因为，，，，，所以正确的个数是4．
故选：C．
【变式5-1】3．（多选）（2021秋·山东临沂·高一校考阶段练习）给出的下列选项，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据集合与空集的性质逐个选项判断即可.
【详解】对于A，不是的元素，故不正确；
对于B，是任何集合的子集，所以是的子集，故正确；
对于C，是的元素，故正确；
对于D，是的元素，故不正确；.
故选：BC
【变式5-1】4.（2021秋·广西贺州·高一校考阶段练习）以下四个写法中：①｛0｝∈｛0，1，2｝；②｛1，2｝；③｛0，1，2｝＝｛2，0，1｝；④；正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】①中两个集合之间关系应用包含关系表示；②中是任何集合的子集；③集合中元素是无序的；④中两个元素之间关系不能用表示.
【详解】在①中，｛0｝与｛0，1，2｝均为集合，两个集合之间的关系要用包含关系而不是属于关系表示，故①错误；②中是任何集合的子集，是正确的；③中由集合元素的无序性知是正确的；④中两个元素之间关系不能用表示.所以正确的有②③.
故选：C
题型6新定义题型
【例题6】（2022秋·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考期中）定义集合，若，，且集合有3个元素，则由实数所有取值组成的集合的非空真子集的个数为（ ）
A．2 B．6 C．14 D．15
【答案】B
【分析】根据集合的新定义运算，再由集合有3个元素确定出n的取值集合，求解即可.
【详解】因为，，，
所以，又集合有3个元素，
当时，即时，满足题意，
当时，即，（舍去）时，，不符合题意，
当时，即时，满足题意，
当时，即，（舍去）时，，不符合题意.
综上，，故所构成集合的非空真子集的个数为.
故选：B
【变式6-1】1.（2022秋·陕西安康·高一陕西省安康中学校考阶段练习）规定：在整数集中，被7除所得余数为的所有整数组成一个“家族”，记为，即，，1，2，3，4，5，6，给出如下四个结论：
①；
②；
③若整数，属于同一“家族”，则；
④若，则整数，属于同一“家族”．其中，正确结论为 __．（填写正确的序号）
【答案】①③④
【分析】根据“家族”的定义逐一判断四个选项的正误即可得正确选项．
【详解】解：①因为，所以，故正确；
②，所以，故错误；
③根据“家族”定义可知当，属于同一“家族”时，
不妨设，，，1，2，3，4，5，6，
则，，，
所以则有，故正确；
④当时，则，
不妨设，，1，2，3，4，5，6，即，
则，
所以整数，属于同一“家族”，故正确．
所以正确的有①③④．
故答案为：①③④．
【变式6-1】2.（2022·高一单元测试）定义A B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0，2}，B＝{1，2}．
(1)求集合A B的所有元素之和．
(2)写出集合A B的所有真子集．
【答案】(1)9
(2) ，{0}，{4}，{5}，{0，4}，{0，5}，{ 4，5}
【分析】（1）分别将A，B中的元素代入，从而求出A B中的元素，进而求出元素之和；
（2）由（1）A B＝{0，4，5}，逐项写出即可．
（1）因为 A B＝{0，4，5}，所以集合所有元素和 9
（2） ，{0}，{4}，{5}，{0，4}，{0，5}，{ 4，5}共7种可能．
【变式6-1】3.（2022秋·北京密云·高一统考期末）已知集合 ，规定：集合中元素的个数为，且．若，则称集合是集合的衍生和集．
(1)当，时，分别写出集合，的衍生和集；
(2)当时，求集合的衍生和集的元素个数的最大值和最小值．
【答案】(1)的衍生和集；的衍生和集
(2)最大值为，最小值为
【分析】（1）由衍生和集定义可直接写出结果；
（2）设，，列举得到所有必然不相等的两个元素之和的情况，由此得到最小值；假设任意两个元素之和都不相等，可确定最大值.
【详解】（1）由衍生和集的定义知：集合的衍生和集；集合的衍生和集.
（2）当时，设集合，且；
，
集合的衍生和集的元素个数的最小值为；
若集合中任意两个元素的和不相等，则衍生和集的元素个数取得最大值，最大值为；
最大值为，最小值为.
【点睛】关键点点睛：本题考查集合中的新定义问题，解题关键是明确衍生和集的本质是集合中两个元素之和，根据集合中元素的互异性可确定衍生和集中元素个数最小和最大的情况.
【变式6-1】4.（2021秋·上海黄浦·高一上海外国语大学附属大境中学校考阶段练习）若三个非零且互不相等的实数满足，则称是调和的；若满足，则称是等差的．已知集合，集合是的三元子集，即．若集合中元素既是调和的，又是等差的，则称集合为“大境集”．不同的“大境集”的个数为______．
【答案】1010
【分析】由为“大境集”的定义解方程，将全用代换，结合可求解.
【详解】联立得，即，，展开得，解得或（根据集合的互异性，舍去），代入得，
则，
所以为4的整数倍，且不为0，则共有个不同的“大境集”的个数.
故答案为：1010
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1.1.2集合的基本关系——题型·技巧攻略
题型1集合间关系的判断 2
◆类型1定义法判断集合关系 3
◆类型2数形结合法 4
◆类型3点的几何意义 5
◆类型4与二次函数结合 5
◆类型5其他型 6
题型2子集真子集个数判断 6
◆类型1子集真子集个数问题 7
◆类型2根据条件求集合 8
题型3集合关系与参数问题 8
◆类型1参数取值问题 8
◆类型2与不等式有关的取值范围问题 9
◆类型3与二次方程有关的取值范围问题 9
题型4集合相等 10
题型5符号辨析问题 10
题型6新定义题型 12
知识点一.子集
1.概念：一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B 的子集.
2.记法：A B（或B A）.
3.读法：A包含于B（或"B包含A"）.
4.如果A不是B的子集，记作AB（或B A），读作“A不包含于B”（或“B不包含A”）.
5.性质：A A； A.
6.图形表示：
知识点二.真子集
1.概念：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集.
2.记法：A B（或BA）.
3.读法：A真包含于B（或“B真包含A”）.
4.性质：对于集合A，B，C，①如果A B,B C,则A C
②如果A B，B C，则A C；
5.图形表示：
知识点三.Venn图
用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
知识点四.集合的相等与子集的关系
1.定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等
2.图形表示：
3.如果 A B，且B A则 A= B。
4.如果A=B则A B且B A。
题型1集合间关系的判断
【方法总结】 判断集合间关系的方法 (1)用定义判断 ①任意x∈A时，x∈B，则A B. ②当A B时，存在x∈B，且x A，则A B. ③若既有A B，又有B A，则A＝B. (2)数形结合判断 对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．
◆类型1定义法判断集合关系
【例题1-1】（2023·江苏·高一假期作业）设集合，，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】1.（2023·全国·高一假期作业）下列各式：①，②，③，④，⑤，其中错误的个数是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【变式1-1】2.（2022·高一课时练习）已知集合，，，，求集合，，，之间的关系．
【变式1-1】3.（2022·河南新乡·高一统考阶段练习）下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】4.（2022·高一课时练习）已知集合， ，则与的关系是（ ）
A． B．
C． D．M，N无公共元素
◆类型2数形结合法
【例题1-2】（2023秋·辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】1.（2020秋·江西九江·高一校考阶段练习）已知集合，，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】2（2022·高一单元测试）已知集合，，有以下结论：①；②；③．其中错误的是（ ）．
A．①③ B．②③
C．①② D．①②③
【变式1-2】3.（2021秋·天津武清·高一天津英华国际学校校考阶段练习）集合，集合，则P与Q的关系是（ ）
A． B．
C． D．
◆类型3点的几何意义
【例题1-3】（2021秋·高一课时练习）已知集合和，那么（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】1.（2020秋·江西南昌·高一校联考期中）若，，则必有（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】2.(多选)（2021秋·山西运城·高一芮城中学校考阶段练习）集合，集合之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】3.（2022秋·河南信阳·高一校联考阶段练习）设，，，则集合的关系是________．
◆类型4与二次函数结合
【例题1-4】（2023·高一课时练习）设集合，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】1.（2022秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）如果集合且，，则集合的关系是 _____．
【变式1-4】2.（2022·上海·高一专题练习）集合A＝{y|y＝x2+3x+1}，B＝{y|y＝x2﹣3x+1}，则集合A与集合B之间的关系是 _____（用 、 、＝来表示）
◆类型5其他型
【例题1-5】（2023·全国·高一假期作业）设，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-5】1.（2021秋·河南郑州·高一校考阶段练习）已知集合，，，若，，则（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【变式1-5】2.（2021秋·天津宁河·高一天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-5】3.（2023秋·江苏扬州·高一期末）若集合是与的公倍数，，，且，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．以上选项均不正确
题型2子集真子集个数判断
【方法总结】 1．元素个数与集合子集个数的关系 (1)探究. 集合A集合A中元素的个数n集合A子集个数真子集的个数非空真子集 {a}{a，b}{a，b，c}{a，b，c，d}
结论： ①A的子集的个数有2n个． ②A的真子集的个数有(2n－1)(n≥1)个． ③A的非空子集的个数有(2n－1)(n≥1)个． ④A的非空真子集的个数有(2n－2)(n≥1)个． 2．求给定集合的子集的两个关注点 (1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写． (2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身． 提醒：真子集个数是在子集的基础上去掉集合本身，做题时看清是真子集还是子集．
◆类型1子集真子集个数问题
【例题2-1】写出集合{a、b、c}的所有子集，并指出它的真子集有多少个？
【变式2-1】1.（2023·全国·高一假期作业）已知集合，则含有元素0的A的子集个数是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式2-1】2.（2023春·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期中）已知集合M {2，3，5}，且M中至少有一个奇数，则这样的集合M共有（ ）
A．5个 B．6个
C．7个 D．8个
【变式2-1】3．（2023·全国·高一假期作业）集合的子集个数为（ ）．
A．4 B．7 C．8 D．16
【变式2-1】4.（2022秋·西藏拉萨·高一校考期中）已知集合，则集合的子集为______.
◆类型2根据条件求集合
【例题2-2】（2023·全国·高一专题练习）已知集合满足，那么这样的集合M的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式2-2】1.（2020秋·江西九江·高一校考阶段练习）已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【变式2-2】2.（2022秋·广西桂林·高一桂林市第一中学校考期中）如果集合满足，则满足条件的集合的个数为_________．
【变式2-2】3.（2022秋·西藏拉萨·高一校考期中）已知集合，集合，则满足关系的所有集合为______.
题型3集合关系与参数问题
◆类型1参数取值问题
【例题3-1】（2023春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考期末）设集合，，若，则（ ）．
A．2 B．1 C． D．
【变式3-1】1.（2023·江苏·高一假期作业）设集合，且，则的值为________.
【变式3-1】2.（2023·江苏·高一假期作业）若，，则成立是真命题，求实数a的值．
【变式3-1】3.（2023·全国·高一假期作业）已知集合，且，则实数a的值是_________．
【变式3-1】4.（2023·高一课时练习）已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
◆类型2与不等式有关的取值范围问题
【例题3-2】（2023·江苏·高一假期作业）已知集合，且，则实数m的取值范围是________.
【变式3-2】1.（2023·全国·高一专题练习）已知集合，，若，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】2.（2023·江苏·高一假期作业）已知集合.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
【变式3-2】3.（2023·全国·高一假期作业）已知集合.
(1)若，则实数a的值是多少
(2)若，则实数a的取值范围是多少
(3)若B A，则实数a的取值范围是多少
◆类型3与二次方程有关的取值范围问题
【例题3-3】（2023·高一单元测试）已知，，且，则a的取值范围为_________．
【变式3-3】1.（2023·高一单元测试）已知集合.
(1)若集合，且，求的值；
(2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围.
【变式3-3】2.（2023春·江西九江·高一德安县第一中学校考期中）已知.
(1)若，求a的值；
(2)若，求实数a的取值范围.
题型4集合相等
【例题4】（2022·江苏·高一假期作业）已知集合，若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．1或
【变式4-1】1.（2023·江苏·高一假期作业）已知，且，则＝________．
【变式4-1】2.2022·高一课时练习）已知集合，，若，求的值．
【变式4-1】3.（2021·高一单元测试）已知关于x的方程的解集为，则的值为______．
【变式4-1】4.（2021秋·浙江台州·高一台州市书生中学校考阶段练习）若，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．7
【变式4-1】5.（2022秋·江苏常州·高一统考期中）设，且满足且，则______.
题型5符号辨析问题
【方法总结】 1．元素与集合、集合与集合的关系． “∈”是“元素”与“集合”之间的从属关系，如a∈{a}． “ 或 ”是两个集合之间的包含关系． 2．0、{0}、 、{ }的关系 (1)区别：0不是一个集合，而是一个元素，而{0}， ，{ }都为集合，其中{0}是包含一个元素0的集合； 为不含任何元素的集合；{ }为含有一个元素 的集合，此时 作为集合{ }的一个元素． (2)联系：0∈{0},0 ，0 { }， {0}， {0}， { }， { }．
【例题5】（2022秋·河北承德·高一河北承德第一中学校考期末）有下列关系式：①；②；③；④；⑤ ；⑥.其中不正确的是（ ）
A．①③④ B．②④⑤ C．②⑤⑥ D．③④
【变式5-1】1.（2022秋·上海宝山·高一校考期中）已知六个关系式（1）（2）（3）（4）（5）（6），它们中关系表达正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式5-1】2.（2021秋·河南商丘·高一永城高中校考期中）下面五个关系式：，，，，，其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式5-1】3．（多选）（2021秋·山东临沂·高一校考阶段练习）给出的下列选项，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】4.（2021秋·广西贺州·高一校考阶段练习）以下四个写法中：①｛0｝∈｛0，1，2｝；②｛1，2｝；③｛0，1，2｝＝｛2，0，1｝；④；正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
题型6新定义题型
【例题6】（2022秋·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考期中）定义集合，若，，且集合有3个元素，则由实数所有取值组成的集合的非空真子集的个数为（ ）
A．2 B．6 C．14 D．15
【变式6-1】1.（2022秋·陕西安康·高一陕西省安康中学校考阶段练习）规定：在整数集中，被7除所得余数为的所有整数组成一个“家族”，记为，即，，1，2，3，4，5，6，给出如下四个结论：
①；
②；
③若整数，属于同一“家族”，则；
④若，则整数，属于同一“家族”．其中，正确结论为 __．（填写正确的序号）
【变式6-1】2.（2022·高一单元测试）定义A B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0，2}，B＝{1，2}．
(1)求集合A B的所有元素之和．
(2)写出集合A B的所有真子集．
【变式6-1】3.（2022秋·北京密云·高一统考期末）已知集合 ，规定：集合中元素的个数为，且．若，则称集合是集合的衍生和集．
(1)当，时，分别写出集合，的衍生和集；
(2)当时，求集合的衍生和集的元素个数的最大值和最小值．
【变式6-1】4.（2021秋·上海黄浦·高一上海外国语大学附属大境中学校考阶段练习）若三个非零且互不相等的实数满足，则称是调和的；若满足，则称是等差的．已知集合，集合是的三元子集，即．若集合中元素既是调和的，又是等差的，则称集合为“大境集”．不同的“大境集”的个数为______．
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