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1.2.4二面角——题型·技巧攻略
题型1定义法求面面角 2
题型2三垂线法求面面角 7
题型3向量法求面面角 16
题型4探索性习题 28
知识点一．二面角的概念
(1)半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．
(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角的面，记作α l β，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作A l B，二面角的范围为[0，π]．
(3)二面角的平面角：在二面角α l β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角α l β的平面角．
知识点二．用空间向量求二面角的大小
定义：如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ．则θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，sin θ＝sin〈n1，n2〉．
条件 平面α，β的法向量分别为u，v，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈u，v〉＝φ
图形
关系 θ＝φ θ＝π－φ
计算 cos θ＝cos φ cos θ＝－cos φ
题型1定义法求面面角
【方法总结】用定义求二面角的步骤 (1)作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用三垂线定理)． (2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角． (3)解三角形求角．
【例题1】（2023·全国·高二专题练习）如图，在正方体中，
(1)求异面直线与所成的角的大小；
(2)求二面角的大小.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）作出异面直线与所成的角，并求得角的大小.
（2）判断二面角的平面角，并求得角的大小.
【详解】（1）在正方体中，连接，
由于，所以是异面直线与所成的角，
由于三角形是等边三角形，所以，
所以异面直线与所成的角的大小为.
（2）在正方体中，，
所以是二面角的平面角，
根据正方体的性质可知，
所以二面角的大小为.
【变式1-1】1.（2023春·全国·高二专题练习）如图，在三棱锥中，平面平面，，，、分别为棱、的中点.
(1)求证：直线平面；
(2)若直线与平面所成的角为45°，直线与平面所成角为30°，求二面角的大小.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）根据即可证明；
（2）证明平面，平面，进而结合已知条件证明为等腰直角三角形，，再根据二面角的概念求解即可.
【详解】（1）证明：因为、分别为棱、的中点.
所以，在中，，
因为平面，平面，
所以，直线平面
（2）解：因为平面平面，平面平面，平面 ,
所以平面，
所以，是直线与平面所成的角，
因为直线与平面所成的角为45°，
所以，，
所以
因为平面，平面，
所以，，
因为，，平面，
所以平面，
所以，是直线与平面所成角，
因为直线与平面所成角为30°，
所以，
所以，
不妨设，则，
所以，为等腰直角三角形，
因为，，
所以是二面角的平面角，
所以二面角的大小为
【变式1-1】2.（2023·高二单元测试）如图，在四棱锥中， ，为棱的中点，平面.
(1)证明：平面
(2)求证：平面平面
(3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）因为且，所以为平行四边形，则，利用线面平行的判定定理即可得证；
（2）由已知可得，，由线面垂直的判定定理可得面，进而即可证得结论；
（3）由平面可得，作于，可知面，所以为直线与平面所成角，在直角中求解即可．
【详解】（1）∵且，∴四边形为平行四边形，
∴，又平面，平面，
所以 平面.
（2）∵平面，平面，∴，
连接，∵且，∴四边形为平行四边形，
∵，，∴平行四边形为正方形，∴，
又，∴，
又，面，∴面，
∵面，∴平面平面.
（3）∵平面，平面，∴，
又，，平面，∴平面，
因为平面，∴
∴为二面角的平面角，从而，所以，
作于，连接，
∵平面平面，平面，平面平面，
∴面，所以为直线与平面所成角，
在直角中，，，，∴，
因为面，面，所以，
在直角中，，，
∴，
则直线与平面所成角的正切值为.
题型2三垂线法求面面角
【方法总结】利用三垂线定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法，这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线.此方法是属于较常用的. 三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直 步骤： ①作:过二面角的其中一个平上一点作(找)另一个平面的垂线,过垂足作二面角的棱的垂线。 ②证:证明由①所得的角是二面角的平面角(符合二面角的定义）。 ③求二面角的面角的大小(常用面积相等关系求垂线段长度）
【例题2】（2023·全国·高二专题练习）如图，二面角的平面角为锐角，是内的一点（它不在棱上），点是在平面内的射影，点是上满足为锐角的任意一点，那么（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定与的大小关系
【答案】A
【分析】过C向AB做垂线交AB于F，连接DF，由直角三角形可知，再由的正切即可比较大小.
【详解】过C向AB做垂线交AB于F，连接DF，如图，
因为，，所以，
因为，，，平面，
所以AB面CDF，平面，所以，
在直角三角形CDF中，CF为斜边DF为直角边，所以，
在直角三角形中，，
在直角三角形DEF中，，
由知，
故选：A
【变式2-1】1．（2022春·山东聊城·高二山东聊城一中校考阶段练习）已知二面角的大小为，点，，为垂足，点，，为垂足. 若，，则_______.
【答案】
【分析】以、为邻边作平行四边形，连接、，分析可知二面角的平面角为，推导出，求出、的长，利用勾股定理可求得的长.
【详解】以、为邻边作平行四边形，连接、，如下图所示：
因为四边形为平行四边形，
则且，，，
因为，则，又因为，
所以，二面角的平面角为，
因为，故为等边三角形，所以，，
，，则，，
，、平面，平面，
平面，，.
故答案为：.
【变式2-1】2．（2023·全国·高二专题练习）如图，在直角梯形ABCD中，，，，点E是BC的中点. 将沿BD折起，使，连接AE、AC、DE，得到三棱锥.
(1)求证：平面ABD；
(2)若，求二面角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）通过证明来证得平面.
（2）作出二面角的平面角，解三角形求得平面角的大小.
【详解】（1）由于平面，
所以平面.由于平面，所以.
由于平面，
所以平面.
（2）分别取的中点，连接，
由于分别是的中点，所以，
由于平面，所以平面，
由于平面，所以.
由于分别是的中点，所以，
由于，所以，
由于平面，所以平面，
所以是二面角的平面角.
在中，，
所以，则为锐角，且，
所以二面角的平面角为.
【变式2-1】3．（2023春·全国·高二专题练习）如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，点为棱的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得线面垂直，从而得到，再由线面垂直的判定定理可证平面，从而证得平面平面；
（2）根据题意过作于，连接，可得就是二面角的平面角，然后计算即可得到结果.
【详解】（1）因为平面平面，且，即，
且平面，平面平面，所以平面
又因为平面，所以
因为为菱形，所以，且，平面，
所以平面，又因为平面，所以平面平面
（2）
设.
平面平面，平面平面平面.
连接，则就是直线与平面所成的角.
由题意得，为等边三角形.
过作于，则为的中点，
平面，又平面.
过作于，连接，则就是二面角的平面角.
易得.
，解得，
，
，即直线与平面所成的角为.
【变式2-1】4．（2023春·全国·高二专题练习）如图，菱形ABCD的边长为2，，E为AC的中点，将沿AC翻折使点D至点.
(1)求证：平面平面ABC；
(2)若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线线垂直证线面垂直，再证面面垂直；
（2）过作于点，过M作于点，连接，分析得即为二面角的平面角，由三棱锥体积求得，即可进一步由几何关系求得.
【详解】（1）证明：在菱形中，，∴和均为等边三角形，
又∵E为AC的中点，∴，，，平面，∴平面，
又∵平面ABC，∴平面平面ABC.
（2）过作于点，∵平面平面ABC，平面，∴平面ABC.
∴.
过M作于点，连接，
∵平面ABC，∴ ，∵平面，∴平面，
∵平面，∴.
∴即为二面角的平面角，
，∴，，
∴，∴.
故二面角的余弦值为.
【变式2-1】5．（2023春·全国·高二专题练习）在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点是线段上的一动点，.
(1)求证：；
(2)求平面与平面所成的二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据三棱柱中的垂直关系以及角度，可通过证明平面，利用线面垂直的性质定理即可证明；（2）根据（1）可通过二面角的定义作出二面角的平面角，再利用线面垂直通过判断三角形形状求得二面角的正弦值.
【详解】（1）由题意可知，，又，所以，
连接，如下图所示：
由，可知，是正三角形，
又点为棱的中点，所以，
平面，平面，，
所以平面，平面
所以.
（2）由（1）知，，
根据二面角定义可知，即为所求二面角的平面角或其补角，
在正三角形中，，所以，
因为，，所以，
又，且，所以平面，
而平面，所以，
在中，，
所以，
于是平面与平面所成的二面角的正弦值为
题型3向量法求面面角
【方法总结】求面面角的步骤 第一步 首先根据已知条件建立适当的空间直角坐标系并标出相应点的空间坐标； 第二步 然后根据已知条件求出各自所求平面的法向量； 第三步 由向量的数量积计算公式即可得出结论.
【例题3】（河南省商丘市2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题）如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，平面平面为的中点.
(1)证明：平面；
(2)若，求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接交于点，连接，可证，故可证平面.
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面法向量后结合平方关系可求二面角的正弦值.
【详解】（1）连接交于点，连接，则为的中点，
因为为的中点，所以，
又平面平面，
所以平面.
（2）取的中点，连接，因为，所以，
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，
又平面，所以.
因为为的中点，所以，所以两两垂直，
以为坐标原点，直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，
所以.
设平面的一个法向量，则即
令，解得，故，
而是平面的一个法向量，
所以，
设二面角的大小为，则.
【变式3-1】1．（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，，，E是PA的中点，，.
(1)证明： 平面DEF.
(2)求平面DEF与平面CDP所成的锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可；
（2）利用向量法求解即可.
【详解】（1）如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，
因为，，
所以，
则，
设平面的法向量为，
则有，令，则，
所以，
因为，所以，
又平面，
所以 平面；
（2）因为平面与平面重合，
故可取平面的法向量为，
则，
所以平面DEF与平面CDP所成的锐二面角的余弦值为.
【变式3-1】2．（2023春·浙江湖州·高二统考期末）如图，圆台的上底面的半径为1，下底面的半径为，是圆台下底面的一条直径，是圆台上底面的一条半径，为圆上一点，点，在平面的同侧，且，.
(1)证明：平面；
(2)若三棱锥的体积为，求平面与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取AC的中点M，先证明平面PAC，再利用即可得到证明；
（2）建立空间直角坐标系，由体积得到圆台的高，再求出两个平面的法向量，利用坐标法计算即可.
【详解】（1）证明：如图取中点，连接，
由题意，，，
又为的中位线，故，
又为直径，所以，则.
由和，得，又，
所以四边形是平行四边形，故，
又平面，故，所以，又，
又，所以平面，
由，得平面.
（2）由三棱锥的体积为得，，
以为原点，，，所在直线分别为轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，.
得，，
，.
设平面的法向量，
由，令得：，.
得，
设平面的法向量，
由令得：，.
得，
则.
所以平面与平面所成角的正弦值为.
【变式3-1】3．（2023春·北京·高二中关村中学校考期中）如图：在四棱锥中，底面是正方形，，，点在上，且.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)证明：在线段上存在点，使∥平面，并求线段的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析，
【分析】（1）根据已知，利用勾股定理、直线与平面垂直的判定定理进行证明.
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式进行计算求解.
（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积运算计算求解.
【详解】（1）证明： ，，
，同理
又，平面ABCD
平面.
（2）
如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
则
平面的法向量为，设平面的法向量为
，由有： ，取
，
设二面角的平面角为，由图形可知，，
二面角的余弦值为.
（3）
假设存在点，使∥平面，令，，
，由∥平面，，
，即，解得
存在点，为的中点，即.
【变式3-1】4．（2023·北京·统考高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．
(1)求证：平面PAB；
(2)求二面角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先由线面垂直的性质证得，再利用勾股定理证得，从而利用线面垂直的判定定理即可得证；
（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.
【详解】（1）因为平面平面，
所以，同理，
所以为直角三角形，
又因为，，
所以，则为直角三角形，故，
又因为，，
所以平面.
（2）由（1）平面，又平面，则，
以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，
所以，
设平面的法向量为，则，即
令，则，所以，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，所以，
所以，
又因为二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为.
【变式3-1】5．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，AC=2BD=2AA1=4，AC1⊥CC1，AA1⊥BD，E是侧棱BB1上一点.
(1)若BE＝B1E，证明：CC1⊥平面AC1E；
(2)若，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设，交于点，连接，，可证，，进而可证平面，进而，，可证结论；
（2）过作 ，垂足为，以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用向量法求二面角的余弦值．
【详解】（1）证明：如图，设，交于点，连接，，
因为四边形是菱形，，，
所以，.
因为，，平面，，
所以平面，
因为平面，所以，
连接，，所以，
因为，所以，
所以.
因为，所以，所以.
因为，平面，，
所以平面.
（2）过作，垂足为，
因为平面，平面，所以，
又，，平面，，所以平面.
如图，以为坐标原点，，所在直线分别为x，y轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
因为，所以，
则，所以.
易知平面的一个法向量为，设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，所以.
设二面角的大小为，
所以，由图可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
题型4探索性习题
【例题4】（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在矩形中，点在边上，且满足，将沿向上翻折，使点到点的位置，构成四棱锥.
(1)若点在线段上，且 平面，试确定点的位置；
(2)若，求锐二面角的大小.
【答案】(1)点为线段上靠近点的三等分点
(2)
【分析】（1）在取点使，根据线面平行的判定定理、面面平行的判定及性质定理即得；
（2）取的中点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解锐二面角的大小.
【详解】（1）点为线段上靠近点的三等分点，
证明如下：
如图，
在取点，连接，,使得，
又，所以四边形为平行四边形，所以，
又平面平面，所以平面.
又 平面，，平面，
所以平面 平面，
又平面平面，平面平面，
所以，所以在中，，所以，
所以点为线段上靠近点的三等分点.
（2）如图，取的中点，以O为原点OE为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，
又，则，
由题意，点P在过点O且垂直AE的平面上，故设，
则，
因为，所以，解得，
故，则，
设平面的法向量为，
则，不妨取，则，
设平面的一个法向量为，则，
记锐二面角的平面角为，所以，
又，则，所以锐二面角的大小为.
【变式4-1】1．（2023·贵州铜仁·统考模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，，D是线段上的动点，．
(1)当∥平面时，求实数的值；
(2)当平面平面时，求平面与平面所成二面角的正弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用线面平行的性质定理，即可求解.
(2) 建立空间直角坐标系，通过平面平面，求得D点位置，继而求解面面角.
【详解】（1）连接,且,再连接DE,
∵AB∥平面CD,平面,且平面平面,
,又由E为线段的中点,于是,DE是的中位线,
为线段的中点,即，
故当AB∥平面时, .
（2）以C为坐标原点,以的方向分别为轴的正方向,建立空间直角坐标系,则有以下坐标
设 ,由得,
解得,即 ,
所以
令 是平面的一个法向量,则
,
令 y = 1,解得 x = 0 , z = 1 ,即
同理求得平面的一个法向量为
由平面平面得,解得
即
又因为,从而可得平面的一个法向量 ,
设平面ACD与平面 所成二面角的大小为,
则
故当平面平面时,平面ACD与平面所成二面角的正弦值的为.
【变式4-1】2．（2023·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱中，侧面为正方形，M，N分别为的中点，．
(1)证明：平面；
(2)若，三棱锥的体积为2，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接，证得且，得到四边形为平行四边形，证得，利用线面平行的判定定理，即可证得平面；
（2）设，连接，根据柱体和锥体的体积公式，结合，求得，以为坐标原点，以所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）证明：取的中点，连接，
因为为的中点，所以为的中位线，则，且，
又为的中点，所以，且，所以且，
所以四边形为平行四边形，则，
又因为平面，且平面，所以平面.
（2）解：在直三棱柱中，可得平面，
因为平面，所以，
又因为，直线与直线相交，且平面，
所以平面，因为平面，所以，
设，连接，则，
，，，
所以，所以，则，
以为坐标原点，以所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
可得，，．
设平面的法向量为，则，
取，则，
设平面的法向量为，则，
取，则
则，
由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为．
【变式4-1】3．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）如图，直四棱柱的底面是菱形，是的中点，为线段上一点，，，.
(1)证明：当时，平面；
(2)是否存在点，使二面角的余弦值为？若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，为线段的四等分点（靠近点）
【分析】（1）利用线面垂直的判定证明；
（2）利用空间向量计算二面角的方法得出结论。
【详解】（1）证明：在矩形中，，为的中点，
∴，，同理可得，
在中，，∴，，
如图，连接，在菱形中，，且，
∴为等边三角形，又∵为中点，∴，
∵，∴，
又∵平面平面，平面，平面平面，
∴平面，
又∵平面，∴，
又∵，平面，平面
∴平面.
（2）存在，当为线段的四等分点（靠近点）时，二面角的余弦值为，理由如下：
取中点，连接，以为原点，建立空间直角坐标系如图，
则，，，，，，
设，则，
平面的一个法向量为，设平面的一个法向量，
则解得，
二面角的余弦值为，解得，
但当时，二面角的平面角为钝角，含去，故.
此时，为线段的四等分点（靠近点）.
【变式4-1】4．（2023春·江苏扬州·高二扬州市广陵区红桥高级中学校考期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，△PAD为等边三角形，平面平面ABCD，．
(1)求点A到平面PBC的距离；
(2)E为线段PC上一点，若直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为，求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）取AD中点O，连接OB，OP.通过证明，可得，.后由等体积法可求得点A到平面PBC的距离；
（2）由（1），如图建立以O为原点的空间直角坐标系，由直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为，可得.求得平面ADE的法向量后，利用空间向量可得平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值.
【详解】（1）取AD中点O，连接OB，OP.
∵为等边三角形，∴，OA=1，.
又∵平面平面ABCD，平面平面ABCD=AD，
平面PAD，∴平面ABC.
又∵平面ABCD，∴.
∵，∴，∴.
又∵，平面POB，
平面POB，，∴平面POB.
又∵平面POB，∴.
∴，
设点A到平面PBC的距离为h，
则即，∴；
（2）由（1），分别以OA，OB，OP为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，，，.
设，则，.
得 ，则.
又平面ABC，则取平面ABCD的法向量.
设AE与平面ABCD所成的角为，则
，解得.
则，.
设平面ADE的法向量，则.
令，则取平面ADE的法向量，又平面ABCD的法向量.
故平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值为.
【变式4-1】5．（2023秋·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考期末）如图，在四棱锥中，，E是PB的中点．
(1)求CE的长；
(2)设二面角平面角的补角大小为，若，求平面PAD和平面PBC夹角余弦值的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由条件证明，解三角形求即可；
(2)建立空间直角坐标系，求平面PAD和平面PBC的法向量，结合向量夹角公式求平面PAD和平面PBC夹角余弦值，利用换元法和二次函数性质求其最小值.
【详解】（1）取PA的中点G，连接DG，EG，如图所示：
则，且，，
所以四边形CDGE为平行四边形．
因为，所以为直角三角形，，
在中，因为，所以，
所以
所以CE的长为；
（2）在平面ABCD内过点A作BC的平行线，交CD的延长线于点M，如图所示，
则，，
以点M为坐标原点，分别以MA，MC为x轴和y轴，以与平面垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，取AD的中点为N，连接PN，MN，则，，平面，所以平面，平面，
所以平面平面，在平面PMN内过点P作，垂足为F，
因为平面平面，所以平面，
由已知可得，则，设．
因为，所以，
因为，，为线段的中点，所以，
所以，
所以，
所以．
设平面PAD的法向量，
则
令，则．
设平面的法向量，
因为，
则
令．则，所以为平面的一个法向量．
设平面PAD和平面PBC的夹角为，
则
．
令，所以，
所以，所以当时，有最小值，
所以平面PAD和平面PBC夹角余弦值的最小值为．
【点睛】本题解决的关键在于根据二面角的平面角的定义确定二面角的平面角，结合所建坐标系确定点的坐标.
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1.2.4二面角——题型·技巧攻略
题型1定义法求面面角 2
题型2三垂线法求面面角 3
题型3向量法求面面角 6
题型4探索性习题 9
知识点一．二面角的概念
(1)半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．
(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角的面，记作α l β，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作A l B，二面角的范围为[0，π]．
(3)二面角的平面角：在二面角α l β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角α l β的平面角．
知识点二．用空间向量求二面角的大小
定义：如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ．则θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，sin θ＝sin〈n1，n2〉．
条件 平面α，β的法向量分别为u，v，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈u，v〉＝φ
图形
关系 θ＝φ θ＝π－φ
计算 cos θ＝cos φ cos θ＝－cos φ
题型1定义法求面面角
【方法总结】用定义求二面角的步骤 (1)作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用三垂线定理)． (2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角． (3)解三角形求角．
【例题1】（2023·全国·高二专题练习）如图，在正方体中，
(1)求异面直线与所成的角的大小；
(2)求二面角的大小.
【变式1-1】1.（2023春·全国·高二专题练习）如图，在三棱锥中，平面平面，，，、分别为棱、的中点.
(1)求证：直线平面；
(2)若直线与平面所成的角为45°，直线与平面所成角为30°，求二面角的大小.
【变式1-1】2.（2023·高二单元测试）如图，在四棱锥中， ，为棱的中点，平面.
(1)证明：平面
(2)求证：平面平面
(3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值.
题型2三垂线法求面面角
【方法总结】利用三垂线定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法，这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线.此方法是属于较常用的. 三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直 步骤： ①作:过二面角的其中一个平上一点作(找)另一个平面的垂线,过垂足作二面角的棱的垂线。 ②证:证明由①所得的角是二面角的平面角(符合二面角的定义）。 ③求二面角的面角的大小(常用面积相等关系求垂线段长度）
【例题2】（2023·全国·高二专题练习）如图，二面角的平面角为锐角，是内的一点（它不在棱上），点是在平面内的射影，点是上满足为锐角的任意一点，那么（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定与的大小关系
【变式2-1】1．（2022春·山东聊城·高二山东聊城一中校考阶段练习）已知二面角的大小为，点，，为垂足，点，，为垂足. 若，，则_______.
【变式2-1】2．（2023·全国·高二专题练习）如图，在直角梯形ABCD中，，，，点E是BC的中点. 将沿BD折起，使，连接AE、AC、DE，得到三棱锥.
(1)求证：平面ABD；
(2)若，求二面角的大小.
【变式2-1】3．（2023春·全国·高二专题练习）如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，点为棱的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角.
【变式2-1】4．（2023春·全国·高二专题练习）如图，菱形ABCD的边长为2，，E为AC的中点，将沿AC翻折使点D至点.
(1)求证：平面平面ABC；
(2)若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.
【变式2-1】5．（2023春·全国·高二专题练习）在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点是线段上的一动点，.
(1)求证：；
(2)求平面与平面所成的二面角的正弦值.
题型3向量法求面面角
【方法总结】求面面角的步骤 第一步 首先根据已知条件建立适当的空间直角坐标系并标出相应点的空间坐标； 第二步 然后根据已知条件求出各自所求平面的法向量； 第三步 由向量的数量积计算公式即可得出结论.
【例题3】（河南省商丘市2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题）如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，平面平面为的中点.
(1)证明：平面；
(2)若，求二面角的正弦值.
【变式3-1】1．（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，，，E是PA的中点，，.
(1)证明： 平面DEF.
(2)求平面DEF与平面CDP所成的锐二面角的余弦值.
【变式3-1】2．（2023春·浙江湖州·高二统考期末）如图，圆台的上底面的半径为1，下底面的半径为，是圆台下底面的一条直径，是圆台上底面的一条半径，为圆上一点，点，在平面的同侧，且，.
(1)证明：平面；
(2)若三棱锥的体积为，求平面与平面所成角的正弦值.
【变式3-1】3．（2023春·北京·高二中关村中学校考期中）如图：在四棱锥中，底面是正方形，，，点在上，且.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)证明：在线段上存在点，使∥平面，并求线段的长.
【变式3-1】4．（2023·北京·统考高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．
(1)求证：平面PAB；
(2)求二面角的大小．
【变式3-1】5．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，AC=2BD=2AA1=4，AC1⊥CC1，AA1⊥BD，E是侧棱BB1上一点.
(1)若BE＝B1E，证明：CC1⊥平面AC1E；
(2)若，求二面角的余弦值.
题型4探索性习题
【例题4】（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在矩形中，点在边上，且满足，将沿向上翻折，使点到点的位置，构成四棱锥.
(1)若点在线段上，且 平面，试确定点的位置；
(2)若，求锐二面角的大小.
【变式4-1】1．（2023·贵州铜仁·统考模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，，D是线段上的动点，．
(1)当∥平面时，求实数的值；
(2)当平面平面时，求平面与平面所成二面角的正弦值．
【变式4-1】2．（2023·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱中，侧面为正方形，M，N分别为的中点，．
(1)证明：平面；
(2)若，三棱锥的体积为2，求二面角的余弦值．
【变式4-1】3．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）如图，直四棱柱的底面是菱形，是的中点，为线段上一点，，，.
(1)证明：当时，平面；
(2)是否存在点，使二面角的余弦值为？若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由.
【变式4-1】4．（2023春·江苏扬州·高二扬州市广陵区红桥高级中学校考期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，△PAD为等边三角形，平面平面ABCD，．
(1)求点A到平面PBC的距离；
(2)E为线段PC上一点，若直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为，求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值．
【变式4-1】5．（2023秋·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考期末）如图，在四棱锥中，，E是PB的中点．
(1)求CE的长；
(2)设二面角平面角的补角大小为，若，求平面PAD和平面PBC夹角余弦值的最小值．
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