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1.2.5空间中的距离——题型·技巧攻略
题型1两点间的距离 3
题型2用向量法求点线距 4
题型3用向量法求点面距 7
题型4用向量法求线面距 10
题型5用向量法求面面距 12
题型6线线距离 15
知识点一.两点间的距离
1.两点间距离A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），
|AB|=
2用向量表示 两点间距离=(,,),|AB|=
知识点二.点到直线的距离
定义：若P为直线l外一点，A是l上任意一点，在点P和直线l所确定的平面内，取一个与直线l垂直的向量n，则点P到直线l的距离为d==
设e是直线l的方向向量，则点P到直线l的距离为d=||sin<,e>
知识点三.点到平面的距离
定义：若P是平面α外一点，PQ⊥α，垂足为Q，A 为平面α内任意一点，设n为平面α的法向量，点P到平面α的距离d=
知识点四.相互平行的直线与平面之间
1.定义：当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离，
2.公式：如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A、B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为d＝．
知识点五.相互平行的平面与平面之间的距离
1.定义：当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离．
2.公垂线段：一般地，与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的 公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的公垂线段．显然，两个平行平面之间的距离也等于它们的公垂线段的长.
3.公式：如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量，A和B分别是平面α和平面β内的点，则平面α和平面β之间的距离为d＝．
题型1两点间的距离
【方法总结】计算两点间的距离的两种方法 (1)利用|a|2＝a·a，通过向量运算求|a|，如求A，B两点间的距离，一般用||＝＝求解． (2)用坐标法求向量的长度(或两点间距离)，此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时．
【例题1】（2023春·陕西咸阳·高二校考阶段练习）在棱长为2的正方体中，若与平面交于点E，则AE的长为（ ）
A． B． C．2 D．4
【变式1-1】1.（2023春·高二课时练习）如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，顶点在底面的射影为底面正三角形的中心，P，Q分别是异面直线上的动点，则P，Q两点间距离的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【变式1-1】2.（2023·全国·高三专题练习）两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点，E和A，F，使，且已知，则线段的长为___________．
【变式1-1】3.（2023春·江苏常州·高二校联考阶段练习）如图在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱且，，点M为BD中点，设，，；
(1)用向量的线性组合表示向量；
(2)求MN的长．
题型2用向量法求点线距
【方法总结】用向量法求点线距的一般步骤 建立空间直角坐标系； （2）求直线的方向向量； （3）计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影长； （4）利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.
【例题2】（2023·广东佛山·统考模拟预测）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是a，且，，E为的中点，则点E到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】1.（多选）（2022春·江苏常州·高二常州高级中学校考期中）已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，点M，N分别为侧棱CC1，DA上的动点，AM⊥平面α.则下列正确的有（ ）
A．异面直线AM与B1C可能垂直
B．∠AMD1恒为锐角
C．AB与平面α所成角的正弦值范围为
D．点N到直线BD1距离的最小值为
【变式2-1】2.（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期中）三棱锥的底面是以为底边的等腰直角三角形，且，各侧棱长均为3，点为棱的中点，点是线段上的动点，设到平面的距离为到直线的距离为，则的最小值为__________.
【变式2-1】3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）三棱台中，平面，，且，，是的中点．
(1)求三角形重心到直线的距离；
(2)求二面角的余弦值．
【变式2-1】4．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且，，，四点共面.
(1)证明：平面平面；
(2)若平面与平面所成二面角的余弦值为，且线段长度为2，求点到直线的距离.
【变式2-1】5.（2023春·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，．
(1)求证：平面；
(2)求点到直线的距离；
(3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的值，若不存在，说明理由．
题型3用向量法求点面距
【方法总结】用向量法求点面距的步骤 建系：建立恰当的空间直角坐标系； 求点坐标：写出（求出）相关点的坐标； （3）求向量：求出相关向量的坐标（，α内两个不共线向量，平面α的法向量n）； （4）求距离d=
【例题3】（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，，为的中点，为的中点，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】1．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点A到平面的距离是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】2.（2022春·江苏常州·高二常州高级中学校考期中）已知四棱锥，底面是菱形，，平面，，点满足.
(1)求二面角的平面角的余弦值；
(2)若棱上一点到平面的距离为，试确定点的位置.
【变式3-1】3．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）如图，在四面体中，．点为棱上的点，且，三棱锥的体积为．
(1)求点A到平面的距离；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
【变式3-1】4.（2023春·甘肃白银·高二校考阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且.
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成角的余弦值；
(3)若棱上一点，满足，求点到平面的距离.
【变式3-1】5．（2023春·江西赣州·高二江西省寻乌中学校考阶段练习）如图，设在直三棱柱中，，，E，F依次为的中点．
(1)求异面直线、EF所成角的余弦值；
(2)求点到平面AEF的距离．
【变式3-1】6．（2023秋·重庆长寿·高二统考期末）如图，已知平面，底面为矩形，，，、分别为、的中点．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
题型4用向量法求线面距
【方法总结】求直线与平面间的距离，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以求解最为简单为准则，求直线到平面的距离的题目不多，因直线到平面的距离可以用点到平面的距离求解，但在求点到平面的距离时有时用直线到平面的距离进行过渡.
【例题4】（2021·高二课时练习）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，E，F分别为CC1，AA1的中点．
（1）求证：D1F∥平面BDE；
（2）求直线D1E与平面BDE所成角的正弦值；
（3）求直线D1F与平面BDE之间的距离．
【变式4-1】1．如图，在多面体中，侧面为矩形，平面，平面.
(1)求证： 平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求直线到平面的距离.
【变式4-1】2．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面平面ABCD，，，是棱的中点.
(1)求证：平面ACQ；
(2)求直线PB到平面ACQ的距离.
【变式4-1】3．如图，在正四棱锥中，O为底面中心，，，M为PO的中点，.
(1)求证： 平面EAC；
(2)求：（i）直线DM到平面EAC的距离；
（ii）求直线MA与平面EAC所成角的正弦值.
【变式4-1】4.（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，为边的中点，异面直线与所成的角为.
(1)在直线上找一点，使得直线平面，并求的值；
(2)若直线到平面的距离为，求平面与平面夹角的正弦值.
题型5用向量法求面面距
【例题5】(多选)（2020秋·辽宁大连·高二大连八中校考期中）已知正方体的棱长为，点分别是，的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．点到直线的距离是
B．点到平面的距离是
C．平面与平面间的距离为
D．点到直线的距离为
【变式5-1】1.（多选）（2023·江苏·高二专题练习）（多选）已知正方体的棱长为1，点E、O分别是、的中点，P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．点A到直线的距离是 B．点O到平面的距离为
C．平面与平面间的距离为 D．点P到直线的距离为
【变式5-1】2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，、、分别是、、的中点．求：
(1)直线与平面的距离；
(2)平面与平面的距离．
【变式5-1】3.（2022·高二课时练习）如图所示的多面体是底面为ABCD的长方体被平面所截而得的，其中，，，.
（1）求点C到平面的距离；
（2）设过点平行于平面的平面为，求平面与平面之间的距离.
【变式5-1】4.（2022·高二单元测试）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，点M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，
（1）证明：平面AMN∥平面EFBD；
（2）求平面AMN与平面EFBD间的距离．
【变式5-1】5.（2018秋·安徽合肥·高二合肥一六八中学校考期末）如图，四棱锥中，底面为梯形，底面，，过A作一个平面使得平面.
(1)求平面将四棱锥分成两部分几何体的体积之比；
(2)若平面与平面之间的距离为，求直线与平面所成角的正弦值.
【变式5-1】6.（2023·全国·高三专题练习）底面为菱形的直棱柱中，分别为棱的中点.
(1)在图中作一个平面，使得，且平面.（不必给出证明过程，只要求作出与直棱柱的截面）；
(2)若，求平面与平面的距离.
题型6线线距离
【例题6】在三棱锥中，，，.记的中点为，的中点为，则异面直线与的距离为______.
【变式6-1】1．（2023秋·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校联考期末）如图①菱形，．沿着将折起到，使得，如图②所示．
(1)求异面直线与所成的角的余弦值；
(2)求异面直线与之间的距离．
【变式6-1】2．（2023春·江西·高二校联考开学考试）如图，直三棱柱的体积为4，D为的中点，E为底边上的动点，的面积为.
(1)求点到平面的距离；
(2)若，平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，求异面直线、间的距离.
【变式6-1】3．（2023·全国·高三专题练习）已知直三棱柱中，侧面为正方形.，E，F分别为AC和的中点，.
(1)求四棱锥的体积；
(2)是否存在点D在直线上，使得异面直线BF，DE的距离为1 若存在，求出此时线段DE的长；若不存在，请说明理由.
【变式6-1】4.（2021·高二课时练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，E是AB上一点，.已知，，.
（1）求直线AD与平面PBC间的距离；
（2）求异面直线EC与PB间的距离；
（3）求点B到平面PEC的距离.
【变式6-1】5.（2021秋·山东济宁·高二济宁市兖州区第一中学校考阶段练习）如图，在三棱锥，，，E，F分别为AB，SC的中点．
（1）求直线BF与平面ABC所成角的正弦值；
（2）给出以下定义：与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，公垂线被这两条异面直线截取的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．根据以上定义可知，公垂线段的长度也可以看作是两条异面直线上任意两点连线的方向向量在公垂线的方向向量上的投影向量的长度．
请根据以上定义和理解，求异面直线SE，BF的距离d．
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1.2.5空间中的距离——题型·技巧攻略
题型1两点间的距离 3
题型2用向量法求点线距 7
题型3用向量法求点面距 18
题型4用向量法求线面距 28
题型5用向量法求面面距 37
题型6线线距离 50
知识点一.两点间的距离
1.两点间距离A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），
|AB|=
2用向量表示 两点间距离=(,,),|AB|=
知识点二.点到直线的距离
定义：若P为直线l外一点，A是l上任意一点，在点P和直线l所确定的平面内，取一个与直线l垂直的向量n，则点P到直线l的距离为d==
设e是直线l的方向向量，则点P到直线l的距离为d=||sin<,e>
知识点三.点到平面的距离
定义：若P是平面α外一点，PQ⊥α，垂足为Q，A 为平面α内任意一点，设n为平面α的法向量，点P到平面α的距离d=
知识点四.相互平行的直线与平面之间
1.定义：当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离，
2.公式：如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A、B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为d＝．
知识点五.相互平行的平面与平面之间的距离
1.定义：当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离．
2.公垂线段：一般地，与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的 公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的公垂线段．显然，两个平行平面之间的距离也等于它们的公垂线段的长.
3.公式：如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量，A和B分别是平面α和平面β内的点，则平面α和平面β之间的距离为d＝．
题型1两点间的距离
【方法总结】计算两点间的距离的两种方法 (1)利用|a|2＝a·a，通过向量运算求|a|，如求A，B两点间的距离，一般用||＝＝求解． (2)用坐标法求向量的长度(或两点间距离)，此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时．
【例题1】（2023春·陕西咸阳·高二校考阶段练习）在棱长为2的正方体中，若与平面交于点E，则AE的长为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】设，连OB，，，计算，计算模长得到答案.
【详解】设，连OB，平面，平面，
平面 平面，则，
，，
，.
故选：C
【变式1-1】1.（2023春·高二课时练习）如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，顶点在底面的射影为底面正三角形的中心，P，Q分别是异面直线上的动点，则P，Q两点间距离的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】设是底面正的中心，平面，，以直线为轴，为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，P，Q两点间距离的最小值即为异面直线与间的距离用空间向量法求异面直线的距离．
【详解】如图，是底面正的中心，平面，平面，则，
，则，又，，
，直线交于点，，
以直线为轴，为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
，，，
，
设与和都垂直，
则，取，则，，
P，Q两点间距离的最小值即为异面直线与间的距离等于．
故选：D．
【变式1-1】2.（2023·全国·高三专题练习）两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点，E和A，F，使，且已知，则线段的长为___________．
【答案】或
【分析】利用空间向量线性运算得到，结合空间向量数量积的运算法则及模的运算即可得解，注意的夹角有两种情况.
【详解】由题意，得，
所以，
因为，所以，，
因为，所以，则，同理：，
因为异面直线a，b所成的角为，
当的夹角为时，，
所以，则，即，故；
当的夹角为时，，
所以，则，故；
综上：线段的长为或.
故答案为：或.
.
【变式1-1】3.（2023春·江苏常州·高二校联考阶段练习）如图在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱且，，点M为BD中点，设，，；
(1)用向量的线性组合表示向量；
(2)求MN的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量基本定理及向量共线定理将转化为即可；
（2）根据（1）中的结果，两边同时平方，根据向量数量积定义及模的公式计算结果即可.
【详解】（1）解：连接AM如图所示：
因为
，
，
所以；
（2）因为平行六面体，，
，且底面是边长为1的正方形，
所以 ，
由（1）知，
，所以.
题型2用向量法求点线距
【方法总结】用向量法求点线距的一般步骤 建立空间直角坐标系； （2）求直线的方向向量； （3）计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影长； （4）利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.
【例题2】（2023·广东佛山·统考模拟预测）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是a，且，，E为的中点，则点E到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用基底向量，即可由空间向量的模长，结合点到直线的距离公式即可求解.
【详解】在平行六面体中，不妨设，，．
,，
，，
所以，，
，
所以E到直线的距离为，
故选：A
【变式2-1】1.（多选）（2022春·江苏常州·高二常州高级中学校考期中）已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，点M，N分别为侧棱CC1，DA上的动点，AM⊥平面α.则下列正确的有（ ）
A．异面直线AM与B1C可能垂直
B．∠AMD1恒为锐角
C．AB与平面α所成角的正弦值范围为
D．点N到直线BD1距离的最小值为
【答案】ACD
【分析】A.先证明平面，结合平面，可得；B.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法判断；C.连接，，等同于与所成角的余弦值的范围,进而可判断；设，0，，，，，，，，利用距离公式，结合二次函数性质判断.
【详解】在平面内作，交于点
在正四棱柱中，
因为平面，平面，
所以，
又平面，平面，，
所以平面，又平面，
所以．故说法正确；
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则,0,，,1,，,0,，
则,,，,,， ，
当时，，故错误；
如图：连接，，等同于与所成角的余弦值的范围，在直角三角形中，，
当点由点向移动时，逐渐增大，在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
，则,，则,，故正确，
设,0,0)，,,，,,，
，，
所以点到直线的距离为，当时，．故正确．
故选：．
【变式2-1】2.（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期中）三棱锥的底面是以为底边的等腰直角三角形，且，各侧棱长均为3，点为棱的中点，点是线段上的动点，设到平面的距离为到直线的距离为，则的最小值为__________.
【答案】/
【分析】取中点，连接，以为原点建立空间直角坐标系设，利用向量关系表示出，求导可求出最小值.
【详解】取中点，连接，
因为，，所以，且，
因为是等腰直角三角形，所以，且，
又，满足，所以，
因为，且两直线在平面内，所以平面，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，设,
则，
则，
设，则可得，
则，则，
所以，
所以,
所以,
设平面的法向量为，
则，即，令，可得，
则，
所以，
所以，令，解得，
又，所以在单调递增，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，即的最小值为.
故答案为：.
【变式2-1】3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）三棱台中，平面，，且，，是的中点．
(1)求三角形重心到直线的距离；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立坐标系，点作，求出，进而得出三角形重心到直线的距离；
（2）利用向量法得出二面角.
【详解】（1）因为，所以，
过点作平面的垂线，建立如图所示空间直角坐标系，则
，，，，，
过点作，设，
.
则.
因为，
所以，解得，
所以，．
即三角形重心到直线的距离为.
（2），，
设平面的法向量，则
取，则
设平面的法向量，则
取，则
所以，
由图可知，二面角为锐角，所以，二面角的余弦值为．
【变式2-1】4．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且，，，四点共面.
(1)证明：平面平面；
(2)若平面与平面所成二面角的余弦值为，且线段长度为2，求点到直线的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）过作，交底面弧于，连接，有为平行四边形，根据题设可得，即，再由线面垂直的性质可得 ，最后根据线面、面面垂直的判定即可证结论.
（2）构建如下图示空间直角坐标系，令半圆柱半径为，高为，确定相关点坐标，进而求平面、平面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示及已知条件可得，即可求出点到直线的距离.
【详解】（1）过作，交底面弧于，连接，易知：为平行四边形，
所以，又为弧的中点，则是弧的中点，
所以，而由题设知：，则，
所以，即，由底面，平面，则，又，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面.
（2）由题意，构建如下图示空间直角坐标系，
令半圆柱半径为，高为，则，，，，
所以，，，，
若是面的一个法向量，则，令，则，
若是面的一个法向量，则，令，则，
所以，
整理可得，则，又，
由题设可知，此时点，，，
则，，
所以点到直线的距离.
.
【变式2-1】5.（2023春·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，．
(1)求证：平面；
(2)求点到直线的距离；
(3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算即可.
【详解】（1）因为底面，，
建立空间直角坐标系如图所示，
则，
所以，
设为平面的法向量，
则，即，不妨设，可得 ，
又，
可得，因为平面，
所以平面 ，
（2）因为，
所以点到直线的距离.
（3）设，，则，
设平面的法向量为，
则令，则，
所以，
即，解得或（舍去），
所以.
题型3用向量法求点面距
【方法总结】用向量法求点面距的步骤 建系：建立恰当的空间直角坐标系； 求点坐标：写出（求出）相关点的坐标； （3）求向量：求出相关向量的坐标（，α内两个不共线向量，平面α的法向量n）； （4）求距离d=
【例题3】（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，，为的中点，为的中点，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离.
【详解】因为，为的中点，则，
由圆锥的几何性质可知平面，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
又因为，所以，点到平面的距离为.
故选：B.
【变式3-1】1．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点A到平面的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，用点到平面的距离公式计算即可.
【详解】建立空间直角坐标系如图所示：
则，，，，，，设平面的法向量为，则，即，则平面的一个法向量为，则点A到平面的距离.
故选：C
【变式3-1】2.（2022春·江苏常州·高二常州高级中学校考期中）已知四棱锥，底面是菱形，，平面，，点满足.
(1)求二面角的平面角的余弦值；
(2)若棱上一点到平面的距离为，试确定点的位置.
【答案】(1)
(2)M为PC的中点.
【分析】（1）连接交于，过作的平行线义于，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求二面角的平面角的余弦值；
（2）设，利用向量示表示出点到平面的距离可求的值，从而确定的位置．
【详解】（1）连接AC交BD于O，过O作PD的平行线，
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
则，，
设平面BDT的一个法向量
则，则，
∴平面BDT的一个法向量为
又PD⊥平面是平面BDC的一个法向量
∴，又由图可知二面角为钝角，
∴二面角的平面角的余弦值为；
（2）设，则
∴，
则点M到平面TBD的距离为，
解得
故点M的坐标为，即M为PC的中点.
【变式3-1】3．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）如图，在四面体中，．点为棱上的点，且，三棱锥的体积为．
(1)求点A到平面的距离；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）取中点，连接，由题意证明平面平面，说明在面上的射影为F，从而建立空间直角坐标系，利用空间距离的向量求法求得答案；
（2）求出平面与平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案.
【详解】（1）取中点，连接，因为，所以，
又平面，
所以平面，而平面，所以，
由已知，所以，
由平面平面，得平面平面，
因此在平面内的射影就是直线，
设在面的射影为，则在直线上，
由题意知,则,
所以，
所以，又因为，所以与重合，所以平面，
以为原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以点坐标为，
．
设平面的一个法向量是，
则，取，则，即，
所以点A到平面的距离．
（2）设平面的法向量为，
则，取，则，
故，
所以，
由于平面与平面夹角范围为，
所以平面与平面夹角的余弦值是．
【变式3-1】4.（2023春·甘肃白银·高二校考阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且.
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成角的余弦值；
(3)若棱上一点，满足，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）如图，以为原点，分别以，为轴，轴，过作平行线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）如图，以为原点，分别以，为轴，轴，过作平行线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，因为，所以，
所以，即，
所以，，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
平面的法向量为，则，
令，则，所以，
所以，所以，
所以平面平面.
（2）易知平面的一个法向量，
设平面与平面所成角为，则，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
（3）因为棱上一点，满足，所以，
所以，
所以点到平面的距离.
【变式3-1】5．（2023春·江西赣州·高二江西省寻乌中学校考阶段练习）如图，设在直三棱柱中，，，E，F依次为的中点．
(1)求异面直线、EF所成角的余弦值；
(2)求点到平面AEF的距离．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据给定的几何体，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出异面直线夹角余弦作答.
（2）由（1）中坐标系，利用空间向量求出点到平面的距离作答.
【详解】（1）在直三棱柱中，，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，，
所以异面直线所成角的余弦值为．
（2）设平面AEF的一个法向量为，而，
则，令，得，又，
于是．
所以点到平面AEF的距离为．
【变式3-1】6．（2023秋·重庆长寿·高二统考期末）如图，已知平面，底面为矩形，，，、分别为、的中点．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取线段的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离.
【详解】（1）证明：取中点，连接、，
因为、分别为、的中点，则且，
因为四边形为矩形，则且，
因为为的中点，所以，且，
所以，且，故四边形为平行四边形，故，
因为平面，平面，因此，平面.
（2）解：因为平面，底面为矩形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设平面的法向量为，，，
则，令，可得，
因为，故点到平面的距离为.
题型4用向量法求线面距
【方法总结】求直线与平面间的距离，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以求解最为简单为准则，求直线到平面的距离的题目不多，因直线到平面的距离可以用点到平面的距离求解，但在求点到平面的距离时有时用直线到平面的距离进行过渡.
【例题4】（2021·高二课时练习）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，E，F分别为CC1，AA1的中点．
（1）求证：D1F∥平面BDE；
（2）求直线D1E与平面BDE所成角的正弦值；
（3）求直线D1F与平面BDE之间的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）推导出D1F∥BE，由此能证明D1F∥平面BDE；
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线D1E与平面BDE所成角的正弦值；
（3）由D1F∥平面BDE，（0，0，2），平面DBE的法向量（1，﹣1，1），利用向量法能求出直线D1F与平面BDE之间的距离．
【详解】解：（1）∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，
AA1＝2，E，F分别为CC1，AA1的中点．
∴D1F∥BE，
∵D1F 平面BDE，BE 平面BDE，
∴D1F∥平面BDE；
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
则D1（0，0，2），F（1，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0），E（0，1，1），
（0，1，﹣1），（1，1，0），（0，1，1），
设平面DBE的法向量（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，﹣1，1），
设直线D1E与平面BDE所成角为，
则sin ．
∴直线D1E与平面BDE所成角的正弦值为．
（3）∵D1F∥平面BDE，（0，0，2），平面DBE的法向量（1，﹣1，1），
∴直线D1F与平面BDE之间的距离为：
d．
【变式4-1】1．如图，在多面体中，侧面为矩形，平面，平面.
(1)求证： 平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求直线到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）先证明平面，进而证明，从而根据线面平行的判定定理证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标和相关向量坐标，求出平面的法向量，根据空间向量的夹角公式即可求得直线与平面所成角的正弦值；
（3）结合（2）的结果，利用空间距离的向量求法，先求点到平面的距离，即可求得直线到平面的距离.
【详解】（1）证明：由题意平面，平面,故平面平面，
又侧面为矩形，故,
而平面,平面平面，
所以平面，又平面，
所以 ,而平面，平面，
故 平面.
（2）因为平面，平面，故 ，
而平面，
故以A为坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为,
则,
则,
设平面的法向量为 ，则,
即，令，则，
设直线与平面所成角为，
则.
（3）因为侧面为矩形，所以,
而平面,平面,故 平面，
则直线到平面的距离即为点到平面的距离，
，平面的法向量为，
故点到平面的距离为 ,
即直线到平面的距离为.
【变式4-1】2．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面平面ABCD，，，是棱的中点.
(1)求证：平面ACQ；
(2)求直线PB到平面ACQ的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接BD交AC于O，连接，首先根据三角形中位线证明，然后根据线面平行的判定定理即可证明平面；
（2）由于（1）可知由于平面ACQ，则PB到平面ACQ的距离，即B到平面ACQ的距离，然后建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式进行求解即可.
【详解】（1）连接BD交AC于O，连接，
因为底面ABCD为正方形，所以O为BD的中点，
因为Q为PD中点，所以，
因为平面，平面，所以平面；
（2）因为平面平面，平面PAD∩平面，
，所以平面，所以，
故AB、AD、AP两两垂直，以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示，
，，，，
设平面的法向量为，
所以，故可设，
由于平面ACQ，则PB到平面ACQ的距离，即B到平面ACQ的距离.
，B到平面的距离为.
即直线PB到平面的距离为.
【变式4-1】3．如图，在正四棱锥中，O为底面中心，，，M为PO的中点，.
(1)求证： 平面EAC；
(2)求：（i）直线DM到平面EAC的距离；
（ii）求直线MA与平面EAC所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）；（ii）
【分析】(1)建立空间直角坐标系，求出平面EAC的法向量与，即可判断出线面的位置关系.(2)利用第一问的法向量，与平行关系，用点到平面的距离公式可求得，（ii）平面EAC法向量由(1)可得，写出代入公式即可求得.
【详解】（1）证明：连接BD，则O是BD的中点，且.
在正四棱锥中，平面ABCD，，，所以，，以点O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，，，
，，，
设平面EAC的法同量，则,即，取，得，
∵，∴，∵DM在平面EAC外，∴平面EAC.
（2）（i），∴直线DM到平面EAC的距高.
（ii），则，
∴直线MA与平面EAC所成角的正弦值为.
【变式4-1】4.（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，为边的中点，异面直线与所成的角为.
(1)在直线上找一点，使得直线平面，并求的值；
(2)若直线到平面的距离为，求平面与平面夹角的正弦值.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量垂直充要条件列出等式，解之即可求得的值；
（2）先由直线到平面的距离为求得的长度，再利用平面与平面法向量的夹角公式去求平面与平面夹角的正弦值.
【详解】（1）在四棱锥中，，异面直线与所成的角为.
即,又为两相交直线，则平面
取PD中点F，连接EF，又，则，则平面
又四边形中，，
则，则三直线两两互相垂直
以E为原点，分别以ED、EB、EF所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图：
设，则，， ，，
，，,
设平面PBE的一个法向量为，
则，即，令，则，则
设，则
由直线平面，可得，即
则，解之得，则，又，则
（2）由直线到平面的距离为，得点C到平面的距离为，
又，为平面PBE的一个法向量
则，即，解之得，
则，，
设平面的一个法向量为，又
则，即，令，则，则
设平面与平面夹角为
则
又，则
题型5用向量法求面面距
【例题5】(多选)（2020秋·辽宁大连·高二大连八中校考期中）已知正方体的棱长为，点分别是，的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．点到直线的距离是
B．点到平面的距离是
C．平面与平面间的距离为
D．点到直线的距离为
【答案】ABCD
【分析】以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建系.利用向量法求解点到直线的距离，点到平面的距离得到选项A，B，C，D正确.
【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，，
，，， ，
所以．
设，则，．
故A到直线的距离，
故选项A正确．
易知，
平面的一个法向量，
则点O到平面的距离，
故选项B正确．
．
设平面的法向量为，
则所以
令，得，
所以．
所以点到平面的距离．
因为平面平面，
所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，
所以平面与平面间的距离为.
故选项C正确．
因为，所以，
又，则，
所以点P到的距离.
故选项D正确．
故选：ABCD.
【变式5-1】1.（多选）（2023·江苏·高二专题练习）（多选）已知正方体的棱长为1，点E、O分别是、的中点，P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．点A到直线的距离是 B．点O到平面的距离为
C．平面与平面间的距离为 D．点P到直线的距离为
【答案】BC
【分析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用直线的方向向量和平面的法向量结合空间向量数量积求得各个选项的距离，得出结论.
【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，，
，，， ，
所以．
设，则，．
故A到直线的距离，故A错．
易知，
平面的一个法向量，
则点O到平面的距离，故B对．
．
设平面的法向量为，
则所以
令，得，
所以．
所以点到平面的距离．
因为平面平面，
所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，
所以平面与平面间的距离为，故C对．
因为，所以，
又，则，
所以点P到的距离，故D错．
故选：BC.
【点睛】本题主要考查利用空间向量求点线、点面、面面距离，意在考查学生的数学运算的学科素养，属中档题.线面距、面面距实质上都是点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行.
【变式5-1】2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，、、分别是、、的中点．求：
(1)直线与平面的距离；
(2)平面与平面的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）证明出平面平面，可得出平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面的距离；
（2）利用空间向量法可求得平面与平面的距离．
【详解】（1）解：因为平面，四边形为正方形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
因为、分别为、的中点，则，
平面，平面，平面，
因为且，、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面，
，、平面，平面平面，
平面，平面，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，，
所以，直线与平面的距离为.
（2）解：因为平面平面，则平面与平面的距离为.
【变式5-1】3.（2022·高二课时练习）如图所示的多面体是底面为ABCD的长方体被平面所截而得的，其中，，，.
（1）求点C到平面的距离；
（2）设过点平行于平面的平面为，求平面与平面之间的距离.
【答案】（1）； （2）.
【分析】（1）由题意，以为原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，设，根据为平行四边形，得到，求得，得到，求得平面的法向量为，又由，结合距离公式，即可求解；
（2）由（1）知平面的一个法向量为，又由，求得点到平面的距离，进而求得平面与平面之间的距离.
【详解】（1）由题意，以为原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示，
可得，
设，因为为平行四边形，可得，
即，所以，即，
则，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
又由，
所以点到平面的距离为.
（2）由（1）知平面的一个法向量为，
又由，可得点到平面的距离为，
因为过点平行于平面的平面为，
所以平面与平面之间的距离等于但到平面的距离，
即平面与平面之间的距离.
【变式5-1】4.（2022·高二单元测试）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，点M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，
（1）证明：平面AMN∥平面EFBD；
（2）求平面AMN与平面EFBD间的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）如图所示，建立空间直角坐标系，证明，，即可得EF∥MN，AM∥BF，从而可证MN∥平面EFBD，AM∥平面EFBD，再利用面面平行的判定定理即可得证；
（2）因为平面AMN∥平面EFBD，所以点B到平面AMN的距离即为平面AMN与平面EFBD间的距离，求出平面AMN的法向量，从而可求的答案.
【详解】（1）证明：如图所示，建立空间直角坐标系，
则A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，
E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4)．
从而＝(2，2，0)，＝(2，2，0)，＝(－2，0，4)，＝(－2，0，4)，
所以，，所以EF∥MN，AM∥BF．
又平面EFBD，平面EFBD，所以MN∥平面EFBD，
平面EFBD，平面EFBD，所以AM∥平面EFBD，
因为MN∩AM＝M，
所以平面AMN∥平面EFBD；
（2）解：因为平面AMN∥平面EFBD，
所以点B到平面AMN的距离即为平面AMN与平面EFBD间的距离．
设是平面AMN的法向量，
则有即，可取，
由于＝(0，4，0)，
所以点B到平面AMN的距离为，
所以平面AMN与平面EFBD间的距离为．
【变式5-1】5.（2018秋·安徽合肥·高二合肥一六八中学校考期末）如图，四棱锥中，底面为梯形，底面，，过A作一个平面使得平面.
(1)求平面将四棱锥分成两部分几何体的体积之比；
(2)若平面与平面之间的距离为，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）先由面面平行的性质定理得到，，进而证得分别是的中点，再根据棱锥的体积公式可得，从而可得平面将四棱锥分成两部分几何体的体积之比；
（2）建立空间直角坐标系如图2，设的长为，先由面面距离利用空间向量的数量积可求得，再利用空间向量夹角余弦公式可得直线与平面所成角的正弦值.
（1）
如图1，记平面与直线的交点分别为，则面为平面，
因为面面，面面，面面，
所以，同理，
又，即，所以四边形是平行四边形，故，
又，故是的中点，
由中位线定理的推论，可知是的中点，
由条件易得，，，
由底面，得，，所以，
故平面将四棱锥分成两部分几何体的体积之比为.
.
（2）
由两两垂直，建立空间直角坐标系如图2，记的长为，则，
则，，，
设平面的法向量，则有，即，得，
取得平面的法向量，
由条件易知点到平面距离为，即，解得或（负值舍去），即，
所以，
故直线与平面所成角满足.
.
【点睛】本题主要考查棱锥的体积公式以及利用空间向量线面角，空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
【变式5-1】6.（2023·全国·高三专题练习）底面为菱形的直棱柱中，分别为棱的中点.
(1)在图中作一个平面，使得，且平面.（不必给出证明过程，只要求作出与直棱柱的截面）；
(2)若，求平面与平面的距离.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，则平面即为所求平面.（2）连接,交于，则，分别以所在的直线为轴，为原点建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法求出平面与平面的距离.
（1）
如图，取的中点，连接，则平面即为所求平面.
证明：由,平面，平面，可得平面.
由，平面，平面，可得平面.
,平面，平面,故可得平面平面，即平面.
（2）
如图，连接,交于，
在直棱柱中，底面为菱形，
，
分别以所在的直线为轴，为原点建立如图所示空间直角坐标系，
又所有棱长为2，
，
，，
设是平面的一个法向量，则，即
令得，，
点到平面的距离，
平面与平面的距离.
题型6线线距离
【例题6】在三棱锥中，，，.记的中点为，的中点为，则异面直线与的距离为______.
【答案】
【分析】将三棱锥补成正六面体为利用勾股定理求解长、宽、高，再建立直接坐标系后，求出和的法向量，便可求得直线与的距离.
【详解】解：三棱锥的三组对棱分别相等，因此三棱锥的外接平行六面体为长方体，将三棱锥放在长方体中，设长方体的长、宽、高分别为，，，且即解得
因此以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，.
，.
设垂直于和，所以
令，则，，所以.
又，所以异面直线与的距离.
故答案为：
【变式6-1】1．（2023秋·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校联考期末）如图①菱形，．沿着将折起到，使得，如图②所示．
(1)求异面直线与所成的角的余弦值；
(2)求异面直线与之间的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据折叠前后的几何性质，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算得异面直线与所成的角的余弦值；
（2）根据空间向量求直线与公垂线的方向向量，再结合空间向量坐标运算即可得异面直线与之间的距离．
【详解】（1）图①菱形，，由余弦定理得，所以，
所以，即，又，所以，
在图②中，，即，又平面
所以平面，即平面，
又平面，所以，如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，故，
则异面直线与所成的角的余弦值为；
（2）由（1）得，设是异面直线与公垂线的方向向量，
所以，令，则
所以异面直线与之间的距离为.
【变式6-1】2．（2023春·江西·高二校联考开学考试）如图，直三棱柱的体积为4，D为的中点，E为底边上的动点，的面积为.
(1)求点到平面的距离；
(2)若，平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，求异面直线、间的距离.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由已知可推得.结合，即可得出；
（2）取中点为，可得平面，进而可证平面.然后根据已知可求得，.以点为坐标原点建系，设，根据已知写出点的坐标，得出平面与平面的法向量，根据已知求出，即为的中点.将平面扩展为平面，进而通过证明平面，可将求异面直线、间的距离，转化为求点到平面的距离.
【详解】（1）设点到平面的距离.
由三棱柱的性质可知，平面，，
所以，点到平面的距离等于点到平面的距离，
所以，.
由已知可得，，
所以，，所以.
又，即，所以.
（2）取中点为，连结.
因为，D为的中点，所以.又为的中点，所以.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，因为平面，所以.
又由直三棱柱的性质可得，，，平面，平面，
所以，平面，又平面，平面，所以，.
设，，则，，
则，.
则由已知可得，，解得.
以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，如图建立空间直角坐标系.
设 ，则，，，，，，，
所以，，，，，
所以，所以.
设是平面的一个法向量，则，取，则，，
所以，是平面的一个法向量.
设是平面的一个法向量，则，取，则，，
所以，是平面的一个法向量.
又平面与平面的夹角的余弦值为，所以，即，
整理可得，解得或（舍去），
所以，所以，即为的中点，.
如图，延长至点，使得，延长至点，使得.
连结、、.
因为分别是、的中点，所以.
由三棱柱的性质可得，，.
又，，所以，且，
所以，四边形是平行四边形，
所以，所以.
因为，平面，平面，
所以，平面.又平面，
所以与平面之间的距离，即为异面直线、间的距离.
由已知可得，，则，.
设是平面的一个法向量，则，取，则，，
所以，.又，
所以，点到平面的距离，
所以，直线到平面的距离即为，即异面直线、间的距离即为.
【点睛】方法点睛：求异面直线之间的距离，可以先通过证明其中一条直线平行于过另一直线的平面，然后转化为求直线到平面的距离，最终转化为求点到平面的距离.
【变式6-1】3．（2023·全国·高三专题练习）已知直三棱柱中，侧面为正方形.，E，F分别为AC和的中点，.
(1)求四棱锥的体积；
(2)是否存在点D在直线上，使得异面直线BF，DE的距离为1 若存在，求出此时线段DE的长；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)1
(2)存在，或
【分析】（1）找到四棱锥的高，利用四棱锥体积公式求出体积；
（2）根据题目中的条件建立空间直角坐标系，表达出与，均垂直的向量，进而利用异面直线BF，DE的距离为1建立等式求出a.
【详解】（1）
∵侧面为正方形，∴，
又，且，面，
∴平面，又，
∴平面，取BC中点G，
则，∴平面.
∴.
（2）以为原点，分别以BA，BC，所在直线建立空间直角坐标系，如图，
则，，，
设，则，，.
设与，均垂直的向量为，
则，即，取，
∴异面直线BF，DE的距离，解得或.
∴或.
故存在点D在直线上，使得异面直线BF，DE的距离为1，且此时或.
【变式6-1】4.（2021·高二课时练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，E是AB上一点，.已知，，.
（1）求直线AD与平面PBC间的距离；
（2）求异面直线EC与PB间的距离；
（3）求点B到平面PEC的距离.
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设，，根据得到，再利用向量法求解直线AD与平面PBC间的距离即可.
（2）利用向量法求解异面直线EC与PB间的距离即可.
（3）利用向量法求解求点B到平面PEC的距离即可.
【详解】（1）由题知：以为原点，，，分别为，，轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
设，，由题知：，，，
，.
因为，所以，解得.
即，，，.
设平面的法向量，
则，令得.
又因为，
所以直线与平面间的距离.
（2）设，满足设，，
因为，，
所以 ，令，得，
又因为，
所以异面直线EC与PB间的距离.
（3）设平面的法向量，，，
所以，令，得，
又因为，
所以点B到平面PEC的距离.
【变式6-1】5.（2021秋·山东济宁·高二济宁市兖州区第一中学校考阶段练习）如图，在三棱锥，，，E，F分别为AB，SC的中点．
（1）求直线BF与平面ABC所成角的正弦值；
（2）给出以下定义：与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，公垂线被这两条异面直线截取的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．根据以上定义可知，公垂线段的长度也可以看作是两条异面直线上任意两点连线的方向向量在公垂线的方向向量上的投影向量的长度．
请根据以上定义和理解，求异面直线SE，BF的距离d．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）连接EF，EC，由题意可证得平面SEC，平面ABF，作平面ABF，分别以EB，EF，EG为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可，
（2）利用空间向量求解，先求出异面直线SE，BF的公垂线的方向向量，然后利用数量积的几何意义求解即可
【详解】解：（1）连接EF，EC，由题知，SE是等腰三角形SAB底边AB上的中线，
∴．
同理，．∴平面SEC，∴．
同理，平面ABF．
作平面ABF，分别以EB，EF，EG为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
由题知，，，
∴，，，，，．
设是平面ABC的法向量，则，
即，取．
，
∴直线BF与平面ABC所成角的正弦值为．
（2）设是异面直线SE，BF的公垂线的方向向量，
由，同（1）可求得．
由题知，异面直线SE，BF的距离等于在方向上的投影向量的长度，即
．
∴异面直线SE，BF的距离．
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