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1.1.1空间向量的数量积（2）——题型·技巧攻略
题型1数量积的概念 3
题型2数量积的运算 6
题型3利用空间向量的数量积求夹角 12
题型4利用空间向量的数量积求距离(线段长度) 18
题型5投影向量 25
题型6最值与范围问题 30
知识点一.空间两个向量的夹角
夹角
定义 a,b是空间两个向量，过空间任意一点O，作a，b,∠AOB=（0≤π）叫做向量a,b的夹角。
图示
表示 〈a,b〉.
范围 [0,π]
2.空间两个向量的关系
（1）若〈a,b〉=0,则向量a,b方向相同;
（2）若〈a,b〉=π,则向量a,b方向 相反;
（3）若〈a,b〉=,则向量a,b 互相垂直，记作a⊥b
知识点二.空间两个向量的数量积
空间向量的数量积的定义
定义 已知两个非零向量a,b,则 |a||b|cos〈a,b〉 叫做a,b的数量积,记作 a·b .即a·b=|a||b|cos〈a,b〉.
规定 零向量与任意向量的数量积为 0
2.空间向量数量积的运算律
交换律 a·b= b·a
结合律 (λa)·b=⑩ λ(a·b) ,λ∈R
分配律 a·(b+c)= a·b+a·c
3.空间向量数量积的性质
①若a,b为非零向量,则a⊥b a·b=0 ;
②若a,b同向，a·b=|a||b|；若a,b反向，a·b=-|a||b|；特别的，a·a=|a|2，或|a|=
③若为a,b的夹角，则
④|a·b|≤|a||b|
4.与数量积有关的2个易错点
①两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零.
②向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即ab=acb=c，（a·b）·c=a·（b·c）都不成立.
知识点三.向量的投影
（1）向量在向量上的投影向量
①定义：对于空间任意两个非零向量a，b，设向量=a，=b，如图，过点A作AA1⊥0B，垂足为A1.上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量.
②几何意义：向量a，b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积，即a·b=b
（2）向量在平面上的投影向量
①定义：设向量m=，过C，D分别作平面α的垂线，垂足分别为C1，D1，得向量.我们将上述由向量m得到向量的变换称为向量m向平面α投影，向量称为向量 m 在平面α上的投影向量.
②几何意义：空间向量m，n的数量积就是向量m在平面α上的投影向量与向量n的数量积，即mn=n
【方法总结】空间向量数量积的注意点 结果：两个向量的数量积，其结果是一个实数，而不是一个向量，它的符号取决于两向量的夹角的余弦值的符号. （2）零向量：空间向量数量积对于a，b是零向量时的情况仍然成立，即零向量与任何向量的数量积均为零. （3）运算律：数量积不满足结合律
题型1数量积的概念
【例题1】设，，都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查空间向量加减法和数量积的运算律，根据运算律判断即可．
【详解】由向量加法的结合律知A项正确；由向量数量积的运算律知B项、D项正确；C项若，不共线且不垂直，则，故C不一定正确．
故选：C.
【变式1-1】1．对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ）
A．若且，则 B．
C．若，且，则 D．
【答案】B
【分析】根据空间向量共线的定义判断A，由数量积的运算律判断BCD．
【详解】若，则由且，不能得出，A错；
由数量积对向量加法的分配律知B正确；
若，则，当时就成立，不一定有，C错；
是与平行的向量，是与平行的向量，它们一般不相等，D错．
故选：B．
【变式1-1】2．（多选）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据空间向量数量积的定义与运算律一一判断即可；
【详解】解：对于A：，故A正确；
对于B：因为向量不能做除法，即无意义，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确；
故选：AD
【变式1-1】3．（多选）下列四个结论正确的有 （ ）
A．对于任意两个向量，若，则或或
B．若空间中点 满足，则三点共线
C．空间中任意三个向量 都满足
D．对于任意两个向量， 都有
【答案】AB
【分析】对选项A，根据得到或或，即可判断A正确，对选项B，根据题意得到和为公共点，即可判断B正确，对选项C，利用特殊向量即可判断C错误，对选项D，根据即可判断D错误.
【详解】对选项A，若，则或或，故A正确.
对选项B，因为，
所以，
所以，
又因为为公共点，所以三点共线，故B正确.
对选项C，若为空间向量中的单位向量，且夹角为，
的夹角为，
则，，，故C错误.
对选项D，因为，
当时，，故D错误.
故选：AB
【变式1-1】4．（多选）定义空间两个非零向量的一种运算：，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ）
A． B．
C．若，则 D．
【答案】BD
【分析】理解新定义，对选项逐一判断
【详解】对于A，若为负数，可知，故A错误，
对于B，由定义知B正确，
对于C，若，则，共线，故C错误，
对于D，由定义知，故D正确．
故选：BD
题型2数量积的运算
【方法总结】 （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号所决定. （2）两个向量的数量积写成；今后要学到两个向量的外积x，而ab是两个数的积，书写时要严格区分. （3）在数量积中，若 ，且，不能推出（），因为其中cosθ有可能为0. （4）在实数中，有（axb）c=a（bxc），但是（）=（）
【例题2】（2023·全国·高三对口高考）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是、的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的线性运算运算律可得，在根据数量积的定义求其值.
【详解】由题意，和之间夹角均为，结合平面向量线性运算有
故选：C
【变式2-1】1．（河南省新乡市2022-2023学年高二上学期期末数学试题）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【分析】连接，将待求表达式转化进行运算简化.
【详解】
连接，由棱柱性质，侧棱平面，平面，则，
故，又，
.
故选：C
【变式2-1】2．（2023·山东·校联考模拟预测）定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】根据题中条件确定，设底面△ABD的中心为O，则CO⊥平面ABD，可求得，又的方向与相同，代入计算可得答案．
【详解】，
，
设底面△ABD的中心为O，连接CO，AO，则OC⊥平面ABD，
又AO，AB，AD 平面ABD，故OC⊥AO， OC⊥AB，OC⊥AD，
，，
在中，，
则，又的方向与相同，
所以．
故选：A．
【变式2-1】3．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知点P在棱长为2的正方体的表面上运动，则的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】取中点，连接，利用向量的线性运算及数量积的运算性质可得.
【详解】取中点，连接，如图，
则，
当在正方体表面上运动时，运动到或处时，最大，
所以,
所以的最大值为8.
故选：C
【变式2-1】4．(多选)（2023春·江苏·高二校联考阶段练习）在自然界中，金刚石是天然存在的最硬的物质．如图1，这是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示．这就是说，图2中有AE＝BE＝CE＝DE，若正四面体ABCD的棱长为4，则（ ）
A．＝ B．＋＋＋
C．＝0 D．＝8
【答案】BCD
【分析】由题意得是正四面体ABCD外接球的球心．设点是顶点在底面的射影，取CD的中点G，AB的中点F，求得，，，由可判断A；求得，结合，，可判断B；由AE⊥BC可判断C；求出，进而求得，可判断D．
【详解】由题意得是正四面体ABCD外接球的球心．
设点是顶点在底面的射影，则AO是正四面体ABCD的高，OB是的外接圆半径，
取CD的中点G，AB的中点F，连接BG，GF，则O在BG上，E在FG上，
则，，
因为，即，
则，解得．
对于A，，故A错误；
对于B，因为AG＝BG＝，FG⊥AB，EG⊥CD，
所以，，
则，又，，则，
所以 ，故B正确；
对于C，因为AE⊥底面BCD，CD 底面BCD，所以AE⊥BC，所以＝0，故C正确；
对于D，因为，
所以，故D正确．
故选：BCD.
【变式2-1】5.（2022秋·江西·高二校联考阶段练习）如图，球为长方体内能放入的体积最大的球，是球的一条直径，为该长方体表面上的动点，且，则的最大值为________.
【答案】10
【分析】根据空间向量的加法运算和数量积的运算律求解.
【详解】根据题意，球的半径为1，
当球与平面相切，点为四边形顶点时，
取得最大值，所以，
故答案为:10.
题型3利用空间向量的数量积求夹角
【方法总结】 （1）两异面直线所成角的范围是（0，]，两个向量的夹角范围是[0，π]，利用向量数量积求异面直线所成的角时，要注意角度的转化； （2）利用数量积求直线夹角或余弦值的方法 ①取向量:根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量 ②角转化:异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题 ③求余弦值:利用数量积求余弦值或角的大小 ④定结果:异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量的夹角求余弦值应将余弦值加上绝对值，继而求角的大小
【例题3】（2023·全国·高三对口高考）在三棱锥中，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】B
【分析】根据题意得，利用空间向量的运算推导出，即可得出结果．
【详解】∵，∴，
∴，∴
∴，∴，
∴，∴，
则与的夹角为．
故选：B．
【变式3-1】1．（2023春·安徽·高二池州市第一中学校联考阶段练习）如图，三棱锥中，、所成的角为，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据数量积的运算律及余弦定理得到 ，再根据数量积的定义求出.
【详解】因为
，
所以.
故选：B.
【变式3-1】2．（多选）如图所示，平行六面体，其中，，，，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．直线AC与直线是相交直线
D．与AC所成角的余弦值为
【答案】AB
【分析】A选项，利用空间向量运算法则得到，平方后，由向量数量积公式求出，求出，A正确；
B选项，求出，，得到B正确；
C选项，作出辅助线，得到四边形为平行四边形，点平面，而点平面，从而得到C错误；
D选项，先得到，，从而求出，，利用空间向量余弦夹角公式求出答案.
【详解】由空间向量运算法则得到：，
所以
，故，A正确；
因为，所以，
故，，B正确；
连接，
因为，且，所以四边形为平行四边形，
点平面，而点平面，故直线AC与直线是异面直线，C错误；
，，，又
，，故，设与AC所成角为，所以故与AC所成角的余弦值为，D错误.
故选：AB
【变式3-1】3．（2020·全国高二课时练习）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为_____________
【答案】
【解析】三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，设棱长为1，
则，，
.
又，，
所以
而，
，
所以.
故答案为：.
【变式3-1】4．（2023春·江苏扬州·高二统考期中）如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为___________.
【答案】
【分析】设,由可得，又，得，利用数量积的运算律可得.
【详解】正三棱锥中，设, 且侧棱长相等，
因为，
所以，又，
所以，
即，
解得，即的余弦值为.
故答案为：
【变式3-1】5.（2020·全国高二课时练习）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．
（1）设，，，用向量，，表示，并求出的长度；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】（1）；；（2）.
【解析】
解：（1），
又，
同理可得，
则．
（2）因为，
所以，
因为，
所以．
则异面直线与所成角的余弦值为．
题型4利用空间向量的数量积求距离(线段长度)
【方法总结】 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化 为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式||=求解即可．特别注意准确求解已知两向量之间的夹角大小.
【例题4】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）如图，平行六面体中，，，，，则线段的长为______.
【答案】1
【分析】根据空间向量的数量积运算律求解即可.
【详解】由题可得, ，,
所以,且,
因为,
所以
，
所以，
故答案为:1.
【变式4-1】1．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知，，均为空间单位向量，它们之间的夹角均为，那么（ ）
A．2 B．
C． D．6
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律、垂直关系的向量表示求解作答.
【详解】因为，，均为空间单位向量，它们之间的夹角均为，，
所以
.
故选：C
【变式4-1】2．（2023春·福建宁德·高二校联考期中）如图，在平行六面体中，，，，，E为中点，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】空间向量，平方求模长即可求解.
【详解】由，两边平方得：
.
所以.
故选：A.
【变式4-1】3．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）如图，二面角的大小为，四边形、都是边长为的正方形，则、两点间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用二面角的定义可得出，由空间向量的线性运算可得出，利用空间向量数量积的运算性质可求得，即为所求.
【详解】因为四边形、都是边长为的正方形，则，，
又因为二面角的大小为，即，则，
因为，由图易知，，
所以，
.
故选：C.
【变式4-1】4．（多选）（2023·湖北武汉·湖北省武昌实验中学校考模拟预测）如图，在棱长为2的正四面体中，、分别为、上的动点（不包含端点），为的中点，则下列结论正确的有（ ）
A．的最小值为；
B．的最小值为；
C．若四棱锥的体积为，则的取值范围是
D．若，则
【答案】BC
【分析】A将平面PAC和平面BAC沿AC边展开为平面四边形PABC即可求解；
B设，又有△△易得DF⊥PC，根据勾股定理即可求解；
C由得，又得又得，再利用余弦定理及均值不等式即可求的取值范围；
D由即可求解.
【详解】A：如下展开图，为的中点，易知，
则，又D,E不能是端点，故，没有最小值，错误；
B：设，又有△△，所以，
连接DF，则有DF⊥PC，故，正确；
C：设等边△ABC的中心为O，连接PO，
易知PO⊥平面ABC，则，为的中点，
所以得：，
所以，又，
则有，又，可得，
所以，结合对勾函数性质可得，正确；
D：设，，解得或1，即或1，错误；
故选：BC.
【变式4-1】5.（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）正四面体的棱长为4，中心为点，则以为球心，1为半径的球面上任意一点与该正四面体各顶点间的距离的平方和：__________.
【答案】28
【分析】将正四面体放入正方体中，利用向量的线性运算可得，同理可得到 ，取的中点，可得到，即可求出答案
【详解】因为正四面体的棱长为4，故可将其放入棱长为的正方体中，如图所示，
由题意可得 ,
同理可得 ,
,
,
取的中点，
则，
所以 ，
所以，
故答案为：28
【变式4-1】6．己知二面角为，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面内，，且，设：．
(1)试用表示，并求线段CD的长；
(2)求：异面直线CD与BA所夹角的余弦值．
【答案】(1)；；(2).
【分析】（1）由已知结合空间向量加法可得，再根据向量模长和数量积的关系可求得CD的长；
（2）利用空间向量加法表示，再利用数量积公式求得向量夹角.
（1），利用空间向量加法可得；
由已知二面角为，A，B是棱l上的两点，，
所以，，，
，
所以线段CD的长为.
（2），，
，又异面直线夹角范围是，所以异面直线CD与BA所夹角的余弦值.
题型5投影向量
【方法总结】 类比平面向量投影的概念，借助图形，叙述作出向量 在轴l上投影（空间称为射影）的过程. 已知图形向量，l为轴，向量是l上与轴l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A’,作点B在l上的射影B’，则称为向量在轴l上或在的方向上的正射影；可以证明A’B’=||cos<,>。 zhuyi注意：轴l上的正射影对应的数值A’B’是一个可正可负可零的实数，它的符号代表向量 与l的方向的对应关系，大小代表在l上射影的长度.
【例题5】（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意和投影向量的概念计算即可求解.
【详解】 ，，与夹角的余弦值为，
在上的投影向量为
.
故选：D．
【变式5-1】1．（2023·全国·高二专题练习）在棱长为 的正方体 中，向量 在向量 方向上的投影向量的模是______．
【答案】
【分析】由正方体的性质可得向量与向量夹角为，先求出的值，进而可得答案.
【详解】棱长为的正方体中向量与向量夹角为，
所以
向量 在向量 方向上的投影向量是
向量 在向量 方向上的投影向量的模是，
故答案为：
【变式5-1】2．（2023·全国·高二专题练习）如图，已知 平面 ， ， ，则向量 在 上的投影向量等于____.
【答案】
【分析】先求出，再根据投影向量的公式计算即可.
【详解】平面，
则，
向量在上的投影向量为
故答案为：.
【变式5-1】3．（2022·全国·高三专题练习）在标准正交基下，已知向量 ，，则向量在上的投影为______，在上的投影之积为______．
【答案】 -12 56
【分析】根据向量的加法求得，即可得在，，上的投影分别为-12，8，7，即可得答案.
【详解】解： 易得，
所以在，，上的投影分别为-12，8，7，
其在，上的投影之积为．
故答案为：-12；56.
【变式5-1】4．（2022·全国·高三专题练习）如图，在长方体中，已知，，，分别求向量在、、方向上的投影数量．
【答案】向量在、、方向上的投影数量分别为、、.
【分析】分析可得，利用投影数量公式可求得向量在、、方向上的投影数量.
【详解】解：非零向量在非零向量方向上的投影数量为，
由空间向量的平行六面体法则可得，
在长方体中，，
因此，向量在方向上的投影数量为，
向量在方向上的投影数量为，
向量在方向上的投影数量为.
【变式5-1】5．（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥中，平面，，，．
(1)确定在平面上的投影向量，并求；
(2)确定在上的投影向量，并求．
【答案】(1)在平面上的投影向量为，；
(2)在上的投影向量为，.
【分析】（1）根据平面可得在平面上的投影向量，由空间向量的线性运算以及数量积的定义计算的值即可求解；
（2）由投影向量的定义可得在上的投影向量，由数量积的几何意义可得的值.
【详解】（1）因为平面，所以在平面上的投影向量为，
因为平面，面，可得，所以，
因为，所以，
所以
.
（2）由（1）知：，，
所以在上的投影向量为：
，
由数量积的几何意义可得：.
题型6最值与范围问题
【例题6】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知，，是空间中两两不同的三个单位向量，且．则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据向量数量积的定义可设，且，再根据的范围得到关于的不等式，解出即可.
【详解】由题意得，
即，
由题意,可设.则
因为，，是空间中两两不同的三个单位向量，故，即，
则有.
则，即，
于是，即，解得.
而，所以的取值范围是.
故答案为：.
【变式6-1】1.（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期中）在三棱锥中，已知，且，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】以，，为基底，根据已知列方程，结合重要不等式可解.
【详解】设，，，∵，
∴ ，
又∵，∴，
∴，
∴，当且仅当时，等号成立，即的最小值是．
故选：B
【变式6-1】2.（2023秋·山东菏泽·高二统考期末）在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出正方体的外接球的半径，可得出，求出的取值范围，进而可求得的取值范围.
【详解】设正方体的外接球的球心为，设球的半径为，
则，可得，所以，，
，
当点与正方体的侧面或底面垂直时，的长取最小值，即，
当点与正方体的顶点重合时，的长取最大值，即，
所以，，所以，.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量数量积取值范围的求解，注意到为的中点，结合向量数量积的运算性质得出，将问题转化为求的取值范围，进而求解.
【变式6-1】3.（2022秋·福建·高二校联考期中）已知正四面体的棱长为6，P是四面体外接球的球面上任意一点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，求得该正四面体的外接球的半径，进而得 ，再根据求解即可.
【详解】如图，设分别为正四面体棱中点，
作平面，垂足为，
所以，由正四面体的性质知三点共线，且，且其外接球的球心在上，记为，
因为正四面体的棱长为6，
所以，，
设四面体外接球的半径为，即，
所以，，即，解得，
所以，，
因为P是四面体外接球的球面上任意一点，
所以，
因为，
，
所以
，
因为，
所以
故选：B
【点睛】方法点睛：对于立体几何的外接球问题，通常处理方法为，找到球心在某个特殊平面上的投影，进而找到球心的位置，设出未知数，根据半径相等列出方程，求出半径，从而求出表面积或体积.
【变式6-1】4.（2022秋·贵州·高二统考期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面ACD，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG，则，，根据面面平行的判定定理可得平面平面，由线面垂直的判定定理可得平面，进而有，，结合空间向量的数量积运算即可求解.
【详解】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG.
易得，，
因为平面，平面，，，所以平面平面.
因为平面，所以H为线段FG上的点.
由平面，平面，得，
又，则，
由平面，得平面，
因为，所以平面，，.
因为，
所以，.
.
因为，所以.
故选：B.
【变式6-1】5.（2023秋·江西萍乡·高三统考期末）已知球O是棱长为1的正四面体的内切球，AB为球O的一条直径，点P为正四面体表面上的一个动点，则的取值范围为_______________.
【答案】
【分析】利用等体积法求出内切球的半径，以及正四面体中内切球球心到顶点的距离，从而可得，再根据即可求解.
【详解】
如图所示，在边长为1的正四面体中，设四面体内切球球心为，
内切球半径为，取中点为，
则,,所以，
因为，
所以，所以，
因为点P为正四面体表面上的一个动点，
所以，即，
因为,
因为为球O的一条直径，所以,
所以，
因为，所以，
所以，
故答案为: .
【变式6-1】6．（2022·高二课时练习）如图所示，四边形ABCD是矩形，，AB=4，EF=2，和都是边长为2的等边三角形，G是AD上一动点，求FG的长度的范围．
【答案】
【分析】设，利用向量法求得的表达式，结合二次函数的性质求得的取值范围.
【详解】连接AF，过作，交AB于点，如下图所示，易得四边形EFBH为平行四边形，
∵，，∴，
又，，∴，
设，
则 ，
∴
，
当时，取得最小值为；当或1时，取得最大值为，
∴FG的长度的范围是．
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1.1.1空间向量的数量积（2）——题型·技巧攻略
题型1数量积的概念 3
题型2数量积的运算 4
题型3利用空间向量的数量积求夹角 7
题型4利用空间向量的数量积求距离(线段长度) 9
题型5投影向量 12
题型6最值与范围问题 14
知识点一.空间两个向量的夹角
夹角
定义 a,b是空间两个向量，过空间任意一点O，作a，b,∠AOB=（0≤π）叫做向量a,b的夹角。
图示
表示 〈a,b〉.
范围 [0,π]
2.空间两个向量的关系
（1）若〈a,b〉=0,则向量a,b方向相同;
（2）若〈a,b〉=π,则向量a,b方向 相反;
（3）若〈a,b〉=,则向量a,b 互相垂直，记作a⊥b
知识点二.空间两个向量的数量积
空间向量的数量积的定义
定义 已知两个非零向量a,b,则 |a||b|cos〈a,b〉 叫做a,b的数量积,记作 a·b .即a·b=|a||b|cos〈a,b〉.
规定 零向量与任意向量的数量积为 0
2.空间向量数量积的运算律
交换律 a·b= b·a
结合律 (λa)·b=⑩ λ(a·b) ,λ∈R
分配律 a·(b+c)= a·b+a·c
3.空间向量数量积的性质
①若a,b为非零向量,则a⊥b a·b=0 ;
②若a,b同向，a·b=|a||b|；若a,b反向，a·b=-|a||b|；特别的，a·a=|a|2，或|a|=
③若为a,b的夹角，则
④|a·b|≤|a||b|
4.与数量积有关的2个易错点
①两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零.
②向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即ab=acb=c，（a·b）·c=a·（b·c）都不成立.
知识点三.向量的投影
（1）向量在向量上的投影向量
①定义：对于空间任意两个非零向量a，b，设向量=a，=b，如图，过点A作AA1⊥0B，垂足为A1.上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量.
②几何意义：向量a，b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积，即a·b=b
（2）向量在平面上的投影向量
①定义：设向量m=，过C，D分别作平面α的垂线，垂足分别为C1，D1，得向量.我们将上述由向量m得到向量的变换称为向量m向平面α投影，向量称为向量 m 在平面α上的投影向量.
②几何意义：空间向量m，n的数量积就是向量m在平面α上的投影向量与向量n的数量积，即mn=n
【方法总结】空间向量数量积的注意点 结果：两个向量的数量积，其结果是一个实数，而不是一个向量，它的符号取决于两向量的夹角的余弦值的符号. （2）零向量：空间向量数量积对于a，b是零向量时的情况仍然成立，即零向量与任何向量的数量积均为零. （3）运算律：数量积不满足结合律
题型1数量积的概念
【例题1】设，，都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】1．对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ）
A．若且，则 B．
C．若，且，则 D．
【变式1-1】2．（多选）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】3．（多选）下列四个结论正确的有 （ ）
A．对于任意两个向量，若，则或或
B．若空间中点 满足，则三点共线
C．空间中任意三个向量 都满足
D．对于任意两个向量， 都有
【变式1-1】4．（多选）定义空间两个非零向量的一种运算：，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ）
A． B．
C．若，则 D．
题型2数量积的运算
【方法总结】 （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号所决定. （2）两个向量的数量积写成；今后要学到两个向量的外积x，而ab是两个数的积，书写时要严格区分. （3）在数量积中，若 ，且，不能推出（），因为其中cosθ有可能为0. （4）在实数中，有（axb）c=a（bxc），但是（）=（）
【例题2】（2023·全国·高三对口高考）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是、的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】1．（河南省新乡市2022-2023学年高二上学期期末数学试题）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【变式2-1】2．（2023·山东·校联考模拟预测）定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则（ ）
A． B．4 C． D．
【变式2-1】3．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知点P在棱长为2的正方体的表面上运动，则的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式2-1】4．(多选)（2023春·江苏·高二校联考阶段练习）在自然界中，金刚石是天然存在的最硬的物质．如图1，这是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示．这就是说，图2中有AE＝BE＝CE＝DE，若正四面体ABCD的棱长为4，则（ ）
A．＝ B．＋＋＋
C．＝0 D．＝8
【变式2-1】5.（2022秋·江西·高二校联考阶段练习）如图，球为长方体内能放入的体积最大的球，是球的一条直径，为该长方体表面上的动点，且，则的最大值为________.
题型3利用空间向量的数量积求夹角
【方法总结】 （1）两异面直线所成角的范围是（0，]，两个向量的夹角范围是[0，π]，利用向量数量积求异面直线所成的角时，要注意角度的转化； （2）利用数量积求直线夹角或余弦值的方法 ①取向量:根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量 ②角转化:异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题 ③求余弦值:利用数量积求余弦值或角的大小 ④定结果:异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量的夹角求余弦值应将余弦值加上绝对值，继而求角的大小
【例题3】（2023·全国·高三对口高考）在三棱锥中，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．不确定
【变式3-1】1．（2023春·安徽·高二池州市第一中学校联考阶段练习）如图，三棱锥中，、所成的角为，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-1】2．（多选）如图所示，平行六面体，其中，，，，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．直线AC与直线是相交直线
D．与AC所成角的余弦值为
【变式3-1】3．（2020·全国高二课时练习）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为_____________
【变式3-1】4．（2023春·江苏扬州·高二统考期中）如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为___________.
【变式3-1】5.（2020·全国高二课时练习）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．
（1）设，，，用向量，，表示，并求出的长度；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
题型4利用空间向量的数量积求距离(线段长度)
【方法总结】 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化 为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式||=求解即可．特别注意准确求解已知两向量之间的夹角大小.
【例题4】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）如图，平行六面体中，，，，，则线段的长为______.
【变式4-1】1．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知，，均为空间单位向量，它们之间的夹角均为，那么（ ）
A．2 B．
C． D．6
【变式4-1】2．（2023春·福建宁德·高二校联考期中）如图，在平行六面体中，，，，，E为中点，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】3．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）如图，二面角的大小为，四边形、都是边长为的正方形，则、两点间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】4．（多选）（2023·湖北武汉·湖北省武昌实验中学校考模拟预测）如图，在棱长为2的正四面体中，、分别为、上的动点（不包含端点），为的中点，则下列结论正确的有（ ）
A．的最小值为；
B．的最小值为；
C．若四棱锥的体积为，则的取值范围是
D．若，则
【变式4-1】5.（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）正四面体的棱长为4，中心为点，则以为球心，1为半径的球面上任意一点与该正四面体各顶点间的距离的平方和：__________.
【变式4-1】6．己知二面角为，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面内，，且，设：．
(1)试用表示，并求线段CD的长；
(2)求：异面直线CD与BA所夹角的余弦值．
题型5投影向量
【方法总结】 类比平面向量投影的概念，借助图形，叙述作出向量 在轴l上投影（空间称为射影）的过程. 已知图形向量，l为轴，向量是l上与轴l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A’,作点B在l上的射影B’，则称为向量在轴l上或在的方向上的正射影；可以证明A’B’=||cos<,>。 zhuyi注意：轴l上的正射影对应的数值A’B’是一个可正可负可零的实数，它的符号代表向量 与l的方向的对应关系，大小代表在l上射影的长度.
【例题5】（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】1．（2023·全国·高二专题练习）在棱长为 的正方体 中，向量 在向量 方向上的投影向量的模是______．
【变式5-1】2．（2023·全国·高二专题练习）如图，已知 平面 ， ， ，则向量 在 上的投影向量等于____.
【变式5-1】3．（2022·全国·高三专题练习）在标准正交基下，已知向量 ，，则向量在上的投影为______，在上的投影之积为______．
【变式5-1】4．（2022·全国·高三专题练习）如图，在长方体中，已知，，，分别求向量在、、方向上的投影数量．
【变式5-1】5．（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥中，平面，，，．
(1)确定在平面上的投影向量，并求；
(2)确定在上的投影向量，并求．
题型6最值与范围问题
【例题6】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知，，是空间中两两不同的三个单位向量，且．则的取值范围是__________．
【变式6-1】1.（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期中）在三棱锥中，已知，且，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式6-1】2.（2023秋·山东菏泽·高二统考期末）在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】3.（2022秋·福建·高二校联考期中）已知正四面体的棱长为6，P是四面体外接球的球面上任意一点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】4.（2022秋·贵州·高二统考期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面ACD，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】5.（2023秋·江西萍乡·高三统考期末）已知球O是棱长为1的正四面体的内切球，AB为球O的一条直径，点P为正四面体表面上的一个动点，则的取值范围为_______________.
【变式6-1】6．（2022·高二课时练习）如图所示，四边形ABCD是矩形，，AB=4，EF=2，和都是边长为2的等边三角形，G是AD上一动点，求FG的长度的范围．
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