中小学教育资源及组卷应用平台
1.2.3充分条件、必要条件——题型·技巧攻略
题型1充分条件、必要条件、充要条件的判断 2
◆类型1定义法 2
◆类型2集合法 4
◆类型3传递法 4
题型2由充分、必要、充要条件求参数 5
◆类型1与不等式结合 5
◆类型2与一元二次方程结合 6
◆类型3充要条件求参数 7
题型3充要条件的证明 8
知识点一.充分条件与必要条件
“若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
推出关系 p q p q
条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件
定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个__充分_条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个_必要_条件．
注意：对于“p q”，蕴含以下多种解释：
“若p，则q”形式的命题为真命题；
（2）由条件p可以得到结论 q；
（3）p是q的充分条件或q的充分条件是p；
（4）只要有条件p，就一定有结论 q，即p对于q是充分的；
（5）q是p的必要条件或p的必要条件是q；
（6）一旦q不成立，p一定也不成立，q成立对于p成立是必要的.
显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p q，只是说法不同而已.
知识点二.充要条件
一般地，如果p q，且q p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p q.
知识点三.充分条件、必要条件与充要条件
如果p q，则称p是q的_ 充分条件_____，q是p的_ 必要条件_____. 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件；每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件；每一条数学定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件
p是q的充分不必要条件 记作__ p q _____且_qp__
p是q的必要不充分条件 记作__ pq____且__q p ___
p是q的充分必要条件（简称充要条件） 记作__ p q___
p是q的既不充分又不必要条件 记作_ pq ___且_ qp____
题型1充分条件、必要条件、充要条件的判断
【方法总结】方法小结： 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也有传递性．
◆类型1定义法
【例题1-1】（2022秋·安徽合肥·高一校考开学考试）已知、、，则“”是“”的（ ）．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【变式1-1】1.（2023秋·宁夏吴忠·高一统考期中）“为整数”是“为整数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-1】2.（2023·高一单元测试）若，则“”的充分不必要条件是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【变式1-1】3.（2023秋·湖南邵阳·高一统考期末）对任意的实数，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-1】4.（2021秋·高一课时练习）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-1】5.（2022秋·江苏泰州·高一校考阶段练习）《左传》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”则“有毛”是“有皮”的（ ）条件
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
◆类型2集合法
【例题1-2】（2021·高一课时练习）设集合满足条件p，满足条件q.
（1）如果，那么p是q的什么条件？
（2）如果，那么p是q的什么条件？
（3）如果，那么p是q的什么条件？
试举例说明.
【变式1-2】1.（2020秋·江苏苏州·高一吴江中学校考阶段练习）条件，条件，则是的（ ）
A．必要非充分条件 B．充分非必要条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【变式1-2】2.（2022秋·高一单元测试）设：或；：或，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-2】3.（2020秋·上海嘉定·高一统考期末）已知条件甲“”，条件乙“”，那么甲是乙的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
◆类型3传递法
【例题1-3】（2023·全国·高一假期作业）已知是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（ ）
A．①④ B．①② C．②③ D．③④
【变式1-3】1.（2021·高一课时练习）已知，都是的必要条件，是的充分条件，则是的______条件，是的______条件，是的______条件．（填“充分”“必要”或“充要”）
【变式1-3】2.（2022秋·陕西西安·高一校考阶段练习）已知是的充分条件，而是的必要条件，同时又是的充分条件，是的必要条件.试判断：
(1)是的什么条件
(2)是的什么条件
(3)其中有哪几对条件互为充要条件
【变式1-3】3.（2021秋·高一课前预习）已知，都是的必要条件，是的充分条件，是的充分条件，那么：
（1）是的什么条件？
（2）是的什么条件？
（3）是的什么条件？
题型2由充分、必要、充要条件求参数
◆类型1与不等式结合
【例题2-1】（2023·江苏·高一假期作业）已知，，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【变式2-1】1.（2023秋·云南红河·高一统考期末）集合，.
(1)当时，求；
(2)从下面条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数m的取值范围
条件①：是的充分条件；
条件②：；
条件③：.
注：答题时应首先说明本人所选条件，若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【变式2-1】2.（2023·高一单元测试）已知全集，集合，.
(1)当时，求和；
(2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
【变式2-1】3.（2023秋·四川凉山·高一统考期末）已知集合，
(1)当时，求；
(2)若______，求实数的取值范围．
请从①且；②“”是“”的必要条件；这两个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
◆类型2与一元二次方程结合
【例题2-2】（2021秋·高一课时练习）方程有实根的充要条件是_____，方程有实根的一个充分而不必要条件可以是_____.
【变式2-2】1.（2022秋·辽宁本溪·高一校考阶段练习）设集合．
(1)用列举法表示集合；
(2)若是的必要条件，求实数的值．
【变式2-2】2.（2020秋·湖南张家界·高一统考期中）已知集合， .
(1)命题P∶“，都有”，若命题P为真命题，求a的值.
(2)若是的必要条件，求实数m的取值范围.
【变式2-2】3.（2021秋·江西赣州·高一上犹中学校考周测）已知集合
(1)若写出的所有子集
(2)若是的必要条件，求实数的取值范围.
【变式2-2】4.（2023春·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习）已知：关于的方程有实数根，：．
(1)若命题是真命题，求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
◆类型3充要条件求参数
【例题2-3】（2022秋·广东东莞·高一校考阶段练习）方程与有一个公共实数根的充要条件是（ ）．
A． B． C． D．
【变式2-3】1.（2023秋·云南大理·高一统考期末）若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为______.
【变式2-3】2.（2022秋·贵州安顺·高一校考阶段练习）已知.
(1)是否存在实数m，使是的充要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
(2)是否存在实数m，使是的必要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
【变式2-3】3.（2020秋·湖南郴州·高一校考阶段练习）设集合，；
(1)用列举法表示集合；
(2)若是的充要条件，求实数的值.
【变式2-3】4.（2022秋·四川眉山·高一校考阶段练习）已知集合，，是否存在实数，使得是成立的______？
(1)当横线部分内容为“充要条件”时，若问题中的存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由？
(2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由．
题型3充要条件的证明
【方法总结】 从条件到结论是充分性，从结论到条件是必要性
【例题3】（2022秋·陕西西安·高一校考阶段练习）求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是.
【变式3-1】1.（2023·全国·高一假期作业）已知，是实数，求证：成立的充要条件是.
【变式3-1】2.（2023·全国·高一假期作业）求证：等式对任意实数恒成立的充要条件是.
【变式3-1】3.（2022秋·江苏苏州·高一苏州市第五中学校校考阶段练习）求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是.
【变式3-1】4.（2021秋·高一课时练习）已知，设二次函数，其中a，c均为实数.证明:对于任意，均有成立的充要条件是.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
1.2.3充分条件、必要条件——题型·技巧攻略
题型1充分条件、必要条件、充要条件的判断 2
◆类型1定义法 3
◆类型2集合法 5
◆类型3传递法 8
题型2由充分、必要、充要条件求参数 10
◆类型1与不等式结合 10
◆类型2与一元二次方程结合 13
◆类型3充要条件求参数 17
题型3充要条件的证明 21
知识点一.充分条件与必要条件
“若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
推出关系 p q p q
条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件
定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个__充分_条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个_必要_条件．
注意：对于“p q”，蕴含以下多种解释：
“若p，则q”形式的命题为真命题；
（2）由条件p可以得到结论 q；
（3）p是q的充分条件或q的充分条件是p；
（4）只要有条件p，就一定有结论 q，即p对于q是充分的；
（5）q是p的必要条件或p的必要条件是q；
（6）一旦q不成立，p一定也不成立，q成立对于p成立是必要的.
显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p q，只是说法不同而已.
知识点二.充要条件
一般地，如果p q，且q p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p q.
知识点三.充分条件、必要条件与充要条件
如果p q，则称p是q的_ 充分条件_____，q是p的_ 必要条件_____. 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件；每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件；每一条数学定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件
p是q的充分不必要条件 记作__ p q _____且_qp__
p是q的必要不充分条件 记作__ pq____且__q p ___
p是q的充分必要条件（简称充要条件） 记作__ p q___
p是q的既不充分又不必要条件 记作_ pq ___且_ qp____
题型1充分条件、必要条件、充要条件的判断
【方法总结】方法小结： 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也有传递性．
◆类型1定义法
【例题1-1】（2022秋·安徽合肥·高一校考开学考试）已知、、，则“”是“”的（ ）．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】B
【分析】当时，代入验证不充分，根据不等式性质得到必要性，得到答案.
【详解】若，当时，，故不充分；
若，则，故，必要性.
故“”是“”的必要非充分条件.
故选：B
【变式1-1】1.（2023秋·宁夏吴忠·高一统考期中）“为整数”是“为整数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件必要条件的概念即得.
【详解】当为整数时，必为整数；
当为整数时，不一定为整数，例如当时，，
所以“为整数”是“为整数”的必要不充分条件.
故选：B.
【变式1-1】2.（2023·高一单元测试）若，则“”的充分不必要条件是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】D
【分析】对于选项A和B，可通过对取特殊值进行验证判断，从而判断出正误；对于选项C，利用选项C中的条件，得出，从而得出选项C是充要条件，从而判断出不符合结果，进而得出结论.
【详解】对于A，当时，有且，但，故A错误；
对于B，当时，有且，但得不出，故B错误；
对于C，由，得到且或且，又，故且，此时是充要条件，故C错误；
综上，可知符合条件的为选项D.
故选：D.
【变式1-1】3.（2023秋·湖南邵阳·高一统考期末）对任意的实数，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】取特殊值可判断充分性，根据得，从而可判断必要条件.
【详解】取，此时，但，故“”不是“”的充分条件.
当时，，此时，故“”是“”的必要条件.
故“”是“”的必要不充分条件.
故选:B.
【变式1-1】4.（2021秋·高一课时练习）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件和必要条件的概念判断即可.
【详解】根据诗意，作者想表达的思想感情是“返回家乡”就一定要“攻破楼兰”，但是并没有表明“攻破楼兰”后就会“返回家乡”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.
故选：B.
【变式1-1】5.（2022秋·江苏泰州·高一校考阶段练习）《左传》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”则“有毛”是“有皮”的（ ）条件
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据已知条件分析“有毛”和“有皮”的互相推出情况，由此判断属于何种条件.
【详解】根据条件可知：“有毛”则一定“有皮”，但是“有皮”不一定“有毛”，
即“有毛”可以推出“有皮”，但是“有皮”不一定能推出“有毛”，
所以“有毛”是“有皮”的充分不必要条件，
故选：A.
◆类型2集合法
【例题1-2】（2021·高一课时练习）设集合满足条件p，满足条件q.
（1）如果，那么p是q的什么条件？
（2）如果，那么p是q的什么条件？
（3）如果，那么p是q的什么条件？
试举例说明.
【答案】（1）充分条件；（2）必要条件；（3）充要条件.
【分析】（1）利用集合间的关系结合充分条件的定义推导；
（2）利用集合间的关系结合必要条件的定义推导；
（3）由（1）（2）可得.
【详解】（1）若，则有，即每个使p成立的元素也使q成立，
即，所以p是q的充分条件.如，，
，是的充分条件.
（2）若，则有，即每个使q成立的元素也使p成立，
即，所以p是q的必要条件.如，，则，
是的必要条件.
（3）若，则，，所以p是q的充要条件.如，
是的充要条件.
【变式1-2】1.（2020秋·江苏苏州·高一吴江中学校考阶段练习）条件，条件，则是的（ ）
A．必要非充分条件 B．充分非必要条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】根据集合与集合的关系，直接判断出是的何种条件.
【详解】因为 ，
所以是的必要非充分条件，
故选：A.
【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，难度较易.若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即，若 ，则是的充分不必要条件，若 ，则是的必要不充分条件.
【变式1-2】2.（2022秋·高一单元测试）设：或；：或，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】分别写出对应的取值范围，再由范围大小即可确定选项.
【详解】根据题意可得 ， ，
易知是的真子集，所以，
因此，是的充分不必要条件.
故选：A
【变式1-2】3.（2020秋·上海嘉定·高一统考期末）已知条件甲“”，条件乙“”，那么甲是乙的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【分析】由 ，且条件乙为“”，结合充分性、必要性的定义，可选出答案.
【详解】由题意， ，即条件甲为“”，
又条件乙为“”，
所以甲是乙的必要非充分条件.
故选：B.
◆类型3传递法
【例题1-3】（2023·全国·高一假期作业）已知是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（ ）
A．①④ B．①② C．②③ D．③④
【答案】B
【分析】根据条件及充分条件和必要条件的的确定之间的关系，然后逐一判断命题①②③④即可.
【详解】因为是的的充分不必要条件，所以，推不出，
因为是的的充分条件，所以，
因为是的必要条件，所以，
因为是的必要条件，所以，
因为，，所以，又，，所以是的充要条件，命题①正确，
因为，，，所以，
推不出，故是的充分不必要条件，②正确；
因为，，所以，是的充分条件，命题③错误；
因为，，所以，又，
所以是的充要条件，命题④错误；
故选：B.
【变式1-3】1.（2021·高一课时练习）已知，都是的必要条件，是的充分条件，则是的______条件，是的______条件，是的______条件．（填“充分”“必要”或“充要”）
【答案】 充分 充分 必要
【分析】由题设，写出，，，的推出关系，进而判断各条件间的充分、必要关系.
【详解】由题设，，
∴，.
综上，是的充分条件，是的充分条件，是的必要条件.
故答案为：充分、充分、必要
【变式1-3】2.（2022秋·陕西西安·高一校考阶段练习）已知是的充分条件，而是的必要条件，同时又是的充分条件，是的必要条件.试判断：
(1)是的什么条件
(2)是的什么条件
(3)其中有哪几对条件互为充要条件
【答案】(1)必要条件
(2)充分条件
(3)与、与、与
【分析】（1）推导出，，可得出结论；
（2）由，，可得出结论；
（3）由可得出结论.
（1）解：由题意，，所以，，
又因为，则，所以，是的必要条件.
（2）解：由（1）可知，，则，所以，是的充分条件.
（3）解：由（1）可知，，则与、与、与互为充要条件.
【变式1-3】3.（2021秋·高一课前预习）已知，都是的必要条件，是的充分条件，是的充分条件，那么：
（1）是的什么条件？
（2）是的什么条件？
（3）是的什么条件？
【答案】（1）是的充要条件；（2）是的充要条件；（3）是的必要不充分条件．
【分析】按，，，的关系画出用“”与“”表示的关系图，并根据推出符号的流向判断关系．
【详解】解：，，，的关系如图所示:
（1）由关系图，知，且，所以是的充要条件．
（2）因为，，所以是的充要条件．
（3）由关系图，知，但推不出，所以是的必要不充分条件．
题型2由充分、必要、充要条件求参数
◆类型1与不等式结合
【例题2-1】（2023·江苏·高一假期作业）已知，，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】．
【分析】由题意可得是的真子集，从而有或，求解即可.
【详解】因为p是q的必要不充分条件，
所以是的真子集，
故有或
解得.
又，所以实数m的取值范围为．
【变式2-1】1.（2023秋·云南红河·高一统考期末）集合，.
(1)当时，求；
(2)从下面条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数m的取值范围
条件①：是的充分条件；
条件②：；
条件③：.
注：答题时应首先说明本人所选条件，若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据并集的定义求解；
（2）根据相关的定义求解.
【详解】（1）当时， ，
则；
（2）若选①，则有，即；
若选②，则有；
若选③，则有.
【变式2-1】2.（2023·高一单元测试）已知全集，集合，.
(1)当时，求和；
(2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据集合并集、交集、补集运算求解即可；
（2）根据充分不必要条件转化为集合的包含关系求解即可
【详解】（1）当时，集合，
因为，所以.
所以，
（2）因为“”是“”成立的充分不必要条件，
所以是的真子集，而不为空集，
所以，因此.
【变式2-1】3.（2023秋·四川凉山·高一统考期末）已知集合，
(1)当时，求；
(2)若______，求实数的取值范围．
请从①且；②“”是“”的必要条件；这两个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）先求两个集合，再求交集；
（2）若选择①，则，再分集合和，两种情况，列式求解；
若选择②，则，列式求的取值范围.
【详解】（1）当时，， 所以
（2）若选择条件①，由且得：，
当时，，即；
当时，，即
或，即或， 所以或，
综上所述：的取值范围为：或．
若选择条件②，由“”是“”的必要条件得：，
即，所以．
◆类型2与一元二次方程结合
【例题2-2】（2021秋·高一课时练习）方程有实根的充要条件是_____，方程有实根的一个充分而不必要条件可以是_____.
【答案】 (答案不唯一)
【分析】由方程有实根，可得判别式非负，从而可得到其充要条件，当时方程有实根，而方程有实根时不一定有，从而可得到其一个充分不要条件，其实只要的取值能使判别式非负即可.
【详解】解：因为方程有实根，
所以，即，解得，
反之，当时，，则方程有实根，
所以是方程有实根的充要条件，
当时，方程有实根，
而当方程有实根时不一定是，
所以是方程有实根的一个充分不要条件.
故答案为：；(答案不唯一).
【变式2-2】1.（2022秋·辽宁本溪·高一校考阶段练习）设集合．
(1)用列举法表示集合；
(2)若是的必要条件，求实数的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解方程后得集合，
（2）由推出关系得后列式求解，
【详解】（1），即或，；
（2）若是的必要条件，则，
，
解得或，又，所以，
得．
【变式2-2】2.（2020秋·湖南张家界·高一统考期中）已知集合， .
(1)命题P∶“，都有”，若命题P为真命题，求a的值.
(2)若是的必要条件，求实数m的取值范围.
【答案】(1)1或2
(2){或者
【分析】（1）根据题意转换为，然后根据，分类讨论，即可得到结果.
（2）根据题意转化为，分类讨论，即可得到结果.
（1）
，∵p为真命题 ∴
又∵ ∴B有两种情况
①若，则 ∴
②若，则 ∴
因此，a的值可能为1或2
（2）∵是的必要条件，
因此集合有四种情况
①当时，
此时，且由韦达定理可得
此时;
②当，此时，此时m不存在；
③当时，此时，此时m不存在；
④当时，∴，即
综上所述，m的取值范围{或者
【变式2-2】3.（2021秋·江西赣州·高一上犹中学校考周测）已知集合
(1)若写出的所有子集
(2)若是的必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用一元二次方程化简集合A，B，再利用集合的并集运算求解，进而得到子集；
（2）由题意得到，分中没有元素即，中只有一个元素和中有两个元素求解.
【详解】（1），
若，则，此时，
所以子集为.
（2）若是的必要条件，只需.
①若中没有元素即，
则，此时，满足；
②若中只有一个元素，则，此时．
则，此时满足；
③若中有两个元素，则，此时．
因为中也有两个元素，且，则必有，
由韦达定理得，则，矛盾，故舍去．
综上所述，当时，．
所以实数的取值范围：．
【变式2-2】4.（2023春·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习）已知：关于的方程有实数根，：．
(1)若命题是真命题，求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由命题是真命题，可得命题是假命题，再借助，求出的取值范围作答.
（2）由是的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解作答.
【详解】（1）因为命题是真命题，则命题是假命题，即关于的方程无实数根，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）由（1）知，命题是真命题，即，
因为命题是命题的必要不充分条件，则 ，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
◆类型3充要条件求参数
【例题2-3】（2022秋·广东东莞·高一校考阶段练习）方程与有一个公共实数根的充要条件是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用判别式求得的取值范围，然后结合充要条件的知识求得的值.
【详解】方程有实根，故，
解得或.
方程有实根，故，
解得.
综上所述，，只有D选项符合.
若方程与有一个公共实数根，设公共实根为，
则，两式相减得，
由于，所以，
所以.
当时，两个方程分别为、，
方程的两个根为；
方程的两个根为；
即方程与有一个公共实数根.
综上所述，方程与有一个公共实数根的充要条件是.
故选：D
【变式2-3】1.（2023秋·云南大理·高一统考期末）若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为______.
【答案】
【分析】解不等式，根据充要条件的定义可得出关于的等式，解之即可.
【详解】解不等式得，
因为“不等式成立”的充要条件为“”，所以，解得，
所以，.
故答案为：.
【变式2-3】2.（2022秋·贵州安顺·高一校考阶段练习）已知.
(1)是否存在实数m，使是的充要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
(2)是否存在实数m，使是的必要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)不存在，理由见解析.
(2)
【分析】（1）是的充要条件等价于集合，通过范围的端点值相等列方程组求解即可；
（2）是的必要条件等价于，其中集合S可能为空集，分两种情况讨论并计算即可.
【详解】（1）若是的充要条件，则
即，无解
故实数m不存在.
（2）若是的必要条件，则
当时，有，解得；
当时，，得.
综上：.
故m的取值范围为.
【变式2-3】3.（2020秋·湖南郴州·高一校考阶段练习）设集合，；
(1)用列举法表示集合；
(2)若是的充要条件，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接解方程即可；
（2）根据条件得，可得是方程的根，进而可得实数的值.
【详解】（1）集合，
即；
（2）由已知，，
若是的充要条件，则，
，
.
【变式2-3】4.（2022秋·四川眉山·高一校考阶段练习）已知集合，，是否存在实数，使得是成立的______？
(1)当横线部分内容为“充要条件”时，若问题中的存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由？
(2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由．
【答案】(1)不存在满足条件的，理由见解析
(2)若选①，问题中的存在，且的取值集合，若选②，问题中的存在，且的取值集合.
【分析】（1）转化为，根据两个集合相等列式可求出结果；
（2）若选①，根据是的真子集列式可求出结果；若选②，根据是的真子集列式可求出结果.
【详解】（1）当横线部分内容为“充要条件”时，则，则且，方程组无解.
∴不存在满足条件的.
（2）若选①，则是的真子集，则且（两等号不同时取），且，解得，
∴问题中的存在，且的取值集合.
选②，则是的真子集，
当时，，即，满足是的真子集；
当时，，即，由是的真子集，得且（两等号不同时取），解得；
综上所述：.
所以问题中的存在，且的取值集合.
题型3充要条件的证明
【方法总结】 从条件到结论是充分性，从结论到条件是必要性
【例题3】（2022秋·陕西西安·高一校考阶段练习）求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是.
【答案】证明见解析
【分析】先证明充分性，再证明必要性.
【详解】证明：（1）充分性：由得.
即满足方程.
是方程的一个根
（2）必要性：是方程的一个根，
将代入方程得.
故是一元二次方程的一个根的充要条件
是
【变式3-1】1.（2023·全国·高一假期作业）已知，是实数，求证：成立的充要条件是.
【答案】证明见解析
【分析】根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可得到结论．
【详解】解：先证明充分性：
若，则成立．
所以“”是“”成立的充分条件；
再证明必要性：
若，则，
即，
，
，
，
，
即成立．
所以“”是“”成立的必要条件.
综上：成立的充要条件是．
【变式3-1】2.（2023·全国·高一假期作业）求证：等式对任意实数恒成立的充要条件是.
【答案】证明见解析.
【分析】利用充分性和必要性的定义证明即可.
【详解】充分性：
若，则等式显然对任意实数恒成立，充分性成立；
必要性：由于等式对任意实数恒成立，
分别将，，代入可得，
解得，必要性成立，
故等式对任意实数恒成立的充要条件是.
【变式3-1】3.（2022秋·江苏苏州·高一苏州市第五中学校校考阶段练习）求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是.
【答案】证明见解析
【分析】先证明充分性，即当时，方程有两个同号且不相等的实根；再证明必要性，方程有两个同号且不相等的实根，则．
【详解】先证明充分性：若，设方程的两个实根为，，
则，，，
故方程有两个同号且不相等的实根；
再证明必要性：若方程有两个同号且不相等的实根，
令，
当时，其图象是开口方向朝上，且以为对称轴的抛物线
若关于的方程有两个同号且不相等的实根
则必有两个不等的正根，则函数，有两个正零点，
则，解得；
当时，其图象是开口方向朝下，且以为对称轴的抛物线
若关于的方程有两个同号且不相等的实根
则必有两个不等的负根，
则函数，有两个负零点，
则，无解；
故关于的方程有两个同号且不相等的实根，则的取值范围是；
方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是．
【变式3-1】4.（2021秋·高一课时练习）已知，设二次函数，其中a，c均为实数.证明:对于任意，均有成立的充要条件是.
【答案】证明见解析
【分析】根据充要条件定义证明即可.
【详解】因为，所以函数图像的对称轴方程为直线，且，所以.
先证充分性:因为，且，所以.
再证必要性:因为，所以只需即可.即，从而.综上可知，
对于任意，均有成立的充要条件是.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
