中小学教育资源及组卷应用平台
1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系——题型·技巧攻略
题型1空间向量的坐标表示 4
题型2空间向量的坐标运算 5
◆类型1 加减数乘与数量积 5
◆类型2空间向量模长问题 6
◆类型3空间向量夹角问题 7
◆类型4投影向量问题 8
题型3空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 9
◆类型1空间向量平行问题 9
◆类型2空间向量垂直问题 10
◆类型3锐角钝角问题 11
题型4含参取值（范围）最值问题 11
知识点一.正交基底和单位正交基底
正交基底 如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底
单位正交基底 当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i,j,k}表示
推论:
设 O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得++.
知识点二.空间直角坐标系
1.定义：如图，在空间选定一点0和一个单位正交基底{i，j，k}以0为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫作坐标轴，这是我们说建立了一个空间直角坐标系O-xyz。
其中点O叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴，三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面，分别叫作xoy平面、yoz平面和xoz平面。
2.右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。
知识点三.空间直角坐标系中点的坐标
定义：对于空间任意一点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即通过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于P，Q，R，点P， Q， R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序实数组（x，y，z）叫作A点的坐标，记为A（x，y，z）。其中x，y，z分别叫作点A的横坐标，纵坐标，竖坐标。
在空间直角坐标系O-xyx中，对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（a1，a2，a3），使a=a1i＋a2j＋a3x，有序实数组（a1，a2，a3）叫作向量a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，记作a=（a1，a2，a3）.
知识点四.空间向量的坐标运算
1.空间向量的坐标运算
（1）设a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），则
①a+b=（x1+x2，y1+y2，z1+z2）
②a-b=（x1-x2，y1-y2，z1-z2）
③λa=（λx1，λy1，λz1）(a∈R).
④若u，v是两个实数，ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)；
⑤a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；
⑥|a|＝＝；
⑦当a≠0且b≠0时，cos〈a，b〉＝＝．
(2)设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则=-=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）.即一个向量的
坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
2.空间向量平行、垂直的坐标表示
（1）已知空间向量a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），且a≠0，则a//bb=λax2=λx1，y2=λy1，z2=λz1(λ∈R).
(2)a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0．
3.空间向量坐标的应用
(1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离OP＝．
(2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离P1P2＝．
题型1空间向量的坐标表示
【例题1】（2023·高三课时练习）若ABCD为平行四边形，且已知点、、，则顶点D的坐标为______．
【变式1-1】1．（2023秋·高二课时练习）三棱锥中，为直角，平面，，为的中点，为中点，以为基底，则的坐标为__________．
【变式1-1】2．（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）在空间直角坐标系中，已知三点，若点C在平面内，则点C的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】3．（2021秋·山西太原·高二太原市外国语学校校考期中）定义：设是空间向量的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标.已知向量是空间中的一个单位正交基底，向量是空间中的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为___________.
【变式1-1】4．（2022秋·江苏徐州·高二校考阶段练习）在中，．
(1)求顶点的坐标；
(2)求．
【变式1-1】5．（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，E， F分别是的中点，点G在棱CD上，且， H是的中点．以D为坐标原点，所在直线分别为 x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求向量和的坐标．
题型2空间向量的坐标运算
【方法总结】关于空间向量坐标运算的两类问题 （1）直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算. （2）由条件求向量或点的坐标 首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程（组），解方程（组）求出其坐标..
◆类型1 加减数乘与数量积
【例题2-1】（2022·全国·高二专题练习）已知，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】1．（2022·全国·高二专题练习）若向量、的坐标满足，，则等于（ ）
A．﹣1 B．﹣5 C．5 D．7
【变式2-1】2．（2022秋·广东佛山·高二佛山市荣山中学校考期中）已知空间直角坐标系中， ，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】3．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期中）已知一个正八面体的棱长都是2（如图），分别为的中点，则__________；若，过点的直线分别交直线于两点，设（其中均为正数），则的最小值为__________.
【变式2-1】4．定义．若向量，向量为单位向量，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
◆类型2空间向量模长问题
【例题2-2】（2022秋·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中）已知向量，，若与垂直，则＝_____.
【变式2-2】1．（2023秋·高二课时练习）棱长为1的正方体，以正方体的顶点为始点和终点的向量中，模长等于的向量有__________个，模长等于的向量有__________个．
【变式2-2】2．（2023·高二校考课时练习）已知向量，，向量同时满足下列三个条件：①；②；③.
(1)求的模；
(2)求向量的坐标.
【变式2-2】3．（2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末）在棱长为2的正方体中，点分别在棱和上，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【变式2-2】4．（2023春·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考期中）如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为正方形，且边长均为1．平面平面，M为底面内一动点．当时，M点在底面内的轨迹长度为_____．
【变式2-2】5．（2023春·辽宁·高二校联考阶段练习）在正四棱锥中，，在棱上，在直线上，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
◆类型3空间向量夹角问题
【例题2-3】（2023·全国·高三对口高考）已知向量，若，则_________．
【变式2-3】1．（2022·高二课时练习）已知：，∥，⊥，求：
(1)，，；
(2)与所成角的余弦值.
【变式2-3】2．（（2023春·北京海淀·高一人大附中校考期中）人大附中举办了“阳春德泽·欧以咏志”春日合唱比赛大获成功．数学组想举办“响亮（谐音向量）学生音乐节”独唱比：想在独唱比赛取得好的成绩取决于三个要素：情感投入，唱歌技巧和舞台效果（单位：分）．每个参赛同学各有优势．最多只能分配10分到三个不同的要素中．根据经验，数学组老师约定三个要素为时会达到最佳效果．计分方式是计算参赛同学的三维要素向量与的夹角余弦值，公式是，该值越大得分越高．根据此规则，你认为下列四位参赛同学得分最高的是（ ）
同学 情感投入 唱歌技巧 每台效果
A 6 3 1
B 1 4 4
C 2 3 4
D 2 4 3
A．同学A B．同学B C．同学C D．同学D
【变式2-3】3．（2023·江西·校联考二模）在四棱锥中，棱长为2的侧棱垂直底面边长为2的正方形，为棱的中点，过直线的平面分别与侧棱、相交于点、，当时，截面的面积为（ ）
A． B．2 C． D．3
◆类型4投影向量问题
【例题2-4】（2023春·江苏徐州·高二统考期中）已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-4】1.（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）已知向量满足，且，则_________，在上的投影向量的坐标为______________．
【变式2-4】2.（2023春·广西·高二校联考阶段练习）已知向量，则向量在向量上的投影向量（ ）
A． B． C． D．
题型3空间向量平行、垂直的坐标表示及应用
◆类型1空间向量平行问题
【例题3-1】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知向量，，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】1．已知空间三点，，，设，，，且，则___________.
【变式3-1】2．已知向量,1,，则与共线的单位向量（ ）
A．,, B．,1,
C．,, D．,1,
【变式3-1】3．（2023春·高二课时练习）已知向量，，且，则实数k的值为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】4.（2023秋·高二课时练习）已知空间三点，，，设，．
(1)设，，求；
(2)求与的夹角；
(3)若与互相垂直，求k．
◆类型2空间向量垂直问题
【例题3-2】（2023春·高二课时练习）已知向量，，，，.
(1)求x，y，z的值；
(2)求向量与所成角的余弦值．
【变式3-2】1．（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）已知向量．
(1)求；
(2)当时，若向量与垂直，求实数和的值；
(3)若向量与向量共面向量，求的值．
【变式3-2】2．（多选）（2023秋·江西抚州·高二统考期末）如图，矩形ADFE、矩形CDFG、正方形ABCD两两垂直，且，若线段DE上存在点P，使得，则边CG长度的可能值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【变式3-2】3.（2023春·河南洛阳·高二统考期末）已知正方体的棱长为，（），现有如下四个命题：
①，都有；
②，都存在使得；
③，使得；
④的最小值为．
其中所有真命题的序号是______．
【变式3-2】4．已知，，点，．
(1)求的值．
(2)在线段AB上，是否存在一点E，使得？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（O为坐标原点）
【变式3-2】5．已知．
(1)求；
(2)已知点在直线上，求的值；
(3)当为何值时，与垂直？
◆类型3锐角钝角问题
【例题3-3】（2023春·江苏常州·高二校联考阶段练习）若，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2023春·江苏连云港·高二连云港高中校考阶段练习）已知，若夹角为钝角，则实数的取值范围是________．
题型4含参取值（范围）最值问题
【例题4】（2023·上海黄浦·格致中学校考三模）在棱长为1的正方体中，已知E为线段的中点，点F和点P分别满足，，其中，，则下列说法不正确的是（ ）
A．当时，三棱锥的体积为定值
B．当时，四棱锥的外接球的表面积是
C．的最小值为
D．存在唯一的实数对，使得平面PDF
【变式4-1】1．（多选）（2023·山东青岛·统考三模）在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AB＝BC＝1，，点M，N分别为PB，AC中点，W是线段PA上的动点，则（ ）
A．平面平面ABC
B．面积的最小值为
C．平面WMN截该三棱锥所得截面不可能是菱形
D．若三棱锥P－ABC可以在一个正方体内任意转动，则此正方体的体积最小值为
【变式4-1】2．（2023春·高二课时练习）如图所示，正方体的棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点在正方体的体对角线上，点在正方体的棱上．当点为体对角线的中点，点在棱上运动时，求的最小值．
【变式4-1】3.（2023春·江苏泰州·高二江苏省兴化中学校联考阶段练习）如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直，点在上移动，点在上移动，若，则的长的最小值为_________．
【变式4-1】4.（2023·全国·高三专题练习）已知单位空间向量满足．若空间向量满足，且对于任意实数的最小值是2，则的最小值是_________．
【变式4-1】5．（2022秋·浙江·高二校联考阶段练习）在正三棱锥中，，为的中点，为上靠近的三等分点，在平面上，且满足，在的边界上运动，则直线与所成角的余弦值的取值范围是___________.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系——题型·技巧攻略
题型1空间向量的坐标表示 4
题型2空间向量的坐标运算 7
◆类型1 加减数乘与数量积 8
◆类型2空间向量模长问题 11
◆类型3空间向量夹角问题 16
◆类型4投影向量问题 21
题型3空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 22
◆类型1空间向量平行问题 22
◆类型2空间向量垂直问题 25
◆类型3锐角钝角问题 32
题型4含参取值（范围）最值问题 34
知识点一.正交基底和单位正交基底
正交基底 如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底
单位正交基底 当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i,j,k}表示
推论:
设 O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得++.
知识点二.空间直角坐标系
1.定义：如图，在空间选定一点0和一个单位正交基底{i，j，k}以0为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫作坐标轴，这是我们说建立了一个空间直角坐标系O-xyz。
其中点O叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴，三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面，分别叫作xoy平面、yoz平面和xoz平面。
2.右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。
知识点三.空间直角坐标系中点的坐标
定义：对于空间任意一点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即通过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于P，Q，R，点P， Q， R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序实数组（x，y，z）叫作A点的坐标，记为A（x，y，z）。其中x，y，z分别叫作点A的横坐标，纵坐标，竖坐标。
在空间直角坐标系O-xyx中，对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（a1，a2，a3），使a=a1i＋a2j＋a3x，有序实数组（a1，a2，a3）叫作向量a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，记作a=（a1，a2，a3）.
知识点四.空间向量的坐标运算
1.空间向量的坐标运算
（1）设a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），则
①a+b=（x1+x2，y1+y2，z1+z2）
②a-b=（x1-x2，y1-y2，z1-z2）
③λa=（λx1，λy1，λz1）(a∈R).
④若u，v是两个实数，ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)；
⑤a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；
⑥|a|＝＝；
⑦当a≠0且b≠0时，cos〈a，b〉＝＝．
(2)设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则=-=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）.即一个向量的
坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
2.空间向量平行、垂直的坐标表示
（1）已知空间向量a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），且a≠0，则a//bb=λax2=λx1，y2=λy1，z2=λz1(λ∈R).
(2)a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0．
3.空间向量坐标的应用
(1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离OP＝．
(2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离P1P2＝．
题型1空间向量的坐标表示
【例题1】（2023·高三课时练习）若ABCD为平行四边形，且已知点、、，则顶点D的坐标为______．
【答案】
【分析】设，然后利用求解即可.
【详解】设，因为四边形为平行四边形，
所以，所以，
所以，所以，即.
故答案为：.
【变式1-1】1．（2023秋·高二课时练习）三棱锥中，为直角，平面，，为的中点，为中点，以为基底，则的坐标为__________．
【答案】
【分析】利用中位线和向量的线性运算，将用基底表示，表示系数即为所求坐标.
【详解】
为的中点，为中点，则为的中位线，
故，于是以为基底时，的坐标为.
故答案为：
【变式1-1】2．（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）在空间直角坐标系中，已知三点，若点C在平面内，则点C的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的运算可得，，由，不共线，结合向量基本定理可得，求得C点坐标为，代入验算即可得解.
【详解】由，，
显然，不共线，
根据向量基本定理可得，
故C点坐标为，
经验算只有B选项符合条件，
此时，
故选：B
【变式1-1】3．（2021秋·山西太原·高二太原市外国语学校校考期中）定义：设是空间向量的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标.已知向量是空间中的一个单位正交基底，向量是空间中的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为___________.
【答案】
【分析】化简得到，得到答案.
【详解】，
故在基底下的坐标为，
故答案为：.
【变式1-1】4．（2022秋·江苏徐州·高二校考阶段练习）在中，．
(1)求顶点的坐标；
(2)求．
【答案】(1),
(2)
【分析】根据向量的坐标表示求出的坐标，利用向量数量积的坐标运算可求得.
【详解】（1）设,,
,.
设,,
,.
（2），
.
【变式1-1】5．（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，E， F分别是的中点，点G在棱CD上，且， H是的中点．以D为坐标原点，所在直线分别为 x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求向量和的坐标．
【答案】，
【分析】根据空间直角坐标系，求出点的坐标，可求向量和的坐标．
【详解】由已知可得点， ，， .
因为H是的中点，所以H点坐标为.
故，.
题型2空间向量的坐标运算
【方法总结】关于空间向量坐标运算的两类问题 （1）直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算. （2）由条件求向量或点的坐标 首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程（组），解方程（组）求出其坐标..
◆类型1 加减数乘与数量积
【例题2-1】（2022·全国·高二专题练习）已知，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量的坐标运算计算即可．
【详解】．
故选：D．
【变式2-1】1．（2022·全国·高二专题练习）若向量、的坐标满足，，则等于（ ）
A．﹣1 B．﹣5 C．5 D．7
【答案】B
【分析】利用向量的运算和数量积运算即可得出．
【详解】∵，
．
∴．
故选：B．
【变式2-1】2．（2022秋·广东佛山·高二佛山市荣山中学校考期中）已知空间直角坐标系中， ，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量表示出点Q坐标，再求出，的坐标，借助数量积建立函数关系即可求解.
【详解】因点Q在直线上运动，则，设，于是有，
因为，，所以，，
因此，，
于是得
，
则当时，，此时点Q，
所以当取得最小值时，点Q的坐标为.
故选：C
【变式2-1】3．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期中）已知一个正八面体的棱长都是2（如图），分别为的中点，则__________；若，过点的直线分别交直线于两点，设（其中均为正数），则的最小值为__________.
【答案】 4
【分析】补形成正方体，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算可得；在平面BEF中，利用G，N，M三点共线可得m，n的关系，然后利用基本不等式可得最小值.
【详解】补形成正方体，如图建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为a，则，解得
则
所以
所以
所以
在平面BEF中，如图，
因为，所以
又，
所以
因为G，N，M三点共线，所以
所以
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为
故答案为：4；
【变式2-1】4．定义．若向量，向量为单位向量，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据，利用空间向量的数量积和模的公式求解.
【详解】解：由题意知．设与的夹角为，
则．又，
．,
故选：B．
◆类型2空间向量模长问题
【例题2-2】（2022秋·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中）已知向量，，若与垂直，则＝_____.
【答案】
【分析】根据给定条件，利用向量垂直关系求出x，再结合向量的坐标运算及模的运算计算作答.
【详解】向量与垂直，则有，解得，
于是，
所以.
故答案为：
【变式2-2】1．（2023秋·高二课时练习）棱长为1的正方体，以正方体的顶点为始点和终点的向量中，模长等于的向量有__________个，模长等于的向量有__________个．
【答案】 24 8
【分析】因为正方体棱长为1，所以正方体的面对角线长为，体对角线长为，正方体有12条面对交线、4条体对角线，而每条对角线对应两个向量，即可得出答案.
【详解】因为正方体棱长为1，所以正方体的面对角线长为，
体对角线长为，
因为正方体有12条面对交线，而每条对角线对应两个向量，如，
所以模长等于的向量有24个，
正方体有4条体对角线，故模长为的向量有8个.
故答案为：24；8.
【变式2-2】2．（2023·高二校考课时练习）已知向量，，向量同时满足下列三个条件：①；②；③.
(1)求的模；
(2)求向量的坐标.
【答案】(1)1
(2)或.
【分析】（1）根据向量的坐标运算及模的公式计算即可；
（2）设，根据条件列出方程组求解即可.
【详解】（1），，
，
.
（2）设，
则①，②，③，
由①②③得或
或.
【变式2-2】3．（2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末）在棱长为2的正方体中，点分别在棱和上，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，设E、F坐标，根据得出E、F坐标关系式，利用函数求最值即可.
【详解】
如图所示，以为中心建立空间直角坐标系，设，
则，，
，当时取得最大值.
故选：B
【变式2-2】4．（2023春·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考期中）如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为正方形，且边长均为1．平面平面，M为底面内一动点．当时，M点在底面内的轨迹长度为_____．
【答案】/
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法求得M点在底面内的轨迹，进而求得其长度.
【详解】取中点N，中点O，连接，
因为平面平面， ，平面平面，平面
所以平面，
由题意可得两两垂直，
以O为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，令,
则
由，可得，
则，整理得，
则M点在底面内的轨迹为线段 ，
所以轨迹的端点的坐标为
则M点在底面内的轨迹长度为
故答案为：
【变式2-2】5．（2023春·辽宁·高二校联考阶段练习）在正四棱锥中，，在棱上，在直线上，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】以O为原点，分别以，，的方向为轴、轴和轴轴的正方向建立的空间直角坐标系，设和，求得点A到直线CE的距离的表达式，进而求得最小值.
【详解】如图所以，连接AC，BD，记，连接OP，
由正四棱锥的性质可知OC，OD，OP两两垂直，则以O为原点，分别以，，的方向为轴、轴和轴轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，，，，
则，,
设，则，
从而，
故点A到直线CE的距离，
即AF的最小值是.
故选：D.
◆类型3空间向量夹角问题
【例题2-3】（2023·全国·高三对口高考）已知向量，若，则_________．
【答案】
【分析】设，依题意可得，再根据向量夹角公式即可求解.
【详解】设向量 ，
，，设与的夹角为，，
，.
故答案为：.
【变式2-3】1．（2022·高二课时练习）已知：，∥，⊥，求：
(1)，，；
(2)与所成角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由空间向量平行与垂直坐标公式列出方程组，即可求解.
（2）利用空间向量的夹角坐标公式，即得.
【详解】（1）∵∥，
∴，
解得，
故，
又因为，所以0，
即，解得，
故；
（2）由（1）可得（5，2，3），（1，﹣6，1），
设向量与所成的角为，
则
.
【变式2-3】2．（（2023春·北京海淀·高一人大附中校考期中）人大附中举办了“阳春德泽·欧以咏志”春日合唱比赛大获成功．数学组想举办“响亮（谐音向量）学生音乐节”独唱比：想在独唱比赛取得好的成绩取决于三个要素：情感投入，唱歌技巧和舞台效果（单位：分）．每个参赛同学各有优势．最多只能分配10分到三个不同的要素中．根据经验，数学组老师约定三个要素为时会达到最佳效果．计分方式是计算参赛同学的三维要素向量与的夹角余弦值，公式是，该值越大得分越高．根据此规则，你认为下列四位参赛同学得分最高的是（ ）
同学 情感投入 唱歌技巧 每台效果
A 6 3 1
B 1 4 4
C 2 3 4
D 2 4 3
A．同学A B．同学B C．同学C D．同学D
【答案】C
【分析】根据题意得到四位同学的三维要素向量，再逐一利用公式计算得对应的，从而得解.
【详解】易得，
对于A同学，其三维要素向量为，则，
则其对应的；
对于B同学，其三维要素向量为，则，
则其对应的；
对于C同学，其三维要素向量为，则，
则其对应的；
对于D同学，其三维要素向量为，则，
则其对应的；
易得，，
所以，，
故C同学的三维要素向量与的夹角余弦值最大，则其得分估计最高.
故选：C.
【变式2-3】3．（2023·江西·校联考二模）在四棱锥中，棱长为2的侧棱垂直底面边长为2的正方形，为棱的中点，过直线的平面分别与侧棱、相交于点、，当时，截面的面积为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量共面确定点的坐标，利用向量数量积及三角形面积公式即可求出.
【详解】由题意，平面，四边形为正方形，
如图，建立空间直角坐标系D-xyz，
则，，，，，，，
设，，则，
又，，所以，则，
由题意，四点共面，所以，
所以，解得，
所以，，所以，
所以，即，
所以，
所以，
又，
所以，即，
所以，
所以，
所以截面的面积为.
故选：A
◆类型4投影向量问题
【例题2-4】（2023春·江苏徐州·高二统考期中）已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求，再由投影向量的定义，结合数量积的坐标运算，模的坐标运算公式求解.
【详解】因为，，，
所以，
所以，，
，
所以向量在上的投影向量是，
所以向量在上的投影向量的坐标是，
故选：D.
【变式2-4】1.（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）已知向量满足，且，则_________，在上的投影向量的坐标为______________．
【答案】
【分析】对两边平方后得到，代入投影向量的公式进行求解即可得投影向量的坐标.
【详解】两边平方化简得：，①
因为，所以，
又，代入①得：，解得：，
，
所以，在上的投影向量坐标为
．
故答案为：2，．
【变式2-4】2.（2023春·广西·高二校联考阶段练习）已知向量，则向量在向量上的投影向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用投影向量的定义求解作答.
【详解】向量，，，
所以向量在向量上的投影向量.
故选：B
题型3空间向量平行、垂直的坐标表示及应用
◆类型1空间向量平行问题
【例题3-1】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知向量，，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据共线向量基本定理确定与的关系，再分别求出和，进而求解.
【详解】解：若，则，
因为已知向量，，所以，解得，
所以.
故选：.
【变式3-1】1．已知空间三点，，，设，，，且，则___________.
【答案】或
【分析】先求得，然后根据向量共线以及向量的模求得.
【详解】，
由于，所以，
所以，
所以为或.
故答案为：或
【变式3-1】2．已知向量,1,，则与共线的单位向量（ ）
A．,, B．,1,
C．,, D．,1,
【答案】C
【分析】利用向量共线定理、模的计算公式即可判断出结论.
【详解】因为向量与共线，故，对于C：向量,,，另验证向量,,的模为，故,,为单位向量．
故选：C．
【变式3-1】3．（2023春·高二课时练习）已知向量，，且，则实数k的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用空间向量线性运算的坐标表示，结合向量共线条件列式计算作答.
【详解】向量，，则，
因为，则，解得，
所以实数k的值为.
故选：C
【变式3-1】4.（2023秋·高二课时练习）已知空间三点，，，设，．
(1)设，，求；
(2)求与的夹角；
(3)若与互相垂直，求k．
【答案】(1)或
(2)
(3)或
【分析】（1）由空间向量平行，得出，设，再利用列方程，进而求得；
（2）先求得，，再利用公式即可求得的值，根据反三角函数即可求得向量夹角；
（3）利用空间向量垂直充要条件列出关于的方程，解之即可求得的值．
【详解】（1）由题可知，，
由，得，设，
因为，
所以，解得，
所以或．
（2）因为、、，，，
所以，，
则，
所以与的夹角为．
（3）因为，，
又与垂直，
所以，
解得或．
◆类型2空间向量垂直问题
【例题3-2】（2023春·高二课时练习）已知向量，，，，.
(1)求x，y，z的值；
(2)求向量与所成角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量的平行以及垂直关系列出方程，求解方程组即可.
（2）根据两个向量所成角的余弦公式求解即可.
【详解】（1）∵，，， ，
因为，设存在实数，使得，
所以，则.
因为，，则.
∴所以.
（2）由（1）知，，，
∴，，
∴，
，，
∴.
∴向量与所成角的余弦值为.
【变式3-2】1．（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）已知向量．
(1)求；
(2)当时，若向量与垂直，求实数和的值；
(3)若向量与向量共面向量，求的值．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）根据空间向量的模长公式求解即可.
（2）根据空间向量的加法和数乘运算，可得坐标表示，根据空间向量垂直的坐标计算公式，求解即可.
（3）根据向量共面定理，建立向量与向量之间的表示，可得方程组，求解即可.
【详解】（1），，
，
．
（2）因为，
所以，解得，
因为 ，且向量与垂直，
所以，
即，
．
所以实数和的值分别为和；
（3）解：设 ，
则
解得，
即，
所以向量与向量，共面．
【变式3-2】2．（多选）（2023秋·江西抚州·高二统考期末）如图，矩形ADFE、矩形CDFG、正方形ABCD两两垂直，且，若线段DE上存在点P，使得，则边CG长度的可能值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】CD
【分析】以为原点建立空间直角坐标系，设，则，即，再根据，得，结合二次函数得性质即可得解.
【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，
设，则，即，
又，
所以，
由，
得，
显然且，则，
所以，
因为，所以，
所以，所以.
故选：CD.
【变式3-2】3.（2023春·河南洛阳·高二统考期末）已知正方体的棱长为，（），现有如下四个命题：
①，都有；
②，都存在使得；
③，使得；
④的最小值为．
其中所有真命题的序号是______．
【答案】①②③
【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算可判断①③；利用空间向量的坐标运算可判断②；将侧面与面延展至同一平面，分析可知当点、、共线时，取最小值，求出的最小值，可判断④.
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为正方体的棱长为，（），
则、、、、、、
、、.
对于①，，，
，，①对；
对于②，，，
，都存在，使得，
则，
由可得，可得，合乎题意，②对；
对于③，，，
若，使得，则，解得，合乎题意，③对；
对于④，在正方体中，平面，
因为平面，则，
又因为且，故四边形为矩形，且，
易知四边形为正方形，
将侧面与面延展至同一平面，如下图所示：
当点、、共线时，取最小值，
且，
当且仅当点、、共线时，等号成立，故的最小值为，④错.
故答案为：①②③.
【变式3-2】4．已知，，点，．
(1)求的值．
(2)在线段AB上，是否存在一点E，使得？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（O为坐标原点）
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）利用空间向量的线性运算及模的运算公式即可得解；
（2）利用空间向量共线定理得到关于的关系式，再由空间向量垂直的坐标表示求得，从而得到点E的坐标.
【详解】（1）因为，，
所以，
则.
（2）假设线段AB上存在一点E，使得，则设，
因为，，所以，
又因为，
所以，
因为，，
所以，解得，满足，
所以，即，
所以线段AB上存在一点E，使得，且.
【变式3-2】5．已知．
(1)求；
(2)已知点在直线上，求的值；
(3)当为何值时，与垂直？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据空间向量数量积的坐标运算直接求解；（2）利用空间向量共线的坐标表示求解；（3）利用空间向量垂直的坐标表示求解.
【详解】（1），
，
．
（2）因为点在直线上，与共线，
则存在使得，即，
，解得；
（3），
与垂直,
，
，
时，与垂直．
◆类型3锐角钝角问题
【例题3-3】（2023春·江苏常州·高二校联考阶段练习）若，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令与共线，求出的值，依题意且与不反向共线，根据数量积的坐标表示得到不等式组求解即可.
【详解】因为，，
令与共线，则，即，即，解得，
此时，，即，与反向，
又与的夹角为钝角，
所以且与不反向共线，
即且，
解得且，
故选：C
【变式3-3】（2023春·江苏连云港·高二连云港高中校考阶段练习）已知，若夹角为钝角，则实数的取值范围是________．
【答案】且
【分析】根据题意得出且与不共线，然后根据向量数量积的定义及向量共线的条件即可求出答案.
【详解】因为与的夹角为钝角，所以且与不共线，
因为，所以，解得，
当与共线时，，即，则，解得，
所以且.
故答案为：且.
题型4含参取值（范围）最值问题
【例题4】（2023·上海黄浦·格致中学校考三模）在棱长为1的正方体中，已知E为线段的中点，点F和点P分别满足，，其中，，则下列说法不正确的是（ ）
A．当时，三棱锥的体积为定值
B．当时，四棱锥的外接球的表面积是
C．的最小值为
D．存在唯一的实数对，使得平面PDF
【答案】C
【分析】由线面平行的判定可知平面，知三棱锥底面积和高均为定值，A正确；根据正棱锥外接球的球法，可构造关于外接球半径的方程，求得后知B正确；将C中问题转化为在平面内求解的最小值，作关于线段的对称点，将问题转化为长度的求解，根据角度和长度关系可确定C正确；以为坐标原点建立空间直角坐标系，假设线面垂直可构造方程组求得，可知D正确.
【详解】对于A，当时，为中点，又为中点，，
平面，平面，平面，
则当在线段上移动时，其到平面的距离不变，
三棱锥的体积为定值，A正确；
对于B，当时，取交点，连接，则四棱锥为正四棱锥，
平面，
设四棱锥的外接球的球心为，半径为，则在直线上，
，，，即，
解得：，四棱锥的外接球的表面积，B正确；
对于C，将问题转化为在平面内求解的最小值，
作关于线段的对称点，过作，交于，如下图所示，
，（当且仅当与重合时取等号），
，
，
，，
即的最小值为，故C错误；
对于D，以为坐标原点，为轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
若平面，则，
，
解得：（舍）或，
存在唯一的实数对，使得平面，故D正确.
故选：C.
【变式4-1】1．（多选）（2023·山东青岛·统考三模）在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AB＝BC＝1，，点M，N分别为PB，AC中点，W是线段PA上的动点，则（ ）
A．平面平面ABC
B．面积的最小值为
C．平面WMN截该三棱锥所得截面不可能是菱形
D．若三棱锥P－ABC可以在一个正方体内任意转动，则此正方体的体积最小值为
【答案】ABD
【分析】由面面垂直的判定定理可判断A；以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设所成角为，由空间向量的数量积定义可求出，由三角形的面积公式结合二次函数的性质可判断B；当为中点时，平面WMN截该三棱锥所得截面为是菱形，可判断C；若三棱锥P－ABC可以在一个正方体内任意转动，三棱锥的棱长最长为，故可求出正方体的体积最小值可判断D.
【详解】对于A，因为，，
故，，则，又因为，
所以，故，
因为，为的中点，所以，
则平面ABC，所以平面ABC，
平面，则平面平面ABC，故A正确；
对于B，因为平面ABC，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
所以，
所以，设所成角为，
而，
又，故，
，
所以的面积为，
故B正确；
对于C，当为中点，取的中点，连接，
因为，故四边形四点共面，
且四边形为平行四边形，又因为，
故四边形为菱形，所以当为中点时，平面WMN截该三棱锥所得截面为是菱形，故C不正确；
对于D，因为，，所以，
故三棱锥P－ABC的外接球半径为，故该外接球的内接正方形的棱长为，
若三棱锥P－ABC可以在一个正方体内任意转动，则此正方体的体积最小值为，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】本题的关键点在于由空间向量的数量积定义可求出，由三角形的面积公式可得，再由二次函数的性质可求出面积的最小值.
【变式4-1】2．（2023春·高二课时练习）如图所示，正方体的棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点在正方体的体对角线上，点在正方体的棱上．当点为体对角线的中点，点在棱上运动时，求的最小值．
【答案】
【分析】设，根据题意，利用空间两点的距离公式计算即可，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】依题意知，设点，
则，
所以当时，，
此时，Q恰为CD的中点．
所以的最小值为.
【变式4-1】3.（2023春·江苏泰州·高二江苏省兴化中学校联考阶段练习）如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直，点在上移动，点在上移动，若，则的长的最小值为_________．
【答案】
【分析】首先根据垂直关系，建立空间直角坐标系，利用坐标表示，再求的长的最小值．
【详解】因为平面平面，平面平面，
所以平面，所以两两垂直.
过点M作，垂足分别为G，H，连接，易证.
因为，所以
以B为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
所以
当，的长最小，且最小值为．
故答案为：．
【变式4-1】4.（2023·全国·高三专题练习）已知单位空间向量满足．若空间向量满足，且对于任意实数的最小值是2，则的最小值是_________．
【答案】
【分析】以，方向为轴，垂直于，方向为轴建立空间直角坐标系，根据条件求得坐标，由二次函数求最值即可求得最小值.
【详解】以，方向为轴，垂直于，方向为轴建立空间直角坐标系，则 ，
由可设，由是单位空间向量可得，
由可设，
，
当，的最小值是2，所以 ，取，
，
，
当时，最小值为.
故答案为：.
【变式4-1】5．（2022秋·浙江·高二校联考阶段练习）在正三棱锥中，，为的中点，为上靠近的三等分点，在平面上，且满足，在的边界上运动，则直线与所成角的余弦值的取值范围是___________.
【答案】
【分析】分析可知的轨迹以点为圆心，半径长为的圆，分析出取最大值和最小值时，点、的位置，利用余弦定理可求得直线与所成角的余弦值的最小值和最大值，即可得解.
【详解】设点在平面内的射影为点，则为正的中心，
为的中点，则，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
，则，
平面，平面，，，
则、、、、、，
设点，，，
所以，，可得，
易知的内切圆半径为，故点在内运动，
所以点在以点为圆心，半径长为的圆上运动，作出的平面图如下图所示：
由于点是固定的，当取最大值，此时取最大值，
且此时点为的某个顶点，不妨设点与点重合，则为线段的中点，
此时，，，
所以，；
当取最小值时，则取最小值，
此时点为某边的中点，不妨设点与点重合，
则点为的中点，则，，
所以，.
因此，直线与所成角的余弦值的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查异面直线所成角余弦值的取值范围，解本题的关键就是要确定点的轨迹，确定取最大值和最小值时的位置，再结合余弦定理求解.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
