辽宁省沈阳市皇姑区虹桥中学2023-2024学年九年级上册数学开学试卷
一、选择题（每题2分，共20分）
1．（2023九上·皇姑开学考）下列图案中，是中心对称图形，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023九上·皇姑开学考）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）
A．（a+3）2＝a2+6a+9 B．a2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4
C．5ax2﹣5ay2＝5a（x+y）（x﹣y） D．a2﹣2a﹣8＝（a﹣2）（a+4）
3．（2023九上·皇姑开学考）一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
4．已知x=2是方程x2﹣4x+c=0的一个根，则c的值是（ ）
A．﹣12 B．﹣4 C．4 D．12
5．（2023九上·皇姑开学考）分式有意义的条件是（ ）
A．x≠0 B．x＝﹣2 C．x≠2 D．x≠﹣2
6．（2016八上·吴江期中）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．
7．（2020八下·来宾期末）在下列命题中，正确的是 ( )
A．一组对边平行的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
8．（2023九上·皇姑开学考）受今年五月份雷暴雨影响，深圳某路段长120米的铁路被水冲垮了，施工队抢分夺秒每小时比原计划多修5米，则所列方程正确的是（ ）
A．＝4 B．＝4
C．＝4 D．＝4
9．（2023九上·皇姑开学考）不解方程，判断方程3x2﹣4x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
10．（2023九上·皇姑开学考）在平面直角坐标系中，把△ABC先沿x轴翻折，再向右平移3个单位1B1C1，把这两步操作规定为翻移变换，如图，已知等边三角形ABC的顶点B（1，1），（3，1）．把△ABC经过连续3次翻移变换得到△A3B3C3，则点A的对应点A3的坐标是（ ）
A．（5，﹣） B．（8，1+）
C．（11，﹣1﹣） D．（14，1+）
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2012·沈阳）不等式组 的解集是 ．
12．（2023九上·皇姑开学考）方程（x﹣1）（x+1）＝x﹣1的解是 ．
13．（2023九上·皇姑开学考）若a（a≠0）是关于方程x2+bx﹣2a＝0的一个根，则a+b的值为 ．
14．（2023九上·皇姑开学考）如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，AD=4，P是AB边上的一点，E、F分别是DP、BP的中点 ．
15．（2023九上·皇姑开学考）如图，将边长为8厘米的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，折痕为MN，则线段MN的长是 ．
16．（2023九上·皇姑开学考）四边形ABCD是正方形，点E是直线AD上的一点，连接CE（C、E、F、G四个点按照逆时针方向排序），直线BE与直线GD交于点H，若AE＝2，则点F到GH的距离为 ．
三、解答题（17题10分，18题5分，19题8分，共23分）
17．（2023九上·皇姑开学考）计算：
（1）（3﹣π）0﹣|﹣|++2﹣2；
（2）．
18．（2017九上·芜湖期末）解方程：x2﹣2x=2x+1．
19．（2023九上·皇姑开学考）如图，在△ABC中，AB＝AC（不与点B，C重合），在AD的右侧作△ADE，使得AE＝AD，连接CE．
（1）当D在线段BC上时，求证：△BAD≌△CAE；
（2）当CE∥AB时．
①若D在线段BC上，判断△ABC的形状，并说明理由；
②若△ABD中的最小角为20°，直接写出∠ADB的度数．
四、解答题（20题10分，21题8分，共18分）
20．（2023九上·皇姑开学考）早黑宝”是我省农科院研制的优质新品种，在我省被广泛种植．清徐县某葡萄种植基地2016年种植“早黑宝”100亩，到2018年“早黑宝”的种植面积达到225亩．
（1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率；
（2）市场调查发现，当“早黑宝”售价为20元/千克时，每天能售出200千克，每天可多售出50千克，为了推广宣传，已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天获利1800元
21．（2023九上·皇姑开学考）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）（3，4）．
⑴请画出与△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1；
⑵若△ABC以点A为旋转中心逆时针旋转90°后得到的图形为△AB2C2（B的对应点为B2，C的对应点为C2），在网格中画出旋转后的图形；
⑶点P为x轴上一点，使PA+PB的值最小，则点P的坐标为 ．
五、解答题（本题8分）
22．（2023九上·皇姑开学考）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“画出函数的图象——根据图象研究函数的性质﹣运用函数的性质解决问题”的学习过程，结合上面的学习过程
（1）请用你喜欢的方法在给出的平面直角坐标系中，直接画出这个函数的图象；
（2）小明同学通过图象得到了以下性质，其中正确的有 ；
①当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时；
②当x＝0时，此函数有最大值为4；
③此函数的图象关于y轴对称；
（3）画出函数y＝x﹣2的图象，结合你所画的函数图象，直接写出不等式﹣2|x|+x+4≥x﹣2的解集为 ．
六、解答题（本题9分）
23．（2023九上·皇姑开学考）将一个矩形纸片OABC放置于平面直角坐标系中，点O（0，0），点B（10，6），点C在y轴，在AB边上取一点D，点B恰好落在边OA上的点E处．
（1）如图1，求点D的坐标；
（2）如图2，当点P在线段OA（不包含断点A、O）上运动时，过点P作直线l⊥x轴，直线l把△CED的面积分成1：9的两部分
七、解答题（本题12分）
24．（2023九上·皇姑开学考）
（1）【课本再现】把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图1的图案，则∠ACF＝ °；
（2）【迁移应用】如图2，在正方形ABCD中，E是CD边上一点（不与点C，D重合），将BE绕点E顺时针旋转90°至FE，作射线FD交BC的延长线于点G；
（3）【拓展延伸】在菱形ABCD中，∠A＝120°，E是CD边上一点（不与点C，D重合），将BE绕点E顺时针旋转120°至FE，作射线FD交BC的延长线于点G．
①线段CG与BC的数量关系是 ；
②若AB＝6，E是CD的三等分点，则△CEG的面积为 ．
八、解答题（本题12分）
25．（2023九上·皇姑开学考）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x+18的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，且点M为线段OB的中点．
（1）求直线AM的解析式；
（2）将△AMB沿着AM翻折，点B落在点B1处，连接OB1，则四边形AMB1O的形状为 ；
（3）若点H是直线AM上的动点，在坐标平面内是否存在这样的点Q，使以A、B、Q、H为顶点的四边形是矩形？若存在，若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解： A、不是中心对称图形，是轴对称图形，A不符合题意；
B、不是中心对称图形，不是轴对称图形，B不符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，C符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】 根据轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；中心对称图形：如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行求解即可.
2．【答案】C
【知识点】因式分解的定义；因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：A：（a+3）2=a2+6a+9是完全平方公式，不是因式分解的形式，A错误，
B：a2-4a+4=（a-2）2，B错误，
C：5ax2-5ay2=5a（x2-y2）=5a（x+y）（x-y），C正确，
D：a2-2a-8=（a+2）（a-4），D错误．
故答案为：C.
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的饮因式分解；因式分解的口诀：先提首项负号，再看有无公因式，后看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合，逐项分析即可得出答案.
3．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形的边数是n，根据题意得，
（n-2） 180°=3×360°，
解得：n=8，
∴这个多边形的边数为8．
故答案为：B.
【分析】根据多边形的内角和等于（n-2） 180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可.
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x=2代入x2﹣4x+c=0得4﹣8+c=0，
解得c=4．
故选C．
【分析】根据一元二次方程的解，把x=2代入x2﹣4x+c=0可求出c的值．
5．【答案】D
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有有意义，
∴x+2≠0，
解得：x≠-2，
故答案为：D.
【分析】根据分式有意义的条件，分母不为零，得出x+2≠0，即可求解.
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：根据题意得：a2﹣1=0且a﹣1≠0，
解得：a=﹣1．
故选B．
【分析】根据方程的解的定义，把x=0代入方程，即可得到关于a的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项， 从而得出正确选项．两组对边平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的四边形是矩形、直角梯形、总之，只要有一个角是直角即可；有一组邻边相等的平行四 边形是菱形；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
【解答】A、应为两组对边平行的四边形是平行四边形；
B、有一个角是直角的四边形是矩形、直角梯形、总之，只要有一个角是直角即可；
C、符合菱形定义；
D、应为对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形、矩形和菱形及正方形的判定与命题的真假区别．
8．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：题中原计划修小时，实际修了小时，
可列得方程
，
故答案为：A.
【分析】根据“提前4小时开通了列车”可得等量关系为：计划用的时间-实际用的时间=4，列方程即可得出答案.
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∴在方程3x2-4x+1=0中，Δ=（-4）2-4×3×1=4＞0，
∴方程3x2-4x+1=0有两个不相等的实数根．
故答案为：B.
【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出Δ=4＞0，从而得出方程有两个不相等的实数根.
10．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵三角形ABC是等边三角形， B（1，1），（3，1） ，
∴AB=BC=2，
故点A到BC的距离为，
∴A的坐标为；
∵把△ABC先沿x轴翻折，再向右平移3个单位得到△A1B1C1，
则得到点A1的坐标为，
同样得出A2的坐标为，
A3的坐标为，即.
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的三条边都相等可得AB=BC=2，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得A的坐标，根据对称的性质：关于x轴对称的点的特征两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反；平移的性质：沿x轴平移纵坐标保持不变，图案沿水平方向向右平移a个单位长度，横坐标加a；图案沿水平方向向左平移a个单位长度，横坐标减a；即可求解.
11．【答案】﹣1＜x＜
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；不等式的性质
【解析】【解答】解： ，
∵解不等式(1)得：x＞﹣1，
解不等式(2)得：x＜ ，∴不等式组的解集是﹣1＜x＜ ，
故答案为：﹣1＜x＜ ．
【分析】根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
12．【答案】x1＝1，x2＝0
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（x-1）（x+1）=（x-1），
因式分解得：（x-1）（x+1-1）=0，
可得x-1=0或x=0，
解得：x1=1，x2=0．
故答案为：x1=1，x2=0.
【分析】先将方程右边看作一个整体，移项到左边，提取公因式x-1化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解即可.
13．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵a（a≠0）是关于方程x2+bx-2a=0的一个根，
∴当x=a时，则a2+ba-2a=0，
∴a（a+b-2）=0，
∵a≠0，
∴a+b-2=0，
∴a+b=2，
故答案为：2.
【分析】将x=a代入x2+bx-2a=0，然后提取公因式法，根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0，结合题意可得a+b-2=0，即可求解.
14．【答案】2
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： 如图：连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=4，AB∥CD，
∵∠ADC=120°，AB∥CD，
∴∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AD=4，
∵PE=ED，PF=FB，
∴．
故答案为：2.
【分析】根据菱形的四条边都相等，对边平行；可得AD=AB=4，AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠A=60°；根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得，BD=4，根据连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半即可求解.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，过点M作MF⊥CD于F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ADC=90°，AD=CD，
又∵MF⊥CD，
∴四边形AMFD是矩形，
∴MF=AD，
由翻折变换的性质得MN⊥DE，
∵∠CDE+∠MNF=90°，∠CDE+∠DEC=90°，
∴∠MNF=∠DEC，
又∵AD=CD，
∴MF=CD，
在△DCE和△MFN中，
，
∴△DCE≌△MFN（AAS），
∴MN=DE，
∵点E是BC的中点，
∴，
在Rt△CDE中，由勾股定理得，，
所以，MN的长为；
故答案为：.
【分析】根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角；有三个角是直角的四边形是矩形，矩形的对边相等可得MF=AD，根据翻折变换的性质可得MN⊥DE，然后求出∠MNF=∠DEC，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等可得MN=DE，根据中点的定义可得CE=4，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解.
16．【答案】
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，四边形FGCE是正方形，
∴CD=CB，CG=CE，∠GCE=∠DCB=90°，
∴∠GCD=∠ECB，且CD=CB，CG=CE，
∴△GCD≌△ECB（SAS），
∴CG=CE，BE=GD，
如图，过点F作FN⊥GH于点N，过点C作CM⊥GH于点M，
∵AE=2，AB=4
∴AD=CD=AB=4，DE=AD-AE=3，，
∴，
∴，
∴，
∵∠FGC=90°，
∴∠FGD+∠DGC=90°，∠FGD+∠GFD=90°，
∴∠GFN=∠DGC，且FG=GC，∠FNG=∠CMG=90°，
∴△FGN≌△GCM（AAS），
∴FN=GM，
∵CM2=CG2-GM2，CM2=CD2-MD2，
∴，
∴，
∴点F到GH的距离，
故答案为：.
【分析】根据正方形的四条边相等，四个角是直角可得CD=CB，CG=CE，∠GCE=∠DCB=90°，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得CG=CE，BE=GD，结合题意和勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可求得BE，CE，CG，BE的值，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等可得FN=GM，根据勾股定理列出方程，可求GM的长，即可得点F到GH的距离．
17．【答案】（1）解：原式
＝7；
（2）解：原式
．
【知识点】实数的运算；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）先计算零指数幂、绝对值、算术平方根和负整数指数幂，然后计算加减即可；
（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算即可.
18．【答案】解：∵x2﹣2x=2x+1，
∴x2﹣4x=1，
∴x2﹣4x+4=1+4，
（x﹣2）2=5，
∴x﹣2=± ，
∴x1=2+ ，x2=2﹣
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】先移项，把2x移到等号的左边，再合并同类项，最后配方，方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．
19．【答案】（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD 和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
（2）解：①当D在线段BC上时，△ABC为等边三角形
∵CE∥AB，
∴∠ACE＝∠BAC，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠ABD＝∠BAC，
又AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC，
∴△ABC为等边三角形；
②当D在线段BC上时，如图，
∵CE∥AB，
∴∠ACE＝∠BAC，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠ABD＝∠BAC，又∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
当△ABD中的最小角是∠BAD＝20°时，
∴∠ADB＝180°﹣60°﹣20°＝100°，
当点D在CB的延长线上时，如图，
∵CE∥AB，
∴∠BAE＝∠AEC，∠BCE＝∠ABC，
∵△DAB≌△EAC，
∴∠ADB＝∠AEC，∠ABD＝∠ACE，
∴∠BAC＝∠BAE+EAC＝∠AEC+∠EAC＝180°﹣∠ACE＝180°﹣∠ABD＝∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC是等边三角形，
当△ABD中的最小角是∠BAD＝20°时，∠ADB＝∠ABC﹣∠BAD＝40°，
当△ABD中的最小角是∠ADB时，∠ADB＝20°；
当点D在BC的延长线上时，只能∠ADB＝20°，
综上所述，∠ADB的度数为100°或40°或20°．
【知识点】三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明；
（2）①根据两直线平行，内错角相等可得∠ACE＝∠BAC，根据全等三角形的对应角相等可得∠ABD＝∠BAC，根据等腰三角形的两底角相等可得∠ABC＝∠ACB，根据三个角都相等的三角形是等边三角形即可求解；
②分D在线段BC上、当点D在CB的延长线上、点D在BC的延长线上三种情形，根据两直线平行，内错角相等；全等三角形的对应角相等；三个角都相等的三角形是等边三角形；三角形的内角和是180°进行求解即可.
20．【答案】（1）解：设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x，
根据题意得：100（1+x）2＝225，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝-2.5（不合题意，舍去）．
答：该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为50%．
（2）解：设售价应降低y元，则每天可售出（200+50y）千克，
根据题意得：（20-12-y）（200+50y）＝1800，
整理得：y2-4y+4＝2，
解得：y1＝y2＝3．
答：售价应降价2元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x，根据该基地2016年及2018年种植“早黑宝”的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）设售价应降低y元，则每天可售出（200+50y）千克，根据总利润=每千克的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论.
21．【答案】解：⑴如图所示，△A1B1C6即为所求；
⑵如图所示，△AB2C2即为所求；
⑶（2，0）．
【知识点】平面展开﹣最短路径问题；中心对称及中心对称图形；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（3）如图所示，作点A关于x轴对称点A'，连接A'B交x轴于点P，则点P即为所求，
故答案为：（2，0）．
【分析】（1）根据中心对称图形的性质找出对应点即可求解；
（2）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解；
（3）作点A关于x轴对称点A'，连接A'B交x轴于点P，则点P即为所求，再写出点P的坐标即可．
22．【答案】（1）解：列表：
x … -3 -2 -6 0 1 8 3 …
y … -5 -5 1 4 7 2 1 …
描点、连线画出函数y＝﹣7|x|+x+4的图象如图所示：
（2）①②
（3）-3≤x≤3
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数的性质；描点法画函数图象
【解析】【解答】解：（2） 由图象可知：
①当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小，正确；
②当x=0时，此函数有最大值为4，正确；
③此函数的图象关于y轴对称，错误；
故答案为：①②；
（3） 观察图象，不等式-2|x|+x+4≥x-2的解集为-3≤x≤3，
故答案为：-3≤x≤3．
【分析】（1）根据表格数据，描点连线即可画出该函数的图象．
（2）根据图象，根据一次函数的性质：当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小；进行判断即可；
（3）观察图象即可求解.
23．【答案】（1）解：∵在矩形纸片OABC中，
∴B（10，6），
∴BC＝OA＝10，AB＝OC＝6，
由折叠可得△DEC≌△DBC，
∴CE＝BC＝10，BD＝DE，
设AD＝x，
则BD＝DE＝AB-AD＝6-x，
在Rt△COE中，，
∴E（8，0），
∴AE＝AO-OE＝2，
在Rt△ADE中，AE2+AD2＝DE2，
∴4+x2＝（6-x）2
解得：，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
∵CE＝10，
∴，
∵C（0，6），，
∴直线CD为：，
又∵E（8，0），
∴直线CE为：，
∵直线l⊥x轴，若交CD于M，交CE与点N
则， ，
∴；
，
∵直线l把△CED的面积分成1：9的两部分，
分两种情况：
①S△CNM：S△CED＝1：10，
∴，
解得：，
∵0＜t≤8，
∴；
②S△CNM：S△CED＝9：10，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）；
当8＜t＜10时，如图：
由于E（8，0），，
则直线DE为：，
∵直线l⊥x轴，直线l把△CED的面积分成1：9的两部分，
设交CD于 ，交DE于，
∴，
∴，
由已知得：S△MDQ：S△CDE＝1：10，
∴，
解得：，
∵8＜t＜10，
∴，
综上所述：直线l把△CED的面积分成1：9的两部分，此时或.
【知识点】公式法解一元二次方程；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形性质可得BC＝OA＝10，AB＝OC＝6，根据折叠的性质可得CE＝BC＝10，BD＝DE，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得OE=8，则AE=2，在Rt△ADE中，根据勾股定理列式即可求得AD的值，求得D点坐标；
（2）根据三角形的面积公式求得△CED 的面积，待定系数法求得直线CD，直线CE，直线DE的解析式，设 ，求得MN的值，根据三角形的面积公式求得△CNM的面积，根据题意列式求解；设 ，求得MQ的值，根据三角形的面积公式求得△MDQ的面积，根据题意列式求解.
24．【答案】（1）90
（2）证明：过点F作FH⊥CD，交CD的延长线于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CB＝CD，∠BCD＝90°，
∴∠H＝∠BCD＝90°，
由旋转得∠BEF＝90°，EF＝BE，
∴∠BEC+∠CBE＝∠BEC+∠FEH＝90°，
∴∠CBE＝∠FEH，
∴△BEC≌△EFH（AAS），
∴FH＝EC，EH＝BC，
∴EH＝CD，即CE+DE＝DH+DE，
∴CE＝DH＝FH，
∴∠CDG＝∠FDH＝45°，
∵∠DCG＝BCD＝90，
∴△DCG是等腰直角三角形，
∴CG＝CD＝BC；
（3）；或
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；勾股定理；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD和四边形CEFG是全等的矩形，
∴AB=CE，BC=EF，∠B=∠E=90°，
∴△ABC≌△CEF（SAS），
∴∠BAC=∠FCE，AC=CF，
∵∠B=90°，
∴∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠FCE=90°，
∴∠ACF=90°，
故答案为：90．
（3）①过点F作∠EFH=∠BEC，与ED的延长线交于点H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CB=CD，∠A=∠BCD=120°，
由旋转得∠BEF=120°，EF=BE，
∴∠BEC+∠CBE=∠BEC+∠FEH=60°，
∴∠CBE=∠FEH，
∴△BEC≌△EFH（AAS），
∴∠H=∠BCD=120°，EH=BC，FH=CE，
∴CD=EH，
∴DH=CE，
∴DH=FH，
∴∠FDH=∠DFH=30°，
∴∠CDG=30°，
∵∠DCG=180°-∠BCD=60°，
∴∠G=90°，
∴△DCG是直角三角形，
∵∠CDG=30°，
∴，
故答案为：；
②当时，，
由①知，，
∴，
∵△CEG和△DCG底边CE、CD边上的高相等，
∴；
当时，，则CE=6-2=4，
∴，
∵△CEG和△DCG底边CE、CD边上的高相等，
∴；
故答案为：或.
【分析】（1）根据矩形的对边相等，四个角是直角得出AB=CE，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，对应角相等得出∠BAC=∠FCE，AC=CF，推得∠ACB+∠FCE=90°，即可得出答案；
（2）根据正方形的四条边相等，四个角是直角可得CB＝CD，∠BCD＝90°，结合旋转的性质，两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等可推得EH＝CD，即可得出结论；
（3）①根据菱形的四条边相等，对角相等可得CB=CD，∠A=∠BCD=120°，根据旋转的性质可得∠BEF=120°，EF=BE，推得∠CBE=∠FEH，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得∠H=∠BCD=120°，EH=BC，FH=CE，推得DH=FH，根据等腰三角形两底角相等，三角形的内角和是180°，求得∠FDH=∠DFH=30°，求得∠G=90°，根据30度所对的边是斜边的一半即可求解；
②当时，，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得，根据△CEG和△DCG底边CE、CD边上的高相等可知，即可求得△CEG的面积；当时，，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得，根据△CEG和△DCG底边CE、CD边上的高相等可知，即可求得△CEG的面积.
25．【答案】（1）解：对于y＝2x+18，令x＝0，
令y＝5x+18＝0，则x＝-9，
即点A、B的坐标分别为：（-9，0），（0，18），
∵点M为线段OB的中点，则点M（0，9），
设直线AM的表达式为：y＝kx+3，
将点A的坐标代入上式得：0＝-9k+2，则k＝1，
即直线AM的表达式为：y＝x+9；
（2）平行四边形
（3）解：存在，理由：
设点 Q（s，t），点H（m，m+9），
由点A，B的坐标得，AB2＝405，同理可得：AH2＝2（m+9）2，
当AB为对角线时，由中点坐标公式和AB＝QH得：
，
解得：，
即点Q的坐标为：；
当AQ是对角线时，由中点坐标公式和AQ＝BH得：
，
解得：，
即点Q的坐标为：；
当AH是对角线时，由中点坐标公式和AH＝BQ得：
，
解得：，
即点Q的坐标为：（-3，-3），
综上，点Q的坐标为：或或（-3，-3）．
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；平行四边形的判定；矩形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（2）设点B1的坐标为：（x，y），
由题意得，B1M=BM，AB=AB1，
则，
解得：（不合题意的值已舍去），
即点B1的坐标为：（9，9）；
由点A、M的坐标得，，
由点B1的坐标得，
∵AO=B1M=9，
∴四边形AMB1O的形状为平行四边形，
故答案为：平行四边形；
【分析】（1）先分别求出点A，B的坐标，再由待定系数法即可求解；
（2）由B1M=BM，AB=AB1，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出点B1的坐标，AM，OB1的值即可求解；
（3）当AB为对角线时，由中点坐标公式和AB=QH列出方程组，即可求解；当AQ是对角线、AH是对角线时，同理列方程式求解即可得出答案.
1 / 1辽宁省沈阳市皇姑区虹桥中学2023-2024学年九年级上册数学开学试卷
一、选择题（每题2分，共20分）
1．（2023九上·皇姑开学考）下列图案中，是中心对称图形，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解： A、不是中心对称图形，是轴对称图形，A不符合题意；
B、不是中心对称图形，不是轴对称图形，B不符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，C符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】 根据轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；中心对称图形：如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行求解即可.
2．（2023九上·皇姑开学考）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）
A．（a+3）2＝a2+6a+9 B．a2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4
C．5ax2﹣5ay2＝5a（x+y）（x﹣y） D．a2﹣2a﹣8＝（a﹣2）（a+4）
【答案】C
【知识点】因式分解的定义；因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：A：（a+3）2=a2+6a+9是完全平方公式，不是因式分解的形式，A错误，
B：a2-4a+4=（a-2）2，B错误，
C：5ax2-5ay2=5a（x2-y2）=5a（x+y）（x-y），C正确，
D：a2-2a-8=（a+2）（a-4），D错误．
故答案为：C.
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的饮因式分解；因式分解的口诀：先提首项负号，再看有无公因式，后看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合，逐项分析即可得出答案.
3．（2023九上·皇姑开学考）一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形的边数是n，根据题意得，
（n-2） 180°=3×360°，
解得：n=8，
∴这个多边形的边数为8．
故答案为：B.
【分析】根据多边形的内角和等于（n-2） 180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可.
4．已知x=2是方程x2﹣4x+c=0的一个根，则c的值是（ ）
A．﹣12 B．﹣4 C．4 D．12
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x=2代入x2﹣4x+c=0得4﹣8+c=0，
解得c=4．
故选C．
【分析】根据一元二次方程的解，把x=2代入x2﹣4x+c=0可求出c的值．
5．（2023九上·皇姑开学考）分式有意义的条件是（ ）
A．x≠0 B．x＝﹣2 C．x≠2 D．x≠﹣2
【答案】D
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有有意义，
∴x+2≠0，
解得：x≠-2，
故答案为：D.
【分析】根据分式有意义的条件，分母不为零，得出x+2≠0，即可求解.
6．（2016八上·吴江期中）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：根据题意得：a2﹣1=0且a﹣1≠0，
解得：a=﹣1．
故选B．
【分析】根据方程的解的定义，把x=0代入方程，即可得到关于a的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．
7．（2020八下·来宾期末）在下列命题中，正确的是 ( )
A．一组对边平行的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项， 从而得出正确选项．两组对边平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的四边形是矩形、直角梯形、总之，只要有一个角是直角即可；有一组邻边相等的平行四 边形是菱形；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
【解答】A、应为两组对边平行的四边形是平行四边形；
B、有一个角是直角的四边形是矩形、直角梯形、总之，只要有一个角是直角即可；
C、符合菱形定义；
D、应为对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形、矩形和菱形及正方形的判定与命题的真假区别．
8．（2023九上·皇姑开学考）受今年五月份雷暴雨影响，深圳某路段长120米的铁路被水冲垮了，施工队抢分夺秒每小时比原计划多修5米，则所列方程正确的是（ ）
A．＝4 B．＝4
C．＝4 D．＝4
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：题中原计划修小时，实际修了小时，
可列得方程
，
故答案为：A.
【分析】根据“提前4小时开通了列车”可得等量关系为：计划用的时间-实际用的时间=4，列方程即可得出答案.
9．（2023九上·皇姑开学考）不解方程，判断方程3x2﹣4x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∴在方程3x2-4x+1=0中，Δ=（-4）2-4×3×1=4＞0，
∴方程3x2-4x+1=0有两个不相等的实数根．
故答案为：B.
【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出Δ=4＞0，从而得出方程有两个不相等的实数根.
10．（2023九上·皇姑开学考）在平面直角坐标系中，把△ABC先沿x轴翻折，再向右平移3个单位1B1C1，把这两步操作规定为翻移变换，如图，已知等边三角形ABC的顶点B（1，1），（3，1）．把△ABC经过连续3次翻移变换得到△A3B3C3，则点A的对应点A3的坐标是（ ）
A．（5，﹣） B．（8，1+）
C．（11，﹣1﹣） D．（14，1+）
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵三角形ABC是等边三角形， B（1，1），（3，1） ，
∴AB=BC=2，
故点A到BC的距离为，
∴A的坐标为；
∵把△ABC先沿x轴翻折，再向右平移3个单位得到△A1B1C1，
则得到点A1的坐标为，
同样得出A2的坐标为，
A3的坐标为，即.
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的三条边都相等可得AB=BC=2，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得A的坐标，根据对称的性质：关于x轴对称的点的特征两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反；平移的性质：沿x轴平移纵坐标保持不变，图案沿水平方向向右平移a个单位长度，横坐标加a；图案沿水平方向向左平移a个单位长度，横坐标减a；即可求解.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2012·沈阳）不等式组 的解集是 ．
【答案】﹣1＜x＜
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；不等式的性质
【解析】【解答】解： ，
∵解不等式(1)得：x＞﹣1，
解不等式(2)得：x＜ ，∴不等式组的解集是﹣1＜x＜ ，
故答案为：﹣1＜x＜ ．
【分析】根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
12．（2023九上·皇姑开学考）方程（x﹣1）（x+1）＝x﹣1的解是 ．
【答案】x1＝1，x2＝0
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（x-1）（x+1）=（x-1），
因式分解得：（x-1）（x+1-1）=0，
可得x-1=0或x=0，
解得：x1=1，x2=0．
故答案为：x1=1，x2=0.
【分析】先将方程右边看作一个整体，移项到左边，提取公因式x-1化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解即可.
13．（2023九上·皇姑开学考）若a（a≠0）是关于方程x2+bx﹣2a＝0的一个根，则a+b的值为 ．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵a（a≠0）是关于方程x2+bx-2a=0的一个根，
∴当x=a时，则a2+ba-2a=0，
∴a（a+b-2）=0，
∵a≠0，
∴a+b-2=0，
∴a+b=2，
故答案为：2.
【分析】将x=a代入x2+bx-2a=0，然后提取公因式法，根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0，结合题意可得a+b-2=0，即可求解.
14．（2023九上·皇姑开学考）如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，AD=4，P是AB边上的一点，E、F分别是DP、BP的中点 ．
【答案】2
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： 如图：连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=4，AB∥CD，
∵∠ADC=120°，AB∥CD，
∴∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AD=4，
∵PE=ED，PF=FB，
∴．
故答案为：2.
【分析】根据菱形的四条边都相等，对边平行；可得AD=AB=4，AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠A=60°；根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得，BD=4，根据连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半即可求解.
15．（2023九上·皇姑开学考）如图，将边长为8厘米的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，折痕为MN，则线段MN的长是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，过点M作MF⊥CD于F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ADC=90°，AD=CD，
又∵MF⊥CD，
∴四边形AMFD是矩形，
∴MF=AD，
由翻折变换的性质得MN⊥DE，
∵∠CDE+∠MNF=90°，∠CDE+∠DEC=90°，
∴∠MNF=∠DEC，
又∵AD=CD，
∴MF=CD，
在△DCE和△MFN中，
，
∴△DCE≌△MFN（AAS），
∴MN=DE，
∵点E是BC的中点，
∴，
在Rt△CDE中，由勾股定理得，，
所以，MN的长为；
故答案为：.
【分析】根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角；有三个角是直角的四边形是矩形，矩形的对边相等可得MF=AD，根据翻折变换的性质可得MN⊥DE，然后求出∠MNF=∠DEC，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等可得MN=DE，根据中点的定义可得CE=4，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解.
16．（2023九上·皇姑开学考）四边形ABCD是正方形，点E是直线AD上的一点，连接CE（C、E、F、G四个点按照逆时针方向排序），直线BE与直线GD交于点H，若AE＝2，则点F到GH的距离为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，四边形FGCE是正方形，
∴CD=CB，CG=CE，∠GCE=∠DCB=90°，
∴∠GCD=∠ECB，且CD=CB，CG=CE，
∴△GCD≌△ECB（SAS），
∴CG=CE，BE=GD，
如图，过点F作FN⊥GH于点N，过点C作CM⊥GH于点M，
∵AE=2，AB=4
∴AD=CD=AB=4，DE=AD-AE=3，，
∴，
∴，
∴，
∵∠FGC=90°，
∴∠FGD+∠DGC=90°，∠FGD+∠GFD=90°，
∴∠GFN=∠DGC，且FG=GC，∠FNG=∠CMG=90°，
∴△FGN≌△GCM（AAS），
∴FN=GM，
∵CM2=CG2-GM2，CM2=CD2-MD2，
∴，
∴，
∴点F到GH的距离，
故答案为：.
【分析】根据正方形的四条边相等，四个角是直角可得CD=CB，CG=CE，∠GCE=∠DCB=90°，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得CG=CE，BE=GD，结合题意和勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可求得BE，CE，CG，BE的值，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等可得FN=GM，根据勾股定理列出方程，可求GM的长，即可得点F到GH的距离．
三、解答题（17题10分，18题5分，19题8分，共23分）
17．（2023九上·皇姑开学考）计算：
（1）（3﹣π）0﹣|﹣|++2﹣2；
（2）．
【答案】（1）解：原式
＝7；
（2）解：原式
．
【知识点】实数的运算；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）先计算零指数幂、绝对值、算术平方根和负整数指数幂，然后计算加减即可；
（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算即可.
18．（2017九上·芜湖期末）解方程：x2﹣2x=2x+1．
【答案】解：∵x2﹣2x=2x+1，
∴x2﹣4x=1，
∴x2﹣4x+4=1+4，
（x﹣2）2=5，
∴x﹣2=± ，
∴x1=2+ ，x2=2﹣
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】先移项，把2x移到等号的左边，再合并同类项，最后配方，方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．
19．（2023九上·皇姑开学考）如图，在△ABC中，AB＝AC（不与点B，C重合），在AD的右侧作△ADE，使得AE＝AD，连接CE．
（1）当D在线段BC上时，求证：△BAD≌△CAE；
（2）当CE∥AB时．
①若D在线段BC上，判断△ABC的形状，并说明理由；
②若△ABD中的最小角为20°，直接写出∠ADB的度数．
【答案】（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD 和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
（2）解：①当D在线段BC上时，△ABC为等边三角形
∵CE∥AB，
∴∠ACE＝∠BAC，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠ABD＝∠BAC，
又AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC，
∴△ABC为等边三角形；
②当D在线段BC上时，如图，
∵CE∥AB，
∴∠ACE＝∠BAC，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠ABD＝∠BAC，又∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
当△ABD中的最小角是∠BAD＝20°时，
∴∠ADB＝180°﹣60°﹣20°＝100°，
当点D在CB的延长线上时，如图，
∵CE∥AB，
∴∠BAE＝∠AEC，∠BCE＝∠ABC，
∵△DAB≌△EAC，
∴∠ADB＝∠AEC，∠ABD＝∠ACE，
∴∠BAC＝∠BAE+EAC＝∠AEC+∠EAC＝180°﹣∠ACE＝180°﹣∠ABD＝∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC是等边三角形，
当△ABD中的最小角是∠BAD＝20°时，∠ADB＝∠ABC﹣∠BAD＝40°，
当△ABD中的最小角是∠ADB时，∠ADB＝20°；
当点D在BC的延长线上时，只能∠ADB＝20°，
综上所述，∠ADB的度数为100°或40°或20°．
【知识点】三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明；
（2）①根据两直线平行，内错角相等可得∠ACE＝∠BAC，根据全等三角形的对应角相等可得∠ABD＝∠BAC，根据等腰三角形的两底角相等可得∠ABC＝∠ACB，根据三个角都相等的三角形是等边三角形即可求解；
②分D在线段BC上、当点D在CB的延长线上、点D在BC的延长线上三种情形，根据两直线平行，内错角相等；全等三角形的对应角相等；三个角都相等的三角形是等边三角形；三角形的内角和是180°进行求解即可.
四、解答题（20题10分，21题8分，共18分）
20．（2023九上·皇姑开学考）早黑宝”是我省农科院研制的优质新品种，在我省被广泛种植．清徐县某葡萄种植基地2016年种植“早黑宝”100亩，到2018年“早黑宝”的种植面积达到225亩．
（1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率；
（2）市场调查发现，当“早黑宝”售价为20元/千克时，每天能售出200千克，每天可多售出50千克，为了推广宣传，已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天获利1800元
【答案】（1）解：设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x，
根据题意得：100（1+x）2＝225，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝-2.5（不合题意，舍去）．
答：该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为50%．
（2）解：设售价应降低y元，则每天可售出（200+50y）千克，
根据题意得：（20-12-y）（200+50y）＝1800，
整理得：y2-4y+4＝2，
解得：y1＝y2＝3．
答：售价应降价2元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x，根据该基地2016年及2018年种植“早黑宝”的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）设售价应降低y元，则每天可售出（200+50y）千克，根据总利润=每千克的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论.
21．（2023九上·皇姑开学考）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）（3，4）．
⑴请画出与△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1；
⑵若△ABC以点A为旋转中心逆时针旋转90°后得到的图形为△AB2C2（B的对应点为B2，C的对应点为C2），在网格中画出旋转后的图形；
⑶点P为x轴上一点，使PA+PB的值最小，则点P的坐标为 ．
【答案】解：⑴如图所示，△A1B1C6即为所求；
⑵如图所示，△AB2C2即为所求；
⑶（2，0）．
【知识点】平面展开﹣最短路径问题；中心对称及中心对称图形；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（3）如图所示，作点A关于x轴对称点A'，连接A'B交x轴于点P，则点P即为所求，
故答案为：（2，0）．
【分析】（1）根据中心对称图形的性质找出对应点即可求解；
（2）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解；
（3）作点A关于x轴对称点A'，连接A'B交x轴于点P，则点P即为所求，再写出点P的坐标即可．
五、解答题（本题8分）
22．（2023九上·皇姑开学考）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“画出函数的图象——根据图象研究函数的性质﹣运用函数的性质解决问题”的学习过程，结合上面的学习过程
（1）请用你喜欢的方法在给出的平面直角坐标系中，直接画出这个函数的图象；
（2）小明同学通过图象得到了以下性质，其中正确的有 ；
①当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时；
②当x＝0时，此函数有最大值为4；
③此函数的图象关于y轴对称；
（3）画出函数y＝x﹣2的图象，结合你所画的函数图象，直接写出不等式﹣2|x|+x+4≥x﹣2的解集为 ．
【答案】（1）解：列表：
x … -3 -2 -6 0 1 8 3 …
y … -5 -5 1 4 7 2 1 …
描点、连线画出函数y＝﹣7|x|+x+4的图象如图所示：
（2）①②
（3）-3≤x≤3
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数的性质；描点法画函数图象
【解析】【解答】解：（2） 由图象可知：
①当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小，正确；
②当x=0时，此函数有最大值为4，正确；
③此函数的图象关于y轴对称，错误；
故答案为：①②；
（3） 观察图象，不等式-2|x|+x+4≥x-2的解集为-3≤x≤3，
故答案为：-3≤x≤3．
【分析】（1）根据表格数据，描点连线即可画出该函数的图象．
（2）根据图象，根据一次函数的性质：当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小；进行判断即可；
（3）观察图象即可求解.
六、解答题（本题9分）
23．（2023九上·皇姑开学考）将一个矩形纸片OABC放置于平面直角坐标系中，点O（0，0），点B（10，6），点C在y轴，在AB边上取一点D，点B恰好落在边OA上的点E处．
（1）如图1，求点D的坐标；
（2）如图2，当点P在线段OA（不包含断点A、O）上运动时，过点P作直线l⊥x轴，直线l把△CED的面积分成1：9的两部分
【答案】（1）解：∵在矩形纸片OABC中，
∴B（10，6），
∴BC＝OA＝10，AB＝OC＝6，
由折叠可得△DEC≌△DBC，
∴CE＝BC＝10，BD＝DE，
设AD＝x，
则BD＝DE＝AB-AD＝6-x，
在Rt△COE中，，
∴E（8，0），
∴AE＝AO-OE＝2，
在Rt△ADE中，AE2+AD2＝DE2，
∴4+x2＝（6-x）2
解得：，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
∵CE＝10，
∴，
∵C（0，6），，
∴直线CD为：，
又∵E（8，0），
∴直线CE为：，
∵直线l⊥x轴，若交CD于M，交CE与点N
则， ，
∴；
，
∵直线l把△CED的面积分成1：9的两部分，
分两种情况：
①S△CNM：S△CED＝1：10，
∴，
解得：，
∵0＜t≤8，
∴；
②S△CNM：S△CED＝9：10，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）；
当8＜t＜10时，如图：
由于E（8，0），，
则直线DE为：，
∵直线l⊥x轴，直线l把△CED的面积分成1：9的两部分，
设交CD于 ，交DE于，
∴，
∴，
由已知得：S△MDQ：S△CDE＝1：10，
∴，
解得：，
∵8＜t＜10，
∴，
综上所述：直线l把△CED的面积分成1：9的两部分，此时或.
【知识点】公式法解一元二次方程；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形性质可得BC＝OA＝10，AB＝OC＝6，根据折叠的性质可得CE＝BC＝10，BD＝DE，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得OE=8，则AE=2，在Rt△ADE中，根据勾股定理列式即可求得AD的值，求得D点坐标；
（2）根据三角形的面积公式求得△CED 的面积，待定系数法求得直线CD，直线CE，直线DE的解析式，设 ，求得MN的值，根据三角形的面积公式求得△CNM的面积，根据题意列式求解；设 ，求得MQ的值，根据三角形的面积公式求得△MDQ的面积，根据题意列式求解.
七、解答题（本题12分）
24．（2023九上·皇姑开学考）
（1）【课本再现】把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图1的图案，则∠ACF＝ °；
（2）【迁移应用】如图2，在正方形ABCD中，E是CD边上一点（不与点C，D重合），将BE绕点E顺时针旋转90°至FE，作射线FD交BC的延长线于点G；
（3）【拓展延伸】在菱形ABCD中，∠A＝120°，E是CD边上一点（不与点C，D重合），将BE绕点E顺时针旋转120°至FE，作射线FD交BC的延长线于点G．
①线段CG与BC的数量关系是 ；
②若AB＝6，E是CD的三等分点，则△CEG的面积为 ．
【答案】（1）90
（2）证明：过点F作FH⊥CD，交CD的延长线于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CB＝CD，∠BCD＝90°，
∴∠H＝∠BCD＝90°，
由旋转得∠BEF＝90°，EF＝BE，
∴∠BEC+∠CBE＝∠BEC+∠FEH＝90°，
∴∠CBE＝∠FEH，
∴△BEC≌△EFH（AAS），
∴FH＝EC，EH＝BC，
∴EH＝CD，即CE+DE＝DH+DE，
∴CE＝DH＝FH，
∴∠CDG＝∠FDH＝45°，
∵∠DCG＝BCD＝90，
∴△DCG是等腰直角三角形，
∴CG＝CD＝BC；
（3）；或
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；勾股定理；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD和四边形CEFG是全等的矩形，
∴AB=CE，BC=EF，∠B=∠E=90°，
∴△ABC≌△CEF（SAS），
∴∠BAC=∠FCE，AC=CF，
∵∠B=90°，
∴∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠FCE=90°，
∴∠ACF=90°，
故答案为：90．
（3）①过点F作∠EFH=∠BEC，与ED的延长线交于点H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CB=CD，∠A=∠BCD=120°，
由旋转得∠BEF=120°，EF=BE，
∴∠BEC+∠CBE=∠BEC+∠FEH=60°，
∴∠CBE=∠FEH，
∴△BEC≌△EFH（AAS），
∴∠H=∠BCD=120°，EH=BC，FH=CE，
∴CD=EH，
∴DH=CE，
∴DH=FH，
∴∠FDH=∠DFH=30°，
∴∠CDG=30°，
∵∠DCG=180°-∠BCD=60°，
∴∠G=90°，
∴△DCG是直角三角形，
∵∠CDG=30°，
∴，
故答案为：；
②当时，，
由①知，，
∴，
∵△CEG和△DCG底边CE、CD边上的高相等，
∴；
当时，，则CE=6-2=4，
∴，
∵△CEG和△DCG底边CE、CD边上的高相等，
∴；
故答案为：或.
【分析】（1）根据矩形的对边相等，四个角是直角得出AB=CE，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，对应角相等得出∠BAC=∠FCE，AC=CF，推得∠ACB+∠FCE=90°，即可得出答案；
（2）根据正方形的四条边相等，四个角是直角可得CB＝CD，∠BCD＝90°，结合旋转的性质，两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等可推得EH＝CD，即可得出结论；
（3）①根据菱形的四条边相等，对角相等可得CB=CD，∠A=∠BCD=120°，根据旋转的性质可得∠BEF=120°，EF=BE，推得∠CBE=∠FEH，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得∠H=∠BCD=120°，EH=BC，FH=CE，推得DH=FH，根据等腰三角形两底角相等，三角形的内角和是180°，求得∠FDH=∠DFH=30°，求得∠G=90°，根据30度所对的边是斜边的一半即可求解；
②当时，，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得，根据△CEG和△DCG底边CE、CD边上的高相等可知，即可求得△CEG的面积；当时，，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得，根据△CEG和△DCG底边CE、CD边上的高相等可知，即可求得△CEG的面积.
八、解答题（本题12分）
25．（2023九上·皇姑开学考）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x+18的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，且点M为线段OB的中点．
（1）求直线AM的解析式；
（2）将△AMB沿着AM翻折，点B落在点B1处，连接OB1，则四边形AMB1O的形状为 ；
（3）若点H是直线AM上的动点，在坐标平面内是否存在这样的点Q，使以A、B、Q、H为顶点的四边形是矩形？若存在，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：对于y＝2x+18，令x＝0，
令y＝5x+18＝0，则x＝-9，
即点A、B的坐标分别为：（-9，0），（0，18），
∵点M为线段OB的中点，则点M（0，9），
设直线AM的表达式为：y＝kx+3，
将点A的坐标代入上式得：0＝-9k+2，则k＝1，
即直线AM的表达式为：y＝x+9；
（2）平行四边形
（3）解：存在，理由：
设点 Q（s，t），点H（m，m+9），
由点A，B的坐标得，AB2＝405，同理可得：AH2＝2（m+9）2，
当AB为对角线时，由中点坐标公式和AB＝QH得：
，
解得：，
即点Q的坐标为：；
当AQ是对角线时，由中点坐标公式和AQ＝BH得：
，
解得：，
即点Q的坐标为：；
当AH是对角线时，由中点坐标公式和AH＝BQ得：
，
解得：，
即点Q的坐标为：（-3，-3），
综上，点Q的坐标为：或或（-3，-3）．
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；平行四边形的判定；矩形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（2）设点B1的坐标为：（x，y），
由题意得，B1M=BM，AB=AB1，
则，
解得：（不合题意的值已舍去），
即点B1的坐标为：（9，9）；
由点A、M的坐标得，，
由点B1的坐标得，
∵AO=B1M=9，
∴四边形AMB1O的形状为平行四边形，
故答案为：平行四边形；
【分析】（1）先分别求出点A，B的坐标，再由待定系数法即可求解；
（2）由B1M=BM，AB=AB1，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出点B1的坐标，AM，OB1的值即可求解；
（3）当AB为对角线时，由中点坐标公式和AB=QH列出方程组，即可求解；当AQ是对角线、AH是对角线时，同理列方程式求解即可得出答案.
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