课件13张PPT。二次函数解析式------理解与求解一、掌握几种常见二次函数的解析式及其图象特征和性质1、顶点式: .
(1)开口方向: ,开口向上; ,开口向下;
(2)对称轴: 。
(3)顶点坐标: .
(4)最值问题:当a>0时,抛物线有最低点,且x=h时,函数有最小值为y=k;a<0时,抛物线有最高点,且x=h时,函数有最大值为y=k.
2、一般式: ;将一般式用配方法变形
为顶点式得:
.说出其开口方向、对称轴、顶点坐标、最值。3、交点式:对于函数 在
时,方程 有两个不相等的实数根,因此,可以判断函数图象与x轴相交,并且Δ>0时,
;当Δ<0时, ;当Δ=0时,
。另一方面,根据根与系数关系,
将函数可化为: 因此,得到交点式为:
其中, 为图象与x轴的交点横坐标。二、利用待定系数法确定二次函数解析式 求二次函数解析式就是求解二次函数的解析式中的系数. 但是必须根据已知的条件的特点进行分析、比较,选择适当的形式,才能得到事半功倍的效果.例1、已知一个二次函数的图象经过(-1,10)、(1,4)、(2,7)三点,求这个函数的解析式1、已知二次函数图象三点的坐标,可用一般式. 解:设这个二次函数的解析式为:y=ax2+bx+c,由题意可得故所求的二次函数的解析式为
Y=2x2-3x+52、已知抛物线的顶点和另外一点,可用顶点式。例2、已知二次函数图象经过顶点 ,且过点
(1,0),求二次函数的解析式解:设二次函数的解析式为: 由已知
顶点得:
故得解析式为:3、已知二次函数图象上三点坐标,其中有两点在x轴上,则可用交点式。例3、一个二次函数的图象过(3,0)、(-1,0)、(2,9)三点,求解析式。解 设解析式为:y=a(x-x1)(x-x2),
因图象与x轴交于(3,0)、(-1,0),
∴y=a(x+1)(x-3),又因为图象过点(2,9),
∴9=a(2+1)(2-3),a=-3,
∴y=-3(x+1)(x-3)
化为一般式为:y=-3x2+6x+9三、用运动的观点理解解函数的解析式 对于函数y=a (x-h)2+k,可以理解成将函数y=ax2的图象沿x轴和y轴平行移动得到的。其中,h 为正时,将抛物线向右(h为负时向左)移动|h| 个单位,k 为正时,将抛物线向上平移(k为负时向下)移动|k| 个单位。例4、将二次函数y=x2+px+q 的图象向上平移4 个单位,再向右平移5 个单位得到新的二次函数为y=x2-4x+13,求p、q的值.分析:由题意可知,将y=x2-4x+13向下平移4个单位再向左平移5 个单位后即可得函数y=x2+px+q的图象。∵ y=x2-4x+13=(x-2)2+9,按要求平移后得到:
Y=(x-2+5)2+9-4 y=(x+3)2+5=x2+6x+14
∴p=6,q=14.四、利用对称性求函数的解析式 在平面直角坐标系中的任一点P(a、b),它关于x轴对称点为PX(a、-b),关于y轴对称点为Py(-a、b),关于原点对称点为(-a、-b).例5、二次函数的图象如图所示(1)求它的解析式;
(2)求与该图象关于x 轴对称的另一函数的解析式;
(3)求与该图象关于y 轴对称的另一函数的解析式;分析(1)容易求得解析式:
(2)根据点( x, y)关于x轴对称点为(x, -y),得新函数为:
(3)同理可知,关于y 轴对称的图象为:
五、结合图象,利用特殊值解决实际问题一般地,二次函数y=ax2+bx+c中,当x=±1时,函数值分别为a + b+ c, a-b+ c ,对称轴
为 ,这些特殊值往往在问题中起到很好的作用。例6、已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如下图所示
(1)试确定a、b、c,b2-4ac,2a+ b,2a-b, a+ b+ c, a-b+ c的符号;
(2)求OA×OB的值;(3)求ΔAMB的面积;
(4)若OA=OC,求a、b、c 之间的关系.解(1)由图象可知,a<0, c>0 , , 则b>0;图象与x轴有两
个交点,∴Δ=b2-4ac>0 ;又由 ,得2a+b<0 ;又由
得2a-b<0 ;a + b + c>0 ;a-b +c <0 .(2)设A(x1,0)B(x2,0),则OA×OB=|x1||x2|=|x1x2|
= =(3)AB=|x1-x2|= SΔAMB=1/2AB×DM
工 =
(4)∵OA=OC,C点的坐标为(0,c),
∴A点的坐标为(-c, 0)且c≠0,
∴a(- c)2+b(-c)+c=0 ,即ac2- bc + c=0
∴ ac -b + 1 = 0