13.1 轴对称本节综合题（含解析）
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13.1 轴对称本节综合题
一、填空题
1．如图，在△ABC中，∠B＝65°，∠C＝28°，分别以点A和点C为圆心，大于 画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，连接AD，则∠BAD的度数为 ．
二、单选题
2．下列四个数学符号中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．以下是小明收集的四个轴对称图案，他收集错的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．等腰三角形 B．正方形 C．圆 D．平行四边形
6．如下书写的八个黑体字，其中为轴对称图形的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．下图是几种汽车的标志，其中属于轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．下列几何图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
9．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
10．冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是第24届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
11．下面的四个图案分别是“ 型路口”、“步行”、“注意落石”和“向左转弯”的交通标识，其中可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
12．下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
13．“致中和，天地位焉，万物育焉”，对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光，在下列标识或简图中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
14．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，交BC于点D，交AB于点E，连接AD．若△ABC的周长等于16，△ADC的周长为9，那么线段AE的长等于（ ）
A．3 B．3.5 C．5 D．7
15．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠ADC＋∠ABC＝180°，有下列结论：①CD＝CB；②AD＋AB＝2AE；③∠ACD＝∠BCE；④AB－AD＝2BE，其中正确的是（ ）
A．② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
三、解答题
16．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于点E，若AB+BC=6，求△BEC的周长。
17．已知在中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D， DM丄AB与M， DN丄AC交AC的延长线于N，你认为BM与CN之间有什么关系？试证明你的发现.
四、作图题
18．尺规作图：（不要求写作法，只保留作图痕迹）
第24届冬奥会2022年2月4日在北京市和张家口市联合举行．现有两个比赛场地A、B位于两条公路OC、OD之间的地带，现要建一座物流中转站P，若要求中转站P到两条公路OC、OD的距离相等，且到两个比赛场地A和B的距离相等，请用尺规作出点P的位置．
五、综合题
19．阅读下列材料，并完成相应的任务．
尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题．在初中阶段，我们学习过五种基本尺规作图，并且运用基本尺规作图方法，结合图形性质可以作出更多的数学图形．
如图1，在△ABC中，AB＝AC．小明用尺规作底边BC的垂直平分线的过程如下：
①以点A为圆心，小于AB长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E；
②分别以点D，E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧交于点P；
③作射线AP，则AP⊥BC．
（1）根据小明的作图方法在图1中作出图形，他得出“AP⊥BC”的依据是 ．
（2）如图2，已知在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC，求作对角线BD的垂直平分线，小亮只用直尺作直线AC，就得到对角线BD的垂直平分线．请你帮小亮说明理由．
（3）如图3，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．请你只用直尺作出BC边的垂直平分线．（不写作法，保留作图痕迹）
20．如图，在 中， ，点D在 上，又在 的垂直平分线l上，点E在 的延长线上，点F在 上， .
（1）试说明： .
（2）若 平分 ，求 的度数.
六、实践探究题
21．（问题提出）
如图①，在 中，若 ， ，求 边上的中线 的取值范围.
（1）【问题解决】
解决此问题可以用如下方法：延长 到点 使 ，再连接 （或将 绕着点 逆时针旋转 得到 ），把 、 、 集中在 中，利用三角形三边的关系即可判断，由此得出中线 的取值范围.
（2）【应用】
如图②，在 中， 为 的中点，已知 ， ， ，求 的长.
（3）【拓展】
如图③，在 中， ，点 是边 的中点，点 在边 上，过点 作 交边 于点 ，连接 。已知 ， ，求 的长.
答案解析部分
1．【答案】59°
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠B=55°，∠C=28°，
∴∠BAC=180°-65°-28°=87°．
∵直线MN是线段AC的垂直平分线，
∴∠C=∠CAD=28°，
∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=87°-28°=59°．
故答案为：59°．
【分析】先根据三角形内角和定理求出角BAC的度数，再由线段垂直平分线的性质得出∠C=∠CAD，进而可得出答案。
2．【答案】A
【解析】【解答】解：A选项，符合轴对称图形的定义，正确；
B选项，不符合轴对称图形的定义，错误；
C选项，不符合轴对称图形的定义，错误；
D选项，不符合轴对称图形的定义，错误.
故答案为：A.
【分析】轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，从而即可判定.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
4．【答案】C
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】轴对称图形是如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：A．等腰三角形是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．正方形是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．圆是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．平行四边形不是轴对称图形，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形的定义即可得出。
6．【答案】A
【解析】【解答】解：观察书写的8个汉字，没有轴对称图形.
故答案为：A.
【分析】轴对称图形沿一条轴折叠180°，被折叠两部分能完全重合，据此逐项分析判断即可。
7．【答案】C
【解析】【解答】解：观察图形可知，只有第三个图形不属于轴对称图形
因此，属于轴对称图形的有3个
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形的定义“平面内，一个图形沿一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形”逐个判断即可．
8．【答案】D
【解析】【解答】解：A、即不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形但不是轴对称图形，不符合题意；
D、即是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意；
故答案为：D．
【分析】考查轴对称图形与中心对称图形的概念。
9．【答案】B
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
10．【答案】D
【解析】【解答】解：观察图形可发现 是轴对称图形，
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形的特征直接判断即可．
11．【答案】A
【解析】【解答】A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判定即可。
12．【答案】D
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解
13．【答案】A
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形说法正确，符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故答案为：A．
【分析】 在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形 。根据轴对称图形的定义对每个选项一一判断求解即可。
14．【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意可得MN是AB的垂直平分线，
∵△ADC的周长为9，
∴AC+AD+CD=9，
∵△ABC的周长等于16，
∴AC+CD+BD+AB=16，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，AE=AB，
∴AC+CD+AD+AB=16，
∴AB=16﹣9=7，
∴AE=3.5．
故选：B．
【分析】根据作图过程可得MN是AB的垂直平分线，进而可得AD=BD，AE=AB，再由△ABC的周长等于16，△ADC的周长为9，可得AC+AD+CD=9，AC+CD+BD+AB=16，两式相减可得答案．
15．【答案】C
【解析】【解答】解：在EA上截取EF=BE，连接CF，
∵CE⊥AB，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠B，
∵∠AFC+∠CFB=180°，∠ADC+∠ABC=180°，
∴∠D=∠AFC，
∵AC平分∠BAD，
即∠DAC=∠FAC，
在△ACD和△ACF中，
，
∴△ACD≌△ACF（AAS），
∴CD=CF，
∴CD=CB，
故①正确；
∴AD=AF，
∴AD+AB=AF+AE+BE=AF+EF+AE=AE+AE=2AE.
故②正确；
根据已知条件无法证明∠ACD=∠BCE，
故③错误；
AB-AD=AB-AF=BF=2BE，
故④正确.
其中正确的是①②④.
故答案为：C.
【分析】在EA上截取EF=BE，连接CF，根据“AC平分∠BAD”和“∠ADC＋∠ABC＝180°”证明出△ACD≌△ACF，故①正确；由①可知，AD=AF，再根据线段间的和差关系可得：AD＋AB＝2AE，AB－AD＝2BE，故②④正确.
16．【答案】解：∵ED是AB上的垂直平分线
∴AE=BE
∵AC+BC=6，∴△BCE的周长为EC+EB+BC=BC+(EC+EB)=BC+（EC+AE)=BC+AC=6
【解析】【分析】根据垂直平分线的性质可知： AE=BE ，结合 AB=AC，即可求出△BEC的周长.
17．【答案】解：，证明如下：
如图，连接BD，CD，
∵AD平分，，，
∴，
∵DE垂直平分BC，
∴，
在与中，，
∴，
∴.
【解析】【分析】连接BD，CD，根据角平分线的性质可得DM=DN，根据垂直平分线的性质可得BD=CD，然后利用HL证明△BMD≌△CND，据此可得结论.
18．【答案】解：如图所示点P为所求.
【解析】【分析】根据要求作出图象即可。
19．【答案】（1）作图如下： 得出“AP⊥BC”的依据是：等腰三角形顶角的平分线与底边上的高和底边上的中线互相重合； 故答案为：等腰三角形顶角的平分线与底边上的高和底边上的中线互相重合；
（2）解：∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，∠ABD=∠ADB
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是对角线BD的垂直平分线；
（3）解：如图，直线n即为所求．
【解析】【分析】（1）根据题意作图，再求解即可；
（2）先求出点A在线段BD的垂直平分线上，∠ABD=∠ADB ，再求出 CB＝CD ，最后求解即可；
（3）根据作垂直平分线的方法作图即可。
20．【答案】（1）解：∵点 在 的垂直平分线l上，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
， ， ，
∴
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由（1）知， ，
∴ ，
∵ ，
∴
【解析】【分析】（1）利用垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可证得AD=CD；再利用等边对等角可证得∠DAC=∠DCA；然后利用SAS可证得结论。
（2）利用等边对等角可证得∠ABC=∠ACB，利用角平分线的定义去证明∠ACD=∠DAC=∠BCD；再求出△ABC的三个内角的度数，利用全等三角形的性质就可求出∠ABF=∠CAE=∠DAE+36°；然后利用∠ABC=72°，可求出∠ABF+∠FBC的值。
21．【答案】（1）解：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△ADC与△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴EB=AC，
根据三角形的三边关系得：AB-AC＜AE＜AC+AB，
∴2＜AE＜10，
∵AE=2AD，
∴，1＜AD＜5，
即：BC边上的中线AD的取值范围1＜AD＜5
（2）解：延长AD至E，使DE=AD，连接BE.
∵点D为边BC的中点，
∴BD=CD.
∵∠BDE=∠ADC，
∴△ADC≌△EDB.
∴BE=AC=3，DE=AD=2.
∴AE=4.
∵AB=5，且 ，
∴ .
∴△ABE为直角三角形，∠AEB=90°.
∵在Rt△BDE中，∠BED=90°，
∴BD= ，
∴BC=2BD=
（3）解：延长ED到点G，使DG=ED，连接CG，FG.
同前法可得△EBD≌△GCD，
∴∠B=∠GCD，BE=CG=4，
又∵∠A=90°，
∴∠B+∠BCA=90°，
∴∠GCD+∠BCA=90°，即∠GCF=90°，
∵CG=4，CF=5，
∴FG= = = .
∴EF= FG =
【解析】【分析】（1）延长AD到E，使AD=DE，连接BE，先利用SAS证△ADC≌△EDB，根据全等三角形对应边相等得出EB=AC，根据三角形的三边关系求出即可；
（2） ：延长AD至E，使DE=AD，连接BE. 同（1）可证△ADC≌△EDB，根据全等三角形的对应边相等得出 BE=AC=3，DE=AD=2. 进而而出AE的长，利用勾股定理的逆定理判断出△ABE为直角三角形，然后在Rt△BED中利用勾股定理求出BD的长，进而得出BC的长；
（3）延长ED到点G，使DG=ED，连接CG，FG． 同前法可得△EBD≌△GCD， 根据全等三角形的性质得出∠B=∠GCD、BE=CG=4，根据直角三角形的两锐角互余得出 ∠B+∠BCA=90°， 故 ∠GCD+∠BCA=90°，即 ∠GCF=90°，利用勾股定理求得FG的长，最后由中垂线性质即可得EF=FG．
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13.1 轴对称本节综合题
一、填空题
1．如图，在△ABC中，∠B＝65°，∠C＝28°，分别以点A和点C为圆心，大于 画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，连接AD，则∠BAD的度数为 ．
二、单选题
2．下列四个数学符号中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．以下是小明收集的四个轴对称图案，他收集错的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．等腰三角形 B．正方形 C．圆 D．平行四边形
6．如下书写的八个黑体字，其中为轴对称图形的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．下图是几种汽车的标志，其中属于轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．下列几何图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
9．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
10．冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是第24届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
11．下面的四个图案分别是“ 型路口”、“步行”、“注意落石”和“向左转弯”的交通标识，其中可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
12．下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
13．“致中和，天地位焉，万物育焉”，对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光，在下列标识或简图中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
14．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，交BC于点D，交AB于点E，连接AD．若△ABC的周长等于16，△ADC的周长为9，那么线段AE的长等于（ ）
A．3 B．3.5 C．5 D．7
15．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠ADC＋∠ABC＝180°，有下列结论：①CD＝CB；②AD＋AB＝2AE；③∠ACD＝∠BCE；④AB－AD＝2BE，其中正确的是（ ）
A．② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
三、解答题
16．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于点E，若AB+BC=6，求△BEC的周长。
17．已知在中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D， DM丄AB与M， DN丄AC交AC的延长线于N，你认为BM与CN之间有什么关系？试证明你的发现.
四、作图题
18．尺规作图：（不要求写作法，只保留作图痕迹）
第24届冬奥会2022年2月4日在北京市和张家口市联合举行．现有两个比赛场地A、B位于两条公路OC、OD之间的地带，现要建一座物流中转站P，若要求中转站P到两条公路OC、OD的距离相等，且到两个比赛场地A和B的距离相等，请用尺规作出点P的位置．
五、综合题
19．阅读下列材料，并完成相应的任务．
尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题．在初中阶段，我们学习过五种基本尺规作图，并且运用基本尺规作图方法，结合图形性质可以作出更多的数学图形．
如图1，在△ABC中，AB＝AC．小明用尺规作底边BC的垂直平分线的过程如下：
①以点A为圆心，小于AB长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E；
②分别以点D，E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧交于点P；
③作射线AP，则AP⊥BC．
（1）根据小明的作图方法在图1中作出图形，他得出“AP⊥BC”的依据是 ．
（2）如图2，已知在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC，求作对角线BD的垂直平分线，小亮只用直尺作直线AC，就得到对角线BD的垂直平分线．请你帮小亮说明理由．
（3）如图3，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．请你只用直尺作出BC边的垂直平分线．（不写作法，保留作图痕迹）
20．如图，在 中， ，点D在 上，又在 的垂直平分线l上，点E在 的延长线上，点F在 上， .
（1）试说明： .
（2）若 平分 ，求 的度数.
六、实践探究题
21．（问题提出）
如图①，在 中，若 ， ，求 边上的中线 的取值范围.
（1）【问题解决】
解决此问题可以用如下方法：延长 到点 使 ，再连接 （或将 绕着点 逆时针旋转 得到 ），把 、 、 集中在 中，利用三角形三边的关系即可判断，由此得出中线 的取值范围.
（2）【应用】
如图②，在 中， 为 的中点，已知 ， ， ，求 的长.
（3）【拓展】
如图③，在 中， ，点 是边 的中点，点 在边 上，过点 作 交边 于点 ，连接 。已知 ， ，求 的长.
答案解析部分
1．【答案】59°
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠B=55°，∠C=28°，
∴∠BAC=180°-65°-28°=87°．
∵直线MN是线段AC的垂直平分线，
∴∠C=∠CAD=28°，
∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=87°-28°=59°．
故答案为：59°．
【分析】先根据三角形内角和定理求出角BAC的度数，再由线段垂直平分线的性质得出∠C=∠CAD，进而可得出答案。
2．【答案】A
【解析】【解答】解：A选项，符合轴对称图形的定义，正确；
B选项，不符合轴对称图形的定义，错误；
C选项，不符合轴对称图形的定义，错误；
D选项，不符合轴对称图形的定义，错误.
故答案为：A.
【分析】轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，从而即可判定.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
4．【答案】C
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】轴对称图形是如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：A．等腰三角形是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．正方形是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．圆是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．平行四边形不是轴对称图形，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形的定义即可得出。
6．【答案】A
【解析】【解答】解：观察书写的8个汉字，没有轴对称图形.
故答案为：A.
【分析】轴对称图形沿一条轴折叠180°，被折叠两部分能完全重合，据此逐项分析判断即可。
7．【答案】C
【解析】【解答】解：观察图形可知，只有第三个图形不属于轴对称图形
因此，属于轴对称图形的有3个
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形的定义“平面内，一个图形沿一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形”逐个判断即可．
8．【答案】D
【解析】【解答】解：A、即不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形但不是轴对称图形，不符合题意；
D、即是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意；
故答案为：D．
【分析】考查轴对称图形与中心对称图形的概念。
9．【答案】B
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
10．【答案】D
【解析】【解答】解：观察图形可发现 是轴对称图形，
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形的特征直接判断即可．
11．【答案】A
【解析】【解答】A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判定即可。
12．【答案】D
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解
13．【答案】A
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形说法正确，符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故答案为：A．
【分析】 在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形 。根据轴对称图形的定义对每个选项一一判断求解即可。
14．【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意可得MN是AB的垂直平分线，
∵△ADC的周长为9，
∴AC+AD+CD=9，
∵△ABC的周长等于16，
∴AC+CD+BD+AB=16，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，AE=AB，
∴AC+CD+AD+AB=16，
∴AB=16﹣9=7，
∴AE=3.5．
故选：B．
【分析】根据作图过程可得MN是AB的垂直平分线，进而可得AD=BD，AE=AB，再由△ABC的周长等于16，△ADC的周长为9，可得AC+AD+CD=9，AC+CD+BD+AB=16，两式相减可得答案．
15．【答案】C
【解析】【解答】解：在EA上截取EF=BE，连接CF，
∵CE⊥AB，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠B，
∵∠AFC+∠CFB=180°，∠ADC+∠ABC=180°，
∴∠D=∠AFC，
∵AC平分∠BAD，
即∠DAC=∠FAC，
在△ACD和△ACF中，
，
∴△ACD≌△ACF（AAS），
∴CD=CF，
∴CD=CB，
故①正确；
∴AD=AF，
∴AD+AB=AF+AE+BE=AF+EF+AE=AE+AE=2AE.
故②正确；
根据已知条件无法证明∠ACD=∠BCE，
故③错误；
AB-AD=AB-AF=BF=2BE，
故④正确.
其中正确的是①②④.
故答案为：C.
【分析】在EA上截取EF=BE，连接CF，根据“AC平分∠BAD”和“∠ADC＋∠ABC＝180°”证明出△ACD≌△ACF，故①正确；由①可知，AD=AF，再根据线段间的和差关系可得：AD＋AB＝2AE，AB－AD＝2BE，故②④正确.
16．【答案】解：∵ED是AB上的垂直平分线
∴AE=BE
∵AC+BC=6，∴△BCE的周长为EC+EB+BC=BC+(EC+EB)=BC+（EC+AE)=BC+AC=6
【解析】【分析】根据垂直平分线的性质可知： AE=BE ，结合 AB=AC，即可求出△BEC的周长.
17．【答案】解：，证明如下：
如图，连接BD，CD，
∵AD平分，，，
∴，
∵DE垂直平分BC，
∴，
在与中，，
∴，
∴.
【解析】【分析】连接BD，CD，根据角平分线的性质可得DM=DN，根据垂直平分线的性质可得BD=CD，然后利用HL证明△BMD≌△CND，据此可得结论.
18．【答案】解：如图所示点P为所求.
【解析】【分析】根据要求作出图象即可。
19．【答案】（1）作图如下： 得出“AP⊥BC”的依据是：等腰三角形顶角的平分线与底边上的高和底边上的中线互相重合； 故答案为：等腰三角形顶角的平分线与底边上的高和底边上的中线互相重合；
（2）解：∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，∠ABD=∠ADB
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是对角线BD的垂直平分线；
（3）解：如图，直线n即为所求．
【解析】【分析】（1）根据题意作图，再求解即可；
（2）先求出点A在线段BD的垂直平分线上，∠ABD=∠ADB ，再求出 CB＝CD ，最后求解即可；
（3）根据作垂直平分线的方法作图即可。
20．【答案】（1）解：∵点 在 的垂直平分线l上，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
， ， ，
∴
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由（1）知， ，
∴ ，
∵ ，
∴
【解析】【分析】（1）利用垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可证得AD=CD；再利用等边对等角可证得∠DAC=∠DCA；然后利用SAS可证得结论。
（2）利用等边对等角可证得∠ABC=∠ACB，利用角平分线的定义去证明∠ACD=∠DAC=∠BCD；再求出△ABC的三个内角的度数，利用全等三角形的性质就可求出∠ABF=∠CAE=∠DAE+36°；然后利用∠ABC=72°，可求出∠ABF+∠FBC的值。
21．【答案】（1）解：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△ADC与△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴EB=AC，
根据三角形的三边关系得：AB-AC＜AE＜AC+AB，
∴2＜AE＜10，
∵AE=2AD，
∴，1＜AD＜5，
即：BC边上的中线AD的取值范围1＜AD＜5
（2）解：延长AD至E，使DE=AD，连接BE.
∵点D为边BC的中点，
∴BD=CD.
∵∠BDE=∠ADC，
∴△ADC≌△EDB.
∴BE=AC=3，DE=AD=2.
∴AE=4.
∵AB=5，且 ，
∴ .
∴△ABE为直角三角形，∠AEB=90°.
∵在Rt△BDE中，∠BED=90°，
∴BD= ，
∴BC=2BD=
（3）解：延长ED到点G，使DG=ED，连接CG，FG.
同前法可得△EBD≌△GCD，
∴∠B=∠GCD，BE=CG=4，
又∵∠A=90°，
∴∠B+∠BCA=90°，
∴∠GCD+∠BCA=90°，即∠GCF=90°，
∵CG=4，CF=5，
∴FG= = = .
∴EF= FG =
【解析】【分析】（1）延长AD到E，使AD=DE，连接BE，先利用SAS证△ADC≌△EDB，根据全等三角形对应边相等得出EB=AC，根据三角形的三边关系求出即可；
（2） ：延长AD至E，使DE=AD，连接BE. 同（1）可证△ADC≌△EDB，根据全等三角形的对应边相等得出 BE=AC=3，DE=AD=2. 进而而出AE的长，利用勾股定理的逆定理判断出△ABE为直角三角形，然后在Rt△BED中利用勾股定理求出BD的长，进而得出BC的长；
（3）延长ED到点G，使DG=ED，连接CG，FG． 同前法可得△EBD≌△GCD， 根据全等三角形的性质得出∠B=∠GCD、BE=CG=4，根据直角三角形的两锐角互余得出 ∠B+∠BCA=90°， 故 ∠GCD+∠BCA=90°，即 ∠GCF=90°，利用勾股定理求得FG的长，最后由中垂线性质即可得EF=FG．
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