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2.1.3方程组的解集——题型·技巧攻略
题型1二元一次方程组的解集 2
题型2二次方程组的解集 2
题型3含参二元一次方程组 3
题型4三元一次方程组的解集 4
题型5实际应用 4
知识点一:方程组的解集
一般地，将多个方程联立，就能得到方程组.方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集.
注意：解方程组常用的方法：消元法.
知识点二:二元一次方程组
方程组含有两个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.例如，2x-3y=1, 3x+5 y=-1, 是二元一次方程组.
知识点三:三元一次方程组
方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.例如，x-2y=3, y-4z=12, x+z=4是三元一次方程组.
知识点四:二元二次方程组
二元二次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数为2,像这样的方程叫做二元二次方程.
二元二次方程组：方程组中含有两个未知数，含有未知数的项的最高次数为2,并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元二次方程组
注意：(1) 二元二次方程组有两种类型：一是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成；二是由两个二元二次方程组成.
(2) 解二元二次方程组的思路是消元和降次.
题型1二元一次方程组的解集
【例题1】（2023·高一课时练习）方程组的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】1. （2022秋·上海普陀·高一校考阶段练习）用列举法表示方程组的解集为 ．
【变式1-1】2. （2022秋·北京西城·高一北京市西城外国语学校校考阶段练习）方程组的解集是 .
【变式1-1】3. （2023·全国·高一课时练习）请写出方程的一组解：______.
【变式1-1】4. （2023·全国·高一课时练习）设，，则（ ）
A． B． C． D．
题型2二次方程组的解集
【例题2】（2023·高一课时练习）求方程组的解集.
【变式2-1】1. （2023·高一课时练习）请写出方程的一组整数解 .
（2023·高一课时练习）方程组的解集为 .
【变式2-1】2. （2023·高一课时练习）已知关于x，y的方程组，甲因看错了a，求得解集为.
(1)求b的值；
(2)甲把a错看成了什么？
【变式2-1】3. （2020秋·上海黄浦·高二格致中学校考阶段练习）解关于，的方程组：．
【变式2-1】4. （·上海·高考真题）当k为何值时，方程组有两组相同的解？并求出它的解．
【变式2-1】5. （2022·全国·高三专题练习）若相异两实数x，y满足，则之值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
题型3含参二元一次方程组
【例题3】（2023·高一课时练习）关于x，y的方程组的解集，不正确的说法是（ ）
A．可能是空集 B．可能是无限集 C．可能是单元集 D．可能是
【变式3-1】1. （2023·高一课时练习）若关于x，y的方程组与的解集相等，则a、b的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】2. （2022秋·上海徐汇·高一校考阶段练习）已知且，求关于，的方程组的解集．
【变式3-1】3. （2021·高一课时练习）设，求关于x、y的方程组的解集.
【变式3-1】4. （2023·高一课时练习）关于 的方程组的解集为，则 .
题型4三元一次方程组的解集
【例题4】（2023·高一课时练习）方程组的解集可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】1. （2023·高一课时练习）已知非零实数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】2. （2022秋·全国·高一专题练习）若，则（ ）
A．2 B． C． D．3
【变式4-1】3. （2022春·山东东营·高一东营市第一中学统考阶段练习）若，则的值为 .
【变式4-1】4. （2023·上海·高一专题练习）已知是非负整数，且，则的范围是
题型5实际应用
【例题5】（2023·高一课时练习）已知矩形的面积为，对角线长，则该矩形的周长为 .
【变式5-1】1. （2022秋·全国·高一专题练习）某商店有方形、圆形两种巧克力，小明如果购买3块方形和5块圆形巧克力，他带的钱会差8元，如果购买5块方形和3块圆形巧克力，他带的钱会剩下8元．若他只购买8块方形巧克力，则他会剩下多少钱（ ）
A．8元 B．16元 C．24元 D．32元
【变式5-1】2. （2022秋·全国·高一专题练习）某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人.设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】3. （2022秋·全国·高一专题练习）“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的，两种产品在欧洲市场热销.今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元，总利润为1020万元（利润=售价-成本）.其每件产品的成本和售价信息如下表：
成本（单位：万元/件） 2 4
售价（单位：万元/件） 5 7
问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？
【变式5-1】4. （2022秋·北京·高一北理工附中校考期中）我国古代书籍《九章算术》第七章“盈不足”专讲盈亏问题及其解法，其中有一题为：“今有（人）共买物，（每）人出八（钱），盈（余）三（钱），人出七（钱），不足四（钱），问人数、物价各几何”，请你回答本题中的人数是 ，物价是 （钱）．
【变式5-1】5.（2022秋·全国·高一专题练习）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为 .
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2.1.3方程组的解集——题型·技巧攻略
题型2二次方程组的解集 3
题型3含参二元一次方程组 6
题型4三元一次方程组的解集 8
题型5实际应用 11
知识点一:方程组的解集
一般地，将多个方程联立，就能得到方程组.方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集.
注意：解方程组常用的方法：消元法.
知识点二:二元一次方程组
方程组含有两个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.例如，2x-3y=1, 3x+5 y=-1, 是二元一次方程组.
知识点三:三元一次方程组
方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.例如，x-2y=3, y-4z=12, x+z=4是三元一次方程组.
知识点四:二元二次方程组
二元二次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数为2,像这样的方程叫做二元二次方程.
二元二次方程组：方程组中含有两个未知数，含有未知数的项的最高次数为2,并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元二次方程组
注意：(1) 二元二次方程组有两种类型：一是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成；二是由两个二元二次方程组成.
(2) 解二元二次方程组的思路是消元和降次.
题型1二元一次方程组的解集
【例题1】（2023·高一课时练习）方程组的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据集合的定义以及表示方法求解.
【详解】方程组的解为,
所以方程组的解集为，
故选：D.
【变式1-1】1. （2022秋·上海普陀·高一校考阶段练习）用列举法表示方程组的解集为 ．
【答案】
【分析】解方程组，并用列举法表示解集.
【详解】，则，两式相减得，解得，故，
∴方程组的解集为.
故答案为：.
【变式1-1】2. （2022秋·北京西城·高一北京市西城外国语学校校考阶段练习）方程组的解集是 .
【答案】
【分析】利用代入消元法，求解方程组的解集即可．
【详解】
由②得代入①，得，
整理得，即，解得或，
当时，；当时，．
方程组的解集为．
故答案为：
【变式1-1】3. （2023·全国·高一课时练习）请写出方程的一组解：______.
【答案】（答案不唯一）
【分析】任取，得到对应的，构成有序数对即得解
【详解】由题意，任取，得到对应的，构成有序数对即可
如故是方程组的一组解故答案为：（答案不唯一）
【变式1-1】4. （2023·全国·高一课时练习）设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意得，即求A、B集合中两直线交点即可，联立方程，即可得答案.
【详解】由题意得，集合A、B均为点集，所以，所求即求两直线的交点即可，因为，解得交点为.故选：D
题型2二次方程组的解集
【例题2】（2023·高一课时练习）求方程组的解集.
【答案】
【分析】利用消元法即可解出方程组.
【详解】由得，代入得：
，解得或，
当时，；当时，.
所以方程组的解为或，其解集为.
【变式2-1】1. （2023·高一课时练习）请写出方程的一组整数解 .
（2023·高一课时练习）方程组的解集为 .
【答案】
【分析】利用代入消元法，求解方程组的解集即可．
【详解】
由②得代入①，得，
整理得，
因为，所以此方程无实数解，
故方程组的解集为．
故答案为：．
【变式2-1】2. （2023·高一课时练习）已知关于x，y的方程组，甲因看错了a，求得解集为.
(1)求b的值；
(2)甲把a错看成了什么？
【答案】(1)3
(2)1
【分析】（1）（2）根据方程组的解，代入原方程中即可求解.
【详解】（1）将代入方程组中②式中可得
，
（2）将代入得
故甲把a错看成了1
【变式2-1】3. （2020秋·上海黄浦·高二格致中学校考阶段练习）解关于，的方程组：．
【答案】见解析
【分析】分别讨论、、时的解即可.
【详解】（1）当时，，方程组解为；
（2）当时，，方程组无解；
（3）当时，两式相加得，两式相减得，方程组解为.
【变式2-1】4. （·上海·高考真题）当k为何值时，方程组有两组相同的解？并求出它的解．
【答案】时方程组有两组相同解为，.
【分析】由题设且，又代入整理得在上有两组相同解，则求参数，进而求出相同解，注意验证解的范围.
【详解】由（1）式，则且，
由（2）式，代入上式得，
若有两组相同的解，则，
所以或，
当时，，即，此时；
当时，，即不满足；
综上，时方程组有两组相同的解为，.
【变式2-1】5. （2022·全国·高三专题练习）若相异两实数x，y满足，则之值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】根据已知条件求得，由此求得所求表达式的值.
【详解】两式作差消元得：，反代回去得：
，同理可得：，由同构及韦达定理有：
继而有：
.
故选：D
题型3含参二元一次方程组
【例题3】（2023·高一课时练习）关于x，y的方程组的解集，不正确的说法是（ ）
A．可能是空集 B．可能是无限集 C．可能是单元集 D．可能是
【答案】A
【分析】由方程组的计算将式子转化为，即可分类讨论求解方程的根.
【详解】由得从而得，即
若，则可取任意实数，此时解有无数个，故B正确，
若,则，故CD正确，
解集不可能是空集，所以A错误，
故选：A
【变式3-1】1. （2023·高一课时练习）若关于x，y的方程组与的解集相等，则a、b的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由解得，再把代入，求解即可.
【详解】由题意联立方程为：，解得，
把代入得，解得.
故选：B
【变式3-1】2. （2022秋·上海徐汇·高一校考阶段练习）已知且，求关于，的方程组的解集．
【答案】
【分析】直接解方程组即可.
【详解】由，
得（），得，
所以，
即
所以方程组的解集为
【变式3-1】3. （2021·高一课时练习）设，求关于x、y的方程组的解集.
【答案】答案见解析
【分析】消元得关于的方程，分类讨论求解即可得出方程组的解.
【详解】
由①得，将其代入②得.
当且时，该方程有唯一解，
则，
故原方程组的解集为；
当时，该方程无解，故原方程组的解集为；
当时，该方程有无穷多个解，且，
故原方程组的解集为
【变式3-1】4. （2023·高一课时练习）关于 的方程组的解集为，则 .
【答案】4
【分析】根据集合的定义解方程组即可求解.
【详解】因为关于 的方程组的解集为，
所以，解得，
故答案为：4.
题型4三元一次方程组的解集
【例题4】（2023·高一课时练习）方程组的解集可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由方程组的求解可得的关系，即可求解.
【详解】由得，
将代入得，所以，
故选：D
【变式4-1】1. （2023·高一课时练习）已知非零实数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由方程组即可求解的关系，进而可求解.
【详解】由两式子相加可得，所以，所以 ，
故选：C
【变式4-1】2. （2022秋·全国·高一专题练习）若，则（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【分析】消元可得二元方程组，再消元可得 的值.
【详解】由方程组，①②得，代入③得 ，
再代入①得 ，即原方程组得解为:
或，
故选: C
【点睛】代入消元是解方程组得基本方法，此题为基础题.
【变式4-1】3. （2022春·山东东营·高一东营市第一中学统考阶段练习）若，则的值为 .
【答案】-1
【分析】将的值代入方程得到关于a、b的方程组,再将所得两个方程相加即可得出答案.
【详解】，
两式相加可得：，
故答案为：-1
【变式4-1】4. （2023·上海·高一专题练习）已知是非负整数，且，则的范围是
【答案】
【分析】由①×3﹣②得到2x+y＝0，结合x、y是非负整数，得到x＝y＝0，z＝10，进而计算结果.
【详解】∵
①×3﹣②得：
2x+y＝0，
∵x、y是非负整数，
∴x＝y＝0，z＝10，
∴x+5y+3z＝30，
故答案为：．
题型5实际应用
【例题5】（2023·高一课时练习）已知矩形的面积为，对角线长，则该矩形的周长为 .
【答案】34
【分析】设出矩形的长与宽，由题意列出等量关系求解即可.
【详解】设矩形的长为，宽为.
由题意可得：，则，
所以，所以该矩形的周长为.
故答案为：34.
【变式5-1】1. （2022秋·全国·高一专题练习）某商店有方形、圆形两种巧克力，小明如果购买3块方形和5块圆形巧克力，他带的钱会差8元，如果购买5块方形和3块圆形巧克力，他带的钱会剩下8元．若他只购买8块方形巧克力，则他会剩下多少钱（ ）
A．8元 B．16元 C．24元 D．32元
【答案】D
【解析】设方形巧克力每块x元，圆形巧克力每块y元，小明带了a元钱，根据题意得，解得8x＝a－32，由此得解.
【详解】设方形巧克力每块x元，圆形巧克力每块y元，小明带了a元钱，
则，
两式相加得8x＋8y＝2a，∴x＋y＝a，
∵5x＋3y＝a－8，∴2x＋(3x＋3y)＝a－8，
∴2x＋3×a＝a－8，∴2x＝a－8，∴8x＝a－32，
即他只购买8块方形巧克力，则他会剩下32元，
故选：D.
【变式5-1】2. （2022秋·全国·高一专题练习）某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人.设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人，即可列出两个方程，即可得答案.
【详解】根据组数×每组7人＝总人数－3人，得方程；
根据组数×每组8人＝总人数＋5人，得方程 ，
列方程组为
故选：C
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用.找出本题中的等量关系是解题的关键，属于基础题.
【变式5-1】3. （2022秋·全国·高一专题练习）“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的，两种产品在欧洲市场热销.今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元，总利润为1020万元（利润=售价-成本）.其每件产品的成本和售价信息如下表：
成本（单位：万元/件） 2 4
售价（单位：万元/件） 5 7
问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？
【答案】产品160件，产品180件.
【分析】设，两种产品的销售件数分别为件、件，依题意列出方程组，解得即可；
【详解】解：设，两种产品的销售件数分别为件、件；
由题意得：，
解得：；
答：,两种产品的销售件数分别为160件、180件.
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，属于基础题.
【变式5-1】4. （2022秋·北京·高一北理工附中校考期中）我国古代书籍《九章算术》第七章“盈不足”专讲盈亏问题及其解法，其中有一题为：“今有（人）共买物，（每）人出八（钱），盈（余）三（钱），人出七（钱），不足四（钱），问人数、物价各几何”，请你回答本题中的人数是 ，物价是 （钱）．
【答案】
【分析】设人数为，物价是（钱），根据已知条件可得出关于、的方程组，即可得解.
【详解】设人数为，物价是（钱），则，解得.
故答案为：；.
【变式5-1】5.（2022秋·全国·高一专题练习）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为 .
【答案】
【分析】设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题目所给条件列出方程组.
【详解】设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：
故答案为：
【点睛】本小题主要考查根据实际问题列方程组，属于基础题.
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