12.3 角的平分线的性质一课一练（含解析）

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12.3 角的平分线的性质一课一练
一、单选题
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BC＝8cm，点D到AB的距离为3cm，则DB的值是（　　）
A．3cm B．8cm C．6cm D．5cm
2．如图，四边形ABCD中，∠A+∠B=200°，∠ADC、∠DCB的平分线相交于点O，则∠COD的度数是（　　）
A．80° B．90° C．100° D．110°
3．如图，，，平分，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC 中，∠BAC 和∠ABC 的平分线相交于点 O，过点 O 作 EF∥AB 交 BC 于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：
① ∠AOB=90°+ ②AE+BF=EF；③当∠C=90°时，E，F 分别是 AC，BC的中点；④若 OD=a，CE+CF=2b，则 S△CEF=ab其中正确的是（　　）
A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④
5．如图，中，，的角平分线、相交于点，过点作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④连接，平分．其中正确的是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
6．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是　 　．
三、计算题
7．如图，点A在∠O的一边上，按要求画图并填空．
（1）①过点A画直线AB⊥OA于点A，与∠O的另一边相交于点B．
②过点A画OB的垂线段AC，垂足为点C．
③过点C画直线CD∥OA，交直线AB于点D．
（2）∠CDB＝　 　°；
（3）如果OA＝8，AB＝6，AC＝ ，则点A到直线OB的距离为　 　．
四、解答题
8．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．
求证：∠OAB=∠OBA．
五、作图题
9．如图，作∠BAC的平分线AP （用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
六、综合题
10．如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图①中的三角板OMN摆放成如图②所示的位置，使一边OM在∠BOC的内部，当OM平分∠BOC时，求∠BON的度数；
（2）在（1）的条件下，作线段NO的延长线OP（如图③所示），试说明射线OP是∠AOC的平分线；
（3）将图①中的三角板OMN摆放成如图④所示的位置，请探究∠NOC与∠AOM之间的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，过点D作 ，交AB于点E
∵∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，
∴
∵且点D到AB的距离为3cm
∴
∵BC＝8cm
∴
故答案为：D.
【分析】过点D作DE⊥AB，交AB于点E，由角平分线上的点到角两边的距离相等可得DC=DE，再根据线段的构成DB=BC-DC可求解.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B+∠ADC+∠DCB=360°，∠A+∠B=200°，
∴∠ADC+∠DCB=160°.
又∵∠ADC、∠DCB的平分线相交于点O，
∴∠ODC= ∠ADC，∠OCD= ，
∴∠ODC+∠OCD=80°，
∴∠COD=180°﹣（∠ODC+∠OCD）=100°.
故答案为：C.
【分析】由于∠A+∠B=200°，根据四边形的内角和定理求出∠ADC+∠DCB的度数，然后根据角平分线的定义得出∠ODC+∠OCD的度数，最后根据三角形内角和定理求出∠COD的度数.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠FGB与∠FGA是邻补角，∠FGB=
∴∠FGA=
又∵AB//CD
∴∠FGA=∠GFD=，∠AEF=∠EFD
∵FG平分∠EFD
∴∠EFG=∠GFD=
∴∠AEF=∠EFD=∠EFG+∠GFD=
故答案为：B.
【分析】两条直线平行，内错角相等，再根据角平分线的性质解答即可。
4．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连结OC，过点O作OH⊥AC于H，
①∵AO、BO分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAO=∠OAE=∠BAC，∠ABO=∠OBC=∠ABC，
而EF∥AB ，
∴∠BAO=∠AOE=∠BAC，∠ABO=∠BOF=∠ABC，
∴∠AOB=-∠AOE-∠BOF=-∠BAC-∠ABC=-（∠BAC+∠ABC）=-（-∠C）=90°+∠C；故①正确。
②由①可得∠BAO=∠AOE=∠OAE，∠ABO=∠OBC=∠BOF，
∴AE=OE，BF=OF
∴EF=EO+FO=AE+BF；故②正确。
③由②可得，AE=OE，BF=OF，不能得到E，F 分别是 AC，BC的中点；
④过O作OH⊥CE于H，
由题意知，点O是 ABC的内心，OD⊥CB，
∴CO平分角ACB，
∴OD=OH，
∵OD=a，CE+CF=2b，
∴=.故④正确。
∴选C。
【分析】①由角平分线的性质可证得∠BAO=∠AOE=∠BAC，∠ABO=∠BOF=∠ABC，再根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠BAC=-∠C，然后由平角的性质可证得∠AOB=90°+∠C；
②由①可得∠BAO=∠AOE=∠OAE，∠ABO=∠OBC=∠BOF，根据等角对等边可得AE=OE，BF=OF，再由线段的构成可得EF=EO+FO=AE+BF；
③根据已知条件不能得出E，F 分别是 AC，BC的中点；
④过O作OH⊥CE于H，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得OD=OH，然后根据S△CEF=即可求得S△CEF=ab.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：在△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC
∴∠BAD+∠ABE=（∠BAC+∠ABC）=45°，
∴∠APB=135°，故①符合题意．
∴∠BPD=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB=90°+45°=135°，
∴∠APB=∠FPB，
又∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，
∴△ABP≌△FBP（AAS），
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，故②符合题意．
在△APH和△FPD中，
∵∠APH=∠FPD=90°，∠PAH=∠BAP=∠BFP，PA=PF，
∴△APH≌△FPD（AAS），
∴PH=PD，故③符合题意.
∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，
∴点P到AB、AC的距离相等，点P到AB、BC的距离相等，
∴点P到BC、AC的距离相等，
∴点P在∠ACB的平分线上，
∴CP平分∠ACB，故④符合题意．
故答案为：D．
【分析】由三角形的内角和可得∠BAC+∠ABC=90°，利用角平分线的定义可得∠BAD+∠ABE=（∠BAC+∠ABC）=45°，再次利用三角形的内角和可求∠APB=135°，据此判断①；证明△ABP≌△FBP（AAS），可得∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，据此判断②；再证明≌△FPD（AAS），可得 ，据此判断③；根据角平分线的性质可得点P到AB、AC的距离相等，点P到AB、BC的距离相等，即得点P到BC、AC的距离相等，根据角平分线的判定定理即得点P在∠ACB的平分线上，即可判断④.
6．【答案】3
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴S△ABC= ×4×2+ AC 2=7，
解得AC=3．
故答案为：3．
【分析】根据角平分线的性质，得到DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ADC即可求出AC的长。
7．【答案】（1）
（2）90
（3）
【解析】【解答】（2）∵AB⊥OA，
∴∠OAB＝90°，
∵CD∥OA，
∴∠CDB＝∠OAB＝90°．
故答案为90．
（3）∵AC⊥OB，AC= ，
∴点A到直线OB的距离为 ．
故答案为： ．
【分析】（1）①根据题意作图求解即可；
②根据过点A画OB的垂线段AC，垂足为点C ，作图求解即可；
③根据过点C画直线CD∥OA，交直线AB于点D ，作图即可；
（2）先求出∠OAB＝90°，再根据平行求解即可；
（3）根据 OA＝8，AB＝6，AC＝ ， 进行求解即可。
8．【答案】证明：∵OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，
∴AM=BM，
在Rt△AOM和Rt△BOM中， ，
∴Rt△AOM≌Rt△BOM（HL），
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA
【解析】【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AM=BM，然后利用“HL”证明Rt△AOM和Rt△BOM全等，根据全等三角形对应边相等可得OA=OB，再根据等边对等角的性质即可得证．
9．【答案】解：如下图，射线 为所求作，
【解析】【分析】根据作角平分线的方法及步骤求解即可。
10．【答案】（1）解：∵，
∴，
又∵OM平分∠BOC，
∴，
又∵，
∴，
∴∠BON的值为60°．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴射线OP是∠AOC的平分线．
（3）解：．
理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据∠AOC=120°，可得∠BOC=180°-120°=60°，再利用角平分线的定义求出，再利用角的运算求出即可；
（2）根据，求出，即可得到射线OP是∠AOC的平分线；
（3）先求出，，可得，再化简可得。
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