辽宁省盘锦市大洼重点中学2023-2024学年九年级上册数学期初试卷
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023九上·大洼开学考）若二次根式 有意义，则x的取值范围是（ ）．
A．x> B．x≥ C．x≤ D．x≤5
2．（2023九上·大洼开学考）下列各式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·大洼开学考）一元二次方程配方后可变形为 （ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·大洼开学考）一元二次方程的根的情况是 （ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根为 D．没有实数根
5．（2023九上·大洼开学考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠COD＝50°，那么∠CAD的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
6．（2023九上·大洼开学考）正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y＝x+k的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023九上·大洼开学考）某景点去年第一季度接待游客万人次，第二、第三季度共接待游客万人次．设该景点去年第一季度到第三季度的接待游客人次的增长率为且保持不变，则 （ ）
A． B．
C． D．
8．（2023九上·大洼开学考）在中，、、分别为、、的对边，则下列条件中：，，；，，；；其中能判断是直角三角形的有 （ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
9．（2023九上·大洼开学考）如图，菱形中，，，点是的中点，点由点出发，沿做匀速运动，到达点停止，则的面积与点经过的路程之间的函数关系的图象大致是 （ ）
A． B．
C． D．
10．（2023九上·大洼开学考）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（单位：km）与甲车行驶时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示，根据图象提供的信息，下列结论错误的是（ ）
A．两城相距480千米
B．乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时
C．当乙车到达B城时，甲车距离B城80千米
D．甲车出发后4小时，乙车追上甲车
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11．（2023九上·大洼开学考）将直线y=2x+1向下平移3个单位长度后所得直线的解析式是 ．
12．（2023九上·大洼开学考）小红参加学校举办的“我爱我的祖国”主题演讲比赛，她的演讲内容、演讲能力、演讲效果得分分别为86分，72分，81分，若依次按照40%，30%，30%的百分比确定成绩，则她的平均成绩是 分.
13．（2023九上·大洼开学考）如图，在和中，，是的中点，连接、若，则的长为 ．
14．（2023九上·大洼开学考）一直角三角形的两边长分别为5和12，则第三边的长是 ．
15．（2023九上·大洼开学考）如图，在中，点是的中点，点是外一点，，且平分，连接，，则的长为 ．
16．（2023九上·大洼开学考）如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE＝1，则△BEF的面积为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023九上·大洼开学考）计算：
（1）；
（2）．
18．（2023九上·大洼开学考）解方程：
（1）；
（2）．
19．（2023九上·大洼开学考）为了解中学生“平均每天体育锻炼时间”的情况，某地区教育部门随机调查了若干名中学生，根据调查结果制作统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的中学生人数为 ，图①中m的值是 ；
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据统计数据，估计该地区250000名中学生中，每天在校体育锻炼时间大于等于1.5h的人数．
20．（2023九上·大洼开学考）如图所示，在 中，对角线与相交于点，过点任作一条直线分别交，于点，．
（1）求证：；
（2）连接，直接写出当与满足什么关系时，四边形是菱形？
21．（2023九上·大洼开学考）如图，已知过点B（1，0）的直线l1：y=kx+b与直线l2：y=2x+4相交于点P（a，2）．
（1）求直线l1的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式的解集；
（3）求四边形PAOC的面积．
22．（2023九上·大洼开学考）如图，长方形纸片中，，将纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕的一端点在边上
（1）如图(1)，当折痕的另一端在边上且时，求的长．
（2）如图(2)，当折痕的另一端在边上且时，
①求证：．
②求的长．
23．（2023九上·大洼开学考） 2022年，合肥蜀山区某商场于今年年初以每件元的进价购进一批商品．当商品售价为元时，三月份销售件．四、五月该商品十分畅销．销售量持续上涨．在售价不变的基础上，五月份的销售量达到件．
（1）求四、五这两个月的月平均增长率；
（2）从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价元，月销量增加件，当商品降价多少元时，商场月获利元？
24．（2023九上·大洼开学考）为提升学生的文学素养，培养学生的阅读兴趣，某校准备购进A，B两种图书.经调查，购进A种图书费用y元与购进A种图书本数x之间的函数关系如图所示，B种图书每本20元.
（1）当和时，求y与x之间的函数关系式；
（2）现学校准备购进300本图书，其中购进A种图书x本，设购进两种图书的总费用为w元.
①当时，求出w与x间的函数表达式；
②若购进A种图书不少于60本，且不超过B种图书本数的2倍，那么应该怎样分配购买A，B两种图书才能使总费用最少？最少总费用多少元？
25．（2023九上·大洼开学考）如图1，在中，为锐角，点为射线上一点，连接，以为一边且在的右侧作正方形，连接.
（1）如果，
①当点在线段上时（与点不重合），如图2，线段，所在直线的位置关系为 ▲ ，线段，的数量关系为 ▲ ；
②当点在线段的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（2）如果，是锐角，点在线段上，当满足什么条件时，（点、不重合），请直接写出答案.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴5x-1≥0，
∴x≥.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式有意义的条件得出5x-1≥0，解不等式即可求解.
2．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】
因为，所以A不符合题意；
因为，所以B不符合题意；
因为，所以C不符合题意；
因为不能化简，是最简二次根式，所以D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可。
3．【答案】B
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解： ∵，
∴，
∴一元二次方程配方后可变形为.
故答案为：B.
【分析】根据，将转化即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 ，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】根据说明有两个不相等实数根即可判断.
5．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；矩形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD，
∴∠CAD=∠BDA，
∵∠CAD+∠BDA=∠COD=50°，
∴∠CAD=∠BDA=25°.
故答案为：B.
【分析】由矩形的对角线相等且互相平分可知OA=OD，从而可得∠CAD=∠BDA，然后根据三角形外角的性质求解即可.
6．【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，
∴k＜0
∵一次函数y=x+k
∵1＞0
∴图像必经过第一、三象限，
∵k＜0
∴图像必经过第三、四象限
∴一次函数y=x+k的图像经过第一、三、四象限，
故答案为：A.
【分析】利用正比例函数的性质，可求出k的取值范围；再根据直线y=kx+b，当k>0，图象必过一三象限；k<0，图象必过二四象限，当b＞0时，图像必过第一二象限，当b＜0时，图像必过第三四象限，当b=0时图像过原点；然后利用函数解析式，观察各选项中的函数图象可得答案。
7．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得，根据等量关系式“ 某景点去年第一季度接待游客万人次，第二、第三季度共接待游客万人次 ”列方程得，.
故答案为：D.
【分析】根据题意，找等量关系式，列方程即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵a=10，b=8，c=6，
∴，
∴第一个能判断△ABC是直角三角形.
∵，，，
∴，
∴第二个不能判断△ABC是直角三角形.
，
∴，
∴，
∴第三个能判断△ABC是直角三角形.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴第四个能判断△ABC是直角三角形.
∴其中能判断△ABC是直角三角形的有3个.
故答案为：C.
【分析】根据三条边是否能构成一组勾股，即可判断前三个是否能证明是直角三角形，利用三角形内角和定理即可求出角的度数，即可判断第四个是否能证明是直角三角形.
9．【答案】B
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：当点P在AB上运动时，即，过点P作，如图所示，
设AP=x，∵四边形ABCD为菱形，AB=2， ，点是的中点，
∴，，
∴，
∴在Rt△APH中，AP=2AH=x，
∴，
当点P在BC上运动时，即，过点P作，如图所示，
∵四边形ABCD为菱形，，
∴，AN=2，AB=2，，
∴，
∴在Rt△ABE中，，，
∴.
当点P在DC上运动时，即，过点P作，如图所示，
设AB+BC+PC=x，则PD=6-x，
∵四边形ABCD为菱形，，
∴，
∴，
在Rt△DPF中，，，
∴.
∴综上所述，△APM的面积y和点P经过的路程x的之间的函数关系为三段，排除CD选项，
∵，，
∴排除A选项，
∴B选项正确.
故答案为：B.
【分析】由于P点是运动点，分情况讨论当点P在AB上运动时，即，利用菱形的性质和30°直角三角形的性质求出AP=2AH，结合勾股定理即可求出PH长度，从而求出y与x的函数关系；当点P在DC上运动时，即，利用菱形的性质求出，根据勾股定理即可求出BE的长度，从而求出y与x的函数关系；当点P在DC上运动时，即，利用菱形性质求出，设参数，根据勾股定理表示出PF的长度，从而求出y与x的函数关系，结合三种情况即可知道大致的函数图象关系.
10．【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】A．由图形可知：当t=7时，乙到达B城，t=8时，甲到达B城，对应纵坐标为：780，所以两城相距780km，
故：A不符合题意；
B．因为乙车在t=1时出发，t=7时到达B城，
故：B不符合题意；
C．由图可知：甲车的速度为：480÷8=60km/h，所以t=7时，甲走的路程为：60×7=420km，此时乙所走的路程为480km，
即：480-420=60km，当乙车到达B城时，甲车距离B城60千米，故：C符合题意；
D．设甲车离开A城的距离y与行驶时间之间的函数关系为： ，将（8，480）代入可求得k=60，
∴ ；
设乙车离开A城的距离y与行驶时间之间的函数关系为： ，将（1，0）和（7，480）代入 得： ，
解得：
∴ ，
令 得：60t=80t-80，解得：t=4，
即甲车出发后4小时，乙车追上甲车，故：D不符合题意．
【分析】由图象可得两城相距480千米，乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时据此判断A，B；由图可知：甲车的速度为：480÷8=60km/h，所以t=7时，甲走的路程为：60×7=420km，据此判断C；利用待定系数法求出 ； ，求出时的t值，然后判断即可.
11．【答案】y=2x﹣2
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：根据平移的规则可知：
直线y=2x+1向下平移3个单位长度后所得直线的解析式为：y=2x+1﹣3=2x﹣2．
故答案为：y=2x﹣2．
【分析】根据函数的平移规则“上加下减”，即可得出直线平移后的解析式．本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是熟记函数平移的规则“上加下减”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平移的规则求出平移后的函数解析式是关键．
12．【答案】80.3
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵ （分），
∴她的平均成绩是80.3分.
故答案为：80.3.
【分析】用各项得分乘以各自的权重的和再除以权重的和，可求解.
13．【答案】3
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在和中，是的中点，
∴OA=OB=OC=OD，
∵AO=3，
∴OD=3.
故答案为：3.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半即可求出答案.
14．【答案】13或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设第三边为x，
⑴若12是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：
52+122=x2，
∴x=13；
⑵若12是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：
52+x2=122，
∴x= ；
∴第三边的长为13或 ．
故答案为：13或 ．
【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
15．【答案】2cm
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长AC、BD交于点H，如图所示，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵AD=AD，
∴，
∴BD=DH，AB=AH=13cm，
∴CH=AH-AC=13-9=4cm
∴D是BH中点，
∵E是BC中点，
∴
故答案为：2cm.
【分析】根据三角形全等求出D是BH中点，以及CH的长度，利用三角形中位线定理即可求出CH=2DE，从而求出DE长度.
16．【答案】
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，CM＝AE＝1，
∴F、C、M三点共线，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF和△DMF中，
，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF，
设BF＝x，则CF＝3﹣x，FM＝3﹣x+1＝4﹣x，EF＝4﹣x，
∵Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，
∴22+x2＝（4﹣x）2，
解得x＝ ，
∴BF＝ ，
∴△BEF的面积为 × ×2＝ ．
故答案为： ．
【分析】由旋转可得DE＝DM，∠EDM＝90°，可得出∠EDF+∠FDM＝90°，由∠EDF＝45°，得出∠FDM＝∠EDF＝45°，可得出△DEF≌△DMF，由全等三角形的对应边相等可得出EF＝MF，设BF＝x，则CF＝3﹣x，FM＝3﹣x+1＝4﹣x，EF＝4﹣x，再根据勾股定理列方程即可得出BF的长，进而得出△BEF的面积。
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先将每项二次根式进行化简，然后再按照二次根式的加减混合计算；
（2）先分别按照完全平方公式和平方差公式将式子展开，再按照实数的加减混合计算即可.
18．【答案】（1）解：，
，
，
，
，
所以，；
（2）解：．
，
，
或，
所以，．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先将常数项移项，再按照完全平方公式进行配方，即可求出方程的解；
（2）先移项，将相同的因式提出，即可求出方程的解.
19．【答案】（1）250；12
（2）解：平均数为 =1.38（h），
众数为1.5h，中位数为 =1.5h
（3）解：估计每天在校体育锻炼时间大于等于1.5h的人数约为250000× =160000人
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体
【解析】【解答】（1）本次接受随机抽样调查的中学生人数为60÷24%=250人，
m=100﹣（24+48+8+8）=12，
故答案为250、12；
【分析】(1) 根据题意， 本次接受调查的学生总人数为各个金额人数之和， 用总概率减去其他金额的概率即可求得m值．(2) 平均数为一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数； 众数是在一组数据中出现次数最多的数； 中位数是将一组数据按大小顺序排列， 处于最中间位置的一个数据， 或是最中间两个数据的平均数， 据此求解即可．(3) 根据样本估计总体， 用“每天在校体育锻炼时间大于等于1.5h的人数” 的概率乘以全校总人数求解即可
20．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
（2）当时，四边形是菱形．
证明：≌，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质求出，利用ASA证明三角形全等即可求出OE=OF；
（2）根据第一问的三角形全等推出，，从而利用平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，利用菱形的性质即可知道 与互相垂直.
21．【答案】（1）解：∵点P（a，2）在直线l2：y＝2x+4上，
∴2×a+4＝2，即a＝﹣1，则P的坐标为（﹣1，2），
∵直线l1：y＝kx+b过点B（1，0），
∴，
解得．
∴直线l1的解析式为：y＝﹣x+1．
（2）解：不等式kx+b≥2x+4的解集为x≤﹣1．
（3）解：∵直线l1与y轴相交于点C，
∴C的坐标为（0，1），
又∵直线l2与x轴相交于点A，
∴A点的坐标为（﹣2，0），则AB＝3，
而S四边形PAOC＝S△PAB﹣S△BOC，
∴S四边形PAOC＝．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）先求出点P的坐标，再将点P和点B的坐标代入y=kx+b，求出k、b的值即可；
（2）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可；
（3）利用割补法可得S四边形PAOC＝S△PAB﹣S△BOC，再将数据代入计算即可。
22．【答案】（1）解：纸片折叠后顶点落在边上的点处，
，
，
，
在中，，
即，
解得：；
（2）解：证明：纸片折叠后顶点落在边上的点处，
，
长方形纸片的边，
，
，
；
解：纸片折叠后顶点落在边上的点处，
，，，
，
在中，，
．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）lie用折叠的性质求出BF=EF，从而求出EF和AF的关系，利用勾股定理即可求出AF的长度；
（2）利用折叠的性质求出，结合长方形的性质求出，根据等量代换和等角对等腰即可求出；利用折叠的性子求出EF=EG以及对应的长度，根据勾股定理即可求出AF=FH以及对应长度.
23．【答案】（1）解：设四、五这两个月的月平均增长率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：四、五这两个月的月平均增长率为；
（2）解：设商品降价元，则每件获利元，月销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：当商品降价元或元时，商场月获利元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意，列方程，解出x，结合题意即可知道两个月的平均增长率是多少；
（2）根据利润公式，列方程，解出m的值，即可知道降价多少时的商场月获利为6240元.
24．【答案】（1）解：当时，设，
将代入解析式，得，
解得，
，
当时，设，
将、分别代入解析式，
得
解得，
，
综上，
（2）解：①当时，
；
②，，
，
此时，
，
随x的增大而减小，
当时，w最小，最小值为：，
故购买A种200本，B种100本时总费用最少，最少总费用为5800元.
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）当0≤x≤50时，设y=k1x，将（50，1100）代入求出k1的值，得到对应的函数解析式；当x>50时，设y=k2x+b，将（50，1100）、（100，2000）代入求出k2、b的值，据此可得对应的函数解析式；
（2）①当50②根据购进A种图书不少于60本，且不超过B种图书本数的2倍可得x≥60、x≤2(300-x)，联立求出x的范围，接下来根据一次函数的性质进行解答.
25．【答案】（1）解：①CF⊥BD；CF=BD；
②当点D在线段的延长线上时，①中的结论仍然成立，理由如下：
由正方形得，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
综上所述，当点D在线段的延长线上时，①中的结论仍然成立.
（2）解：当时，
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）①证明：正方形中，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，即；
故答案为：，；
（2）当时，（如图）.
理由：过点A作交的延长线于点G，
则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵（同角的余角相等），，
∴，
∴，
，即.
【分析】（1）①根据正方形的性质可得AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，由同角的余角相等可得∠BAD=∠CAF，利用SAS证明△DAB≌△FAC，得到CF=CB，∠B=∠ACF，据此解答；
②根据正方形的性质可得AD=AF，∠DAF=∠BAC=90°，由同角的余角相等可得∠BAD=∠CAF，利用SAS证明△DAB≌△FAC，得到CF=CB，∠ABD=∠ACF，由等腰直角三角形 的性质可得∠ABC=45°，则∠ACF=45°，由∠BCF=∠ACB+∠ACF求出∠BCF的度数，据此解答；
（2）过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠ACB=∠AGC=45°，推出AC=AG，由同角的余角相等可得∠DAG=∠FAC，利用SAS证明△GAD≌△CAF，得到∠ACF=∠AGC=45°，然后根据∠BCF=∠ACB+∠ACF求出∠BCF的度数，据此解答.
1 / 1辽宁省盘锦市大洼重点中学2023-2024学年九年级上册数学期初试卷
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023九上·大洼开学考）若二次根式 有意义，则x的取值范围是（ ）．
A．x> B．x≥ C．x≤ D．x≤5
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴5x-1≥0，
∴x≥.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式有意义的条件得出5x-1≥0，解不等式即可求解.
2．（2023九上·大洼开学考）下列各式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】
因为，所以A不符合题意；
因为，所以B不符合题意；
因为，所以C不符合题意；
因为不能化简，是最简二次根式，所以D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可。
3．（2023九上·大洼开学考）一元二次方程配方后可变形为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解： ∵，
∴，
∴一元二次方程配方后可变形为.
故答案为：B.
【分析】根据，将转化即可求出答案.
4．（2023九上·大洼开学考）一元二次方程的根的情况是 （ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根为 D．没有实数根
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 ，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】根据说明有两个不相等实数根即可判断.
5．（2023九上·大洼开学考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠COD＝50°，那么∠CAD的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；矩形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD，
∴∠CAD=∠BDA，
∵∠CAD+∠BDA=∠COD=50°，
∴∠CAD=∠BDA=25°.
故答案为：B.
【分析】由矩形的对角线相等且互相平分可知OA=OD，从而可得∠CAD=∠BDA，然后根据三角形外角的性质求解即可.
6．（2023九上·大洼开学考）正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y＝x+k的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，
∴k＜0
∵一次函数y=x+k
∵1＞0
∴图像必经过第一、三象限，
∵k＜0
∴图像必经过第三、四象限
∴一次函数y=x+k的图像经过第一、三、四象限，
故答案为：A.
【分析】利用正比例函数的性质，可求出k的取值范围；再根据直线y=kx+b，当k>0，图象必过一三象限；k<0，图象必过二四象限，当b＞0时，图像必过第一二象限，当b＜0时，图像必过第三四象限，当b=0时图像过原点；然后利用函数解析式，观察各选项中的函数图象可得答案。
7．（2023九上·大洼开学考）某景点去年第一季度接待游客万人次，第二、第三季度共接待游客万人次．设该景点去年第一季度到第三季度的接待游客人次的增长率为且保持不变，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得，根据等量关系式“ 某景点去年第一季度接待游客万人次，第二、第三季度共接待游客万人次 ”列方程得，.
故答案为：D.
【分析】根据题意，找等量关系式，列方程即可求出答案.
8．（2023九上·大洼开学考）在中，、、分别为、、的对边，则下列条件中：，，；，，；；其中能判断是直角三角形的有 （ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵a=10，b=8，c=6，
∴，
∴第一个能判断△ABC是直角三角形.
∵，，，
∴，
∴第二个不能判断△ABC是直角三角形.
，
∴，
∴，
∴第三个能判断△ABC是直角三角形.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴第四个能判断△ABC是直角三角形.
∴其中能判断△ABC是直角三角形的有3个.
故答案为：C.
【分析】根据三条边是否能构成一组勾股，即可判断前三个是否能证明是直角三角形，利用三角形内角和定理即可求出角的度数，即可判断第四个是否能证明是直角三角形.
9．（2023九上·大洼开学考）如图，菱形中，，，点是的中点，点由点出发，沿做匀速运动，到达点停止，则的面积与点经过的路程之间的函数关系的图象大致是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：当点P在AB上运动时，即，过点P作，如图所示，
设AP=x，∵四边形ABCD为菱形，AB=2， ，点是的中点，
∴，，
∴，
∴在Rt△APH中，AP=2AH=x，
∴，
当点P在BC上运动时，即，过点P作，如图所示，
∵四边形ABCD为菱形，，
∴，AN=2，AB=2，，
∴，
∴在Rt△ABE中，，，
∴.
当点P在DC上运动时，即，过点P作，如图所示，
设AB+BC+PC=x，则PD=6-x，
∵四边形ABCD为菱形，，
∴，
∴，
在Rt△DPF中，，，
∴.
∴综上所述，△APM的面积y和点P经过的路程x的之间的函数关系为三段，排除CD选项，
∵，，
∴排除A选项，
∴B选项正确.
故答案为：B.
【分析】由于P点是运动点，分情况讨论当点P在AB上运动时，即，利用菱形的性质和30°直角三角形的性质求出AP=2AH，结合勾股定理即可求出PH长度，从而求出y与x的函数关系；当点P在DC上运动时，即，利用菱形的性质求出，根据勾股定理即可求出BE的长度，从而求出y与x的函数关系；当点P在DC上运动时，即，利用菱形性质求出，设参数，根据勾股定理表示出PF的长度，从而求出y与x的函数关系，结合三种情况即可知道大致的函数图象关系.
10．（2023九上·大洼开学考）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（单位：km）与甲车行驶时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示，根据图象提供的信息，下列结论错误的是（ ）
A．两城相距480千米
B．乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时
C．当乙车到达B城时，甲车距离B城80千米
D．甲车出发后4小时，乙车追上甲车
【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】A．由图形可知：当t=7时，乙到达B城，t=8时，甲到达B城，对应纵坐标为：780，所以两城相距780km，
故：A不符合题意；
B．因为乙车在t=1时出发，t=7时到达B城，
故：B不符合题意；
C．由图可知：甲车的速度为：480÷8=60km/h，所以t=7时，甲走的路程为：60×7=420km，此时乙所走的路程为480km，
即：480-420=60km，当乙车到达B城时，甲车距离B城60千米，故：C符合题意；
D．设甲车离开A城的距离y与行驶时间之间的函数关系为： ，将（8，480）代入可求得k=60，
∴ ；
设乙车离开A城的距离y与行驶时间之间的函数关系为： ，将（1，0）和（7，480）代入 得： ，
解得：
∴ ，
令 得：60t=80t-80，解得：t=4，
即甲车出发后4小时，乙车追上甲车，故：D不符合题意．
【分析】由图象可得两城相距480千米，乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时据此判断A，B；由图可知：甲车的速度为：480÷8=60km/h，所以t=7时，甲走的路程为：60×7=420km，据此判断C；利用待定系数法求出 ； ，求出时的t值，然后判断即可.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11．（2023九上·大洼开学考）将直线y=2x+1向下平移3个单位长度后所得直线的解析式是 ．
【答案】y=2x﹣2
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：根据平移的规则可知：
直线y=2x+1向下平移3个单位长度后所得直线的解析式为：y=2x+1﹣3=2x﹣2．
故答案为：y=2x﹣2．
【分析】根据函数的平移规则“上加下减”，即可得出直线平移后的解析式．本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是熟记函数平移的规则“上加下减”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平移的规则求出平移后的函数解析式是关键．
12．（2023九上·大洼开学考）小红参加学校举办的“我爱我的祖国”主题演讲比赛，她的演讲内容、演讲能力、演讲效果得分分别为86分，72分，81分，若依次按照40%，30%，30%的百分比确定成绩，则她的平均成绩是 分.
【答案】80.3
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵ （分），
∴她的平均成绩是80.3分.
故答案为：80.3.
【分析】用各项得分乘以各自的权重的和再除以权重的和，可求解.
13．（2023九上·大洼开学考）如图，在和中，，是的中点，连接、若，则的长为 ．
【答案】3
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在和中，是的中点，
∴OA=OB=OC=OD，
∵AO=3，
∴OD=3.
故答案为：3.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半即可求出答案.
14．（2023九上·大洼开学考）一直角三角形的两边长分别为5和12，则第三边的长是 ．
【答案】13或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设第三边为x，
⑴若12是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：
52+122=x2，
∴x=13；
⑵若12是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：
52+x2=122，
∴x= ；
∴第三边的长为13或 ．
故答案为：13或 ．
【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
15．（2023九上·大洼开学考）如图，在中，点是的中点，点是外一点，，且平分，连接，，则的长为 ．
【答案】2cm
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长AC、BD交于点H，如图所示，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵AD=AD，
∴，
∴BD=DH，AB=AH=13cm，
∴CH=AH-AC=13-9=4cm
∴D是BH中点，
∵E是BC中点，
∴
故答案为：2cm.
【分析】根据三角形全等求出D是BH中点，以及CH的长度，利用三角形中位线定理即可求出CH=2DE，从而求出DE长度.
16．（2023九上·大洼开学考）如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE＝1，则△BEF的面积为 ．
【答案】
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，CM＝AE＝1，
∴F、C、M三点共线，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF和△DMF中，
，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF，
设BF＝x，则CF＝3﹣x，FM＝3﹣x+1＝4﹣x，EF＝4﹣x，
∵Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，
∴22+x2＝（4﹣x）2，
解得x＝ ，
∴BF＝ ，
∴△BEF的面积为 × ×2＝ ．
故答案为： ．
【分析】由旋转可得DE＝DM，∠EDM＝90°，可得出∠EDF+∠FDM＝90°，由∠EDF＝45°，得出∠FDM＝∠EDF＝45°，可得出△DEF≌△DMF，由全等三角形的对应边相等可得出EF＝MF，设BF＝x，则CF＝3﹣x，FM＝3﹣x+1＝4﹣x，EF＝4﹣x，再根据勾股定理列方程即可得出BF的长，进而得出△BEF的面积。
三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023九上·大洼开学考）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先将每项二次根式进行化简，然后再按照二次根式的加减混合计算；
（2）先分别按照完全平方公式和平方差公式将式子展开，再按照实数的加减混合计算即可.
18．（2023九上·大洼开学考）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，
，
，
，
所以，；
（2）解：．
，
，
或，
所以，．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先将常数项移项，再按照完全平方公式进行配方，即可求出方程的解；
（2）先移项，将相同的因式提出，即可求出方程的解.
19．（2023九上·大洼开学考）为了解中学生“平均每天体育锻炼时间”的情况，某地区教育部门随机调查了若干名中学生，根据调查结果制作统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的中学生人数为 ，图①中m的值是 ；
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据统计数据，估计该地区250000名中学生中，每天在校体育锻炼时间大于等于1.5h的人数．
【答案】（1）250；12
（2）解：平均数为 =1.38（h），
众数为1.5h，中位数为 =1.5h
（3）解：估计每天在校体育锻炼时间大于等于1.5h的人数约为250000× =160000人
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体
【解析】【解答】（1）本次接受随机抽样调查的中学生人数为60÷24%=250人，
m=100﹣（24+48+8+8）=12，
故答案为250、12；
【分析】(1) 根据题意， 本次接受调查的学生总人数为各个金额人数之和， 用总概率减去其他金额的概率即可求得m值．(2) 平均数为一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数； 众数是在一组数据中出现次数最多的数； 中位数是将一组数据按大小顺序排列， 处于最中间位置的一个数据， 或是最中间两个数据的平均数， 据此求解即可．(3) 根据样本估计总体， 用“每天在校体育锻炼时间大于等于1.5h的人数” 的概率乘以全校总人数求解即可
20．（2023九上·大洼开学考）如图所示，在 中，对角线与相交于点，过点任作一条直线分别交，于点，．
（1）求证：；
（2）连接，直接写出当与满足什么关系时，四边形是菱形？
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
（2）当时，四边形是菱形．
证明：≌，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质求出，利用ASA证明三角形全等即可求出OE=OF；
（2）根据第一问的三角形全等推出，，从而利用平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，利用菱形的性质即可知道 与互相垂直.
21．（2023九上·大洼开学考）如图，已知过点B（1，0）的直线l1：y=kx+b与直线l2：y=2x+4相交于点P（a，2）．
（1）求直线l1的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式的解集；
（3）求四边形PAOC的面积．
【答案】（1）解：∵点P（a，2）在直线l2：y＝2x+4上，
∴2×a+4＝2，即a＝﹣1，则P的坐标为（﹣1，2），
∵直线l1：y＝kx+b过点B（1，0），
∴，
解得．
∴直线l1的解析式为：y＝﹣x+1．
（2）解：不等式kx+b≥2x+4的解集为x≤﹣1．
（3）解：∵直线l1与y轴相交于点C，
∴C的坐标为（0，1），
又∵直线l2与x轴相交于点A，
∴A点的坐标为（﹣2，0），则AB＝3，
而S四边形PAOC＝S△PAB﹣S△BOC，
∴S四边形PAOC＝．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）先求出点P的坐标，再将点P和点B的坐标代入y=kx+b，求出k、b的值即可；
（2）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可；
（3）利用割补法可得S四边形PAOC＝S△PAB﹣S△BOC，再将数据代入计算即可。
22．（2023九上·大洼开学考）如图，长方形纸片中，，将纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕的一端点在边上
（1）如图(1)，当折痕的另一端在边上且时，求的长．
（2）如图(2)，当折痕的另一端在边上且时，
①求证：．
②求的长．
【答案】（1）解：纸片折叠后顶点落在边上的点处，
，
，
，
在中，，
即，
解得：；
（2）解：证明：纸片折叠后顶点落在边上的点处，
，
长方形纸片的边，
，
，
；
解：纸片折叠后顶点落在边上的点处，
，，，
，
在中，，
．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）lie用折叠的性质求出BF=EF，从而求出EF和AF的关系，利用勾股定理即可求出AF的长度；
（2）利用折叠的性质求出，结合长方形的性质求出，根据等量代换和等角对等腰即可求出；利用折叠的性子求出EF=EG以及对应的长度，根据勾股定理即可求出AF=FH以及对应长度.
23．（2023九上·大洼开学考） 2022年，合肥蜀山区某商场于今年年初以每件元的进价购进一批商品．当商品售价为元时，三月份销售件．四、五月该商品十分畅销．销售量持续上涨．在售价不变的基础上，五月份的销售量达到件．
（1）求四、五这两个月的月平均增长率；
（2）从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价元，月销量增加件，当商品降价多少元时，商场月获利元？
【答案】（1）解：设四、五这两个月的月平均增长率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：四、五这两个月的月平均增长率为；
（2）解：设商品降价元，则每件获利元，月销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：当商品降价元或元时，商场月获利元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意，列方程，解出x，结合题意即可知道两个月的平均增长率是多少；
（2）根据利润公式，列方程，解出m的值，即可知道降价多少时的商场月获利为6240元.
24．（2023九上·大洼开学考）为提升学生的文学素养，培养学生的阅读兴趣，某校准备购进A，B两种图书.经调查，购进A种图书费用y元与购进A种图书本数x之间的函数关系如图所示，B种图书每本20元.
（1）当和时，求y与x之间的函数关系式；
（2）现学校准备购进300本图书，其中购进A种图书x本，设购进两种图书的总费用为w元.
①当时，求出w与x间的函数表达式；
②若购进A种图书不少于60本，且不超过B种图书本数的2倍，那么应该怎样分配购买A，B两种图书才能使总费用最少？最少总费用多少元？
【答案】（1）解：当时，设，
将代入解析式，得，
解得，
，
当时，设，
将、分别代入解析式，
得
解得，
，
综上，
（2）解：①当时，
；
②，，
，
此时，
，
随x的增大而减小，
当时，w最小，最小值为：，
故购买A种200本，B种100本时总费用最少，最少总费用为5800元.
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）当0≤x≤50时，设y=k1x，将（50，1100）代入求出k1的值，得到对应的函数解析式；当x>50时，设y=k2x+b，将（50，1100）、（100，2000）代入求出k2、b的值，据此可得对应的函数解析式；
（2）①当50②根据购进A种图书不少于60本，且不超过B种图书本数的2倍可得x≥60、x≤2(300-x)，联立求出x的范围，接下来根据一次函数的性质进行解答.
25．（2023九上·大洼开学考）如图1，在中，为锐角，点为射线上一点，连接，以为一边且在的右侧作正方形，连接.
（1）如果，
①当点在线段上时（与点不重合），如图2，线段，所在直线的位置关系为 ▲ ，线段，的数量关系为 ▲ ；
②当点在线段的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（2）如果，是锐角，点在线段上，当满足什么条件时，（点、不重合），请直接写出答案.
【答案】（1）解：①CF⊥BD；CF=BD；
②当点D在线段的延长线上时，①中的结论仍然成立，理由如下：
由正方形得，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
综上所述，当点D在线段的延长线上时，①中的结论仍然成立.
（2）解：当时，
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）①证明：正方形中，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，即；
故答案为：，；
（2）当时，（如图）.
理由：过点A作交的延长线于点G，
则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵（同角的余角相等），，
∴，
∴，
，即.
【分析】（1）①根据正方形的性质可得AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，由同角的余角相等可得∠BAD=∠CAF，利用SAS证明△DAB≌△FAC，得到CF=CB，∠B=∠ACF，据此解答；
②根据正方形的性质可得AD=AF，∠DAF=∠BAC=90°，由同角的余角相等可得∠BAD=∠CAF，利用SAS证明△DAB≌△FAC，得到CF=CB，∠ABD=∠ACF，由等腰直角三角形 的性质可得∠ABC=45°，则∠ACF=45°，由∠BCF=∠ACB+∠ACF求出∠BCF的度数，据此解答；
（2）过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠ACB=∠AGC=45°，推出AC=AG，由同角的余角相等可得∠DAG=∠FAC，利用SAS证明△GAD≌△CAF，得到∠ACF=∠AGC=45°，然后根据∠BCF=∠ACB+∠ACF求出∠BCF的度数，据此解答.
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