13.1.2 线段的垂直平分线的性质一课一练（含解析）

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13.1.2 线段的垂直平分线的性质一课一练
一、填空题
1．在中，，边上的垂直平分线与所在的直线相交所得的锐角为40°，则的度数是　 　．
二、单选题
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点C为圆心，以大于 AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．若∠B＝34°，则∠BDC的度数是（　　）
A．68° B．112° C．124° D．146°
3．如图所示，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点E，若AE=4cm，则B、E两点之间的距离是（　　）
A．2m B．3cm C．4cm D．5cm
4．如图，在中，观察作图痕迹，若，则CF的长为（　　）
A． B．3 C．2 D．
5．如图，在△ABC 中，BC＝6cm，AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交边 AC 于 E，△BCE 的周长是 14cm，则 AC 的长等于（　　）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
6．如图，在△ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，△BCE的周长为16，BC=7，则AB的长为（　　）.
A．8 B．9 C．10 D．11
三、解答题
7．如图，CD是线段AB的垂直平分线，则∠CAD=∠CBD．请说明理由：
解：∵CD是线段AB的垂直平分线，
∴AC= ， =BD．
在△ACD和△BCD中，
∴ ≌ （ ）．
∴∠CAD=∠CBD．
四、计算题
8．已知ABC中∠BAC=140°， AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，AEF的周长为10㎝，求BC的长度和∠EAF的度数.
五、作图题
9．现要在三角地ABC内建一中心医院，使医院到A、B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请确定这个中心医院的位置．
六、综合题
10．如图，已知△ABC是锐角三角形（AB＞AC）．
（1）请用无刻度直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到B、C两点的距离相等；设直线l与AB、BC分别交于点M、N，在线段MN上找一点O，使点O到边AB、BC的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BM＝10，BC＝12，求ON的长．
答案解析部分
1．【答案】65°或25°
【解析】【解答】解：①如图：当△ABC中∠A为锐角时，则AB的中垂线MN与AC相交时，
∵∠AMD=90°，
∴∠A=90°-40°=50°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=
=65°；
②如图：当△ABC中∠BAC为钝角时，则AB的中垂线MN与CA的延长线相交时，
∴∠DAB=90°-40°=50°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=
∠DAB=25°．
故答案为：65°或25°．
【分析】①如图：当△ABC中∠A为锐角时，则AB的中垂线MN与AC相交时，②如图：当△ABC中∠BAC为钝角时，则AB的中垂线MN与CA的延长线相交时，分类讨论即可。
2．【答案】B
【解析】【解答】∵∠ACB＝90°，∠B＝34°，
∴∠A＝56°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DCA＝∠A＝56°，
∴∠BCD＝90°﹣56°＝34°，
∴∠BDC＝180°﹣34°﹣34°＝112°，
故答案为：B．
【分析】根据题意可知DE是AC的垂直平分线，可得DA＝DC，根据已知条件和等边对等角可求得∠DCA的度数，即可进一步求得∠BDC的度数.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示：连接BE，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴BE=AE，
∵AE=4，
∴BE＝4.
故答案为：C
【分析】连接BE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等即可。
4．【答案】C
【解析】【解答】解：由作图痕迹可知，DE是BC的垂直平分线，
∴CF=BF=2，
故答案为：C．
【分析】根据垂直平分线的性质可得CF=BF=2。
5．【答案】B
【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=DE，
∵△BCE的周长等于14cm，
∴BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=14cm，
∵BC=6cm，
∴AC=8cm.
故答案为：B.
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出AE=DE，根据三角形周长的计算方法及等量代换和线段的和差得出BC+AC=14cm，从而即可得出答案.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线
∴AE=BE
∵△BCE的周长为16 ，BC=7，
∴BC+BE+EC=16，∴BE+EC=9
∴AE+EC=9
即AC=9
∵AB=AC
∴AB=9
故答案为：B
【分析】根据垂直平分线定理可知AE=BE，利用△BCE的周长为16，BC=7，求得BE+EC=9，再等量代换即可求得AC=9，即AB=9.
7．【答案】解：∵CD是线段AB的垂直平分线，
∴AC=BC，AD=BD，
在△ACD和△BCD中， ，
∴△ACD≌△BCD（SSS），
∴∠CAD=∠CBD．
故答案为：BC，AD，AC，BD，公共边，△ACD，△BCD，SSS．
【解析】【分析】根据线段垂直平分线性质得出AC=BC，AD=BD，根据SSS证出△ACD≌△BCD即可．
8．【答案】解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，
∴AE=BE，AF=CF；
∵△AEF周长为：AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=10㎝，
∴BC=10㎝，
又∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，
∴AE=BE，AF=CF，
∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAF，
∵△ABC中，∠BAC=140°，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=40°，
∴∠BAE+∠CAF=40°，
∴∠EAF=∠BAC-（∠BAE+∠CAF）=140°-40°=100°。
【解析】【解答】由AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，易证得AE=BE，AF=CF，然后由等腰三角形的性质，可得∠B=∠BAE，∠C=∠CAF，由△ABC中，∠BAC=140°，可求得∠B+∠C的度数，继而求得∠BAE+∠CAF的度数，继而求得∠EAF的度数；由△AEF周长为：AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC，即可求得BC的长度。
【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形性质和垂直平分线性质。
9．【答案】解：
作AB的垂直平分线EF，作∠BAC的角平分线AM，两线交于P，
则P为这个中心医院的位置．
【解析】【分析】根据线段的垂直评分线上的点到线段两端点的距离相等，角平分线上的点到角两边的距离相等，可作AB的垂直平分线，作∠BAC的角平分线，两线的交点即为所求。
10．【答案】（1）解：如图，直线MN，点O即为所求；
（2）解：过点O作OH⊥AB于点H．
∵BO平分∠ABC，ON⊥BC，OH⊥AB，
∴ON=OH，
∵MN垂直平分线段BC，
∴BN=CN=6，
∵BM=10，
∴MN===8，
∵S△BMN=S△BMO+S△BON，
∴×6×8=×10×OH+×6×ON，
∴ON=OH=3．
【解析】【分析】（1） 根据要求作出线段BC的垂直平分线和∠ABC的角平分线即可；
（2）先利用勾股定理求出MN的长，再结合S△BMN=S△BMO+S△BON，可得×6×8=×10×OH+×6×ON，最后求出ON=OH=3即可。
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