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1.1.2空间向量基本定理——题型·技巧攻略
题型1对共面向量概念的理解 2
题型2向量共面的判定与证明 3
题型3空间四点共面的条件 5
◆类型1 四点共面的判断 6
◆类型2 四点共面的证明 7
◆类型3 含参问题 9
题型4空间向量基底概念及辨析 10
题型5用空间基底表示向量 12
题型6空间向量基本定理及其应用 15
知识点一.共面向量
一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量.
知识点二.共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组（x，y），使得p=xa+yb,即向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示。
知识点三.空间四点共面的条件
已知，，不共面，若=x+y +z，且x+y+z =1，则P，A，B，C四点共面.
注意：
共面向量不仅包括在同一个平面内的向量，还包括平行于同一平面的向量.
（2）空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了.
知识点四.空间向量的基本定理
空间向量基本定理 如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使p=xe1+ye2+ze3
基底和基向量 如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示，我们把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫作基向量.
题型1对共面向量概念的理解
【方法总结】 （1）任意两个空间向量都是共面向量； （2）若a，b不共线且同在平面α内，则p与a，b共面的意义是p在α内或p//α.
【例题1】（多选）（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）下列命题中是真命题的为（ ）
A．若与共面，则存在实数，使
B．若存在实数，使向量，则与共面
C．若点四点共面，则存在实数，使
D．若存在实数，使，则点四点共面
【变式1-1】1．(多选)（2022秋·福建泉州·高二晋江市季延中学校考期中）(多选)下列说法中正确的是（ ）
A．
是共线的充要条件
B．若，共线，则AB∥CD
C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面
D．若P，A，B，C为空间四点，且有 (，不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件
【变式1-1】2．（多选）（2022秋·山西运城·高二校考阶段练习）已知空间向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则共面
C．若，则与共线 D．若，且，则
【变式1-1】3．（2022秋·福建福州·高二福建省福州第二中学统考阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．若，，，是空间任意四点，则有
B．是，共线的充要条件
C．若，共线，则
D．对空间任意一点不共线的三点，，，若（其中，，），则，，，四点共面
【变式1-1】4．下列命题中错误的是______．（填序号）
①若A、B、C、D是空间任意四点，则有；
②是、共线的充要条件；
③若、共线，则；
④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若（其中x、y、）则P、A、B、C四点共面．
题型2向量共面的判定与证明
【方法总结】利用向量法证明向量共面的策略 （1）若已知点P在平面ABC内，则有AP=x＋y或=x＋y＋z（x+y＋z=1），然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． （2）证明三个向量共面（或四点共面），需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.
【例题2】（2023秋·广东深圳·高二统考期末）若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【变式2-1】1.（2022秋·山东淄博·高二沂源县第一中学校考阶段练习）如图，、分别是空间四边形的边、的中点，则向量与、______．（填“共面”或“不共面”）
【变式2-1】2．（2023春·高一课时练习）在长方体中，E是棱的中点，O是面对角线与的交点．试判断向量与、是否共面．
【变式2-1】3．（2022·高二课时练习）在正方体中，判断下列各组向量是否共面：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式2-1】4．（2022·高二课时练习）如图，在平行六面体中，M，N，P，Q，R，S分别是各棱的中点，求证：向量，，共面．
【变式2-1】5．（2022·高二课时练习）如图所示，已知斜三棱柱，点、分别在和上，且满足，.
(1)用向量和表示向量；
(2)向量是否与向量，共面？
【变式2-1】6．已知向量不共面，并且，判断向量是否共面，并说明理由．
题型3空间四点共面的条件
◆类型1 四点共面的判断
【例题3-1】（2023春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考开学考试）已知是空间中不共线的三个点，若点满足，则下列说法正确的一项是（ ）
A．点是唯一的，且一定与共面
B．点不唯一，但一定与共面
C．点是唯一的，但不一定与共面
D．点不唯一，也不一定与共面
【变式3-1】1．（河南省新乡市2022-2023学年高二上学期期末数学试题）下列条件能使点与点一定共面的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-1】2．（2023春·辽宁鞍山·高二校联考阶段练习）在下列条件中，能使与，，一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】3．（2022秋·山东菏泽·高二校考期末）对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有，则（ ）
A．O，A，B，C四点共面 B．P，A，B，C四点共面
C．O，P，B，C四点共面 D．O，P，A，B，C五点共面
【变式3-1】4．（2023春·高一课时练习）已知点分别位于四面体的四个侧面内，点是空间任意一点，则“”是“四点共面”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【变式3-1】5．下列条件中一定使点P与A，B，C共面的有（ ）个
①
②
③
④
A．0 B．1 C．2 D．3
◆类型2 四点共面的证明
【例题3-2】（2023·全国·高二专题练习）如图，已知O A B C D E F G H为空间的9个点，且，，，，，.求证：A B C D四点共面，E F G H四点共面；
【变式3-2】1．（2023春·高一课时练习）如图所示，在正方体中，M、N、P、Q分别为、、、的中点，用共面向量定理证明M、N、P、Q四点共面．
【变式3-2】2（2023·江苏·高二专题练习）已知为空间9个点(如图)，并且，，．，求证：
(1)四点共面；
(2)；
(3)．
【变式3-2】3．如图所示，四面体中，G，H分别是的重心，设，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点．
(1)试用向量表示向量；
(2)试用空间向量的方法证明MNGH四点共面．
【变式3-2】4．（2023春·高一课时练习）已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)用向量法证明E，F，G，H四点共面；
(2)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有．
◆类型3 含参问题
【例题3-3】（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知为空间任意一点，四点共面，但任意三点不共线．如果，则的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【变式3-3】1．（2023春·高一课时练习）已知三点不共线，是平面外任意一点，若，则四点共面的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】2．(多选)（2023春·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）以下能判定空间四点P、M、A、B共面的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】3．（2023·全国·高二专题练习）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【变式3-3】4．（2023春·高二课时练习）如图，在正方体中，、分别是棱、的中点，是棱上靠近的四等分点，过、、三点的平面交棱于，设，则______.
【变式3-3】5．（2022·高二课时练习）如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值.
题型4空间向量基底概念及辨析
【方法总结】基底的判断思路 （1）判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，则可以作为一个基底. （2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.
【例题4】（浙江省杭州市2022-2023学年高二下学期期末数学试题）若是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（ ）
A． B．，，
C．，， D．
【变式4-1】1．（2023秋·河北邯郸·高二统考期末）已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】2．（2022秋·河南新乡·高二统考期中）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【变式4-1】3．（2023秋·河北保定·高二统考期末）在以下命题中：
①三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面；
②若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线；
③对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面
④若，是两个不共线的向量，且，则构成空间的一个基底
⑤若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式4-1】4．（多选）（2022秋·广东深圳·高二深圳外国语学校校考期末）设是空间一个基底，则下列选项中正确的是（ ）
A．若，，则
B．，，一定能构成空间的一个基底
C．对空间中的任一向量，总存在有序实数组，使
D．存在有序实数对，使得
【变式4-1】5．（多选）（2023春·广东·高二统考阶段练习）已知O，A，B，C为空间的四个点，则（ ）
A．若构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面
B．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
C．若与共线，则存在一个向量与构成空间的一个基底
D．若，则是M，A，B，C四点共面的充要条件
题型5用空间基底表示向量
【方法总结】 （1）若p=xa+yb+zc，则xa+yb+zc叫做向量a，b，c的线性表达式或线性组合，或者说p可以由a，b，c线性表示. （2）对于基底{a，b，c}，除了应知道a，b，c不共面外，还应明确以下三点： ①基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示，选用不同的基底，同一向量的表达式也可能不同； ②由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是0； ③空间的一个基底是指一个向量组，是由三个不共面的空间向量构成的，一个基向量是指基底中的某个向量，二者是相关联的不同概念.
【例题5】（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）在平行六面体中，AC，BD相交于，为的中点，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】1．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，在平行六面体中，P是的中点，点Q在上，且，设，，．则（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】2．（浙江省杭州市2022-2023学年高二下学期期末数学试题）如图，在四面体中，，，，，．
(1)求证：、、、四点共面．
(2)若，设是和的交点，是空间任意一点，用、、、表示．
【变式5-1】3．（2023秋·高二课时练习）如图，空间四边形OABC中，G、H分别是、的重心，D为BC的中点，设，，，试用试用基底表示向量和.
【变式5-1】4．（2022·高二单元测试）对于任意空间四边形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点．
(1)试证：与，共面；
(2)，，，试用基底{，，}表示向量．
【变式5-1】5．（2022秋·高二单元测试）如图所示，平行六面体中，，，，用示如下向量：
(1)，，；
(2)（分别是和的中点）．
题型6空间向量基本定理及其应用
【例题6】（2023·高二校考课时练习）已知直线AB，BC， 不共面，若四边形的对角线互相平分，且，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【变式6-1】1.（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）已知矩形，为平面外一点平面，且，，分别为，上的点，且，则（ ）
A． B． C． D．1
【变式6-1】2.（2023秋·广东·高二统考期末）在三棱柱中，M，N分别为，的中点，若则（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】3.（2023春·广西南宁·高二南宁市邕宁高级中学校考阶段练习）如图，在三棱柱中，，分别是，的中点，，则（ ）
A．1 B． C．0.5 D．
【变式6-1】4.（2023·全国·高三专题练习）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，为棱的中点，，，与平面交于点，则________.
【变式6-1】5.（2023春·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考开学考试）已知不共面，，，，若，则______．
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1.1.2空间向量基本定理——题型·技巧攻略
题型1对共面向量概念的理解 2
题型2向量共面的判定与证明 6
题型3空间四点共面的条件 11
◆类型1 四点共面的判断 11
◆类型2 四点共面的证明 15
◆类型3 含参问题 20
题型4空间向量基底概念及辨析 24
题型5用空间基底表示向量 29
题型6空间向量基本定理及其应用 35
知识点一.共面向量
一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量.
知识点二.共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组（x，y），使得p=xa+yb,即向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示。
知识点三.空间四点共面的条件
已知，，不共面，若=x+y +z，且x+y+z =1，则P，A，B，C四点共面.
注意：
共面向量不仅包括在同一个平面内的向量，还包括平行于同一平面的向量.
（2）空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了.
知识点四.空间向量的基本定理
空间向量基本定理 如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使p=xe1+ye2+ze3
基底和基向量 如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示，我们把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫作基向量.
题型1对共面向量概念的理解
【方法总结】 （1）任意两个空间向量都是共面向量； （2）若a，b不共线且同在平面α内，则p与a，b共面的意义是p在α内或p//α.
【例题1】（多选）（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）下列命题中是真命题的为（ ）
A．若与共面，则存在实数，使
B．若存在实数，使向量，则与共面
C．若点四点共面，则存在实数，使
D．若存在实数，使，则点四点共面
【答案】BD
【分析】根据平面向量基本定理以及空间向量基本定理，可知B、D项正确；若共线，则A结论不恒成立；若三点共线，则C项结论不恒成立.
【详解】对于A项，如果共线，则只能表示与共线的向量.
若与不共线，则不能表示，故A项错误；
对于B项，根据平面向量基本定理知，若存在实数，使向量，则与共面，故B项正确；
对于C项，如果三点共线，则不论取何值，只能表示与共线的向量.若点不在所在的直线上，则无法表示，故C项错误；
对于D项，根据空间向量基本定理，可知若存在实数，使，则共面，所以点四点共面，故D项正确.
故选：BD.
【变式1-1】1．(多选)（2022秋·福建泉州·高二晋江市季延中学校考期中）(多选)下列说法中正确的是（ ）
A．
是共线的充要条件
B．若，共线，则AB∥CD
C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面
D．若P，A，B，C为空间四点，且有 (，不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件
【答案】CD
【分析】根据共线向量的定义、共面和共线的性质进行逐一判断即可.
【详解】由，可得向量的方向相反，此时向量共线，反之，当向量同向时，不能得到，所以A不正确；
若，共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确；
由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，因为，可得P，A，B，C四点共面，所以C正确；
若P，A，B，C为空间四点，且有 (，不共线)，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得，即，所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确.
故选：CD
【变式1-1】2．（多选）（2022秋·山西运城·高二校考阶段练习）已知空间向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则共面
C．若，则与共线 D．若，且，则
【答案】BC
【分析】对于A，举例判断，对于B，由共面向量定理判，对于C，根据数量积的定义判断，对于D，举例判断.
【详解】对于A，若，结论不一定成立，故A错误；
对于B，由三向量共面的充要条件知B正确；
对于C，若且为非零向量，则，所以或，所以与共线，若中有零向量，则与也共线，故C正确；
对于D，若都与垂直，不一定成立，故D错误.
故选：BC.
【变式1-1】3．（2022秋·福建福州·高二福建省福州第二中学统考阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．若，，，是空间任意四点，则有
B．是，共线的充要条件
C．若，共线，则
D．对空间任意一点不共线的三点，，，若（其中，，），则，，，四点共面
【答案】A
【分析】根据向量加法三角形法则可判断；根据向量模的定义可判断；根据向量共线可判断；通过与1的关系可判断．
【详解】根据向量加法三角形法则可知对；
若、同向共线则不满足，可知错；
若，共线，则或重合，可知错；
对空间任意一点与不共线的三点、、，若，当时、、、四点共面，可知错．
故选：．
【变式1-1】4．下列命题中错误的是______．（填序号）
①若A、B、C、D是空间任意四点，则有；
②是、共线的充要条件；
③若、共线，则；
④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若（其中x、y、）则P、A、B、C四点共面．
【答案】②③④
【分析】直接由向量的运算、向量的共线及向量的共面依次判断4个命题即可.
【详解】对于①，，正确；
对于②，或是、共线的充要条件，错误；
对于③，若、共线，则或重合，错误；
对于④，若（其中x、y、），当且仅当时，P、A、B、C四点共面，错误.
故答案为：②③④.
题型2向量共面的判定与证明
【方法总结】利用向量法证明向量共面的策略 （1）若已知点P在平面ABC内，则有AP=x＋y或=x＋y＋z（x+y＋z=1），然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． （2）证明三个向量共面（或四点共面），需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.
【例题2】（2023秋·广东深圳·高二统考期末）若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】A
【分析】根据平面向量的基本定理，可得答案.
【详解】对于A，设，则，显然不存在使得等式成立，故A正确；
对于B，设，则，解得，故B错误；
对于C，设，则，即，解得，故C错误；
对于D，设，则，解得，故D错误.
故选：A.
【变式2-1】1.（2022秋·山东淄博·高二沂源县第一中学校考阶段练习）如图，、分别是空间四边形的边、的中点，则向量与、______．（填“共面”或“不共面”）
【答案】共面
【分析】用、的线性关系表达出，从而得到共面关系.
【详解】由图可知：.
则向量与、共面.
故答案为：共面
【变式2-1】2．（2023春·高一课时练习）在长方体中，E是棱的中点，O是面对角线与的交点．试判断向量与、是否共面．
【答案】共面
【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到，结合空间向量的共面定理，即可求解.
【详解】根据空间向量的运算法则，可得：
，
又由空间向量的共面定理，可得向量与，共面．
【变式2-1】3．（2022·高二课时练习）在正方体中，判断下列各组向量是否共面：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)共面
(2)共面
(3)不共面
【分析】（1）由可判断.
（2）由，平面可判断.
（3） 平面可判断.
(1)
在正方体中，
所以，所以
故向量与共面
(2)
在正方体中，
平面,平面,则平面
所以向量与共面，向量与共面.
所以共面.
(3)
在正方体中，则向量与共面
而平面
所以向量不共面
【变式2-1】4．（2022·高二课时练习）如图，在平行六面体中，M，N，P，Q，R，S分别是各棱的中点，求证：向量，，共面．
【答案】证明见解析
【分析】通过证明共面来证得向量，，共面.
【详解】依题意可知，即，
同理可得，
所以共面，所以向量，，共面.
【变式2-1】5．（2022·高二课时练习）如图所示，已知斜三棱柱，点、分别在和上，且满足，.
(1)用向量和表示向量；
(2)向量是否与向量，共面？
【答案】(1)；
(2)是.
【分析】（1）利用向量的线性运算得出和，进而由，得到向量与向量和的关系；
（2）由（1）结合共面向量基本定理，即可得出结论.
【详解】（1）解：∵，
，
∴.
（2）解：由（1）可知，，
∴向量与向量，共面.
【变式2-1】6．已知向量不共面，并且，判断向量是否共面，并说明理由．
【答案】向量共面，理由见解析.
【分析】利用空间向量基本定理得到，进而证明出结论.
【详解】设，则，故，解得：，故，由空间向量共面定理得：向量共面.
题型3空间四点共面的条件
◆类型1 四点共面的判断
【例题3-1】（2023春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考开学考试）已知是空间中不共线的三个点，若点满足，则下列说法正确的一项是（ ）
A．点是唯一的，且一定与共面
B．点不唯一，但一定与共面
C．点是唯一的，但不一定与共面
D．点不唯一，也不一定与共面
【答案】A
【分析】由，可得，从而有共面，四点共面，再结合不共线，即可得答案.
【详解】由空间向量的知识可知共面的充要条件为存在实数，使，
因为，
所以，
所以共面，
所以四点共面，
因为，所以，
所以点唯一.
故选：A.
【变式3-1】1．（河南省新乡市2022-2023学年高二上学期期末数学试题）下列条件能使点与点一定共面的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据空间共面向量定理以及其结论一一判断各选项，即可得答案.
【详解】设，若，则点共面．
对于A，，由于，故A错误；
对于B，，由于，故B错误；
对于C, ，由于，故C错误；
对于D，，由于，得共面，故D正确.
故选：D.
【变式3-1】2．（2023春·辽宁鞍山·高二校联考阶段练习）在下列条件中，能使与，，一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论．
【详解】解：空间向量共面定理，，若，，不共线，且，，，共面，则其充要条件是；
对于A，因为，所以不能得出，，，四点共面；
对于B，因为，所以不能得出，，，四点共面；
对于C，，则，，为共面向量，所以与，，一定共面；
对于D，因为，所以，因为，所以不能得出，，，四点共面．
故选：C．
【变式3-1】3．（2022秋·山东菏泽·高二校考期末）对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有，则（ ）
A．O，A，B，C四点共面 B．P，A，B，C四点共面
C．O，P，B，C四点共面 D．O，P，A，B，C五点共面
【答案】B
【分析】利用向量加减法，根据空间向量的加减法，可得三个向量共面，可得答案.
【详解】由，得，
即，故共面.
又因为三个向量有同一公共点，所以共面.
故选：B.
【变式3-1】4．（2023春·高一课时练习）已知点分别位于四面体的四个侧面内，点是空间任意一点，则“”是“四点共面”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】由转化成，即可判定四点共面，反之则不能成立.
【详解】因为，
所以，
所以，
即，
所以四点共面，所以充分性成立；
但当四点共面时，
存在，可知必要性不成立.
故选：A.
【变式3-1】5．下列条件中一定使点P与A，B，C共面的有（ ）个
①
②
③
④
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据向量共面的充要条件判断即可.
【详解】①因为，所以，，为共面向量，所以点与，，共面，故①正确；
②，所以，，为共面向量，所以点与，，共面，故②正确；
对于③④显然不满足，故③④错；
故选：C.
◆类型2 四点共面的证明
【例题3-2】（2023·全国·高二专题练习）如图，已知O A B C D E F G H为空间的9个点，且，，，，，.求证：A B C D四点共面，E F G H四点共面；
【答案】证明见解析
【分析】根据题意，由空间向量共面定理分别证得是共面向量，是共面向量，即可得到结果.
【详解】因为，，
所以由共面向量定理可得是共面向量，是共面向量，
因为有公共点，有公共点，
所以A B C D四点共面，E F G H四点共面.
【变式3-2】1．（2023春·高一课时练习）如图所示，在正方体中，M、N、P、Q分别为、、、的中点，用共面向量定理证明M、N、P、Q四点共面．
【答案】证明见解析
【分析】通过证明向量、、共面来证得四点共面.
【详解】令，，，
所以，，
，
设，
，
则，解得，
则．所以向量、、共面，
所以M、N、P、Q四点共面．
【变式3-2】2（2023·江苏·高二专题练习）已知为空间9个点(如图)，并且，，．，求证：
(1)四点共面；
(2)；
(3)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据向量的共面定理，即可求解；
（2）根据空间向量的运算法则，准确运算，即可求解；
（3）根据空间向量的运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】（1）解：因为，
由共面向量的基本定理，可得是共面向量
又因为有公共点，所以四点共面.
（2）解：因为，
则
，
所以.
（3）解：由（1）及，
可得，
所以，即.
【变式3-2】3．如图所示，四面体中，G，H分别是的重心，设，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点．
(1)试用向量表示向量；
(2)试用空间向量的方法证明MNGH四点共面．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）结合空间向量的线性运算即可求出结果；
（2）证得，即可得出结论.
（1）因为，而，又D为的中点，所以，所以
．
（2）因为，，
所以，，所以．
所以四点共面．
【变式3-2】4．（2023春·高一课时练习）已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)用向量法证明E，F，G，H四点共面；
(2)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）通过证明来证得四点共面.
（2）利用空间向量运算证得结论成立.
【详解】（1）.
,
所以，所以四点共面.
（2）.
◆类型3 含参问题
【例题3-3】（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知为空间任意一点，四点共面，但任意三点不共线．如果，则的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】A
【分析】由题设条件推得，再由四点共面可求得
【详解】因为，
所以由
得，
即，
因为为空间任意一点，满足任意三点不共线，且四点共面，
所以，故.
故选：A.
【变式3-3】1．（2023春·高一课时练习）已知三点不共线，是平面外任意一点，若，则四点共面的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量共面定理，结合向量运算，整理可得系数的方程组，求得参数，可得答案.
【详解】四点共面的充要条件是，，整理可得，
由，则，解得，
故选：A.
【变式3-3】2．(多选)（2023春·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）以下能判定空间四点P、M、A、B共面的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据空间向量的相关概念结合四点共面的结论逐项分析判断.
【详解】对A：若，结合向量基本定理知：为共面向量，故四点P、M、A、B共面，A正确；
对B：若，且，结合向量共面的性质知：四点P、M、A、B共面，B正确；
对C：若，则，可知直线的位置关系：异面或相交，故四点P、M、A、B不一定共面，C错误；
对D：若 ，可知直线的位置关系：平行或重合，故四点P、M、A、B共面，D正确；
故选：ABD.
【变式3-3】3．（2023·全国·高二专题练习）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据共面向量的性质，结合配方法进行求解即可.
【详解】因为，点在确定的平面内，
所以，即，所以，
所以当时，的有最小值2．
故选：D
【变式3-3】4．（2023春·高二课时练习）如图，在正方体中，、分别是棱、的中点，是棱上靠近的四等分点，过、、三点的平面交棱于，设，则______.
【答案】/
【分析】设，，，用基底表示向量、、，设，可出关于、、的方程组，即可得解.
【详解】设，，，则，
，
，
由题意可知，、、共面，设，
即，
所以，，解得.
故答案为：.
【变式3-3】5．（2022·高二课时练习）如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值.
【答案】为定值4；证明见解析；
【分析】联结AG并延长交BC于H，由题意，令为空间向量的一组基底，表示出.
然后根据点，，，M共面，故存在实数，满足，再表示出一组的表达式，因此其系数相同，从而证得结论.
【详解】联结AG并延长交BC于H，由题意，令为空间向量的一组基底，
则
.
联结DM，点，，，M共面，故存在实数，
满足，即，
因此，
由空间向量基本定理知，
，
故，为定值.
题型4空间向量基底概念及辨析
【方法总结】基底的判断思路 （1）判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，则可以作为一个基底. （2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.
【例题4】（浙江省杭州市2022-2023学年高二下学期期末数学试题）若是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（ ）
A． B．，，
C．，， D．
【答案】C
【分析】根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对选项A：，因此向量共面，故不能构成基底，错误；
对选项B：，因此向量，，共面，故不能构成基底，错误；
对选项C：假设，即，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，正确；
对于选项D：，因此向量共面，故不能构成基底，错误；
故选：C
【变式4-1】1．（2023秋·河北邯郸·高二统考期末）已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据正交基地的定义可知，三个向量两两互相垂直，且模长为1.
【详解】因为平面ABC，AB、AC都在面ABC内，
所以，.
因为，，，所以，又SA=1，
所以空间的一个单位正交基底可以为.
故选：A
【变式4-1】2．（2022秋·河南新乡·高二统考期中）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【分析】采用假设向量共面，则根据共面向量定理可列出方程组，根据该方程组解的情况，判断选项,根据，判断C.
【详解】对于A，假设，，共面，
则存在实数使得，则，
此方程组无解，假设不成立，，，不共面；
对于B, 假设，，共面，
则存在实数使得，则，
此方程组无解，假设不成立，，，不共面；
对于C,因为，
故，，共面．
对于D, 假设，，共面，
则存在实数使得，则，
此方程组无解，假设不成立，，，不共面；
故选：C
【变式4-1】3．（2023秋·河北保定·高二统考期末）在以下命题中：
①三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面；
②若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线；
③对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面
④若，是两个不共线的向量，且，则构成空间的一个基底
⑤若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】直接利用空间基底，共面向量，共线向量的基础知识的应用求出结果．
【详解】空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底.
①根据空间基底的定义，三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面；故命题①正确．
②由空间基底的定义，若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线，若，不共线，则，共面，一定有向量与，不共面；故命题②正确．
③对空间任意一点和不共线的三点，，，当时，若，，，四点共面，则，，，，方程组无解，故，，，四点不共面；故命题③错误．
④若，是两个不共线的向量，且，则向量与，构成共面向量，不能构成空间的一个基底；故命题④错误．
⑤利用反证法：若不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面，
设，当，与共线，当，得，都有共面，由于为空间的一个基底，得出矛盾，所以能够成空间的一个基底，故命题⑤正确．
真命题有3个.
故选：D
【变式4-1】4．（多选）（2022秋·广东深圳·高二深圳外国语学校校考期末）设是空间一个基底，则下列选项中正确的是（ ）
A．若，，则
B．，，一定能构成空间的一个基底
C．对空间中的任一向量，总存在有序实数组，使
D．存在有序实数对，使得
【答案】BC
【分析】根据空间向量的基本定理，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．
【详解】对于，，，不能得出，也可能是、相交不一定垂直，选项错误；
对于，假设向量，，共面，则，、，
化简得，所以、、共面，这与已知矛盾，所以选项正确；
对于，根据空间向量基本定理知，对空间任一向量，总存在有序实数组,,，使，选项正确；
对于，因为是空间一个基底，所以与、不共面，选项错误．
故选：．
【变式4-1】5．（多选）（2023春·广东·高二统考阶段练习）已知O，A，B，C为空间的四个点，则（ ）
A．若构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面
B．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
C．若与共线，则存在一个向量与构成空间的一个基底
D．若，则是M，A，B，C四点共面的充要条件
【答案】BD
【分析】结合基底的定义依次判断各选项即可.
【详解】由构成空间的一个基底，可得O，A，B，C四点不共面，A错误；
假设不是空间的一个基底，则存在使得，
所以，与是空间的一个基底矛盾，
所以也是空间的一个基底，B正确；
因为与共线，对于任意非零向量，都满足共面，故不存在一个向量与构成空间的一个基底，C错误；
由，可得
，
所以，
因为，所以至少有一个数不为0，
不妨设，则，所以M，A，B，C四点共面，
若M，A，B，C四点共面，则存在唯一实数对使得，
所以，
所以，又
所以，故，D正确；
故选：BD.
题型5用空间基底表示向量
【方法总结】 （1）若p=xa+yb+zc，则xa+yb+zc叫做向量a，b，c的线性表达式或线性组合，或者说p可以由a，b，c线性表示. （2）对于基底{a，b，c}，除了应知道a，b，c不共面外，还应明确以下三点： ①基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示，选用不同的基底，同一向量的表达式也可能不同； ②由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是0； ③空间的一个基底是指一个向量组，是由三个不共面的空间向量构成的，一个基向量是指基底中的某个向量，二者是相关联的不同概念.
【例题5】（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）在平行六面体中，AC，BD相交于，为的中点，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由空间向量的线性运算结合图形计算即可.
【详解】
如图所示，，
故选：C
【变式5-1】1．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，在平行六面体中，P是的中点，点Q在上，且，设，，．则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.
【详解】因为P是的中点，
所以，
又因为点Q在上，且，
所以
，
所以，
故选：C.
【变式5-1】2．（浙江省杭州市2022-2023学年高二下学期期末数学试题）如图，在四面体中，，，，，．
(1)求证：、、、四点共面．
(2)若，设是和的交点，是空间任意一点，用、、、表示．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明出，即可证得结论成立；
（2）由（1）可得出，可得出，则，由此可得出，再结合空间向量的线性运算可得出关于、、、的表达式.
【详解】（1）证明：因为，
，
所以，则，因此、、、四点共面．
（2）解：当时，，即，可得，
因为，即，可得，
由（1）知，，，因此，
又因为、不在同一条直线上，所以，，
则，则，即，
所以，
.
【变式5-1】3．（2023秋·高二课时练习）如图，空间四边形OABC中，G、H分别是、的重心，D为BC的中点，设，，，试用试用基底表示向量和.
【答案】
【分析】由已知得，，可得；
由可得可得答案.
【详解】由已知得，，
因为G是的重心，D为BC的中点，
所以，，
所以；
又因为H是的重心，
所以，
.
【变式5-1】4．（2022·高二单元测试）对于任意空间四边形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点．
(1)试证：与，共面；
(2)，，，试用基底{，，}表示向量．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）连接AC，取AC的中点P，连接PE，PF，根据直线与平面平行的判定定理可得AD∥平面PEF，BC∥平面PEF，从而可得向量与，共面；
（2）直接利用向量的加减法运算得答案．
【详解】（1）
证明：如图，连接AC，取AC的中点P，连接PE，PF．
∵P，F分别为AC，CD的中点，∴AD∥PF．
又∵PF 平面PEF，AD 平面PEF．
∴AD∥平面PEF．
同理可证，BC∥平面PEF．
∴向量与，共面.
（2）解：
.
【变式5-1】5．（2022秋·高二单元测试）如图所示，平行六面体中，，，，用示如下向量：
(1)，，；
(2)（分别是和的中点）．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）（2）根据向量线性运算直接求解即可.
【详解】（1）；
；
.
（2）分别为和的中点，.
题型6空间向量基本定理及其应用
【例题6】（2023·高二校考课时练习）已知直线AB，BC， 不共面，若四边形的对角线互相平分，且，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意为空间的一组基底，然后利用空间向量基本定理求解.
【详解】由题意，知，，不共面，四边形为平行四边形，，
为空间的一组基底.
，又，
，，，，
.
故选：D.
【变式6-1】1.（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）已知矩形，为平面外一点平面，且，，分别为，上的点，且，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据空间向量基本定理求解即可.
【详解】因为，，
所以，
又，
所以，
所以，
故.
故选：B.
【变式6-1】2.（2023秋·广东·高二统考期末）在三棱柱中，M，N分别为，的中点，若则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用空间向量的运算法则得到，得到答案.
【详解】
，故.
，
故选：A
【变式6-1】3.（2023春·广西南宁·高二南宁市邕宁高级中学校考阶段练习）如图，在三棱柱中，，分别是，的中点，，则（ ）
A．1 B． C．0.5 D．
【答案】B
【分析】根据空间向量的基本定理求解即可.
【详解】如图，连接.
因为，分别是，的中点，
，
所以，，，
则.
故选：B.
【变式6-1】4.（2023·全国·高三专题练习）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，为棱的中点，，，与平面交于点，则________.
【答案】
【分析】设，其中，用、、表示向量、、，利用共面向量的基本定理可知存在、使得，由空间向量基本定理可得出关于、、的方程组，即可解得实数的方程组，即可解得实数的值.
【详解】设，其中，
，
，，
因为、、、四点共线，则向量、、共面，
由共面向量定理可知，存在、使得，
即
，
所以，，解得.
故答案为：.
【变式6-1】5.（2023春·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考开学考试）已知不共面，，，，若，则______．
【答案】
【分析】根据题意，化简得到，再由
，得出关于的方程组，求得的值，即可求解.
【详解】由题意，向量不共面，，，，
则
因为，
则，解得，
所以.
故答案为：.
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