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1.1.3集合的基本运算——题型·技巧攻略
题型1交集概念的简单应用 2
◆类型1交集运算 2
◆类型2含参问题 3
题型2并集概念的简单应用 4
◆类型1并集运算 4
◆类型2含参问题 5
题型3补集概念的简单应用 6
◆类型1补集运算 6
◆类型2Venn图解决并交补混合运算 7
◆类型3含参问题 8
◆类型4Venn图相关考点 8
题型4并交补实际应用 9
题型5含参取值范围问题 11
◆类型1不等式相关考点 11
◆类型2一元二次方程相关考点 12
题型6新定义题型 13
知识点一.交集
自然语言 一般地，由_所有属于集合A或属于集合B_的元素组成的集合，称为集合A与B的并集(union set)，记作__ A∪B __(读作“A并B”)，
符号语言 A∪B＝____{x|x∈A，且x∈B},
图形语言 可用Venn图表示．
2.性质①A∩B＝B∩A；②A∩A＝A；③A∩ ＝ ；④若A B，则A∩B＝A；⑤(A∩B) A；⑥(A∩B) B.
知识点二.并集
自然语言 一般地，由___属于集合A且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集(intersection set)，记作_ A∩B _(读作“A交B”)，
符号语言 A∩B＝__{x|x∈A，或x∈B}
图形语言 可用Venn图表示．
2.性质
①A∪B＝B∪A；
②A∪A＝A；
③A∪ ＝ ∪A＝A；
④A (A∪B)，B (A∪B)；
⑤A∪B＝A B A，A∪B＝B A B.
知识点三..全集与补集
1．全集
(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
(2)记法：全集通常记作U.
2．补集
自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 UA
符号语言 UA＝{x|x∈U，且x A}
图形语言 可用Venn图表示．
3.补集的性质
(1)A∪( UA)＝U，A∩( UA)＝ .
(2) U( UA)＝A， UU＝ ， U ＝U.
题型1交集概念的简单应用
◆类型1交集运算
【例题1-1】(2018·高考全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{-2，-1,0,1,2}，则A∩B＝( )
A．{0,2} B．{1,2} C．{0} D．{-2，-1,0,1,2}
【变式1-1】1.（2022·全国·统考高考真题）集合，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】2.（2021·浙江·统考高考真题）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】3．（2021·全国·高考真题）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】4.（2023·全国·高一假期作业）设集合，，则图阴影区域表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】5.（2020秋·湖南郴州·高一校考阶段练习）设是等腰三角形和是等边三角形，则（ ）
A．是等腰三角形 B．是等边三角形
C． D．是三角形
【变式1-1】6（2023·江苏·高一假期作业）已知集合则=________．
◆类型2含参问题
【例题1-2】（2022秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知集合，，且，则___________．
【变式1-2】1．（2023·广东深圳·红岭中学校考模拟预测）已知集合，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式1-2】2.（2023春·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）已知 ，集合，集合，若，则（ ）
A． B． C．或1 D．
【变式1-2】3.（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考模拟预测）设集合，若，则集合C中的子集有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
题型2并集概念的简单应用
◆类型1并集运算
【例题2-1】（2023春·浙江宁波·高y一统考期末）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】1.（2022秋·江西景德镇·高一统考期中）集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】2．（2023春·广东汕头·高一金山中学校考期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】3.（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知集合，，，则的子集共有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．64个
【变式2-1】4．（2023·北京·首都师范大学附属中学校考模拟预测）已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】5.(多选)（2021秋·高一课时练习）已知集合，，下列判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-1】6.点集A＝{(x，y)|x＜0}，B＝{(x，y)|y＜0}，则A∪B中的元素不可能在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
◆类型2含参问题
【例题2-2】（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测）已知集合，，，则（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2-2】1．（2023·贵州铜仁·统考模拟预测）已知集合，，，则（ ）
A．或 B． C．或 D．
【变式2-2】2.（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）已知集合满足，则满足条件的集合共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2-2】3.（2023·江苏·高一假期作业）设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∪B＝A，求a的值．
题型3补集概念的简单应用
【方法总结】解决集合交、并、补运算的技巧 (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错． (2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．
◆类型1补集运算
【例题3-1】（2023秋·山西大同·高一统考期末）已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】1.（2023春·云南昆明·高一统考期中）设全集或，则＝（ ）
A．或 B．或
C． D．{0，1，2，3，4，5，6}
【变式3-1】2．（2023春·贵州·高一贵州师大附中校联考阶段练习）已知集合，，则（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【变式3-1】3.（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）设全集，，，则 （ ）
A．{1，2} B．
C． D．
【变式3-1】4.（2023·全国·高一假期作业）设全集，，则）等于（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】5.（2023·全国·统考高考真题）设集合，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】6.（2021秋·高一课前预习）设全集是三角形}，是锐角三角形}，是钝角三角形}，求，.
◆类型2Venn图解决并交补混合运算
【例题3-2】（2023·高一课时练习）已知全集， ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】1.（2023·全国·高一专题练习）集合且，，，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】2.（2022秋·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考阶段练习）已知，，则__________.
【变式3-2】3.（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知全集，，则中元素个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
◆类型3含参问题
【例题3-3】（2023秋·江苏扬州·高一校联考期末）设全集，集合，，则的值为（ ）
A． B．和 C． D．
【变式3-3】1.（多选）（2023秋·贵州遵义·高一统考期末）（多选题）设全集U＝{x|x2－8x＋15＝0，x∈R}．＝{x|ax－1＝0}，则实数a的值为（ ）
A．0 B． C． D．2
【变式3-3】2.（2022秋·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考期中）设全集，集合，则（ ）
A． B．2 C． D．
【变式3-3】3.（2022秋·全国·高一专题练习）已知全集，集合，，则实数的值为__________．
◆类型4Venn图相关考点
【例题3-4】（2023·广东·校联考模拟预测）已知全集，集合或，或，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-4】1.（2023春·浙江·高一校联考阶段练习）设全集，则图中阴影部分对应的集合是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-4】2.（2021秋·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期中）如图所示，两个大圆和一个小圆分别表示集合、、，它们是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-4】3.（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）如图，集合均为的子集，表示的区域为（ ）
A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ
题型4并交补实际应用
【例题4】（2021秋·河南洛阳·高一校考阶段练习）移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”.某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，其中使用过移动支付或共享单车的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生人数为（ ）
A．50 B．60 C．70 D．80
【变式4-1】1.（2023·全国·高一假期作业）某班30人，其中17人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，9人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_________．
【变式4-1】2.（2023·全国·高一专题练习）向某50名学生调查对A，B两事件的态度，其中有30人赞成A，其余20人不赞成A；有33人赞成B，其余17人不赞成B；且对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学生人数的三分之一多1人，则对A，B都赞成的学生人数为__________．
【变式4-1】3．（2022·河南新乡·高一期末）某疫情防控志愿者小组有20名志愿者，由党员和大学生组成，其中有15人是党员，有9人是大学生，则既是党员又是大学生的志愿者人数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式4-1】4．（2022秋·江西景德镇·高一统考期中）某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（ ）名
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式4-1】5.（2022秋·湖北恩施·高一恩施市第一中学校考阶段练习）某小学为落实双减，实现真正素质教育，在课后给同学们增设了各种兴趣班.为了了解同学们的兴趣情况，某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌 跳舞 书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（ ）
A．27 B．23 C．25 D．29
题型5含参取值范围问题
【方法总结】(1)在进行集合运算时，若条件中出现A∩B＝A或A∪B＝B，应转化为A B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝ 的情况． (2)集合运算常用的性质： ①A∪B＝B A B； ②A∩B＝A A B； ③A∩B＝A∪B A＝B.
◆类型1不等式相关考点
【例题5-1】（2023·江苏·高一假期作业）已知集合，．
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)当时，求C的非空真子集的个数．
【变式5-1】1.（2023·全国·高一假期作业）设集合,
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【变式5-1】2.（2023·江苏·高一假期作业）已知.若，则实数m的取值范围为________.
【变式5-1】3.（2023·全国·高一专题练习）设全集 ，，．
(1)若 ，求 ．
(2)若 ，求实数 的取值范围．
【变式5-1】4.（多选）（2023春·四川南充·高一四川省南充市白塔中学校考阶段练习）已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】5.（2022秋·江西抚州·高一统考期末）已知集合，或．
(1)当时，求；
(2)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在（2）问中的横线上，并求解，若__________，求实数的取值范围．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
◆类型2一元二次方程相关考点
【例题5-2】（2022秋·辽宁沈阳·高一沈阳市外国语学校校考阶段练习）设集合，
(1)若集合A为，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的值；
【变式5-2】1.（2021秋·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考阶段练习）设集合，，
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【变式5-2】2.（2023·高一单元测试）设，其中，如果，求实数的取值范围.
【变式5-2】3.（2021秋·广东深圳·高一深圳市龙华中学校考阶段练习）设集合， ，求实数的取值范围．
【变式5-2】4.（2023·高一课时练习）已知集合，若，求实数m的取值范围．
题型6新定义题型
【例题6】（多选）（2022秋·江苏连云港·高一连云港高中校考阶段练习）对于非空集合，，我们把集合且叫做集合与的差集，记作．例如，，2，3，4，，，5，6，7，，则有，2，，如果，集合与之间的关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】1.（2021·高一单元测试）对于集合，定义，，设，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】2．（2022秋·云南曲靖·高一曲靖一中校考阶段练习）定义集合运算，若集合，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】3.(多选)（2022秋·贵州铜仁·高一校考阶段练习）我们已经学过了集合的并、交、补等几种基本运算，而集合还有很多其他的基本运算．设，为两个集合，称由所有属于集合但不属于集合的元素组成的集合为集合与集合的差集，记为，即．下列表达式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】4.(多选)（2022秋·江苏徐州·高一徐州市第七中学校考阶段练习）整数集合Z中，被4所除余数为K的所有整数组成一个“类”，记作，以下判断正确的是（ ）.
A． B．
C． D．，，则
【变式6-1】5.（2023·高一单元测试）设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”，．对于集合，，，，则______．
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1.1.3集合的基本运算——题型·技巧攻略
题型1交集概念的简单应用 2
◆类型1交集运算 2
◆类型2含参问题 5
题型2并集概念的简单应用 7
◆类型1并集运算 7
◆类型2含参问题 10
题型3补集概念的简单应用 12
◆类型1补集运算 12
◆类型2Venn图解决并交补混合运算 15
◆类型3含参问题 17
◆类型4Venn图相关考点 19
题型4并交补实际应用 22
题型5含参取值范围问题 26
◆类型1不等式相关考点 26
◆类型2一元二次方程相关考点 31
题型6新定义题型 34
知识点一.交集
自然语言 一般地，由_所有属于集合A或属于集合B_的元素组成的集合，称为集合A与B的并集(union set)，记作__ A∪B __(读作“A并B”)，
符号语言 A∪B＝____{x|x∈A，且x∈B},
图形语言 可用Venn图表示．
2.性质①A∩B＝B∩A；②A∩A＝A；③A∩ ＝ ；④若A B，则A∩B＝A；⑤(A∩B) A；⑥(A∩B) B.
知识点二.并集
自然语言 一般地，由___属于集合A且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集(intersection set)，记作_ A∩B _(读作“A交B”)，
符号语言 A∩B＝__{x|x∈A，或x∈B}
图形语言 可用Venn图表示．
2.性质
①A∪B＝B∪A；
②A∪A＝A；
③A∪ ＝ ∪A＝A；
④A (A∪B)，B (A∪B)；
⑤A∪B＝A B A，A∪B＝B A B.
知识点三..全集与补集
1．全集
(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
(2)记法：全集通常记作U.
2．补集
自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 UA
符号语言 UA＝{x|x∈U，且x A}
图形语言 可用Venn图表示．
3.补集的性质
(1)A∪( UA)＝U，A∩( UA)＝ .
(2) U( UA)＝A， UU＝ ， U ＝U.
题型1交集概念的简单应用
◆类型1交集运算
【例题1-1】(2018·高考全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{-2，-1,0,1,2}，则A∩B＝( )
A．{0,2} B．{1,2} C．{0} D．{-2，-1,0,1,2}
【答案】 A
【解析】 由题意知A∩B＝{0,2}．
【变式1-1】1.（2022·全国·统考高考真题）集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据集合的交集运算即可解出．
【详解】因为，，所以．
故选：A.
【变式1-1】2.（2021·浙江·统考高考真题）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意结合交集的定义可得结果.
【详解】由交集的定义结合题意可得：.
故选：D.
【变式1-1】3．（2021·全国·高考真题）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出集合后可求.
【详解】，故，
故选：B.
【变式1-1】4.（2023·全国·高一假期作业）设集合，，则图阴影区域表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用交集的定义即可求解.
【详解】由题意可知，图阴影区域表示的集合是,
所以.
故选：A.
【变式1-1】5.（2020秋·湖南郴州·高一校考阶段练习）设是等腰三角形和是等边三角形，则（ ）
A．是等腰三角形 B．是等边三角形
C． D．是三角形
【答案】B
【分析】直接根据交集的概念得答案.
【详解】若是等腰三角形和是等边三角形，
则 是等边三角形.
故选：B.
【变式1-1】6（2023·江苏·高一假期作业）已知集合则=________．
【答案】
【分析】根据集合的交集运算即可.
【详解】由题意可得，解方程可得，故．
故答案为：
◆类型2含参问题
【例题1-2】（2022秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知集合，，且，则___________．
【答案】3或
【分析】根据集合的交集的含义结合集合元素的互异性性质，即可求得答案.
【详解】因为，，
故，
又，若，若，则；
当时，，，符合题意；
当时，，，不合题意，
当时，，，符合题意，
故或，
故答案为：或
【变式1-2】1．（2023·广东深圳·红岭中学校考模拟预测）已知集合，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据交集结果得到，或，检验后得到答案．
【详解】因为，
所以，或，
当时，，与集合元素的互异性矛盾，舍去；
当时，，与集合元素的互异性矛盾，舍去；
当时，，满足集合元素互异性，满足要求．
所以.
故选：C．
【变式1-2】2.（2023春·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）已知 ，集合，集合，若，则（ ）
A． B． C．或1 D．
【答案】D
【分析】根据交运算结果，列出方程，求得对应参数值；再验证即可选择.
【详解】因为，故可得且，或且；
解得或；
当时，，满足题意；
当时，，不满足题意，舍去；
综上所述，.
故选：D.
【变式1-2】3.（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考模拟预测）设集合，若，则集合C中的子集有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】由可知需满足，利用解方程组代入可得，即C中有2个元素.
【详解】由可得，集合C为集合A，B的公共元素，
需满足，即，
又，故或，解得或
此时集合有2个元素，
故集合C中的子集共有4个.
故选：C.
题型2并集概念的简单应用
◆类型1并集运算
【例题2-1】（2023春·浙江宁波·高y一统考期末）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据并集的定义计算可得.
【详解】因为，，
所以.
故选：D
【变式2-1】1.（2022秋·江西景德镇·高一统考期中）集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据并集的运算可得答案.
【详解】因为，，所以 .
故选：B.
【变式2-1】2．（2023春·广东汕头·高一金山中学校考期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出集合，然后根据并集的定义可求得结果.
【详解】由，得，
因为，
所以 ，
故选：B
【变式2-1】3.（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知集合，，，则的子集共有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．64个
【答案】D
【分析】先求出集合，再求出集合，从而可求出其子集的个数.
【详解】因为，，
所以，
所以，则的子集共有个，
故选：D
【变式2-1】4．（2023·北京·首都师范大学附属中学校考模拟预测）已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用列表法求集合A、B，进而结合集合间的关系和运算逐项分析判断.
【详解】对于可得：
xy -1 1
-1 -2 0
1 0 2
可得集合；
对于可得：
xy -1 1
-1 0 2
1 -2 0
可得集合，所以，
则成立， 不成立，，
所以A正确，B、C、D错误.
故选：A.
【变式2-1】5.(多选)（2021秋·高一课时练习）已知集合，，下列判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据题意求出集合的取值范围，然后结合交集，并集和集合相等的知识逐项验证即可求解.
【详解】因为集合，
集合，
所以，，，
故选：ABD.
【变式2-1】6.点集A＝{(x，y)|x＜0}，B＝{(x，y)|y＜0}，则A∪B中的元素不可能在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】 A
【解析】 由题意得，A∪B中的元素是由横坐标小于0或纵坐标小于0的点构成的集合，所以A∪B中的元素不可能在第一象限．
◆类型2含参问题
【例题2-2】（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测）已知集合，，，则（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据并集的结果，分类讨论当、时集合A、B的情况，即可求解.
【详解】，
当即时，，不符合题意；
当即时，，此时.
所以.
故选：B.
【变式2-2】1．（2023·贵州铜仁·统考模拟预测）已知集合，，，则（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】B
【分析】分析可知，利用集合的包含关系可出关于的等式，结合集合元素满足互异性可得出实数的值.
【详解】因为，，，则，
所以，或，
若，则，此时，，集合中的元素不满足互异性，故；
若，可得，因为，则，此时，，合乎题意.
因此，.
故选：B.
【变式2-2】2.（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）已知集合满足，则满足条件的集合共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据题目条件，得出集合必有元素5，可能有元素1或3，即可列出满足条件的集合，从而得出答案．
【详解】因为，
所以集合中必有元素5，可能有元素1或3，
则满足条件的集合为：，，，，共有4个，
故选：D．
【变式2-2】3.（2023·江苏·高一假期作业）设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∪B＝A，求a的值．
【答案】或
【分析】先由A∪B＝A，得到B A.再含参讨论解出集合，进行讨论即可.
【详解】∵A∪B＝A，∴B A.
∵A＝{－2}≠，∴B＝或B＝A.
当B＝时，方程ax＋1＝0无解，此时a＝0.
当B＝A时，此时a≠0，则，
∴－∈A，即有－＝－2，得a＝.
综上，a＝0或a＝.
题型3补集概念的简单应用
【方法总结】解决集合交、并、补运算的技巧 (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错． (2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．
◆类型1补集运算
【例题3-1】（2023秋·山西大同·高一统考期末）已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据集合的补集、交集运算即可.
【详解】因为集合，，，
所以，所以.
故选：C.
【变式3-1】1.（2023春·云南昆明·高一统考期中）设全集或，则＝（ ）
A．或 B．或
C． D．{0，1，2，3，4，5，6}
【答案】D
【分析】根据集合的并运算即可求解.
【详解】由于或，所以，
故选：D
【变式3-1】2．（2023春·贵州·高一贵州师大附中校联考阶段练习）已知集合，，则（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】B
【分析】利用补集的定义可求得集合.
【详解】因为集合，，故或.
故选：B.
【变式3-1】3.（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）设全集，，，则 （ ）
A．{1，2} B．
C． D．
【答案】D
【分析】由交集和补集的定义求解即可.
【详解】因为所以 ，
∴ .
故选：D.
【变式3-1】4.（2023·全国·高一假期作业）设全集，，则）等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求得，根据集合的交集运算，即得答案.
【详解】由题意，则，
故，
故选：C
【变式3-1】5.（2023·全国·统考高考真题）设集合，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可.
【详解】由题意可得，则，选项A正确；
，则，选项B错误；
，则或，选项C错误；
或，则 或，选项D错误；
故选：A.
【变式3-1】6.（2021秋·高一课前预习）设全集是三角形}，是锐角三角形}，是钝角三角形}，求，.
【答案】，是直角三角形
【解析】根据三角形分类和交集、并集的定义可求得和，由补集的定义可求得.
【详解】根据三角形的分类可知：
是锐角三角形或钝角三角形 是直角三角形
【点睛】本题考查集合运算中的交集、并集和补集运算，关键是熟悉三角形的分类，属于基础题.
◆类型2Venn图解决并交补混合运算
【例题3-2】（2023·高一课时练习）已知全集， ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意画出图，即可得出答案.
【详解】由题意画出图如下，
可得：，，，.
故选：D.
【变式3-2】1.（2023·全国·高一专题练习）集合且，，，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件利用Venn图进行求解即可．
【详解】作出Venn图如图所示，
则，．
故选：C．
【变式3-2】2.（2022秋·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考阶段练习）已知，，则__________.
【答案】
【分析】由题意可画出Venn图，即可求得答案.
【详解】由题意,
,
故画图如图:
即得，
故答案为：
【变式3-2】3.（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知全集，，则中元素个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【分析】利用列举法表示全集，再根据交集运算可得，得到集合即可得解.
【详解】∵，，
∴，，
∴，∴中元素个数为4个，
故选：B．
◆类型3含参问题
【例题3-3】（2023秋·江苏扬州·高一校联考期末）设全集，集合，，则的值为（ ）
A． B．和 C． D．
【答案】C
【分析】利用集合补集的定义求解即可.
【详解】因为，集合，，
由补集的定义可知的可能取值为3或4，
当即时，不满足题意；
当即时，，此时满足题意，
综上，
故选：C
【变式3-3】1.（多选）（2023秋·贵州遵义·高一统考期末）（多选题）设全集U＝{x|x2－8x＋15＝0，x∈R}．＝{x|ax－1＝0}，则实数a的值为（ ）
A．0 B． C． D．2
【答案】ABC
【分析】首先求集合，再结合补集的定义，讨论和两种情况，求实数的取值范围.
【详解】U＝{3，5}，若a＝0，则，此时A＝U；
若a≠0，则＝.
此时＝3或＝5，
∴a＝或a＝.
综上a的值为0或或.
故选：ABC
【变式3-3】2.（2022秋·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考期中）设全集，集合，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可确定，求得m的值，检验后确定答案.
【详解】由题意全集，集合，
可得，解得或，
当时，，则不合题意，
时，， ，符合题意，故，
故选：B.
【变式3-3】3.（2022秋·全国·高一专题练习）已知全集，集合，，则实数的值为__________．
【答案】
【分析】由，得出，结合元素的互异性，即可求解.
【详解】由集合，可得，解得，
又由且，
可得，解得，经验证满足条件，
所以实数的值为.
故答案为：.
◆类型4Venn图相关考点
【例题3-4】（2023·广东·校联考模拟预测）已知全集，集合或，或，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用集合的交并补的定义，结合图即可求解.
【详解】因为或，或，
所以或或或，
或或或.
由题意可知阴影部分对于的集合为，
所以，
或.
故选：D.
【变式3-4】1.（2023春·浙江·高一校联考阶段练习）设全集，则图中阴影部分对应的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】图中阴影部分表示 ，由交集的补集的定义求解即可.
【详解】图中阴影部分表示 ，，则 或，
因为
所以 ，
故选：D．
【变式3-4】2.（2021秋·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期中）如图所示，两个大圆和一个小圆分别表示集合、、，它们是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】题图中的阴影部分是的子集，但该子集中不含集合中的元素，且该子集包含于集合的补集，用关系式表示出来即可．
【详解】由图知，首先阴影部分是的子集，其次不含集合中的元素且在集合的补集中，
可得阴影部分所表示的集合是或.
故选：C.
【变式3-4】3.（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）如图，集合均为的子集，表示的区域为（ ）
A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ
【答案】B
【分析】根据集合间的运算分析判断.
【详解】因为表示除集合B以外的所有部分，即为Ⅰ和Ⅱ，
所以表示与集合A的公共部分，即为Ⅱ.
故选：B.
题型4并交补实际应用
【例题4】（2021秋·河南洛阳·高一校考阶段练习）移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”.某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，其中使用过移动支付或共享单车的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生人数为（ ）
A．50 B．60 C．70 D．80
【答案】C
【分析】由题意可知：只使用过共享单车但没使用过移动支付的学生有10人，使用过共享单车且使用过移动支付的学生共有60位，再计算即可得解.
【详解】根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用韦恩图表示如下图，
使用过共享单车或移动支付的学生共有90位，使用过移动支付的学生共有80位，
则可得：只使用过共享单车但没使用过移动支付的学生有90-80=10人，
又使用过共享单车且使用过移动支付的学生共有60位，
即使用过共享单车的学生人数为10+60=70，
故选:C.
【变式4-1】1.（2023·全国·高一假期作业）某班30人，其中17人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，9人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_________．
【答案】11
【分析】设喜欢篮球且喜欢乒乓球的人数为x人，借助Venn图列出方程，求出x，进而求得喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数即可．
【详解】设喜欢篮球且喜欢乒乓球的人数为x人，则只喜爱篮球的有(17－x)人，只喜爱乒乓球的有(10－x)人，
由(17－x)＋(10－x)＋x＋9＝30，解得x＝6，
所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为17－x＝11人．
故答案为：11．
【变式4-1】2.（2023·全国·高一专题练习）向某50名学生调查对A，B两事件的态度，其中有30人赞成A，其余20人不赞成A；有33人赞成B，其余17人不赞成B；且对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学生人数的三分之一多1人，则对A，B都赞成的学生人数为__________．
【答案】21
【分析】根据给定条件利用集合并结合Venn图列出方程求解作答.
【详解】记赞成A的学生组成集合A，赞成B的学生组成集合B，50名学生组成全集U，则集合A有30个元素，集合B有33个元素.
设对A，B都赞成的学生人数为x，则集合的元素个数为，如图，
由Venn图可知，，即，解得，
所以对A，B都赞成的学生有21人.
故答案为：21.
【变式4-1】3．（2022·河南新乡·高一期末）某疫情防控志愿者小组有20名志愿者，由党员和大学生组成，其中有15人是党员，有9人是大学生，则既是党员又是大学生的志愿者人数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【详解】因为志愿者小组有20名志愿者，由党员和大学生组成，其中有15人是党员，有9人是大学生，所以由Venn可得既是党员又是大学生的志愿者人数为．故选：C
【变式4-1】4．（2022秋·江西景德镇·高一统考期中）某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（ ）名
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【分析】画出图，由题意求出分别单独参加物理、数学和化学的人数，即可求出参赛人数，进而求出没有参加任何竞赛的学生.
【详解】画三个圆分别代表数学、物理、化学的人，
因为有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，
参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、化两科的有5名，
只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，
所以单独参加数学的有人，
单独参加物理的有人，单独参加化学的有，
故参赛人数共有人，
没有参加任何竞赛的学生共有人.
故选：D.
【变式4-1】5.（2022秋·湖北恩施·高一恩施市第一中学校考阶段练习）某小学为落实双减，实现真正素质教育，在课后给同学们增设了各种兴趣班.为了了解同学们的兴趣情况，某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌 跳舞 书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（ ）
A．27 B．23 C．25 D．29
【答案】A
【分析】借助韦恩图处理集合运算的容斥问题.
【详解】作出韦恩图，如图所示，
可知5人只喜欢唱歌，2人只喜欢跳舞，1人只喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有10人，同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有4人，同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有3人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为.
故选：A
题型5含参取值范围问题
【方法总结】(1)在进行集合运算时，若条件中出现A∩B＝A或A∪B＝B，应转化为A B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝ 的情况． (2)集合运算常用的性质： ①A∪B＝B A B； ②A∩B＝A A B； ③A∩B＝A∪B A＝B.
◆类型1不等式相关考点
【例题5-1】（2023·江苏·高一假期作业）已知集合，．
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)当时，求C的非空真子集的个数．
【答案】(1)
(2)254
【分析】（1）依题意有，分和两种情况讨论，由包含关系求实数m的取值范围；
（2）由集合C中元素个数，求C的非空真子集的个数.
【详解】（1）∵，∴，
①若，则，解得；
②若，则，可得.
由可得，解得，此时.
综上所述，实数m的取值范围是.
（2）∵，集合C中共8个元素，
因此，集合C的非空真子集个数为.
【变式5-1】1.（2023·全国·高一假期作业）设集合,
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1);
(2).
【分析】（1）根据并集的定义运算即得；
（2）由题可得，分类讨论进而可得不等式即得.
【详解】（1）当时，，；
（2），
当时，满足题意，此时，解得；
当时，解得，
实数m的取值范围为.
【变式5-1】2.（2023·江苏·高一假期作业）已知.若，则实数m的取值范围为________.
【答案】或.
【分析】根据，分和两种情况讨论求解.
【详解】已知集合，且，
或
当时，，解得，符合题意；
当时，且，
则或，解得，
综上：实数的取值范围为或.
故答案为：或.
【变式5-1】3.（2023·全国·高一专题练习）设全集 ，，．
(1)若 ，求 ．
(2)若 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用集合的补集和交集的运算知识即可求解.
（2）求出，，分，两种情况讨论，根据集合的运算求解即可.
【详解】（1）当时，，，
所以或，；
（2）全集 ，，
或，
，
分，两种情况讨论.
（1）当时，如图可得，或，
或；
（2）当时，应有：，解得；
综上可知，或，
故得实数 的取值范围.
【变式5-1】4.（多选）（2023春·四川南充·高一四川省南充市白塔中学校考阶段练习）已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据和分类讨论，求出m的取值范围，再判断选项即可.
【详解】①当时，令，得，此时符合题意；
②当时，，得，
则或，
因为，所以或，
解得或，
因为，所以.
综上，m的取值范围为或，
故选：BC
【变式5-1】5.（2022秋·江西抚州·高一统考期末）已知集合，或．
(1)当时，求；
(2)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在（2）问中的横线上，并求解，若__________，求实数的取值范围．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】(1)
(2)条件选择见解析，
【分析】（1）当时，利用补集和并集可求得集合；
（2）若选①，分、两种情况讨论，根据可得出关于的不等式组，综合可得出实数的取值范围；
若选②，分、两种情况讨论，在时直接验证即可，在时，根据可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围；
若选③，分析可得，同①.
【详解】（1）解：当时，，或，
所以，，因此，.
（2）解：若选①，当时，则时，即当时，成立，
当时，即当时，即当时，
由可得，解得，此时.
综上，；
若选②，当时，则时，即当时，成立，
当时，即当时，即当时，
由可得，解得，此时.
综上，；
若选③，由可得，
当时，则时，即当时，成立，
当时，即当时，即当时，
由可得，解得，此时.
综上，.
◆类型2一元二次方程相关考点
【例题5-2】（2022秋·辽宁沈阳·高一沈阳市外国语学校校考阶段练习）设集合，
(1)若集合A为，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合题意，将问题转化为方程无实根，从而得解；
（2）由得，从而利用待定系数法即可得解.
【详解】（1）因为，，
所以方程无实根，即，
解得或，
所以的取值范围为.
（2）因为，所以，
又因为，，
所以，解得，
当时，，
所以.
【变式5-2】1.（2021秋·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考阶段练习）设集合，，
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由可知，代入集合分类讨论的取值即可得；
（2）根据并集结果可得，再对集合是否为空集进行分类讨论即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）由集合可得，
由可得，
故，解得或，
当时，，此时不满足题意，舍去，
当时，，满足题意，
故；
（2）由得，
当时，即时，满足题意；
当时，即时，满足题意；
当时，即时，，解得，
综上可得，或；
即实数的取值范围为.
【变式5-2】2.（2023·高一单元测试）设，其中，如果，求实数的取值范围.
【答案】或
【分析】由，然后利用集合的元素个数分别讨论，求出的取值范围即可.
【详解】由，而，
对于集合有：
当，即时，，符合；
当，即时，，符合；
当，即时，中有两个元素，而 ；
∴得；
综上，或.
【变式5-2】3.（2021秋·广东深圳·高一深圳市龙华中学校考阶段练习）设集合， ，求实数的取值范围．
【答案】
【分析】由，，分，，其中分有一个或两个实数根解决即可.
【详解】由题知，
由得或，即
因为，
所以，
当时，方程无实数根，
即 解得：或；
当时，方程有实数根，
若只有一个实数根，，解得或；
当时，满足题意；
当时，不满足题意；
所以．
若只有两个实数根，则，
故，无解．
综上可得实数的取值范围是：．
【变式5-2】4.（2023·高一课时练习）已知集合，若，求实数m的取值范围．
【答案】或
【分析】利用一元二次方程以及集合的交集、补集运算进行求解.
【详解】因为，所以当时，；当时，，
因为，所以，
因为，所以当时，显然不满足；
当时，或，解得或，
所以实数m的取值范围为或.
题型6新定义题型
【例题6】（多选）（2022秋·江苏连云港·高一连云港高中校考阶段练习）对于非空集合，，我们把集合且叫做集合与的差集，记作．例如，，2，3，4，，，5，6，7，，则有，2，，如果，集合与之间的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】利用差集、并集、交集的定义直接求解．
【详解】差集的定义，且，
，，
故选：．
【变式6-1】1.（2021·高一单元测试）对于集合，定义，，设，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题中集合新定义的特性结合集合的基本运算可求解出结果.
【详解】集合，，
则 ， ，
由定义可得：且 ，
且 ，
所以，选项 ABD错误，选项C正确.
故选：C．
【变式6-1】2．（2022秋·云南曲靖·高一曲靖一中校考阶段练习）定义集合运算，若集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得，从而可得或，或，再根据新定义得，再代入验证即可得答案.
【详解】解：因为，
所以或
所以或，
或
所以或，
，
代入验证，
故.
故选：D.
【变式6-1】3.(多选)（2022秋·贵州铜仁·高一校考阶段练习）我们已经学过了集合的并、交、补等几种基本运算，而集合还有很多其他的基本运算．设，为两个集合，称由所有属于集合但不属于集合的元素组成的集合为集合与集合的差集，记为，即．下列表达式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据差集的定义逐个分析可得答案.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B， ，故B不正确；
对于C，因为，，所以，故C正确；
对于D，因为，，所以，故D正确.
故选：
【变式6-1】4.(多选)（2022秋·江苏徐州·高一徐州市第七中学校考阶段练习）整数集合Z中，被4所除余数为K的所有整数组成一个“类”，记作，以下判断正确的是（ ）.
A． B．
C． D．，，则
【答案】AD
【分析】由新概念“类”的定义逐一检验即可求解
【详解】对于A：因为，所以，故A正确；
对于B：因为，所以，故B错误；
对于C：因为，所以，故C错误；
对于D：，则，
，
因为，所以，
所以，故D正确；
故选：AD
【变式6-1】5.（2023·高一单元测试）设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”，．对于集合，，，，则______．
【答案】
【分析】根据运算“*”，，利用集合的交集和补集运算求解.
【详解】解：因为集合，，，，
所以，则，
又，
所以 ，
故答案为：
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