二次函数复习课(广东省广州市)
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课件13张PPT。二次函数解析式------理解与求解一、掌握几种常见二次函数的解析式及其图象特征和性质1、顶点式： .
（1）开口方向： ，开口向上； ，开口向下；
（2）对称轴： 。
（3）顶点坐标： .
（4）最值问题：当a>0时，抛物线有最低点，且x=h时，函数有最小值为y=k；a<0时，抛物线有最高点，且x=h时，函数有最大值为y=k.
2、一般式： ；将一般式用配方法变形
为顶点式得：
.说出其开口方向、对称轴、顶点坐标、最值。3、交点式：对于函数 在
时，方程 有两个不相等的实数根，因此，可以判断函数图象与x轴相交，并且Δ>0时，
；当Δ<0时， ；当Δ=0时，
。另一方面，根据根与系数关系，
将函数可化为： 因此，得到交点式为：
其中， 为图象与x轴的交点横坐标。二、利用待定系数法确定二次函数解析式 求二次函数解析式就是求解二次函数的解析式中的系数. 但是必须根据已知的条件的特点进行分析、比较，选择适当的形式，才能得到事半功倍的效果.例1、已知一个二次函数的图象经过（-1，10）、（1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式1、已知二次函数图象三点的坐标，可用一般式. 解：设这个二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c,由题意可得故所求的二次函数的解析式为
Y=2x2-3x+52、已知抛物线的顶点和另外一点，可用顶点式。例2、已知二次函数图象经过顶点 ，且过点
（1，0），求二次函数的解析式解：设二次函数的解析式为： 由已知
顶点得：
故得解析式为：3、已知二次函数图象上三点坐标，其中有两点在x轴上，则可用交点式。例3、一个二次函数的图象过（3，0）、（-1，0）、（2，9）三点，求解析式。解 设解析式为：y=a(x-x1)(x-x2),
因图象与x轴交于（3，0）、（-1，0），
∴y=a（x+1）（x－3），又因为图象过点（2，9），
∴9=a（2+1）（2－3），a=－3，
∴y=－3(x+1)(x－3)
化为一般式为：y=－3x2+6x+9三、用运动的观点理解解函数的解析式 对于函数y=a (x－h)2+k,可以理解成将函数y=ax2的图象沿x轴和y轴平行移动得到的。其中，h 为正时，将抛物线向右（h为负时向左）移动|h| 个单位，k 为正时，将抛物线向上平移（k为负时向下）移动|k| 个单位。例4、将二次函数y=x2+px+q 的图象向上平移4 个单位，再向右平移5 个单位得到新的二次函数为y=x2－4x+13,求p、q的值.分析：由题意可知，将y=x2-4x+13向下平移4个单位再向左平移5 个单位后即可得函数y=x2+px+q的图象。∵ y=x2-4x+13=(x-2)2+9,按要求平移后得到：
Y=(x-2+5)2+9-4 y=(x+3)2+5=x2+6x+14
∴p=6,q=14.四、利用对称性求函数的解析式 在平面直角坐标系中的任一点P（a、b），它关于x轴对称点为PX（a、-b）,关于y轴对称点为Py（-a、b），关于原点对称点为（-a、-b）.例5、二次函数的图象如图所示（1）求它的解析式；
（2）求与该图象关于x 轴对称的另一函数的解析式；
（3）求与该图象关于y 轴对称的另一函数的解析式；分析（1）容易求得解析式：
（2）根据点（ x, y）关于x轴对称点为（x, -y），得新函数为：
（3）同理可知，关于y 轴对称的图象为：
五、结合图象，利用特殊值解决实际问题一般地，二次函数y=ax2+bx+c中，当x=±1时，函数值分别为a + b+ c， a－b+ c ，对称轴
为 ，这些特殊值往往在问题中起到很好的作用。例6、已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如下图所示
（1）试确定a、b、c，b2－4ac,2a+ b,2a－b, a+ b+ c, a－b+ c的符号；
（2）求OA×OB的值；（3）求ΔAMB的面积；
（4）若OA=OC，求a、b、c 之间的关系.解（1）由图象可知，a<0, c>0 , , 则b>0;图象与x轴有两
个交点，∴Δ=b2-4ac>0 ;又由 ，得2a+b<0 ;又由
得2a-b<0 ;a + b + c>0 ;a－b +c <0 .（2）设A（x1,0）B（x2,0）,则OA×OB=|x1||x2|=|x1x2|
= =(3)AB=|x1－x2|= SΔAMB=1/2AB×DM
工 =
（4）∵OA=OC，C点的坐标为（0，c）,
∴A点的坐标为（-c, 0）且c≠0，
∴a(- c)2+b(-c)+c=0 ,即ac2－ bc + c=0
∴ ac －b + 1 = 0
（1）开口方向： ，开口向上； ，开口向下；
（2）对称轴： 。
（3）顶点坐标： .
（4）最值问题：当a>0时，抛物线有最低点，且x=h时，函数有最小值为y=k；a<0时，抛物线有最高点，且x=h时，函数有最大值为y=k.
2、一般式： ；将一般式用配方法变形
为顶点式得：
.说出其开口方向、对称轴、顶点坐标、最值。3、交点式：对于函数 在
时，方程 有两个不相等的实数根，因此，可以判断函数图象与x轴相交，并且Δ>0时，
；当Δ<0时， ；当Δ=0时，
。另一方面，根据根与系数关系，
将函数可化为： 因此，得到交点式为：
其中， 为图象与x轴的交点横坐标。二、利用待定系数法确定二次函数解析式 求二次函数解析式就是求解二次函数的解析式中的系数. 但是必须根据已知的条件的特点进行分析、比较，选择适当的形式，才能得到事半功倍的效果.例1、已知一个二次函数的图象经过（-1，10）、（1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式1、已知二次函数图象三点的坐标，可用一般式. 解：设这个二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c,由题意可得故所求的二次函数的解析式为
Y=2x2-3x+52、已知抛物线的顶点和另外一点，可用顶点式。例2、已知二次函数图象经过顶点 ，且过点
（1，0），求二次函数的解析式解：设二次函数的解析式为： 由已知
顶点得：
故得解析式为：3、已知二次函数图象上三点坐标，其中有两点在x轴上，则可用交点式。例3、一个二次函数的图象过（3，0）、（-1，0）、（2，9）三点，求解析式。解 设解析式为：y=a(x-x1)(x-x2),
因图象与x轴交于（3，0）、（-1，0），
∴y=a（x+1）（x－3），又因为图象过点（2，9），
∴9=a（2+1）（2－3），a=－3，
∴y=－3(x+1)(x－3)
化为一般式为：y=－3x2+6x+9三、用运动的观点理解解函数的解析式 对于函数y=a (x－h)2+k,可以理解成将函数y=ax2的图象沿x轴和y轴平行移动得到的。其中，h 为正时，将抛物线向右（h为负时向左）移动|h| 个单位，k 为正时，将抛物线向上平移（k为负时向下）移动|k| 个单位。例4、将二次函数y=x2+px+q 的图象向上平移4 个单位，再向右平移5 个单位得到新的二次函数为y=x2－4x+13,求p、q的值.分析：由题意可知，将y=x2-4x+13向下平移4个单位再向左平移5 个单位后即可得函数y=x2+px+q的图象。∵ y=x2-4x+13=(x-2)2+9,按要求平移后得到：
Y=(x-2+5)2+9-4 y=(x+3)2+5=x2+6x+14
∴p=6,q=14.四、利用对称性求函数的解析式 在平面直角坐标系中的任一点P（a、b），它关于x轴对称点为PX（a、-b）,关于y轴对称点为Py（-a、b），关于原点对称点为（-a、-b）.例5、二次函数的图象如图所示（1）求它的解析式；
（2）求与该图象关于x 轴对称的另一函数的解析式；
（3）求与该图象关于y 轴对称的另一函数的解析式；分析（1）容易求得解析式：
（2）根据点（ x, y）关于x轴对称点为（x, -y），得新函数为：
（3）同理可知，关于y 轴对称的图象为：
五、结合图象，利用特殊值解决实际问题一般地，二次函数y=ax2+bx+c中，当x=±1时，函数值分别为a + b+ c， a－b+ c ，对称轴
为 ，这些特殊值往往在问题中起到很好的作用。例6、已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如下图所示
（1）试确定a、b、c，b2－4ac,2a+ b,2a－b, a+ b+ c, a－b+ c的符号；
（2）求OA×OB的值；（3）求ΔAMB的面积；
（4）若OA=OC，求a、b、c 之间的关系.解（1）由图象可知，a<0, c>0 , , 则b>0;图象与x轴有两
个交点，∴Δ=b2-4ac>0 ;又由 ，得2a+b<0 ;又由
得2a-b<0 ;a + b + c>0 ;a－b +c <0 .（2）设A（x1,0）B（x2,0）,则OA×OB=|x1||x2|=|x1x2|
= =(3)AB=|x1－x2|= SΔAMB=1/2AB×DM
工 =
（4）∵OA=OC，C点的坐标为（0，c）,
∴A点的坐标为（-c, 0）且c≠0，
∴a(- c)2+b(-c)+c=0 ,即ac2－ bc + c=0
∴ ac －b + 1 = 0