黑龙江省大庆市肇源县向阳学校等三校联考2023-2024学年八年级上册数学开学考试试卷
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2023八上·肇源开学考）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对边平行且相等 B．对角线互相垂直
C．每条对角线平分一组对角． D．四边相等
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：根据平行四边形、矩形、菱形、正方的性质可知，
它们共同的性质是：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的两组对边平行且相等，两组对角大小相等，相邻的两个角互补，对角线互相平分；矩形的对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等，对角线互相平分；菱形的对角线互相垂直且平分，并且每条对角线平分一组对角，四条边都相等，对角相等，邻角互补；正方形的两组对边分别平行，两组对边分别相等，四条边都相等，四个角也分别相等，对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角；即可分析得出答案.
2．（2023八上·肇源开学考）下列方程，是一元二次方程（其中，是未知数）的个数是（ ）
①，②，③，④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： ①x2+1=0符合一元二次方程的定义，符合题意；
②2x2-3xy=-1属于二元二次方程，不符合题意；
③，是分式方程，不符合题意；
④当a=0时，方程ax2-x+2=0不是关于x的一元二次方程，不符合题意．
故答案为A：.
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程；逐项分析即可得出答案.
3．（2023八上·肇源开学考）已知压力、压强与受力面积之间有如下关系式：．当为定值时，下图中大致表示压强与受力面积之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的定义；反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵压力F（N）、压强 P（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：F=PS．
∴当F为定值时，压强 P与受力面积S之间函数关系是反比例函数，
故答案为：D.
【分析】 根据函数的解析式判断函数是反比例函数，即可得出答案.
4．（2023八上·肇源开学考）若反比例函数的图象在一、三象限，则的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象在一、三象限，
∴2-m＞0，
解得：m＜2．
结合选项可知，只有m=1符合题意．
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数的性质：当k＞0时，双曲线的两个分支在一，三象限，在每一分支上y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两个分支在二，四象限，在每一分支上y随x的增大而增大，即可得出m的取值范围，即可得出答案.
5．（2023八上·肇源开学考）一天晚上，小伟帮助妈妈清洗四个绿、白、蓝、红颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟随机将其中一个杯盖和一个茶杯搭配在一起．则这个茶杯颜色搭配恰好正确的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：将四个绿、白、蓝、红颜色不同的有盖茶杯分别记作A，a；B，b；C，c；D，d.
列表如下：
A B C D
a Aa Ba Ca Da
b Ab Bb Cb Db
c Ac Bc Cc Dc
d Ad Bd Cd Dd
由表知，共有16种等可能结果，其中这个茶杯颜色搭配恰好正确的有4种结果，
所以这个茶杯颜色搭配恰好正确的概率为.
故答案为：B.
【分析】将四个绿、白、蓝、红颜色不同的有盖茶杯分别记作A，a；B，b；C，c；D，d，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可.
6．（2023八上·肇源开学考）如图是嘉淇在室外用手机拍下大树的影子随太阳转动情况的照片（上午8时至下午5时之间），这五张照片拍摄的时间先后顺序是（ ）
A．①②③④⑤ B．②④①③⑤ C．⑤④①③② D．⑤③①④②
【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：一天中太阳位置的变化规律是：从东到西．太阳的高度变化规律是：低→高→低．
影子位置的变化规律是：从西到东，
影子的长短变化规律是：长→短→长．
根据影子变化的特点，按时间顺序给这五张照片排序是②④①③⑤．
故答案为：B.
【分析】根据太阳的位置和高度决定了影子的方向和长短．一天中，阳光下物体的影子变化规律是上午影子由长逐渐变短；下午影子由短逐渐变长．方向由西逐渐转向东，进行排序即可得出答案.
7．（2023八上·肇源开学考）某商店将一批夏装降价处理，经过两次降价后，由每件100元降至81元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为，可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得：
100（1-x）2=81，
故答案为：A.
【分析】设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的单价是原来的（1-x），那么第二次降价后的单价是原来的（1-x）2，根据题意列方程解答即可.
8．（2023八上·肇源开学考）若点，，都在反比例函数的图象上，其中，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵k=8＞0，y2＜0＜y1＜y3，
∴点B在第二象限，点A、C在第一象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小，
∴x2＜0，x3＞x1＞0，
∴x2＜x3＜x1．
故答案为：B.
【分析】先判断出点A、B在第四象限，点C在第二象限，再根据反比例函数的增减性：当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限；进行判断即可得出答案.
9．（2023八上·肇源开学考）如图，为等腰的斜边上的一动点，连接，，，垂足分别为点、，已知，以下结论错误的是（ ）
A． B．若，则
C． D．若时，
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行线分线段成比例；等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵AF⊥CP，BE⊥CP，
∴∠AFC=∠CEB=90°，
∴∠ACF+∠CAF=90°，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴∠ACF+∠BCE=90°，
∴∠CAF=∠BCE，
在△ACF和△CBE中，
，
∴△ACF≌△CBE（AAS），
∴CE=AF，A正确；
EF=AF-BE，C正确；
当CF=FP时，AP=AC=4， ，
∴，
即，
∴，
∴，B正确；
当∠AFB=135°时，∠EFB=45°，EF=BE．
∴CE=2BE，即AF=2BE，
∴AP=2BP，D错误．
故答案为：D.
【分析】根据题意可得∠AFC=∠CEB=90°，∠ACB=90°，AC=BC，推得∠CAF=∠BCE，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等可得CE=AF，EF=AF-BE，根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AP=AC=4， ，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例可得，即可求得，证明； 当∠AFB=135°时，根据等腰直角三角形的性质可得EF=BE，推得AF=2BE，AP=2BP；即可得出答案.
10．（2023八上·肇源开学考）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴、轴上，反比例函数（，）的图象与正方形的两边，分别交于点，，轴，垂足为，连接，，，下列结论：①；②四边形与的面积相等；③；④若，，则点的坐标为．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数图象关于一、三象限平分线轴对称，正方形关于OB所在直线轴对称，且CB=AB，
故点B在一、三象限平分线上，
∴反比例函数图象与正方形的组合图形关于OB所在直线轴对称，点C与A对应，点M与N对应，
∴ON=OM，CN=AM；
又∵OC=AO，∠OCN=∠OAM=90°，
∴△OCN≌△OAM，①正确，
∵ON=OM，
无法证明ON与MN相等，③错误；
∵CN⊥CO，MA⊥AO，
∴，
∴S四边形DAME=S△ONE，
∴S四边形DAMN=S四边形DAME+S△MNE=S△MNE+S△ONE=S△MNO，②正确；
由轴对称性质得到NB=MB，，
∴Rt△NBM中，，
在OC上取点F，使CN=CF，设CN=CF=m，
得到∠CFN=45°，∠FON=∠FNO=22.5°，
得，
∴，
得m=1，点C的坐标为，④正确．
综上所述，正确的为①②④，
故答案为：B.
【分析】利用反比例函数的轴对称性质，正方形的轴对称性质，得到图形关于一、三象限平分线轴对称，得到ON=OM，CN=AM，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，判断出①正确，③错误；再由反比例函数的几何性质得到，，根据割补法转换面积，判断②正确；再由④中的长度和角度关系，构造直角三角形，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方计算得到OC长度，判断④正确．
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（2023八上·肇源开学考）在比例尺是1：1000的地图上，幸福路的长度约为，该路段实际长度约为 ．
【答案】1000
【知识点】图上距离与实际距离的换算（比例尺的应用）
【解析】【解答】解： 根据题意，设路段实际长度为xcm，
∴，
解得：x=100000，
即路段实际长度约为100000cm=1000m，
∴路段实际长度约为1000m.
故答案为：1000.
【分析】根据比例尺的计算方法，图上距离比上实际距离等于比例（单位要统一），由此即可求解．
12．（2023八上·肇源开学考）已知一个反比例函数的图象经过点，若该反比例函数的图象也经过点，则的值为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设反比例函数的表达式为，
∵反比例函数的图象经过点（-3，2），
将（-3，2）代入函数表达式得：，
∴k=-6，
∴反比例函数的表达式为，
将（2，m）代入函数表达式得：，
解得：m=-3．
故答案为：-3.
【分析】先根据待定系数法求反比例函数的解析式，即可求解.
13．（2023八上·肇源开学考）如图所示是由一些相同的小立方体搭成的几何体从正面、左面和上面看到的图形，则所搭这个几何体的小方体有 个．
从正面看从左面看从上面看
【答案】5
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：从主视图和俯视图看第一列2个小立方体，第二列2个小立方体，第三列1个小立方体，
则此几何体共有2+2+1=5个小立方体．
故答案为：5.
【分析】根据俯视图，可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数，即可得出答案.
14．（2023·沛县模拟）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数k的取值范围是 ．
【答案】 且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得到且，
解得 且 .
故答案为： 且 .
【分析】利用一元二次方程的定义和判别是的定义得到且，解出不等式即可得出结果.
15．（2023八上·肇源开学考）如图，转盘中黄色扇形的圆心角为，绿色扇形的圆心角为，现让转盘自由转动两次，则两次指针都落在绿色区域的概率为 ．（注：当指针恰好指在分界线上时，无效重转）
【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解： 由图得：黄色扇形的圆心角为90°，绿色扇形的圆心角是270°，
∴黄色扇形的面积：绿色扇形的面积=1：3，
如图，
故让转盘自由转动2次，2次指针都落在绿色区域的概率是．
故答案为：.
【分析】通过转盘的黄色扇形和绿色扇形的面积之比画树状图，根据几何概率：某事件的概率=相应的面积与总面积之比，进行求解即可.
16．（2023八上·肇源开学考）若实数，分别满足，，且，则的值为 ．
【答案】8
【知识点】代数式求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵a2-4a+3=0，b2-4b+3=0；
即（a-3）（a-1）=0，（b-3）（b-1）=0，
∴a=3或1，b=3或1，
∵a≠b，
∴a=3，b=1或a=1，b=3；
则（a+1）（b+1）=2×4=8，
故答案为：8.
【分析】根据因式分解法求一元二次方程的解，在代入求值即可得出答案.
17．（2023八上·肇源开学考）如图，点在反比例函数的图象上，点在轴负半轴上，直线交轴于点，若，的面积为4，则的值为 ．
【答案】4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： 过点A作AE⊥y轴于点E， 如图：
∵，△AOB的面积为4，
∴，，
∵∠AEC=∠BOC=90°，∠ACE=∠BCO，
∴△AEC∽△BOC，
∴，
∴，
∴，
∴k=4（取正值），
故答案为：4.
【分析】根据三角形的面积公式和△AOB的面积为4可求得，，根据有两个角相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的面积比等于相似比的平方可求得，，根据反比例函数系数k的几何意义：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，与原点O围成的矩形的面积为|k|；即可求出答案.
18．（2022·花都模拟）如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，交AB于点E，EF⊥CE交AD于点F，以CE，EF为边，作矩形CEFG，FG与DC相交于点H．则下列结论：①AE=BC；②若AE=4，CH=5，则CE＝；③EF=AE+DH；④当F是AD的中点时，．其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）．
【答案】①②
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】①∵矩形ABCD，
∴，
∵EF⊥CE，
∴，
∵DE平分∠ADC，
∴，
∴AD=AE=BC，
∴，
∴AE=BC，故①符合题意；
②∵，
∴EF=BC，
∴矩形EFGC是正方形，
∴CE=CG，
∵，
∴，
∴，
∵AE=4，CH=5，
∴CB=AE=4，
∴，
∴，故②符合题意；
③设，则，
∴，
∴CD=AB=AE+BE=，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴AE+DH，
∵，a、b的关系不固定，
∴不一定成立，
∴EF=AE+DH不一定成立，故③不符合题意；
④当F是AD的中点时，，
∴，即，
∴，故④不符合题意；
综上所述，正确的是①②；
故答案为：①②．
【分析】根据正方形的性质、相似三角形的判定和性质及四边形的综合题逐项判断即可。
三、解答题
19．（2023八上·肇源开学考）解下列一元二次方程：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解：x2-4x+7=10
x2-4x+4=10-7+4
（x-2）2=7
∴，
（2）解：2x2-3x-5=0
a=2，b=-3，c=-5，
，
∴，
（3）解：3x2+5x-2=0
（3x-1）（x+2）=0
（3x-1）=0或（x+2）=0
∴，
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据配方法解一元二次方程的步骤进行计算即可；
（2）根据公式法解一元二次方程的步骤进行计算即可；
（3）根据因式分解法解一元二次方程的步骤进行计算即可.
20．（2023八上·肇源开学考）在平面直角坐标系中的位置如图所示，网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度．
（1）请画出关于轴对称的点，，的对应点分别为，，；
（2）请以原点为位似中心，在第四象限内画一个，使它与的相似比为2：1．
【答案】（1）解：如图所示，
，图形关于轴对称的中，，
∴根据对称的性质可知，即为所求图形．
（2）解：如图所示，
，，，
∴连接，
∴，，，
∴，，，
且，，，
∴，，，符合题意，
∴即为所求图形．
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）根据作已知图形关于某直线的对称图形的步骤：在原图形上找特殊点（如线段的端点、线与线的交点等）；作各个特殊点关于已知直线的对称点；按原图对应连接各对称点，分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1，连接即可即可；
（2）根据画位似图形的一般步骤：确定位似中心；连接位似中心和能代表原图的关键点并延长；根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形；分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2，连接即可.
21．（2023八上·肇源开学考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料．
（1）当长度是多少时，矩形花园的面积为150平方米；
（2）能否围成矩形花园面积为220平方米，为什么？
【答案】（1）解：设，则，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：当长度是时，矩形花园的面积为．
（2）解：不能，理由如下：
设，则，
依题意得：，
整理得：．
，
该方程无实数根，
不能围成面积为的矩形花园．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设AB=xm，则BC=（40-2x）m，根据矩形花园的面积为150平方米，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）假设能围成，设AB=ym，则BC=（40-2y）m，根据矩形花园的面积为220平方米，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ=-40＜0，可得出该方程无实数根，进而可得出假设不成立，即可求解.
22．（2023八上·肇源开学考）如图，在和中，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：由（1）得，，
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据题意求得∠ACB=∠DCE，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形即可证明；
（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解.
23．（2023八上·肇源开学考）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围．
（2）是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：且.
（2）解：假设存在实数k，使方程两实数根的倒数和为0
设方程的两根为．则
∴
即，且
解得
又∵
∴不存在实数k，使方程两实数根的倒数和为0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可求解；
（2）假设存在实数k，根据一元二次方程根与系数的关系，方程两实数根的倒数和为0，列等式，结合（1）中k的取值范围即可求解.
24．（2023八下·茶陵期中）如图：在菱形中，对角线、交于点O，过点A作于点E，延长至点F，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：在菱形中，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：在菱形中，，
∵，
∴，
∵在矩形中，，
∵，
∴在中，，
解得：．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先根据菱形的性质即可得到，，进而根据题意即可得到，再根据平行四边形的判定和矩形的判定即可求解；
（2）先根据菱形的性质得到，进而得到，再根据勾股定理即可求出CD。
25．（2023八上·肇源开学考）“校园安全”受到全社会的广泛关注，河源市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若从校园安全知识达到“了解”程度的2个女生和1个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．
【答案】（1）60；90
（2）解：补充条形统计图如图所示
了解的人数有：（人）.
（3）解：列表法如图所示
第一人 第二人 女1 女2 男
女1 （女1，女2） （女1，男）
女2 （女2，女1） （女2，男）
男 （男，女1） （男，女2）
则所有等可能性的结果有6种，其中恰好是一个男生一个女生的情况有4种，
所以.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）∵了解很少的有30人，占50%，
∴接受问卷调查的学生共有：30÷50%=60（人），
∴扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为：．
故答案为：60，90．
【分析】（1）根据了解很少的人数和所占的百分比求出抽查的总人数，再用“基本了解”所占的百分比乘以360°，即可求出“基本了解”部分所对应扇形的圆心角的度数；
（2）用调查的总人数减去“基本了解”“了解很少”和“不了解”的人数，求出“了解”的人数，从而补全统计图；
（3）根据题意画出表格，再根据概率公式即可得出答案．
26．（2020八下·潢川期中）如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点， ， ，E、F分别为垂足，若 ， ，求AP的长.
【答案】解：如图，连接PC，
四边形ABCD是正方形，
， ，
，
≌ ，
，
四边形ABCD是正方形，
，
， ，
四边形PFCE是矩形，
，
，
在 中， ，
，
.
【知识点】勾股定理；矩形的判定；正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】利用正方形的性质，可得到AD=CD，∠ADP=∠CDP，利用SAS周末△APD≌△CPD，利用全等三角形的性质，可证得AP=CP，再证明四边形PFCE是矩形，利用矩形的性质可得到PC=EF，要求AP的长就转化为求EF的长，由此再Rt△CEF中，利用勾股定理，可求出EF的长，即可求解.
27．（2023八上·肇源开学考）如图在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）请直接写出不等式的解集；
（3）点为反比例函数图象的任意一点，若，求点的坐标．
【答案】（1）解：把点代入直线得：
∴点A的坐标为：，
∵反比例函数的图象过点A，
∴，
即反比例函数的解析式为，
（2）解：由（1）得：点A的坐标为：，
同理可求，点B的坐标为：，
∴不等式的解集为或；
（3）解：把代入得：，
即点C的坐标为：，
∴，
∵，
∴，
∴，
当点P的纵坐标为3时，则，解得，
当点P的纵坐标为时，则，解得，
∴点P的坐标为或．
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先求出点A的坐标，根据待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）根据反比例函数图象的对称性求得点B的坐标，根据一次函数与反比例函数的交点坐标即可求不等式的解集；
（3）先求出点C的坐标，根据三角形的面积公式和题意求得点P的纵坐标为3或-3，分别代入反比例函数解析式即可求得点P的坐标.
28．（2023八上·肇源开学考）如图，在矩形中，，，动点从点开始以每秒2个单位长度沿向终点运动，同时，动点从点开始沿以每秒3个单位长度向终点运动，它们同时到达终点．连接交于点．过点作，交直线于点．
备用图
（1）当点在线段上时，求证：．
（2）当时，求的面积．
（3）在，的运动过程中，是否存在某一位置，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：当点Q在线段上时，由题意可得：，，，
∴，
∴．
（2）解：①当点Q在上时，如图1，．过点E作的垂线交于点M，交于点N．
由，得．
由，得，
∴，
∴．
②当点Q在上时，如图2，作于点M，设．
，．
同理：，
∴，
∴．
同理：，得，
∴．
∴，解得，
∴．
∴的面积为或．
（3）解：①当点Q在上时，设，则．
若点F在Q的右侧，如图3，当，则．
作于点H，而，
∴，则，
∴．
∵，
∴，
解得．
∴．
若点F在Q的左侧，如图4，，点F与点C重合．
∵，
又∵
∴．
∵由结合对顶角可得：，而，
∴，
∴，即，则，
∴．
②当点Q在AD上时，如图5，，，，
作于点N，于点G．，则，
由，得，
∴，
∴．
同理可得：，
设，则，．
∴，，
由，得，，
∴，．
由题意，，
设，则，，，
由，得，即，
化简，得，
解得（舍去），．
∴．
综上所述，BP的长为或2或．
【知识点】公式法解一元二次方程；三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）根据矩形的对边平行，有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边成比例即可求解；
（2）①当点Q在CD上时，CQ=3．过点E作AB的垂线交AB于点M，交CD于点N；根据（1）中结论可得AP=2，根据相似三角形的判定和性质可求得，根据三角形的面积公式即可求解；②当点Q在AD上时，作EM⊥AB于点M，设EM=h，再利用相似三角形的判定和性质可求解三角形的高，再利用面积公式计算即可；
（3）分三种情况讨论：①当点Q在CD上时，设CQ=3t，则AP=2t，若点F在Q的右侧，当△FEQ∽△ABC，则∠1=∠2，作PH⊥CD于点H，而∠B=∠PHQ=90°根据相似三角形的判定和性质即可求解；若点F在Q的左侧，△FEQ∽△ABC，点F与点C重合，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得AC的值，结合（1）中结论求得AE的值，根据相似三角形的判定和性质即可求解；②当点Q在AD上时，根据相似三角形的判定和性质求得AE，EG的值，根据相似三角形的判定和性质列一元二次方程求解即可得出答案．
1 / 1黑龙江省大庆市肇源县向阳学校等三校联考2023-2024学年八年级上册数学开学考试试卷
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2023八上·肇源开学考）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对边平行且相等 B．对角线互相垂直
C．每条对角线平分一组对角． D．四边相等
2．（2023八上·肇源开学考）下列方程，是一元二次方程（其中，是未知数）的个数是（ ）
①，②，③，④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2023八上·肇源开学考）已知压力、压强与受力面积之间有如下关系式：．当为定值时，下图中大致表示压强与受力面积之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023八上·肇源开学考）若反比例函数的图象在一、三象限，则的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023八上·肇源开学考）一天晚上，小伟帮助妈妈清洗四个绿、白、蓝、红颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟随机将其中一个杯盖和一个茶杯搭配在一起．则这个茶杯颜色搭配恰好正确的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八上·肇源开学考）如图是嘉淇在室外用手机拍下大树的影子随太阳转动情况的照片（上午8时至下午5时之间），这五张照片拍摄的时间先后顺序是（ ）
A．①②③④⑤ B．②④①③⑤ C．⑤④①③② D．⑤③①④②
7．（2023八上·肇源开学考）某商店将一批夏装降价处理，经过两次降价后，由每件100元降至81元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为，可列方程（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023八上·肇源开学考）若点，，都在反比例函数的图象上，其中，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023八上·肇源开学考）如图，为等腰的斜边上的一动点，连接，，，垂足分别为点、，已知，以下结论错误的是（ ）
A． B．若，则
C． D．若时，
10．（2023八上·肇源开学考）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴、轴上，反比例函数（，）的图象与正方形的两边，分别交于点，，轴，垂足为，连接，，，下列结论：①；②四边形与的面积相等；③；④若，，则点的坐标为．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（2023八上·肇源开学考）在比例尺是1：1000的地图上，幸福路的长度约为，该路段实际长度约为 ．
12．（2023八上·肇源开学考）已知一个反比例函数的图象经过点，若该反比例函数的图象也经过点，则的值为 ．
13．（2023八上·肇源开学考）如图所示是由一些相同的小立方体搭成的几何体从正面、左面和上面看到的图形，则所搭这个几何体的小方体有 个．
从正面看从左面看从上面看
14．（2023·沛县模拟）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数k的取值范围是 ．
15．（2023八上·肇源开学考）如图，转盘中黄色扇形的圆心角为，绿色扇形的圆心角为，现让转盘自由转动两次，则两次指针都落在绿色区域的概率为 ．（注：当指针恰好指在分界线上时，无效重转）
16．（2023八上·肇源开学考）若实数，分别满足，，且，则的值为 ．
17．（2023八上·肇源开学考）如图，点在反比例函数的图象上，点在轴负半轴上，直线交轴于点，若，的面积为4，则的值为 ．
18．（2022·花都模拟）如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，交AB于点E，EF⊥CE交AD于点F，以CE，EF为边，作矩形CEFG，FG与DC相交于点H．则下列结论：①AE=BC；②若AE=4，CH=5，则CE＝；③EF=AE+DH；④当F是AD的中点时，．其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）．
三、解答题
19．（2023八上·肇源开学考）解下列一元二次方程：
（1）
（2）
（3）
20．（2023八上·肇源开学考）在平面直角坐标系中的位置如图所示，网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度．
（1）请画出关于轴对称的点，，的对应点分别为，，；
（2）请以原点为位似中心，在第四象限内画一个，使它与的相似比为2：1．
21．（2023八上·肇源开学考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料．
（1）当长度是多少时，矩形花园的面积为150平方米；
（2）能否围成矩形花园面积为220平方米，为什么？
22．（2023八上·肇源开学考）如图，在和中，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
23．（2023八上·肇源开学考）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围．
（2）是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
24．（2023八下·茶陵期中）如图：在菱形中，对角线、交于点O，过点A作于点E，延长至点F，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
25．（2023八上·肇源开学考）“校园安全”受到全社会的广泛关注，河源市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若从校园安全知识达到“了解”程度的2个女生和1个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．
26．（2020八下·潢川期中）如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点， ， ，E、F分别为垂足，若 ， ，求AP的长.
27．（2023八上·肇源开学考）如图在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）请直接写出不等式的解集；
（3）点为反比例函数图象的任意一点，若，求点的坐标．
28．（2023八上·肇源开学考）如图，在矩形中，，，动点从点开始以每秒2个单位长度沿向终点运动，同时，动点从点开始沿以每秒3个单位长度向终点运动，它们同时到达终点．连接交于点．过点作，交直线于点．
备用图
（1）当点在线段上时，求证：．
（2）当时，求的面积．
（3）在，的运动过程中，是否存在某一位置，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：根据平行四边形、矩形、菱形、正方的性质可知，
它们共同的性质是：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的两组对边平行且相等，两组对角大小相等，相邻的两个角互补，对角线互相平分；矩形的对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等，对角线互相平分；菱形的对角线互相垂直且平分，并且每条对角线平分一组对角，四条边都相等，对角相等，邻角互补；正方形的两组对边分别平行，两组对边分别相等，四条边都相等，四个角也分别相等，对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角；即可分析得出答案.
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： ①x2+1=0符合一元二次方程的定义，符合题意；
②2x2-3xy=-1属于二元二次方程，不符合题意；
③，是分式方程，不符合题意；
④当a=0时，方程ax2-x+2=0不是关于x的一元二次方程，不符合题意．
故答案为A：.
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程；逐项分析即可得出答案.
3．【答案】D
【知识点】反比例函数的定义；反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵压力F（N）、压强 P（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：F=PS．
∴当F为定值时，压强 P与受力面积S之间函数关系是反比例函数，
故答案为：D.
【分析】 根据函数的解析式判断函数是反比例函数，即可得出答案.
4．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象在一、三象限，
∴2-m＞0，
解得：m＜2．
结合选项可知，只有m=1符合题意．
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数的性质：当k＞0时，双曲线的两个分支在一，三象限，在每一分支上y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两个分支在二，四象限，在每一分支上y随x的增大而增大，即可得出m的取值范围，即可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：将四个绿、白、蓝、红颜色不同的有盖茶杯分别记作A，a；B，b；C，c；D，d.
列表如下：
A B C D
a Aa Ba Ca Da
b Ab Bb Cb Db
c Ac Bc Cc Dc
d Ad Bd Cd Dd
由表知，共有16种等可能结果，其中这个茶杯颜色搭配恰好正确的有4种结果，
所以这个茶杯颜色搭配恰好正确的概率为.
故答案为：B.
【分析】将四个绿、白、蓝、红颜色不同的有盖茶杯分别记作A，a；B，b；C，c；D，d，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可.
6．【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：一天中太阳位置的变化规律是：从东到西．太阳的高度变化规律是：低→高→低．
影子位置的变化规律是：从西到东，
影子的长短变化规律是：长→短→长．
根据影子变化的特点，按时间顺序给这五张照片排序是②④①③⑤．
故答案为：B.
【分析】根据太阳的位置和高度决定了影子的方向和长短．一天中，阳光下物体的影子变化规律是上午影子由长逐渐变短；下午影子由短逐渐变长．方向由西逐渐转向东，进行排序即可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得：
100（1-x）2=81，
故答案为：A.
【分析】设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的单价是原来的（1-x），那么第二次降价后的单价是原来的（1-x）2，根据题意列方程解答即可.
8．【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵k=8＞0，y2＜0＜y1＜y3，
∴点B在第二象限，点A、C在第一象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小，
∴x2＜0，x3＞x1＞0，
∴x2＜x3＜x1．
故答案为：B.
【分析】先判断出点A、B在第四象限，点C在第二象限，再根据反比例函数的增减性：当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限；进行判断即可得出答案.
9．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行线分线段成比例；等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵AF⊥CP，BE⊥CP，
∴∠AFC=∠CEB=90°，
∴∠ACF+∠CAF=90°，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴∠ACF+∠BCE=90°，
∴∠CAF=∠BCE，
在△ACF和△CBE中，
，
∴△ACF≌△CBE（AAS），
∴CE=AF，A正确；
EF=AF-BE，C正确；
当CF=FP时，AP=AC=4， ，
∴，
即，
∴，
∴，B正确；
当∠AFB=135°时，∠EFB=45°，EF=BE．
∴CE=2BE，即AF=2BE，
∴AP=2BP，D错误．
故答案为：D.
【分析】根据题意可得∠AFC=∠CEB=90°，∠ACB=90°，AC=BC，推得∠CAF=∠BCE，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等可得CE=AF，EF=AF-BE，根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AP=AC=4， ，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例可得，即可求得，证明； 当∠AFB=135°时，根据等腰直角三角形的性质可得EF=BE，推得AF=2BE，AP=2BP；即可得出答案.
10．【答案】B
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数图象关于一、三象限平分线轴对称，正方形关于OB所在直线轴对称，且CB=AB，
故点B在一、三象限平分线上，
∴反比例函数图象与正方形的组合图形关于OB所在直线轴对称，点C与A对应，点M与N对应，
∴ON=OM，CN=AM；
又∵OC=AO，∠OCN=∠OAM=90°，
∴△OCN≌△OAM，①正确，
∵ON=OM，
无法证明ON与MN相等，③错误；
∵CN⊥CO，MA⊥AO，
∴，
∴S四边形DAME=S△ONE，
∴S四边形DAMN=S四边形DAME+S△MNE=S△MNE+S△ONE=S△MNO，②正确；
由轴对称性质得到NB=MB，，
∴Rt△NBM中，，
在OC上取点F，使CN=CF，设CN=CF=m，
得到∠CFN=45°，∠FON=∠FNO=22.5°，
得，
∴，
得m=1，点C的坐标为，④正确．
综上所述，正确的为①②④，
故答案为：B.
【分析】利用反比例函数的轴对称性质，正方形的轴对称性质，得到图形关于一、三象限平分线轴对称，得到ON=OM，CN=AM，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，判断出①正确，③错误；再由反比例函数的几何性质得到，，根据割补法转换面积，判断②正确；再由④中的长度和角度关系，构造直角三角形，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方计算得到OC长度，判断④正确．
11．【答案】1000
【知识点】图上距离与实际距离的换算（比例尺的应用）
【解析】【解答】解： 根据题意，设路段实际长度为xcm，
∴，
解得：x=100000，
即路段实际长度约为100000cm=1000m，
∴路段实际长度约为1000m.
故答案为：1000.
【分析】根据比例尺的计算方法，图上距离比上实际距离等于比例（单位要统一），由此即可求解．
12．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设反比例函数的表达式为，
∵反比例函数的图象经过点（-3，2），
将（-3，2）代入函数表达式得：，
∴k=-6，
∴反比例函数的表达式为，
将（2，m）代入函数表达式得：，
解得：m=-3．
故答案为：-3.
【分析】先根据待定系数法求反比例函数的解析式，即可求解.
13．【答案】5
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：从主视图和俯视图看第一列2个小立方体，第二列2个小立方体，第三列1个小立方体，
则此几何体共有2+2+1=5个小立方体．
故答案为：5.
【分析】根据俯视图，可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数，即可得出答案.
14．【答案】 且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得到且，
解得 且 .
故答案为： 且 .
【分析】利用一元二次方程的定义和判别是的定义得到且，解出不等式即可得出结果.
15．【答案】
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解： 由图得：黄色扇形的圆心角为90°，绿色扇形的圆心角是270°，
∴黄色扇形的面积：绿色扇形的面积=1：3，
如图，
故让转盘自由转动2次，2次指针都落在绿色区域的概率是．
故答案为：.
【分析】通过转盘的黄色扇形和绿色扇形的面积之比画树状图，根据几何概率：某事件的概率=相应的面积与总面积之比，进行求解即可.
16．【答案】8
【知识点】代数式求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵a2-4a+3=0，b2-4b+3=0；
即（a-3）（a-1）=0，（b-3）（b-1）=0，
∴a=3或1，b=3或1，
∵a≠b，
∴a=3，b=1或a=1，b=3；
则（a+1）（b+1）=2×4=8，
故答案为：8.
【分析】根据因式分解法求一元二次方程的解，在代入求值即可得出答案.
17．【答案】4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： 过点A作AE⊥y轴于点E， 如图：
∵，△AOB的面积为4，
∴，，
∵∠AEC=∠BOC=90°，∠ACE=∠BCO，
∴△AEC∽△BOC，
∴，
∴，
∴，
∴k=4（取正值），
故答案为：4.
【分析】根据三角形的面积公式和△AOB的面积为4可求得，，根据有两个角相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的面积比等于相似比的平方可求得，，根据反比例函数系数k的几何意义：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，与原点O围成的矩形的面积为|k|；即可求出答案.
18．【答案】①②
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】①∵矩形ABCD，
∴，
∵EF⊥CE，
∴，
∵DE平分∠ADC，
∴，
∴AD=AE=BC，
∴，
∴AE=BC，故①符合题意；
②∵，
∴EF=BC，
∴矩形EFGC是正方形，
∴CE=CG，
∵，
∴，
∴，
∵AE=4，CH=5，
∴CB=AE=4，
∴，
∴，故②符合题意；
③设，则，
∴，
∴CD=AB=AE+BE=，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴AE+DH，
∵，a、b的关系不固定，
∴不一定成立，
∴EF=AE+DH不一定成立，故③不符合题意；
④当F是AD的中点时，，
∴，即，
∴，故④不符合题意；
综上所述，正确的是①②；
故答案为：①②．
【分析】根据正方形的性质、相似三角形的判定和性质及四边形的综合题逐项判断即可。
19．【答案】（1）解：x2-4x+7=10
x2-4x+4=10-7+4
（x-2）2=7
∴，
（2）解：2x2-3x-5=0
a=2，b=-3，c=-5，
，
∴，
（3）解：3x2+5x-2=0
（3x-1）（x+2）=0
（3x-1）=0或（x+2）=0
∴，
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据配方法解一元二次方程的步骤进行计算即可；
（2）根据公式法解一元二次方程的步骤进行计算即可；
（3）根据因式分解法解一元二次方程的步骤进行计算即可.
20．【答案】（1）解：如图所示，
，图形关于轴对称的中，，
∴根据对称的性质可知，即为所求图形．
（2）解：如图所示，
，，，
∴连接，
∴，，，
∴，，，
且，，，
∴，，，符合题意，
∴即为所求图形．
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）根据作已知图形关于某直线的对称图形的步骤：在原图形上找特殊点（如线段的端点、线与线的交点等）；作各个特殊点关于已知直线的对称点；按原图对应连接各对称点，分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1，连接即可即可；
（2）根据画位似图形的一般步骤：确定位似中心；连接位似中心和能代表原图的关键点并延长；根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形；分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2，连接即可.
21．【答案】（1）解：设，则，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：当长度是时，矩形花园的面积为．
（2）解：不能，理由如下：
设，则，
依题意得：，
整理得：．
，
该方程无实数根，
不能围成面积为的矩形花园．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设AB=xm，则BC=（40-2x）m，根据矩形花园的面积为150平方米，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）假设能围成，设AB=ym，则BC=（40-2y）m，根据矩形花园的面积为220平方米，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ=-40＜0，可得出该方程无实数根，进而可得出假设不成立，即可求解.
22．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：由（1）得，，
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据题意求得∠ACB=∠DCE，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形即可证明；
（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解.
23．【答案】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：且.
（2）解：假设存在实数k，使方程两实数根的倒数和为0
设方程的两根为．则
∴
即，且
解得
又∵
∴不存在实数k，使方程两实数根的倒数和为0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可求解；
（2）假设存在实数k，根据一元二次方程根与系数的关系，方程两实数根的倒数和为0，列等式，结合（1）中k的取值范围即可求解.
24．【答案】（1）证明：在菱形中，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：在菱形中，，
∵，
∴，
∵在矩形中，，
∵，
∴在中，，
解得：．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先根据菱形的性质即可得到，，进而根据题意即可得到，再根据平行四边形的判定和矩形的判定即可求解；
（2）先根据菱形的性质得到，进而得到，再根据勾股定理即可求出CD。
25．【答案】（1）60；90
（2）解：补充条形统计图如图所示
了解的人数有：（人）.
（3）解：列表法如图所示
第一人 第二人 女1 女2 男
女1 （女1，女2） （女1，男）
女2 （女2，女1） （女2，男）
男 （男，女1） （男，女2）
则所有等可能性的结果有6种，其中恰好是一个男生一个女生的情况有4种，
所以.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）∵了解很少的有30人，占50%，
∴接受问卷调查的学生共有：30÷50%=60（人），
∴扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为：．
故答案为：60，90．
【分析】（1）根据了解很少的人数和所占的百分比求出抽查的总人数，再用“基本了解”所占的百分比乘以360°，即可求出“基本了解”部分所对应扇形的圆心角的度数；
（2）用调查的总人数减去“基本了解”“了解很少”和“不了解”的人数，求出“了解”的人数，从而补全统计图；
（3）根据题意画出表格，再根据概率公式即可得出答案．
26．【答案】解：如图，连接PC，
四边形ABCD是正方形，
， ，
，
≌ ，
，
四边形ABCD是正方形，
，
， ，
四边形PFCE是矩形，
，
，
在 中， ，
，
.
【知识点】勾股定理；矩形的判定；正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】利用正方形的性质，可得到AD=CD，∠ADP=∠CDP，利用SAS周末△APD≌△CPD，利用全等三角形的性质，可证得AP=CP，再证明四边形PFCE是矩形，利用矩形的性质可得到PC=EF，要求AP的长就转化为求EF的长，由此再Rt△CEF中，利用勾股定理，可求出EF的长，即可求解.
27．【答案】（1）解：把点代入直线得：
∴点A的坐标为：，
∵反比例函数的图象过点A，
∴，
即反比例函数的解析式为，
（2）解：由（1）得：点A的坐标为：，
同理可求，点B的坐标为：，
∴不等式的解集为或；
（3）解：把代入得：，
即点C的坐标为：，
∴，
∵，
∴，
∴，
当点P的纵坐标为3时，则，解得，
当点P的纵坐标为时，则，解得，
∴点P的坐标为或．
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先求出点A的坐标，根据待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）根据反比例函数图象的对称性求得点B的坐标，根据一次函数与反比例函数的交点坐标即可求不等式的解集；
（3）先求出点C的坐标，根据三角形的面积公式和题意求得点P的纵坐标为3或-3，分别代入反比例函数解析式即可求得点P的坐标.
28．【答案】（1）解：当点Q在线段上时，由题意可得：，，，
∴，
∴．
（2）解：①当点Q在上时，如图1，．过点E作的垂线交于点M，交于点N．
由，得．
由，得，
∴，
∴．
②当点Q在上时，如图2，作于点M，设．
，．
同理：，
∴，
∴．
同理：，得，
∴．
∴，解得，
∴．
∴的面积为或．
（3）解：①当点Q在上时，设，则．
若点F在Q的右侧，如图3，当，则．
作于点H，而，
∴，则，
∴．
∵，
∴，
解得．
∴．
若点F在Q的左侧，如图4，，点F与点C重合．
∵，
又∵
∴．
∵由结合对顶角可得：，而，
∴，
∴，即，则，
∴．
②当点Q在AD上时，如图5，，，，
作于点N，于点G．，则，
由，得，
∴，
∴．
同理可得：，
设，则，．
∴，，
由，得，，
∴，．
由题意，，
设，则，，，
由，得，即，
化简，得，
解得（舍去），．
∴．
综上所述，BP的长为或2或．
【知识点】公式法解一元二次方程；三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）根据矩形的对边平行，有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边成比例即可求解；
（2）①当点Q在CD上时，CQ=3．过点E作AB的垂线交AB于点M，交CD于点N；根据（1）中结论可得AP=2，根据相似三角形的判定和性质可求得，根据三角形的面积公式即可求解；②当点Q在AD上时，作EM⊥AB于点M，设EM=h，再利用相似三角形的判定和性质可求解三角形的高，再利用面积公式计算即可；
（3）分三种情况讨论：①当点Q在CD上时，设CQ=3t，则AP=2t，若点F在Q的右侧，当△FEQ∽△ABC，则∠1=∠2，作PH⊥CD于点H，而∠B=∠PHQ=90°根据相似三角形的判定和性质即可求解；若点F在Q的左侧，△FEQ∽△ABC，点F与点C重合，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得AC的值，结合（1）中结论求得AE的值，根据相似三角形的判定和性质即可求解；②当点Q在AD上时，根据相似三角形的判定和性质求得AE，EG的值，根据相似三角形的判定和性质列一元二次方程求解即可得出答案．
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