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1.2.1命题与量词
1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定——题型·技巧攻略
题型1命题的判断 2
题型2命题真假的判断 4
题型3全称量词命题与存在两次命题的判断 7
◆类型1命题的判断 7
◆类型2命题的改写 9
题型4全称量词命题、与存在两次命题的真假 11
题型5含有量词命题的否定 14
题型6全称量词命题、与存在量词命题的应用 17
知识点一.命题的概念
定义：一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述语句称为命题．其中，判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题一个命题，一般可以用一个小写英文字母表示，如p，q，r，.
知识点二.全称量词与全称量词命题
全称量词
量词 所有的、任意一个
符号
命题 含有全称量词的命题是全称量词命题
命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“ x∈M，p(x)”
知识点三.存在量词与存在量词命题
存在量词
量词 存在一个、至少有一个
符号
命题 含有存在量词的命题是存在量词命题
命题形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“ x∈M，p(x)”
注意：全称量词命题与存在量词命题的区别
（1）全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”.
（2）存在量词命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”.
知识点四.含有量词命题的否定
含量词的命题的否定
p p 结论
全称量词命题 x∈M，p(x) x∈M，p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题
存在量词命题 x∈M，p(x) x∈M，p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题
题型1命题的判断
【方法总结】 ①命题通常是陈述句，包括肯定句和否定句 ②祈使句、疑问句、反问句一般不是命题。 ③判定真命题，除了公认的事实外，还要严格的推理证明。 ④判定假命题，只需要举出一个反例即可。
【例题1】（2023·江苏·高一假期作业）以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据命题的定义进行判断.
【详解】①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题．
故选：B
【变式1-1】1.（2021秋·高一课时练习）在下列语句中，命题的个数是（ ）
①空集是任何集合的子集；②若，则；③若，则.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据命题的定义直接判断即可.
【详解】命题是可以判断真假的陈述句，对于选项①②③，均为可判断真假的陈述句，即都是命题.
故选：C.
【变式1-1】2.（2023·高一课时练习）下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（ ）
A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③
【答案】D
【分析】根据命题的定义即可求解.
【详解】命题是能判断真假的陈述句，
由于⑤⑥不是陈述句，故不是命题，
②④无法判断真假，故不是命题，
①③可以判断真假且是陈述句，故是命题，
故选：D
【变式1-1】3.（2023·全国·高一假期作业）下列语句是命题的是（ ）
A．二次函数的图象太美啦！ B．这是一棵大树
C．求证： D．3比5大
【答案】D
【分析】根据命题的定义逐一判断即可.
【详解】能够判断成立或不成立的陈述句叫命题，只有选项D能够判断出真假，3比5大显然不成立，是假命题，
故选：D
题型2命题真假的判断
【方法总结】 （1）有一类陈述句在数学或其他科学技术中经常出现，但目前不能确定这些语句的真假，随着时间的推移，总能确定它们的真假，这一类语句仍然是命题. 命题的真假是确定的，一个命题要么为真，要么为假，不能无法判断. （3）数学中的定义、公理、定理、公式等都是真命题. （4）数学中要判定一个命题为真命题，需要经过严格的数学证明；要判定一个命题为假命题，只需要举出一个反例即可.
【例题2】（2023·江苏·高一假期作业）下列语句为真命题的是（ ）
A．
B．四条边都相等的四边形为矩形
C．
D．今天是星期天
【答案】C
【分析】先根据命题的定义判断是否是命题，然后再判断真假即可
【详解】对于A，因为此语句不能判断真假，所以不是命题，所以A错误，
对于B，此语句是命题，而在平面内四条边都相等的四边形是菱形，所以B错误，
对于C，是命题，且是真命题，所以C正确，
对于D，因为此语句不能判断真假，所以不是命题，所以D错误，
故选：C
【变式2-1】1．（2023·江苏·高一假期作业）将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)当a＞b时，有ac2＞bc2；
(2)实数的平方是非负实数；
(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除．
【答案】(1)若a＞b，则ac2＞bc2，是假命题
(2)若一个数是实数，则它的平方是非负实数，是真命题
(3)若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除，是真命题
【分析】（1）可以举反例证明；
（2）实数的平方必为非负数；
（3）由，即可判断.
【详解】（1）若a＞b，则ac2＞bc2，当，则该命题不成立，故为假命题；
（2）若，则，该命题为真命题；
（3）若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除，
若一个数能被6整除，即6为该数的一个因数，由，
则也为该数的因数，故该命题正确.
【变式2-1】2．（2023·江苏·高一假期作业）判断下列语句是否是命题，并说明理由．
(1)是有理数；
(2)3x2≤5；
(3)梯形是不是平面图形呢？
(4)一个数的算术平方根一定是负数．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
【分析】根据可以判断真假的陈述句为命题的定义，逐项分析判定即可.
【详解】（1）“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．
（2）因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题．
（3）“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．
（4）“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．
【变式2-1】3．（2021秋·高一课时练习）下列命题:①相等的角是对顶角；②若，则；③若，则.其中假命题的个数是____.
【答案】3
【分析】根据对顶角的定义，实数的运算性质，以及集合间的运算与包含关系，逐项判定，即可求解.
【详解】对于①中，相等的角不一定是对顶角，所以①不正确；
对于②中，例如，满足，此时，所以②不正确；
对于③中，由，可得，所以③不正确，
所以假命题的个数为3个.
故答案为：3.
题型3全称量词命题与存在两次命题的判断
【方法总结】全称量词命题或存在量词命题的判断 注意：全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．
◆类型1命题的判断
【例题3-1】（多选）（2023·全国·高一假期作业）关于命题“”，下列判断正确的是（ ）
A．该命题是全称量词命题 B．该命题是存在量词命题
C．该命题是真命题 D．该命题是假命题
【答案】BC
【分析】根据存在量词命题、全称量词命题概念判断AB，再由命题真假判断CD.
【详解】是存在量词命题，
A选项错误B选项正确；
时，成立，
命题为真命题，即C正确D错误.
故选：BC
【变式3-1】1.（2023·全国·高一假期作业）下列命题中，是全称量词命题，且为真命题的是（ ）
A． B．菱形的两条对角线相等
C． D．一次函数的图象是直线
【答案】D
【分析】根据全称量词命题的特征,以及真命题即可结合选项求解.
【详解】对于A，为全称量词命题，但是，故是假命题，故A错误，
对于B，是全称量词命题，但是菱形的对角线不一定相等，故B错误，
对于C,是存在量词命题,故C错误，
对于D,既是全称量词命题也是真命题,故D正确，
故选：D
【变式3-1】2.（2021秋·高一课时练习）对于命题：①任意x∈N，都有x2>0；②任意x∈Q，都有x2∈Q；③存在x∈Z，x2>1；④存在x，y∈R，使|x|＋|y|>0，其中是全称量词命题并且是真命题的是________．(填序号)
【答案】②
【分析】根据全称量词的定义判断①②是全称量词命题，然后判断真假即可.
【详解】只有①②是全称量词命题，当x＝0时，x2＝0，所以①是假命题．
故答案为：②
【变式3-1】3.（2023·江苏·高一假期作业）判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题.
(1)凸多边形的外角和等于；
(2)矩形的对角线不相等；
(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
(4)有些实数a，b能使；
(5)方程有整数解.
【答案】(1)全称量词命题
(2)全称量词命题
(3)全称量词命题
(4)存在量词命题
(5)存在量词命题
【分析】由已知结合全称量词命题及存在量词命题的定义分别检验各命题．
【详解】（1）命题可以改写为：所有的凸多边形的外角和等于，故为全称量词命题．
（2）命题可以改写为：所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题．
（3）若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题
（4）含存在量词“有些”，故为存在量词命题．
（5）命题可以改写为：存在一对整数x，y，使成立．故为存在量词命题．
◆类型2命题的改写
【例题3-2】（2021秋·高一课时练习）将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（ ）
A． x，y∈R，都有x2+y2≥2xy
B． x，y∈R，都有x2+y2≥2xy
C． x＞0，y＞0，都有x2+y2≥2xy
D． x＜0，y＜0，都有x2+y2≤2xy
【答案】A
【分析】根据两个实数变量x，y的取值对不等式成立无影响，再结合全称命题的定义改写即可．
【详解】因对于任意实数x，y，不等式x2+y2≥2xy都成立，于是将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题为：“，都有x2+y2≥2xy”.
故选：A
【变式3-2】1.（2021秋·高一课时练习）用量词“ ”表达下列命题：
(1)实数都能写成小数形式;
(2)凸n边形的外角和等于360°;
(3)任意一个实数乘 都等于它的相反数．
【答案】(1)，x能写成小数形式．
(2)是凸n边形， ，且}，x的外角和等于360°．
(3)， ．
【分析】根据全称命题以及特称命题的形式，即可求解.
【详解】（1），x能写成小数形式．
（2）是凸n边形， ，且}，x的外角和等于360°．
（3）， ．
【变式3-2】2.（2022秋·陕西宝鸡·高一统考期末）用符号“”与“”表示下列含有量词的命题，并判断真假．
(1)对任意实数，方程有实根；
(2)存在实数，使得；
(3)存在实数，使得等于的10倍．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】用存在量词符号与全称量词符号分别表示命题（1）（2）（3），并判断真假.
【详解】（1），方程有实根；
由，
此时方程无实根，
故该命题为假命题．
（2），使得；
由，
，无实数解，
故不存在，使得，
因此该命题为假命题．
（3），使得等于的10倍．
因为，
即
所以，使得等于的10倍，
因此该命题为真命题．
题型4全称量词命题、与存在两次命题的真假
【方法总结】全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 （1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p（x）成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p（x）不成立即可（这就是通常所说的"举出一个反例"）. （2）要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p（x）成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题.
【例题4】（2023·江苏·高一假期作业）以下四个命题中，真命题的个数是（ ）
①“若，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题；②存在正实数a，b，使得；③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”.
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】C
【分析】对于①，写出原命题的逆命题，举反例判断；对于②，举特例验证；对于③，写出原命题的的否定，再进行判断．
【详解】对于①，原命题的逆命题为：若a，b中至少有一个不小于1，则，而，满足条件a，b中至少有一个不小于1，但此时，故①是假命题；
对于②，当时，，故②是真命题；
对于③，“所有奇数都是素数”的否定为“至少有一个奇数不是素数”，可知③是真命题．
故选：C.
【变式4-1】1.（2022秋·福建福州·高一校联考期中）下列命题的否定是真命题的是（ ）
A．
B．菱形都是平行四边形
C．，一元二次方程没有实数根
D．平面四边形，其内角和等于360°
【答案】C
【分析】对A，特称命题的否定为全称命题，由，计算即可判断真假；对B，全称命题的否定为特称命题，再由菱形与平行四边形的关系即可判断真假；对C，全称命题的否定为特称命题，再由判别式的符号即可判断真假；对D，由四边形的内角和计算即可判断原命题为真，特称命题的否定为全称命题为假命题．
【详解】对于A，，，其否定为：，，
由时，，则原命题为真命题，其否定为假命题，故A不正确；
对于B，每个菱形都是平行四边形，其否定为：存在一个菱形不是平行四边形，
原命题为真命题，其否定为假命题，故B不正确；
对于C，，一元二次方程没有实根，
其否定为：，一元二次方程有实根，
由，可得原命题为假命题，命题的否定为真命题，故C正确；
对于D，平面四边形，其内角和等于360°为真命题，命题的否定为假命题，故D不正确；
故选：C.
【变式4-1】2.(多选)（2023·江苏·高一假期作业）下列结论中正确的是（ ）
A．，能被2整除是真命题
B．，不能被2整除是真命题
C．，不能被2整除是真命题
D．，能被2整除是真命题
【答案】CD
【分析】由全称命题与特称命题的性质，举例说明命题的真假.
【详解】当时，不能被2整除，当时，能被2整除，
所以A、B错误，C、D正确．
故选：CD.
【变式4-1】3.（2023·江苏·高一假期作业）判断下列命题的真假.
(1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；
(2)至少有一个直角三角形不是等腰三角形；
(3)存在一个实数x，使得方程成立；
(4)；
(5).
【答案】(1)假命题
(2)真命题
(3)假命题
(4)真命题
(5)真命题
【分析】（1）举反例说明命题为假命题；（2）举特例说明存在性；（3）用判别式判断二次方程根的情况；（4）举特例说明存在性；（5）可证明结论恒成立.
【详解】（1）是假命题，如边长为1的正方形，对角线长度为，就不能用正有理数表示．
（2）是真命题，如有一个内角为30°的直角三角形就不是等腰三角形．
（3）是假命题，方程的判别式，故方程无实数根．
（4）是真命题，或，都能使成立．
（5）是真命题，因为完全平方公式对任意实数都成立，所以对整数也成立．
题型5含有量词命题的否定
【方法总结】 全称量词命题p： x∈M，p(x)，它的否定p： x∈M，p(x)，全称量词命题的否定是存在量词命题． 对存在量词命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题的实际意义进行表述． 2.关键量词的否定 词语是一定是都是大于小于且词语的否定不是一定不是不都是小于或等于大于或等于或词语必有一个至少有n个至多有一个所有x成立所有x不成立词语的否定一个也没有至多有n－1个至少有两个存在一个x不成立存在有一个成立
原结论 否定形式原结论 否定形式 是 不是至少有一个 没有都是 不都是至多有一个 至少有二个大于 小于或等于至少有个 至多有-1个小于 大于或等于至多有个 至少有+1个对所有的成立 存在不成立或非且非对任何的不成立 存在成立且非或非
【例题5】（2021秋·广东汕尾·高一海丰县海城仁荣中学校考阶段练习）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可求解．
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，
所以，命题“，”的否定是“，”．
故选：B．
【变式5-1】1.（2023春·河南·高一校联考开学考试）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据特称命题的否定相关知识直接求解.
【详解】命题“”的否定是“”.
故选：C
【变式5-1】2.（2023·全国·高一假期作业）已知命题p：某班所有的男生都爱踢足球，则命题p的否定是（ ）
A．某班至多有一个男生爱踢足球
B．某班至少有一个男生不爱踢足球
C．某班所有的男生都不爱踢足球
D．某班所有的女生都爱踢足球
【答案】B
【分析】由全称量词命题的否定形式即可得答案.
【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，
故命题p的否定是某班至少有一个男生不爱踢足球．
故选：B．
【变式5-1】3.（2023·全国·高一假期作业）已知命题，则为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用含有量词的否定方法进行求解.
【详解】因为，
所以.
故选：B.
【变式5-1】4.（2023·全国·高一假期作业）写出下列命题的否定：
(1)正方形的四边相等；
(2)能被5整除的整数，末位数字都是0；
(3)有的三角形是直角三角形；
(4)至少存在一个实数x，使；
(5)存在一个四边形，它的对角线互相垂直平分．
【答案】(1)存在一个正方形，它的四边不都相等；
(2)能被5整除的整数，末位数字不都是0；
(3)所有的三角形都不是直角三角形；
(4)；
(5)任意四边形的对角线不互相垂直或不互相平分．
【分析】根据命题的否定的形式即可求解.
【详解】（1）正方形的四边相等的否定为存在一个正方形，它的四边不都相等；
（2）能被5整除的整数，末位数字都是0的否定为能被5整除的整数，末位数字不都是0；
（3）有的三角形是直角三角形的否定为所有的三角形都不是直角三角形；
（4）至少存在一个实数x，使的否定为；
（5）存在一个四边形，它的对角线互相垂直平分的否定为任意四边形的对角线不互相垂直或不互相平分．
题型6全称量词命题、与存在量词命题的应用
【方法总结】求解含有量词的命题中参数范围的策略 (1)对于全称量词命题“ x∈M，a>y(或aymax(或ay(或aymin(或a【例题6】（2021秋·高一课时练习）已知集合，，且.
(1)若命题p：“，”是真命题，求m的取值范围；
(2)若命题q：“，”是真命题，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据命题p为真命题，得到，从而得到不等式组，求出m的取值范围；
（2）根据命题q为真命题，得到，从而得到不等式组，求出m的取值范围.
【详解】（1）命题p：“，”是真命题，故，
所以，解得，
故m的取值范围是.
（2）由于命题q为真命题，则，
因为，所以，所以,
当时，一定有，
要想满足，则要满足，解得，
故时，，
故m的取值范围为.
【变式6-1】1.（2022秋·黑龙江牡丹江·高一校考阶段练习）已知集合，．
(1)若命题，是真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题，是真命题，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将题给条件转化为，分类讨论并列不等式组即可求得实数m的取值范围；（2）将题给条件转化为，列不等式组即可求得实数m的取值范围
（1）因为命题，是真命题，所以．
当时，满足，此时，解得；
当时，由，可得，解得．
综上，实数m的取值范围为．
（2）因为，是真命题，所以，
所以，则即，所以，
要使，仍需满足，即．
综上，实数m的取值范围为．
【变式6-1】2.（2022秋·河北石家庄·高一校考阶段练习）已知集合
(1)若命题是真命题，求m的取值范围；
(2)若命题是真命题，求m的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由命题是真命题得，再根据集合关系求解即可；
（2）由命题是真命题得，故，进而得，再根据集合关系求解即可.
（1）因为命题是真命题，所以，
当时，，解得；
当时，，解得.
综上，m的取值范围为.
（2）因为是真命题，所以，
所以，即，所以，
所以只需满足即可，即.
故m的取值范围为.
【变式6-1】3．（2021秋·河北唐山·高一唐山一中校考阶段练习）已知，：“，”，：“，”.
(1)若为真命题，求实数的取值范围；
(2)若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据全称命题的否定得出，再根据其真假性，解不等式即可求出参数的范围；
（1）为真命题，根据恒成立求出参数的范围，若为假命题，则为真命题，讨论解出参数的范围，最后取并集即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：已知：“，”，则：“，”，
若为真命题，则
在区间上，当时，有最小值4，
所以实数的取值范围为.
（2）解：若为真命题，则，
在区间上，当时，有最大值16，
；
若为假命题，则为真命题，
已知：“，”，
则：“，”，
，解得或，
令，则其对称轴为，
当时，，需，
当时，，为任意实数均成立，
或，
综上，实数的取值范围为.
【变式6-1】4．（2022秋·广东珠海·高一校考阶段练习）已知命题，；命题，
(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题与均为假命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据题意，可知命题为真命题，则且，即可求出的取值范围；
（2）根据题意，分别求出和，由命题与均为假命题，可知和都是真命题，由是真命题，得或，由是真命题，得或，化简计算后， 可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：因为命题，，
若命题为真命题，则且，
即，解得：，
所以实数的取值范围是.
（2）解：因为命题，；命题，，
则，，，，
若命题与均为假命题，则和都是真命题，
由是真命题，得或，解得：，
由是真命题，得或，解得：，
联立，得，
所以实数的取值范围为.
【变式6-1】5.（2022秋·河北承德·高一校考期中）命题成立；命题成立.
(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题q为假命题，求实数m的取值范围；
(3)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）当为真命题时，，求解即可；
（2）当命题为假命题时，，求解即可；
（3）先求出命题与命题均为假命题时的取值的范围，再求出补集即可求解
【详解】（1）若命题为真命题，
则，解得，
所以实数的取值范围是；
（2）若命题为假命题，
则，解得，
所以实数的取值范围是；
（3）由（1）（2）可知命题与命题均为假命题时，则
或，
解得，
故命题与命题中至少有一个为真命题，
则或
所以实数的取值范围是.
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1.2.1命题与量词
1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定——题型·技巧攻略
题型1命题的判断 2
题型2命题真假的判断 3
题型3全称量词命题与存在两次命题的判断 4
◆类型1命题的判断 4
◆类型2命题的改写 5
题型4全称量词命题、与存在两次命题的真假 6
题型5含有量词命题的否定 7
题型6全称量词命题、与存在量词命题的应用 9
知识点一.命题的概念
定义：一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述语句称为命题．其中，判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题一个命题，一般可以用一个小写英文字母表示，如p，q，r，.
知识点二.全称量词与全称量词命题
全称量词
量词 所有的、任意一个
符号
命题 含有全称量词的命题是全称量词命题
命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“ x∈M，p(x)”
知识点三.存在量词与存在量词命题
存在量词
量词 存在一个、至少有一个
符号
命题 含有存在量词的命题是存在量词命题
命题形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“ x∈M，p(x)”
注意：全称量词命题与存在量词命题的区别
（1）全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”.
（2）存在量词命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”.
知识点四.含有量词命题的否定
含量词的命题的否定
p p 结论
全称量词命题 x∈M，p(x) x∈M，p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题
存在量词命题 x∈M，p(x) x∈M，p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题
题型1命题的判断
【方法总结】 ①命题通常是陈述句，包括肯定句和否定句 ②祈使句、疑问句、反问句一般不是命题。 ③判定真命题，除了公认的事实外，还要严格的推理证明。 ④判定假命题，只需要举出一个反例即可。
【例题1】（2023·江苏·高一假期作业）以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
【变式1-1】1.（2021秋·高一课时练习）在下列语句中，命题的个数是（ ）
①空集是任何集合的子集；②若，则；③若，则.
A． B． C． D．
【变式1-1】2.（2023·高一课时练习）下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（ ）
A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③
【变式1-1】3.（2023·全国·高一假期作业）下列语句是命题的是（ ）
A．二次函数的图象太美啦！ B．这是一棵大树
C．求证： D．3比5大
题型2命题真假的判断
【方法总结】 （1）有一类陈述句在数学或其他科学技术中经常出现，但目前不能确定这些语句的真假，随着时间的推移，总能确定它们的真假，这一类语句仍然是命题. 命题的真假是确定的，一个命题要么为真，要么为假，不能无法判断. （3）数学中的定义、公理、定理、公式等都是真命题. （4）数学中要判定一个命题为真命题，需要经过严格的数学证明；要判定一个命题为假命题，只需要举出一个反例即可.
【例题2】（2023·江苏·高一假期作业）下列语句为真命题的是（ ）
A．
B．四条边都相等的四边形为矩形
C．
D．今天是星期天
【变式2-1】1．（2023·江苏·高一假期作业）将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)当a＞b时，有ac2＞bc2；
(2)实数的平方是非负实数；
(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除．
【变式2-1】2．（2023·江苏·高一假期作业）判断下列语句是否是命题，并说明理由．
(1)是有理数；
(2)3x2≤5；
(3)梯形是不是平面图形呢？
(4)一个数的算术平方根一定是负数．
【变式2-1】3．（2021秋·高一课时练习）下列命题:①相等的角是对顶角；②若，则；③若，则.其中假命题的个数是____.
题型3全称量词命题与存在两次命题的判断
【方法总结】全称量词命题或存在量词命题的判断 注意：全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．
◆类型1命题的判断
【例题3-1】（多选）（2023·全国·高一假期作业）关于命题“”，下列判断正确的是（ ）
A．该命题是全称量词命题 B．该命题是存在量词命题
C．该命题是真命题 D．该命题是假命题
【变式3-1】1.（2023·全国·高一假期作业）下列命题中，是全称量词命题，且为真命题的是（ ）
A． B．菱形的两条对角线相等
C． D．一次函数的图象是直线
【变式3-1】2.（2021秋·高一课时练习）对于命题：①任意x∈N，都有x2>0；②任意x∈Q，都有x2∈Q；③存在x∈Z，x2>1；④存在x，y∈R，使|x|＋|y|>0，其中是全称量词命题并且是真命题的是________．(填序号)
【变式3-1】3.（2023·江苏·高一假期作业）判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题.
(1)凸多边形的外角和等于；
(2)矩形的对角线不相等；
(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
(4)有些实数a，b能使；
(5)方程有整数解.
◆类型2命题的改写
【例题3-2】（2021秋·高一课时练习）将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（ ）
A． x，y∈R，都有x2+y2≥2xy
B． x，y∈R，都有x2+y2≥2xy
C． x＞0，y＞0，都有x2+y2≥2xy
D． x＜0，y＜0，都有x2+y2≤2xy
【变式3-2】1.（2021秋·高一课时练习）用量词“ ”表达下列命题：
(1)实数都能写成小数形式;
(2)凸n边形的外角和等于360°;
(3)任意一个实数乘 都等于它的相反数．
【变式3-2】2.（2022秋·陕西宝鸡·高一统考期末）用符号“”与“”表示下列含有量词的命题，并判断真假．
(1)对任意实数，方程有实根；
(2)存在实数，使得；
(3)存在实数，使得等于的10倍．
题型4全称量词命题、与存在两次命题的真假
【方法总结】全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 （1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p（x）成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p（x）不成立即可（这就是通常所说的"举出一个反例"）. （2）要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p（x）成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题.
【例题4】（2023·江苏·高一假期作业）以下四个命题中，真命题的个数是（ ）
①“若，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题；②存在正实数a，b，使得；③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”.
A．0 B．1
C．2 D．3
【变式4-1】1.（2022秋·福建福州·高一校联考期中）下列命题的否定是真命题的是（ ）
A．
B．菱形都是平行四边形
C．，一元二次方程没有实数根
D．平面四边形，其内角和等于360°
【变式4-1】2.(多选)（2023·江苏·高一假期作业）下列结论中正确的是（ ）
A．，能被2整除是真命题
B．，不能被2整除是真命题
C．，不能被2整除是真命题
D．，能被2整除是真命题
【变式4-1】3.（2023·江苏·高一假期作业）判断下列命题的真假.
(1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；
(2)至少有一个直角三角形不是等腰三角形；
(3)存在一个实数x，使得方程成立；
(4)；
(5).
题型5含有量词命题的否定
【方法总结】 全称量词命题p： x∈M，p(x)，它的否定p： x∈M，p(x)，全称量词命题的否定是存在量词命题． 对存在量词命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题的实际意义进行表述． 2.关键量词的否定 词语是一定是都是大于小于且词语的否定不是一定不是不都是小于或等于大于或等于或词语必有一个至少有n个至多有一个所有x成立所有x不成立词语的否定一个也没有至多有n－1个至少有两个存在一个x不成立存在有一个成立
原结论 否定形式原结论 否定形式 是 不是至少有一个 没有都是 不都是至多有一个 至少有二个大于 小于或等于至少有个 至多有-1个小于 大于或等于至多有个 至少有+1个对所有的成立 存在不成立或非且非对任何的不成立 存在成立且非或非
【例题5】（2021秋·广东汕尾·高一海丰县海城仁荣中学校考阶段练习）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式5-1】1.（2023春·河南·高一校联考开学考试）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】2.（2023·全国·高一假期作业）已知命题p：某班所有的男生都爱踢足球，则命题p的否定是（ ）
A．某班至多有一个男生爱踢足球
B．某班至少有一个男生不爱踢足球
C．某班所有的男生都不爱踢足球
D．某班所有的女生都爱踢足球
【变式5-1】3.（2023·全国·高一假期作业）已知命题，则为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】4.（2023·全国·高一假期作业）写出下列命题的否定：
(1)正方形的四边相等；
(2)能被5整除的整数，末位数字都是0；
(3)有的三角形是直角三角形；
(4)至少存在一个实数x，使；
(5)存在一个四边形，它的对角线互相垂直平分．
题型6全称量词命题、与存在量词命题的应用
【方法总结】求解含有量词的命题中参数范围的策略 (1)对于全称量词命题“ x∈M，a>y(或aymax(或ay(或aymin(或a【例题6】（2021秋·高一课时练习）已知集合，，且.
(1)若命题p：“，”是真命题，求m的取值范围；
(2)若命题q：“，”是真命题，求m的取值范围．
【变式6-1】1.（2022秋·黑龙江牡丹江·高一校考阶段练习）已知集合，．
(1)若命题，是真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题，是真命题，求实数m的取值范围．
【变式6-1】2.（2022秋·河北石家庄·高一校考阶段练习）已知集合
(1)若命题是真命题，求m的取值范围；
(2)若命题是真命题，求m的取值范围．
【变式6-1】3．（2021秋·河北唐山·高一唐山一中校考阶段练习）已知，：“，”，：“，”.
(1)若为真命题，求实数的取值范围；
(2)若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.
【变式6-1】4．（2022秋·广东珠海·高一校考阶段练习）已知命题，；命题，
(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题与均为假命题，求实数的取值范围.
【变式6-1】5.（2022秋·河北承德·高一校考期中）命题成立；命题成立.
(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题q为假命题，求实数m的取值范围；
(3)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围.
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