第24章解直角三角形的导学案
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24.1.测量 (第1课时)
教学目标：利用前面学习的相似三角形的有关知识，探索测量距离的几种方法，初步接触直角三角形的边角关系。
教学重点：探索测量距离的几种方法。
教学难点：选择适当的方法测量物体的高度或长度。
教学过程：一。复习引入：
当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬 ( http: / / www.21cnjy.com )的五星红旗时，你也许想知道操场旗杆有多高？我们知道可以利用相似三角形的对应边，首先请同学量出太阳下自己的影子长度，旗杆的影子长度，再根据自己的身高，计算出旗杆的高度。如果在阴天，你一个人能测量出旗杆的高度吗？
二。新课探究：
书P100试一试.
如图所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点 ( http: / / www.21cnjy.com )，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC=34°，并已知目高AD为1米。现在请你按1：500的比例得△ABC画在纸上，并记为△A1B1C1,用刻度尺量出纸上B1C1的长度，便可以算出旗杆的实际高度。你知道计算的方法吗？
解：∵△ABC∽△A1B2C3, ∴AC:A1C1=BC:B1C1=500:1
∴只要用刻度尺量出纸上B1C1的长度，就可 ( http: / / www.21cnjy.com )以计算出BC的长度，加上AD长即为旗杆的高度。若量得B1C1=a㎝，则BC=500a㎝=5a㎝。故旗杆高(1+5a)m.
说明：利用相似三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )测量物体高度或宽度时，关键是构造和实物相似的三角形，且能直接测量出这个三角形各条线段的长，再列式计算出实物的高或宽等。
例2.为了测出旗杆的高度，设计了如图所 ( http: / / www.21cnjy.com )示的三种方案，并测得图(a)中BO=6m,OD=3.4m,CD=1.7m图(b)中CD=1m,FD=0.6m,EB=1.8m图(c)中BD=9m,EF=0.2；此人的臂长为0.6m。
说明其中运用的主要知识；（2）分别计算出旗杆的高度。
（a） （b） （c）
分析：图(a)和图(c)都运用了相似三角形对应边成比例的性质，图(b)运用了同一时刻的物高与影长成正比的性质。
解：（1）∵△AOB∽△COD,∴ 即 ∴AB=3(m).
（2）∵同一时刻物高与影长成正比，∴ 即 ∴AB=3(m).
（3）∵△CEF∽△CAB ∴ 即 ∴AB=3(m).
方法技巧：测量物体的高度可利用自己的身高、臂长等长度结合相似形的性质求出物高，也可以运用同一时刻的物高与影长成正比的性质测量物体的高度。
三、引申提高：
例3。设计一种方案，测量学校科技楼的高度。请写出测量的过程，并简要说明这样做的理由。
分析：测量大楼的高度的方法很多，现采用一种方法，利用人的身高和标杆，依据相似三角形三边对应成比例和平行线的性质，可测出大楼的高度。
解答：测量过程如下：
1、在地面上立一个标杆，使人眼、杆顶、楼顶在一条直线上。
2、测出CF、CH的距离。
大楼 3、算出KE的长度。
4、用标杆长度减去人的身高，即DE的长度。
标杆 5、由DE∥AB得△KDE∽△KAB。又因为相似三角形三边对应成比例，∴。
6、再将刚才测量的数值代入比例式中，计算出AB的长度。
7、用AB加上人的身高即得出大楼的高度。
探究点拔：1.选择测量的方法应是切实可行的。如本题中人眼、杆顶、楼顶在一条直线上（人是站立的）。
2．大楼的高度=AB+人高。
3．测量的过程要清楚，力求每步都有根有据，达到学以至用。
四．巩固练习：
1.如图1，要测量A、B两点间距离，在O点设桩，取OA中点C，OB中点D，测得CD=31.4m 求AB长。 (AB=62.8m)
(1) (2)
2. 如图2, 为了测量河的宽度， ( http: / / www.21cnjy.com )可以先在河对岸找到一个具有明显标志的点A，再在所在的一边找到两点B、C，使△ABC构成Rt△。如果测得BC=50米，∠ABC=73°，试设计一种方法求河的宽度AC。 (在地面上另作 Rt△A’B’C’，使B’C’=5米，∠C’=Rt∠,∠B’=73°, 测得 A’C’=16.35米，得 AC=16.35米 ).
五．课时小结：测量旗杆高度的一般方法：（1）利用阳光下的影子。
（2）利用标杆。（3）利用镜子的反射。（4）利用全等。或勾股定理。
选择适当的方法测量物体的高度或长度 ( http: / / www.21cnjy.com )等是新时期素质教育的要求，运用所学相似三角形知识设计测量方案时一定要考虑可行性，力求操作简便，计算简洁，同时注意分析环境、天气等要素。
六．课堂作业：
P101 习题 1、2、3
24．2直角三角形的性质
教学目标：掌握直角三角形中有关的性质，并会运用这些性质进行有关地计算和证明。
教学重难点：灵活运用直角三角形有关性质进行计算和证明。
教学过程：
1、直角三角形的定义：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形（Rt三角形）
2、性质定理
直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1: 勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )：直角三角形两直角边 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )的平方和 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )等于斜边的平方。
性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
性质4：等面积：:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
性质5: 射影定理 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )：在中，点，则有：
性质6：30度的锐角所对的直角边是斜边的一半。
性质7:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
直角三角形的判定方法：
判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2：勾股定理的逆定理 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )，若，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。
判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定4：两个锐角互余的三角形是直角三角形。
判定5：在一个三角形中若它一边上的中线等于这条中线所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
学生看书：P103的例题。
补例1：在中，，斜边AB的高CD=h，试证明：（1）
（2）
（3）判断以为边的三角形的形状。
补例2：如图，在四边形ABCD中，为BC的中点，求证：。
练习：P104的练习1、2、3题
作业：P104习题1、2、3题。
24.3锐角三角函数
教学目标：1. 使学生了解在直角三角形中，锐 ( http: / / www.21cnjy.com )角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的；通过实例认识正弦、余弦、正切、余切四个三角函数的定义。并能应用这些概念探索并熟记30°、45°、60°等角度的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。
教学重点：四种锐角三角函数的定义. 熟记30°、45°、60°角的三角函数值，熟练地运用三角函数的有关知识进行简单的计算
教学难点：理解锐角三角函数的定义.
教学过程：一．复习提问：
什么叫Rt△？它的三边有何关系？
2.Rt△中角、边之间的关系是：①∠A+∠B=90°②
二．新课探究：
1.Rt△ABC中，某个角的对边、邻边的介绍.
2. 在直角三角形中，锐角 ( http: / / www.21cnjy.com )的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的。问题1如右图，△ABC和△A1B1C1中，若∠C＝∠C1＝∠90°， ∠A＝∠A1，那么△ABC和△A1B1C1相似吗 与相等吗 和相等吗？
如图，由Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3
得
可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是惟一确定的.
同样，其对边与斜边，邻边与斜边，邻边与对边的比值也是惟一确定的.
3、四种锐角三角函数
分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A的三角函数.
对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数．同样地，cosA，tanA也是A的函数
问题2．锐角三角函数都是正实数吗 为什么
若∠A是锐角，0＜sinA＜l，0＜cosA＜l，tanAcotA＝1，为什么
三．四种三角函数值
例1.①求出如图所示的Rt△ABC中，∠A的四个三角函数值.
②若图中AC︰BC=4︰3呢？
③若图中tanA=呢？
例2.△ABC中，∠B=90°，a=5，b=13，求∠A的四个三角函数值.
思考：两块三角尺中有几个不同的锐角？是多少度？
你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切、余切值吗？
教师点拨：归纳结果
30° 45° 60°
siaA
cosA
tanA
由表中和四个三角函数定义都可看出：锐角三角函数的增减性
（1）、正弦，正切随角度的增大而增大。（2）、余弦，余切随角度的增大而减小。
例3：求下列各式的值．
（1）cos260°+sin260°． （2）-tan45°．
巩固练习：书107 1，2，3题
五．引申提高：
例3．如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=2，BD=8.
求cosB.你还能求什么？
变式：若AD:BD=9:16, 求∠A的四个三角函数值.
六．课时小结：
1、灵活运用四个三角函数定义求值.
2、熟记特殊角的三角函数值。
七．课堂作业：见实践与探究丛书。
锐角三角函数——同角及互为余角的三角函数的关系
【学习目标】
⑴运用三角函数的定义，得出同角间的三角函数的关系及互为余角的三角函数的关系。
（2）熟练地运用三角函数的有关知识进行简单的计算。
【学习重点】。
同角间的三角函数的关系及互为余角的三角函数的关系，熟练地运用三角函数的有关知识进行简单的计算
【学习难点】
同角间的三角函数的关系及互为余角的三角函数的关系的推导过程及运用。。
【导学过程】
一、自学提纲：1、在Rt ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC中，∠C＝90°，分别写出∠A的三角函数关系式：sinA＝_____，cosA=_____，tanA＝_____。∠B的三角函数关系式__________
二、合作交流：1、比较上述中，A与B，A与B，A与B的表达式，你有什么发现？
归纳：互为余角的三角函数间的关系：一个 ( http: / / www.21cnjy.com )锐角的正弦等于它的余角的余弦；一个锐角的余弦等于它的余角的正弦．一个锐角的正切等于它的余角的余切，一个锐角的余切等于它的余角的正切。
即：
2、由三角函数的定义还可得出同角间的三角函数的关系：学生完成证明。
（1）平方关系：。
（2）商的关系：。
（3）倒数的关系：。
例1：在Rt△ABC中，∠C=90，AB=，BC=，求∠A的度数．
已知：cos(a＋28°)＝，求a的度数
例2、计算：
例3已知，且，求。
例4、已知，且，求。
例5、已知为锐角，且，求的其它三角函数值。
小结：熟记同角、互为余角的三角函数的关系。
作业：
（1） (比较大小)。
（2）计算
（3）化简：
（4）已知：的值和的值。
（5）
（6）若
(7)、已知为锐角，且，求的其它三角函数值。
（8）、已知分别是中的对边，关于的方程有两个相等的实根，且
①、判断的形状。 ②求的值。
（9）已知的两边，且第三边长是关于的一元二次方程的两个正整数根之一，求。
24.3.2用计算器求锐角三角函数值
数学目标：利用计算器求出任意一个锐角的四个三角形函值；同时已知一个锐角的三角形函数值可求出这个锐角.
数学重点：利用计算器求三角函数值和锐角.
数学难点：用计数器求锐角三角函数值是要注意按键顺序.
数学过程：
一、复习提问
1、30° 、45°、60° 的三角函数值.
2、计算：1） （ ）
2） （ ）
3）△ABC中，求△ABC的三个内角.
二、新授
1、求已知锐角的三角函数值.
例1.求sin63°52′41″的值（精确到0.00001）
分析：由于计算器在计算角的三角函数值时，角的单位用的是度，所以我们必须先把角63°52′42″转换为″度″.
解：如下方法将角度单位状态设定为″度″：
显示
再按下列顺序依次按键：
显示结果为0.897859012
∴Sin63°52′41″≈0.8979
例2．求cot70°45 ″的值（精确到0.0001）.
分析：因为计数器上无法计算余切值，于是我们根据tanA·cotA＝1，
用 来计算.
解：在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出 ），按下列顺序依次按键：
显示结果为0.349215633.
∴cot70°45′≈0.3492.
巩固练习：
书P.111. 练习.1.
2.由锐角三角函数值求锐角.
例3. 已知tanx＝0.7410. 求锐角x.（精确到1′）.
解：在角度单位状态为″度″的情况下（屏幕显示出 ） ，按下列顺序依次按键
显示结果为：36.53844577.
再按键 显示结果为36°32°18.4 .
∴x≈36°32′
注意：由角x的三角函数值求角x，按键的次序有所不同，它与求角x的三角函数值是一个“互递”的过程.
例4：已知cotx＝0.7410. 求锐角x.（精确到1′）
分析：根据可以求出tanx的值.然后根据例3的方法可求出锐角x.
解：∵cotx＝0.7410，
∴
三、巩固练习：
书P111 练习
四、课时小结.
利用计数器求出任意一个锐角的四个三角函数值，同时已知一个锐角函数值可求出这个锐角.
求已知锐角的余切时，应先求出正切值，再根据求出其余切值；结果应注意近似要求.
五、课作：
练习册
24.3．3锐角三角函数
重点：锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值，三角函数间的同角关系与互余关系．
难点：锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值，三角函数间的同角关系与互余关系的应用．
【经典范例引路】
例1 （1）计算：+cot30°-tan45°-cos30°;
（2）Rt△ABC中，∠C=90°, ，b=2，求cosA.
【解题技巧点拨】
（1）主要注意隐含关系式sin2α＋cos2α＝1的运用，来求得sin215°＋sin275°＝sin215°＋cos215°＝1的技巧．
例2 已知cosα＝0.6975，sinβ＝0.7328（α、β均为锐角），求证：α＋β＞90°
证明：∵α、β为锐角 ∴90°-β也 ( http: / / www.21cnjy.com )为锐角，且cosα＝0.6975，cos（90°-β）＝sinβ=0.7328，根据余弦函数在0°～90°之间的变化规律有：α＞90°-β即α+β＞90°
【解题技巧点拨】
本题必须灵活运用余弦函数在0°～90°之间的变化规律及三角函数间的互余关系解题．
【综合能力训练】
一、填空题
1.计算：sin60°·cot30°+sin245°＝ ．
2．求值：sin60°·cos45°＝ .
3．在△ABC中，如果∠C=90° ( http: / / www.21cnjy.com )，∠A＝45°那么tanA＋sinB= ；△ABC为 对称图形（填“轴”或“中心”）
4.α为锐角时，＝ ．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，＋|cosB+1|＝ ．
6.已知：cot(90°-x)=，则= 。
7．若tanα·tan46°＝ 1（α为锐角），则α＝ 。
8.Rt△ABC中，∠C＝90°，且＝,＝．则sinA＝ .
二、选择题：
9.若α是锐角，sinα=cos50°，则α等于（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
10.sin64°与cos26°之间的关系是（ ）
A．sin64°＜cos26° B．sin64°＝cos26°
C．sin64°＞ cos26° D．sin64°＝ -cos26°
11.△ABC中，∠C＝90°，则cosA·cotB的值是（ ）
A. B. C. D.
12.当∠A为锐角，且cotA的值小于时，∠A应（ ）
A．小于30° B．大于3O° C．小于60° D．大于60°
13.在Rt△ABC中，各边的长度都扩大两倍，那么锐角A的各三角函数值（ ）
A．都扩大两倍 B.都缩小两倍 C．不变 D．都扩大四倍
14.在△ABC的三内角中， A∶B∶C＝3∶2∶7，则sinA∶sinB＝（ ）
A．1∶ B.1∶ C. D. ∶
15．已知0°＜α＜45°，则使无意义的α的值是（ ）
A．3O° B．15° C．不存在 D．非以上答案
16．已知45°＜θ＜90°，且2sinθ-x+3＝0则x的取值范围是（ ）
A.＜x＜1 B．3-＜x＜1
C．3+＜x＜5 D．1＜x＜3＋
三、解答题：
17.设x=()-1+(sin73°)0+tan21°·tan69°，求（-）÷的值．
18.已知方程4x2＋kx＋2＝0的两根是sinθ，cosθ（ θ为锐角），求k和θ．
19.计算：+|1-tan60°|
20.计算：（）-2+（sin21°13′-tan21°）0-
21.已知sinα+cosα＝m,sinα·cosα＝n，试确定m与n的关系．
【创新思维训练】
22．计算：tan1°·tan2°·tan3°·tan4°……tan88°·tan89°的值．
23．cosx＝α+（α＞ 0）成立吗？若成立，求出α的值．若不成立，请说明理由．
24.4解直角三角形（1）
教学目标：
1、使学生理解解直角三角形的概念，并会用直角三角形中元素之间的关系解直角三角形。
2、培养学生将实际问题抽象为数学问题的分析能力 。
教学重点：将实际问题抽象为数学问题，选取适当的锐角三角函数和关系式解直角三角形。
教学难点：运用所学知识解决实际问题
教学过程：
复习提问
Rt△中的关系式.（∠C=90°）
角：∠A﹢∠B=90°
边；a ﹢b=c
边角关系：sinA= coA= tanA= cotA=
其中A可换成B，共有八个相等关系，可将它们灵活变形。
新授
看书P112例1、例2
得出：1.解Rt△的定义；由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．
2.解Rt△，只有下面两种情况：1）已知两条边
2）已知一条边和一个锐角
3.在解Rt△的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′。
例3. 某施工人员在离地面高度为5米的C ( http: / / www.21cnjy.com )处引拉电线杆，若固定点离电线杆3米，如图所示，则至少需要多长的缆线AC才能拉住电线杆？（结果保留两位小数）
分析：由图可知，AC是Rt△ABC的斜边，利用勾股定理就可求出。
解：在Rt△ABC中，AC===≈5.83（米）
答：至少需要5.83米的缆线AC才能拉住电线杆。
三、引申提高：
例4. 如图，上午8时，小明从电视转 ( http: / / www.21cnjy.com )播塔C的正北方向B处以15千米/时的速度沿着笔直的公路出发，2小时后到达A处，测得电视转播塔在他的南偏东50°的方向，试求出发前小明与电视转播塔之间的距离，并求出此时距电视转播塔有多远？（精确到1千米）
解：在RtABC中，∠CAB=90°－50°=40°，AB=15×2=30（千米），
∵tan∠CAB=，∴≈25（千米），
∵cos∠CAB=，∴AC=≈39（千米）
答：出发前小明与电视转播塔的距离约25千米，此时距电视塔39千米。
变式： 若已知敌舰与A炮台的距离及∠DAC的读书分，如何求两炮台间的距离？
测量中能应用解直角三角形的知识吗？
四。巩固练习
P113，练习1-2
五．课时小结：
1、解直角三角形的意义。
2、直角三角形可解的条件：已知除直角外的两个元素，其中一个元素必须是边。
3、解Rt△的依据是勾股定理.两锐角互 ( http: / / www.21cnjy.com )余和边角之间的关系,一般有两种类型：已知两边，已知一边和一锐角，解题时要选择适当的关系式，尽可能使用原题数据和避免做除法运算。
4、结果的近似数要求是一位小数，中间计算的结果应多一位小数。
六．课作。
练习册
24.4解直角三角形（2）
教学目标：分清仰角、俯角等概念的意义，准确把握这些概念从而会把实际问题转化为解直角三角形问题来解决．
教学重点：仰角、俯角、方位角等概念
教学难点：解与此有关的问题
教学过程：
仰角、俯角的概念：
几个概念 1.铅垂线
2.水平线
3.视线
4.仰角：视线在水平线的上方，视线与水平线的夹角.
5.俯角：视线在水平线的下方，视线与水平线的夹角.
练习：1.由A测得B的仰角为36°，由B去测A时的俯角为 .
2.一棵树AC在地面上的影子BC为10米，在树影一端B测得树顶A的俯角为
45°，则树高 米；若仰角为60°，树高 米.（精确到1米）
应用
书P114例3
补 例2如图，线段AB、CD分别表示甲、乙两幢楼，AB⊥CD，CD⊥BD，从甲楼顶A测乙楼顶C的仰角=30°，已知甲楼高15米，两楼水平距离为24米，求乙楼高.。
解：Rt△ACE中，CE==8m，∴CD=CE+DE=CE+AB=（8+15）（米）答：乙楼高为（8+15）米.
三、引申提高：
例3.如图，为了测量顶部不能达 ( http: / / www.21cnjy.com )到的建筑物AB的高度，现在地平面上取一点C，用测量仪测得A点的仰角为45°，再向前进20米取一点D，使点D在BC延长线上，此时测得A的仰角为30°，已知测量仪的高为1.5米，求建筑物AB的高度.
解：在Rt△AEG中，EG==AG，在Rt△AFG中，
FG==AG∴EF=FE－EG=（－1）AG=20，
∴AG=+11.5（米）
答：建筑物AB的高度为（+11.5）米.
说明：解此类问题的关键是建立实际问题的 ( http: / / www.21cnjy.com )数学模型，即构建Rt△.必要时可添加适当的辅助线，解题时应选择适当的关系式进行解题，并按照题目中的要求进行近似计算.
变式：若点E在FG的延长线上，且∠AEG=45°，已知FE的长度，其他条件不变，如何求建筑物AB的高度？
例4.如图，在一座山的山顶处用高为1米的测顶器望地面C、D两点，测得俯角分别为
60°和45°，若已知DC长为20㎝，求山高.
分析：已知∠FAD=45°，∠FAC=60°，要求山高，只需求AE.
解；设AE=，在Rt△ADE中，，
在R△ACE中，，DC=DE－CE==20，
∴，∴BE=AE－AB=29＋10，
∴山高为（29+10）米.
四．巩固练习.
了解仰角、俯角的概念.
学会几何建模，通过解Rt△求解.
五、小结与扩展
教师请学生总结：在这类实际应用题中，都是直 ( http: / / www.21cnjy.com )接或间接地把问题放在直角三角形中，虽然有一些专业术语，但要明确各术语指的什么元素，要善于发现直角三角形，用三角函数等知识解决问题．
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案。
六．课作.
24．4解直角三角形（3）
教学目标：弄清铅垂高度、水平长度、坡高（或坡比）、坡角等概念；
教学重点：理解坡度和坡角的概念
教学难点：利用坡度和坡角等条件，解决有关的实际问题
教学过程：
一、复习提问：
什么叫仰角、俯角？
二、坡度、坡角的概念
几个概念：
1、铅垂高度
2、水平长度
3、坡度（坡比）:坡面的铅垂高度和水平长度的比一般用i表示。即
4、坡角：坡面与水平面的夹角.
引导学生结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？
显然，坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡。
练习：1、沿山坡前进10米，相应升高5米，则山坡坡度 ，坡角
例1、书P115 例4
例2、如图，水库堤坝的横断面成梯形ABCD,DC∥AB,迎水坡AD长为米，上底DC长为2米，背水坡BC长也为2米，又测得∠DAB=30°,∠CBA=60°,求下底AB的长.
解：过D、C分别作DE⊥AB于E,CF⊥AB于F,
在直角△ADE中,∠A=30°，AD=
∴DE=AD sin30°=,AE=AD cos30°=3.
在直角△CBF中,BF=BC cos60°=1
∴AB=AE+EF+BF=3+2+1=6
答：下底的长为6米。
思考：延长两腰或平移一腰能求出下底的长吗？
说明：以上解法体现了“转化”思想，把梯形的有关问题转化为解直角三角形可多角度的分析，添加辅助线，灵活、恰当地构造直角三角形，使解法合理化。
例3.铁道路基的横断面是等腰梯形,其尺寸如图所示,其中=1:1.5是坡度每修1m长的这种路基,需要土石多少立方
解:过A、D分别作AE⊥BC于E,DF⊥BC于F.则AE=DF=1.2m.
∵=1:1.5.ABCD为等腰梯形.
∴BE=CF=1.8m
∴BC=1.8+10+1.8=13.6m
∴SABCD=㎡
∴V=1×14.16=14.16
答:需要土面14.16立方米。
三、引申提高：
例4.沿水库拦水坝的背水坡,将坝顶加宽2m,坡度由原来的1:2改为1:2.5,已知坝高6m,坝长50m,求：
加宽部分横断面的面积
完成这一工程需要的土方是多少？
分析：加宽部分的横断面AFEB为梯形，故通过
作梯形的高构造直角三角形，利用坡度的变化求解。
解：①设梯形ABCD为原大坝的横截面图，梯形AFEB为加宽部分，
过A、F分别作AG⊥BC于G，FH⊥BC于H，
在直角△ABG中，由AG=6,得BG=12
在直角△EFH中,由FH=6,得EH=15
∴EB=EH-BH=EH－(BG－HG)=15－(12－2)=5
∴SAFEB=㎡
②V=50×SAFEB=21×50=1050
四、巩固练习
P116 练习
五、课时小结
理解坡度、坡角的概念
在复杂图形中求解时要结合图形，理解题意，运用所学知识通过构造直角三角形求解。
六、作业
1、在坡度为1：1.5的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为6m，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为（ ）．
A．4m B．2m C．3m D．4m
2、一斜坡的坡、面的余弦为，则坡度 。
3、堤坝横断面是等腰梯形，（如图所示）
若AB=10,CD=4,高h=4，则坡度= , AD=
②若AB=10,CD=4 ,,则 ，
4、某斜坡的坡度为i=1：，则该斜坡的坡角为______度．
5、以下对坡度的描述正确的是（ ）．
A．坡度是指斜坡与水平线夹角的度数;
B．坡度是指斜坡的铅直高度与水平宽度的比;
C．坡度是指斜坡的水平宽度与铅直高度的比;
D．坡度是指倾斜角的度数
6、某人沿坡度为i=1：的山路行了20m，则该人升高了（ ）．
A．20m B．m
7、斜坡长为100m，它的垂直高度为60m，则坡度i等于（ ）．
A． B． C．1： D．1：0.75
24.4解直角三角形（4）
教学目标：综合运用所学的知识，通过添加适当的辅助线来构造Rt△,从而解决较复杂的实际问题。
教学重点难点:利用前面所学知识，解决教复杂的实际问题
教学过程：一、解直角三角形的基本类型和方法
在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那么已知了什么样的条件的直角三角形才可解呢？
解直角三角形跟直角三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的判定与作图有着本质的联系．除直角以外，已知两个元素（至少有一个是边）则可作出此直角三角形，即此直角三角形是确定的，所以这样的直角三角形是可解的．由于已知两个锐角的直角三角形是不确定的，它们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出各边的长．所以，要解直角三角形，给出的除直角外的两个元素中，必须至少有一个是边．由此可得，解直角三角形就分为两大类，一类为：已知一条边及一个锐角，二类为：已知两条边：
二、明确解直角三角形的依据和思路
在Rt△ABC中，∠C＝90°，设三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则解直角三角形的主要依据是：
（1）边角之间的关系：
sinA＝cosB＝， cosA＝sinB＝，tanA＝cotB＝，cotA＝tanB＝．
（2）两锐角之间的关系：A＋B＝90°．
（3）三条边之间的关系：．
（4）三角形面积：．
（5）同角三角函数的关系： 平方关系：；
商数关系：，；倒数关系：
以上每个边角关系式都可看作方程， ( http: / / www.21cnjy.com )解直角三角形及应用的思路，就是根据已知条件，正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解一元方程来求解．
一、复习、练习
1.Rt△ABC中，∠C=90°,CD⊥AB于D,若AD=2，CD=4,则tanB=
2.Rt△ABC中，∠A=90°,sinB=,c=2,则b= 。
3.Rt△ABC中，∠C=90°，斜边上中线CD=3，AC=3.6，tan∠DCB= 。
二、应用
如图△ABC中，∠B=45°，∠C=60，AD⊥BC于D，AD=2，
求：（1）BC的长 （2）S
解：（1）∵AD⊥BC，∠B=45°，∠C=60°，AD=2
∴BD=2，CD= ∴BC=2+
（2）∴S=×2×（2+）=2+
如图，为调整数学格局，充分发挥资源优势 ( http: / / www.21cnjy.com )，现将地处A、B两地的两所技校合并成职业技术教育中心，为方便A、B两校师生的交往，学校准备在相距5千米的A、B两地修筑一条笔直公路AB，经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的西偏北45°方向的C处有一半径为1.8千米的湖泊，问计划修筑的这条公路会不会穿过湖泊？
分析：要想知道公路会不会穿过湖泊，就必须知道点C到AB的距离是否大于1.8千米。
解：过C作CD⊥AB于D
由题意知∠CAD=30°，在Rt△ACD中，AD=，在Rt△BCD中，同理可得CD=DB，∴AB=AD+BD=（+1）CD=5，∴CD≈1.84（千米）＞1.8千米
答：计划修筑的这条公路不会穿过湖泊。
如图，河对岸有一电线杆CD，从A点测得电线杆顶端的仰角为18°，前进30米，到B处测得D点的仰角为36°，求电线杆的高度（精确到0.1米）
解：∵∠ADB=∠DBC-∠A=36°-18°=18°=∠A，∴DB=AB=30，
在Rt△ABC中，CD=≈17.6（米）
答：电线杆的高度约为17.6米。
例4、Rt△ABC中，∠C＝90°，已知a＝10，，解这个直角三角形．
三、引申提高：
例5、如图，A城气象部门测得今年第9号台 ( http: / / www.21cnjy.com )风上午8时在A城南偏东30°的海面生成，并以每小时40海里的速度向正北方向移动，上午10时测得台风中心移到了A城南偏东45°的方向，若台风中心120海里的范围内将受台风影响，问A城是否会受9号台风影响？
分析：A城是否会受台风影响，就是A城到台风移动路线BC的距离是否大于120千米。
解：过A作AE⊥BC于E，设AE=EC=，则BE=，
∵BC=2×40=80，∴BC=BE-CE=（-1）=80，
∴≈109.2＜120，
∴A城会受台风影响。
例6、一座五星级宾馆A附近有一条马路为直线,现有一辆大型货车由B处沿直线往C方向行驶，测得米，如果货车周围100米内建筑将受噪声影响，试问货车在行驶过程中宾馆A是否受噪声影响？
（1）如果受噪声影响，请指出受影响的路段。
（2）如果货车的速度每分钟800米，求出宾馆受噪声影响的时间。
（3）为减少或消除噪声对宾馆的影响，你有什么合理的整改建议？
解：（1）过点A作AD垂直于BC，垂足为D
米
在中能解得AD=80米<100米，所以受噪声影响，
以点A为圆心，100米为半径画圆弧分别交BC与E，F两点，线段EF即为受影响的路段。
（2）在中，由勾股定理求出ED=60米，EF=2ED=120米，分钟=40秒
答：宾馆受噪声影响的时间为40秒。
（3） 1. 安装隔音板
2．高楼与马路之间种植绿化。
3．受影响的路段改为地下通道等
三、巩固练习、
1、如图，在等腰三角形ABC中，底边BC为5，α是底角且tanα＝，求AC．
2、一艘船以32.2海里／小时的速度向正北航行，在A处看见了灯塔S在船的北偏东
20°，半小时后，航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65°，求灯塔S 和B处的距离．
（精确到0.1海里）
四、课时小结
运用所学知识解决实际问题，学会几何建模，通过解Rt△求解
五、课作3、如图，一水坝横断面为等腰梯形ABCD，斜边AB的坡度为1∶，坡面AB的水平宽度为3米，上底AD宽为4米，求坡角∠B，坝高AE和坝底BC的宽（精确到0.1米）
DDDD
1
MODE
MODE
＝
0 1 11
41
0 1 11
52
0 1 11
63
Sin
D
＝
0 1 11
45
0 1 11
70
tan
÷
1
D
SHIFT
.
Tan-1
0
7
4
1
＝
0
0 1 11
SHITFT
教学目标：利用前面学习的相似三角形的有关知识，探索测量距离的几种方法，初步接触直角三角形的边角关系。
教学重点：探索测量距离的几种方法。
教学难点：选择适当的方法测量物体的高度或长度。
教学过程：一。复习引入：
当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬 ( http: / / www.21cnjy.com )的五星红旗时，你也许想知道操场旗杆有多高？我们知道可以利用相似三角形的对应边，首先请同学量出太阳下自己的影子长度，旗杆的影子长度，再根据自己的身高，计算出旗杆的高度。如果在阴天，你一个人能测量出旗杆的高度吗？
二。新课探究：
书P100试一试.
如图所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点 ( http: / / www.21cnjy.com )，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC=34°，并已知目高AD为1米。现在请你按1：500的比例得△ABC画在纸上，并记为△A1B1C1,用刻度尺量出纸上B1C1的长度，便可以算出旗杆的实际高度。你知道计算的方法吗？
解：∵△ABC∽△A1B2C3, ∴AC:A1C1=BC:B1C1=500:1
∴只要用刻度尺量出纸上B1C1的长度，就可 ( http: / / www.21cnjy.com )以计算出BC的长度，加上AD长即为旗杆的高度。若量得B1C1=a㎝，则BC=500a㎝=5a㎝。故旗杆高(1+5a)m.
说明：利用相似三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )测量物体高度或宽度时，关键是构造和实物相似的三角形，且能直接测量出这个三角形各条线段的长，再列式计算出实物的高或宽等。
例2.为了测出旗杆的高度，设计了如图所 ( http: / / www.21cnjy.com )示的三种方案，并测得图(a)中BO=6m,OD=3.4m,CD=1.7m图(b)中CD=1m,FD=0.6m,EB=1.8m图(c)中BD=9m,EF=0.2；此人的臂长为0.6m。
说明其中运用的主要知识；（2）分别计算出旗杆的高度。
（a） （b） （c）
分析：图(a)和图(c)都运用了相似三角形对应边成比例的性质，图(b)运用了同一时刻的物高与影长成正比的性质。
解：（1）∵△AOB∽△COD,∴ 即 ∴AB=3(m).
（2）∵同一时刻物高与影长成正比，∴ 即 ∴AB=3(m).
（3）∵△CEF∽△CAB ∴ 即 ∴AB=3(m).
方法技巧：测量物体的高度可利用自己的身高、臂长等长度结合相似形的性质求出物高，也可以运用同一时刻的物高与影长成正比的性质测量物体的高度。
三、引申提高：
例3。设计一种方案，测量学校科技楼的高度。请写出测量的过程，并简要说明这样做的理由。
分析：测量大楼的高度的方法很多，现采用一种方法，利用人的身高和标杆，依据相似三角形三边对应成比例和平行线的性质，可测出大楼的高度。
解答：测量过程如下：
1、在地面上立一个标杆，使人眼、杆顶、楼顶在一条直线上。
2、测出CF、CH的距离。
大楼 3、算出KE的长度。
4、用标杆长度减去人的身高，即DE的长度。
标杆 5、由DE∥AB得△KDE∽△KAB。又因为相似三角形三边对应成比例，∴。
6、再将刚才测量的数值代入比例式中，计算出AB的长度。
7、用AB加上人的身高即得出大楼的高度。
探究点拔：1.选择测量的方法应是切实可行的。如本题中人眼、杆顶、楼顶在一条直线上（人是站立的）。
2．大楼的高度=AB+人高。
3．测量的过程要清楚，力求每步都有根有据，达到学以至用。
四．巩固练习：
1.如图1，要测量A、B两点间距离，在O点设桩，取OA中点C，OB中点D，测得CD=31.4m 求AB长。 (AB=62.8m)
(1) (2)
2. 如图2, 为了测量河的宽度， ( http: / / www.21cnjy.com )可以先在河对岸找到一个具有明显标志的点A，再在所在的一边找到两点B、C，使△ABC构成Rt△。如果测得BC=50米，∠ABC=73°，试设计一种方法求河的宽度AC。 (在地面上另作 Rt△A’B’C’，使B’C’=5米，∠C’=Rt∠,∠B’=73°, 测得 A’C’=16.35米，得 AC=16.35米 ).
五．课时小结：测量旗杆高度的一般方法：（1）利用阳光下的影子。
（2）利用标杆。（3）利用镜子的反射。（4）利用全等。或勾股定理。
选择适当的方法测量物体的高度或长度 ( http: / / www.21cnjy.com )等是新时期素质教育的要求，运用所学相似三角形知识设计测量方案时一定要考虑可行性，力求操作简便，计算简洁，同时注意分析环境、天气等要素。
六．课堂作业：
P101 习题 1、2、3
24．2直角三角形的性质
教学目标：掌握直角三角形中有关的性质，并会运用这些性质进行有关地计算和证明。
教学重难点：灵活运用直角三角形有关性质进行计算和证明。
教学过程：
1、直角三角形的定义：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形（Rt三角形）
2、性质定理
直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1: 勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )：直角三角形两直角边 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )的平方和 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )等于斜边的平方。
性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
性质4：等面积：:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
性质5: 射影定理 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )：在中，点，则有：
性质6：30度的锐角所对的直角边是斜边的一半。
性质7:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
直角三角形的判定方法：
判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2：勾股定理的逆定理 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )，若，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。
判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定4：两个锐角互余的三角形是直角三角形。
判定5：在一个三角形中若它一边上的中线等于这条中线所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
学生看书：P103的例题。
补例1：在中，，斜边AB的高CD=h，试证明：（1）
（2）
（3）判断以为边的三角形的形状。
补例2：如图，在四边形ABCD中，为BC的中点，求证：。
练习：P104的练习1、2、3题
作业：P104习题1、2、3题。
24.3锐角三角函数
教学目标：1. 使学生了解在直角三角形中，锐 ( http: / / www.21cnjy.com )角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的；通过实例认识正弦、余弦、正切、余切四个三角函数的定义。并能应用这些概念探索并熟记30°、45°、60°等角度的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。
教学重点：四种锐角三角函数的定义. 熟记30°、45°、60°角的三角函数值，熟练地运用三角函数的有关知识进行简单的计算
教学难点：理解锐角三角函数的定义.
教学过程：一．复习提问：
什么叫Rt△？它的三边有何关系？
2.Rt△中角、边之间的关系是：①∠A+∠B=90°②
二．新课探究：
1.Rt△ABC中，某个角的对边、邻边的介绍.
2. 在直角三角形中，锐角 ( http: / / www.21cnjy.com )的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的。问题1如右图，△ABC和△A1B1C1中，若∠C＝∠C1＝∠90°， ∠A＝∠A1，那么△ABC和△A1B1C1相似吗 与相等吗 和相等吗？
如图，由Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3
得
可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是惟一确定的.
同样，其对边与斜边，邻边与斜边，邻边与对边的比值也是惟一确定的.
3、四种锐角三角函数
分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A的三角函数.
对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数．同样地，cosA，tanA也是A的函数
问题2．锐角三角函数都是正实数吗 为什么
若∠A是锐角，0＜sinA＜l，0＜cosA＜l，tanAcotA＝1，为什么
三．四种三角函数值
例1.①求出如图所示的Rt△ABC中，∠A的四个三角函数值.
②若图中AC︰BC=4︰3呢？
③若图中tanA=呢？
例2.△ABC中，∠B=90°，a=5，b=13，求∠A的四个三角函数值.
思考：两块三角尺中有几个不同的锐角？是多少度？
你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切、余切值吗？
教师点拨：归纳结果
30° 45° 60°
siaA
cosA
tanA
由表中和四个三角函数定义都可看出：锐角三角函数的增减性
（1）、正弦，正切随角度的增大而增大。（2）、余弦，余切随角度的增大而减小。
例3：求下列各式的值．
（1）cos260°+sin260°． （2）-tan45°．
巩固练习：书107 1，2，3题
五．引申提高：
例3．如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=2，BD=8.
求cosB.你还能求什么？
变式：若AD:BD=9:16, 求∠A的四个三角函数值.
六．课时小结：
1、灵活运用四个三角函数定义求值.
2、熟记特殊角的三角函数值。
七．课堂作业：见实践与探究丛书。
锐角三角函数——同角及互为余角的三角函数的关系
【学习目标】
⑴运用三角函数的定义，得出同角间的三角函数的关系及互为余角的三角函数的关系。
（2）熟练地运用三角函数的有关知识进行简单的计算。
【学习重点】。
同角间的三角函数的关系及互为余角的三角函数的关系，熟练地运用三角函数的有关知识进行简单的计算
【学习难点】
同角间的三角函数的关系及互为余角的三角函数的关系的推导过程及运用。。
【导学过程】
一、自学提纲：1、在Rt ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC中，∠C＝90°，分别写出∠A的三角函数关系式：sinA＝_____，cosA=_____，tanA＝_____。∠B的三角函数关系式__________
二、合作交流：1、比较上述中，A与B，A与B，A与B的表达式，你有什么发现？
归纳：互为余角的三角函数间的关系：一个 ( http: / / www.21cnjy.com )锐角的正弦等于它的余角的余弦；一个锐角的余弦等于它的余角的正弦．一个锐角的正切等于它的余角的余切，一个锐角的余切等于它的余角的正切。
即：
2、由三角函数的定义还可得出同角间的三角函数的关系：学生完成证明。
（1）平方关系：。
（2）商的关系：。
（3）倒数的关系：。
例1：在Rt△ABC中，∠C=90，AB=，BC=，求∠A的度数．
已知：cos(a＋28°)＝，求a的度数
例2、计算：
例3已知，且，求。
例4、已知，且，求。
例5、已知为锐角，且，求的其它三角函数值。
小结：熟记同角、互为余角的三角函数的关系。
作业：
（1） (比较大小)。
（2）计算
（3）化简：
（4）已知：的值和的值。
（5）
（6）若
(7)、已知为锐角，且，求的其它三角函数值。
（8）、已知分别是中的对边，关于的方程有两个相等的实根，且
①、判断的形状。 ②求的值。
（9）已知的两边，且第三边长是关于的一元二次方程的两个正整数根之一，求。
24.3.2用计算器求锐角三角函数值
数学目标：利用计算器求出任意一个锐角的四个三角形函值；同时已知一个锐角的三角形函数值可求出这个锐角.
数学重点：利用计算器求三角函数值和锐角.
数学难点：用计数器求锐角三角函数值是要注意按键顺序.
数学过程：
一、复习提问
1、30° 、45°、60° 的三角函数值.
2、计算：1） （ ）
2） （ ）
3）△ABC中，求△ABC的三个内角.
二、新授
1、求已知锐角的三角函数值.
例1.求sin63°52′41″的值（精确到0.00001）
分析：由于计算器在计算角的三角函数值时，角的单位用的是度，所以我们必须先把角63°52′42″转换为″度″.
解：如下方法将角度单位状态设定为″度″：
显示
再按下列顺序依次按键：
显示结果为0.897859012
∴Sin63°52′41″≈0.8979
例2．求cot70°45 ″的值（精确到0.0001）.
分析：因为计数器上无法计算余切值，于是我们根据tanA·cotA＝1，
用 来计算.
解：在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出 ），按下列顺序依次按键：
显示结果为0.349215633.
∴cot70°45′≈0.3492.
巩固练习：
书P.111. 练习.1.
2.由锐角三角函数值求锐角.
例3. 已知tanx＝0.7410. 求锐角x.（精确到1′）.
解：在角度单位状态为″度″的情况下（屏幕显示出 ） ，按下列顺序依次按键
显示结果为：36.53844577.
再按键 显示结果为36°32°18.4 .
∴x≈36°32′
注意：由角x的三角函数值求角x，按键的次序有所不同，它与求角x的三角函数值是一个“互递”的过程.
例4：已知cotx＝0.7410. 求锐角x.（精确到1′）
分析：根据可以求出tanx的值.然后根据例3的方法可求出锐角x.
解：∵cotx＝0.7410，
∴
三、巩固练习：
书P111 练习
四、课时小结.
利用计数器求出任意一个锐角的四个三角函数值，同时已知一个锐角函数值可求出这个锐角.
求已知锐角的余切时，应先求出正切值，再根据求出其余切值；结果应注意近似要求.
五、课作：
练习册
24.3．3锐角三角函数
重点：锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值，三角函数间的同角关系与互余关系．
难点：锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值，三角函数间的同角关系与互余关系的应用．
【经典范例引路】
例1 （1）计算：+cot30°-tan45°-cos30°;
（2）Rt△ABC中，∠C=90°, ，b=2，求cosA.
【解题技巧点拨】
（1）主要注意隐含关系式sin2α＋cos2α＝1的运用，来求得sin215°＋sin275°＝sin215°＋cos215°＝1的技巧．
例2 已知cosα＝0.6975，sinβ＝0.7328（α、β均为锐角），求证：α＋β＞90°
证明：∵α、β为锐角 ∴90°-β也 ( http: / / www.21cnjy.com )为锐角，且cosα＝0.6975，cos（90°-β）＝sinβ=0.7328，根据余弦函数在0°～90°之间的变化规律有：α＞90°-β即α+β＞90°
【解题技巧点拨】
本题必须灵活运用余弦函数在0°～90°之间的变化规律及三角函数间的互余关系解题．
【综合能力训练】
一、填空题
1.计算：sin60°·cot30°+sin245°＝ ．
2．求值：sin60°·cos45°＝ .
3．在△ABC中，如果∠C=90° ( http: / / www.21cnjy.com )，∠A＝45°那么tanA＋sinB= ；△ABC为 对称图形（填“轴”或“中心”）
4.α为锐角时，＝ ．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，＋|cosB+1|＝ ．
6.已知：cot(90°-x)=，则= 。
7．若tanα·tan46°＝ 1（α为锐角），则α＝ 。
8.Rt△ABC中，∠C＝90°，且＝,＝．则sinA＝ .
二、选择题：
9.若α是锐角，sinα=cos50°，则α等于（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
10.sin64°与cos26°之间的关系是（ ）
A．sin64°＜cos26° B．sin64°＝cos26°
C．sin64°＞ cos26° D．sin64°＝ -cos26°
11.△ABC中，∠C＝90°，则cosA·cotB的值是（ ）
A. B. C. D.
12.当∠A为锐角，且cotA的值小于时，∠A应（ ）
A．小于30° B．大于3O° C．小于60° D．大于60°
13.在Rt△ABC中，各边的长度都扩大两倍，那么锐角A的各三角函数值（ ）
A．都扩大两倍 B.都缩小两倍 C．不变 D．都扩大四倍
14.在△ABC的三内角中， A∶B∶C＝3∶2∶7，则sinA∶sinB＝（ ）
A．1∶ B.1∶ C. D. ∶
15．已知0°＜α＜45°，则使无意义的α的值是（ ）
A．3O° B．15° C．不存在 D．非以上答案
16．已知45°＜θ＜90°，且2sinθ-x+3＝0则x的取值范围是（ ）
A.＜x＜1 B．3-＜x＜1
C．3+＜x＜5 D．1＜x＜3＋
三、解答题：
17.设x=()-1+(sin73°)0+tan21°·tan69°，求（-）÷的值．
18.已知方程4x2＋kx＋2＝0的两根是sinθ，cosθ（ θ为锐角），求k和θ．
19.计算：+|1-tan60°|
20.计算：（）-2+（sin21°13′-tan21°）0-
21.已知sinα+cosα＝m,sinα·cosα＝n，试确定m与n的关系．
【创新思维训练】
22．计算：tan1°·tan2°·tan3°·tan4°……tan88°·tan89°的值．
23．cosx＝α+（α＞ 0）成立吗？若成立，求出α的值．若不成立，请说明理由．
24.4解直角三角形（1）
教学目标：
1、使学生理解解直角三角形的概念，并会用直角三角形中元素之间的关系解直角三角形。
2、培养学生将实际问题抽象为数学问题的分析能力 。
教学重点：将实际问题抽象为数学问题，选取适当的锐角三角函数和关系式解直角三角形。
教学难点：运用所学知识解决实际问题
教学过程：
复习提问
Rt△中的关系式.（∠C=90°）
角：∠A﹢∠B=90°
边；a ﹢b=c
边角关系：sinA= coA= tanA= cotA=
其中A可换成B，共有八个相等关系，可将它们灵活变形。
新授
看书P112例1、例2
得出：1.解Rt△的定义；由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．
2.解Rt△，只有下面两种情况：1）已知两条边
2）已知一条边和一个锐角
3.在解Rt△的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′。
例3. 某施工人员在离地面高度为5米的C ( http: / / www.21cnjy.com )处引拉电线杆，若固定点离电线杆3米，如图所示，则至少需要多长的缆线AC才能拉住电线杆？（结果保留两位小数）
分析：由图可知，AC是Rt△ABC的斜边，利用勾股定理就可求出。
解：在Rt△ABC中，AC===≈5.83（米）
答：至少需要5.83米的缆线AC才能拉住电线杆。
三、引申提高：
例4. 如图，上午8时，小明从电视转 ( http: / / www.21cnjy.com )播塔C的正北方向B处以15千米/时的速度沿着笔直的公路出发，2小时后到达A处，测得电视转播塔在他的南偏东50°的方向，试求出发前小明与电视转播塔之间的距离，并求出此时距电视转播塔有多远？（精确到1千米）
解：在RtABC中，∠CAB=90°－50°=40°，AB=15×2=30（千米），
∵tan∠CAB=，∴≈25（千米），
∵cos∠CAB=，∴AC=≈39（千米）
答：出发前小明与电视转播塔的距离约25千米，此时距电视塔39千米。
变式： 若已知敌舰与A炮台的距离及∠DAC的读书分，如何求两炮台间的距离？
测量中能应用解直角三角形的知识吗？
四。巩固练习
P113，练习1-2
五．课时小结：
1、解直角三角形的意义。
2、直角三角形可解的条件：已知除直角外的两个元素，其中一个元素必须是边。
3、解Rt△的依据是勾股定理.两锐角互 ( http: / / www.21cnjy.com )余和边角之间的关系,一般有两种类型：已知两边，已知一边和一锐角，解题时要选择适当的关系式，尽可能使用原题数据和避免做除法运算。
4、结果的近似数要求是一位小数，中间计算的结果应多一位小数。
六．课作。
练习册
24.4解直角三角形（2）
教学目标：分清仰角、俯角等概念的意义，准确把握这些概念从而会把实际问题转化为解直角三角形问题来解决．
教学重点：仰角、俯角、方位角等概念
教学难点：解与此有关的问题
教学过程：
仰角、俯角的概念：
几个概念 1.铅垂线
2.水平线
3.视线
4.仰角：视线在水平线的上方，视线与水平线的夹角.
5.俯角：视线在水平线的下方，视线与水平线的夹角.
练习：1.由A测得B的仰角为36°，由B去测A时的俯角为 .
2.一棵树AC在地面上的影子BC为10米，在树影一端B测得树顶A的俯角为
45°，则树高 米；若仰角为60°，树高 米.（精确到1米）
应用
书P114例3
补 例2如图，线段AB、CD分别表示甲、乙两幢楼，AB⊥CD，CD⊥BD，从甲楼顶A测乙楼顶C的仰角=30°，已知甲楼高15米，两楼水平距离为24米，求乙楼高.。
解：Rt△ACE中，CE==8m，∴CD=CE+DE=CE+AB=（8+15）（米）答：乙楼高为（8+15）米.
三、引申提高：
例3.如图，为了测量顶部不能达 ( http: / / www.21cnjy.com )到的建筑物AB的高度，现在地平面上取一点C，用测量仪测得A点的仰角为45°，再向前进20米取一点D，使点D在BC延长线上，此时测得A的仰角为30°，已知测量仪的高为1.5米，求建筑物AB的高度.
解：在Rt△AEG中，EG==AG，在Rt△AFG中，
FG==AG∴EF=FE－EG=（－1）AG=20，
∴AG=+11.5（米）
答：建筑物AB的高度为（+11.5）米.
说明：解此类问题的关键是建立实际问题的 ( http: / / www.21cnjy.com )数学模型，即构建Rt△.必要时可添加适当的辅助线，解题时应选择适当的关系式进行解题，并按照题目中的要求进行近似计算.
变式：若点E在FG的延长线上，且∠AEG=45°，已知FE的长度，其他条件不变，如何求建筑物AB的高度？
例4.如图，在一座山的山顶处用高为1米的测顶器望地面C、D两点，测得俯角分别为
60°和45°，若已知DC长为20㎝，求山高.
分析：已知∠FAD=45°，∠FAC=60°，要求山高，只需求AE.
解；设AE=，在Rt△ADE中，，
在R△ACE中，，DC=DE－CE==20，
∴，∴BE=AE－AB=29＋10，
∴山高为（29+10）米.
四．巩固练习.
了解仰角、俯角的概念.
学会几何建模，通过解Rt△求解.
五、小结与扩展
教师请学生总结：在这类实际应用题中，都是直 ( http: / / www.21cnjy.com )接或间接地把问题放在直角三角形中，虽然有一些专业术语，但要明确各术语指的什么元素，要善于发现直角三角形，用三角函数等知识解决问题．
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案。
六．课作.
24．4解直角三角形（3）
教学目标：弄清铅垂高度、水平长度、坡高（或坡比）、坡角等概念；
教学重点：理解坡度和坡角的概念
教学难点：利用坡度和坡角等条件，解决有关的实际问题
教学过程：
一、复习提问：
什么叫仰角、俯角？
二、坡度、坡角的概念
几个概念：
1、铅垂高度
2、水平长度
3、坡度（坡比）:坡面的铅垂高度和水平长度的比一般用i表示。即
4、坡角：坡面与水平面的夹角.
引导学生结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？
显然，坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡。
练习：1、沿山坡前进10米，相应升高5米，则山坡坡度 ，坡角
例1、书P115 例4
例2、如图，水库堤坝的横断面成梯形ABCD,DC∥AB,迎水坡AD长为米，上底DC长为2米，背水坡BC长也为2米，又测得∠DAB=30°,∠CBA=60°,求下底AB的长.
解：过D、C分别作DE⊥AB于E,CF⊥AB于F,
在直角△ADE中,∠A=30°，AD=
∴DE=AD sin30°=,AE=AD cos30°=3.
在直角△CBF中,BF=BC cos60°=1
∴AB=AE+EF+BF=3+2+1=6
答：下底的长为6米。
思考：延长两腰或平移一腰能求出下底的长吗？
说明：以上解法体现了“转化”思想，把梯形的有关问题转化为解直角三角形可多角度的分析，添加辅助线，灵活、恰当地构造直角三角形，使解法合理化。
例3.铁道路基的横断面是等腰梯形,其尺寸如图所示,其中=1:1.5是坡度每修1m长的这种路基,需要土石多少立方
解:过A、D分别作AE⊥BC于E,DF⊥BC于F.则AE=DF=1.2m.
∵=1:1.5.ABCD为等腰梯形.
∴BE=CF=1.8m
∴BC=1.8+10+1.8=13.6m
∴SABCD=㎡
∴V=1×14.16=14.16
答:需要土面14.16立方米。
三、引申提高：
例4.沿水库拦水坝的背水坡,将坝顶加宽2m,坡度由原来的1:2改为1:2.5,已知坝高6m,坝长50m,求：
加宽部分横断面的面积
完成这一工程需要的土方是多少？
分析：加宽部分的横断面AFEB为梯形，故通过
作梯形的高构造直角三角形，利用坡度的变化求解。
解：①设梯形ABCD为原大坝的横截面图，梯形AFEB为加宽部分，
过A、F分别作AG⊥BC于G，FH⊥BC于H，
在直角△ABG中，由AG=6,得BG=12
在直角△EFH中,由FH=6,得EH=15
∴EB=EH-BH=EH－(BG－HG)=15－(12－2)=5
∴SAFEB=㎡
②V=50×SAFEB=21×50=1050
四、巩固练习
P116 练习
五、课时小结
理解坡度、坡角的概念
在复杂图形中求解时要结合图形，理解题意，运用所学知识通过构造直角三角形求解。
六、作业
1、在坡度为1：1.5的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为6m，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为（ ）．
A．4m B．2m C．3m D．4m
2、一斜坡的坡、面的余弦为，则坡度 。
3、堤坝横断面是等腰梯形，（如图所示）
若AB=10,CD=4,高h=4，则坡度= , AD=
②若AB=10,CD=4 ,,则 ，
4、某斜坡的坡度为i=1：，则该斜坡的坡角为______度．
5、以下对坡度的描述正确的是（ ）．
A．坡度是指斜坡与水平线夹角的度数;
B．坡度是指斜坡的铅直高度与水平宽度的比;
C．坡度是指斜坡的水平宽度与铅直高度的比;
D．坡度是指倾斜角的度数
6、某人沿坡度为i=1：的山路行了20m，则该人升高了（ ）．
A．20m B．m
7、斜坡长为100m，它的垂直高度为60m，则坡度i等于（ ）．
A． B． C．1： D．1：0.75
24.4解直角三角形（4）
教学目标：综合运用所学的知识，通过添加适当的辅助线来构造Rt△,从而解决较复杂的实际问题。
教学重点难点:利用前面所学知识，解决教复杂的实际问题
教学过程：一、解直角三角形的基本类型和方法
在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那么已知了什么样的条件的直角三角形才可解呢？
解直角三角形跟直角三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的判定与作图有着本质的联系．除直角以外，已知两个元素（至少有一个是边）则可作出此直角三角形，即此直角三角形是确定的，所以这样的直角三角形是可解的．由于已知两个锐角的直角三角形是不确定的，它们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出各边的长．所以，要解直角三角形，给出的除直角外的两个元素中，必须至少有一个是边．由此可得，解直角三角形就分为两大类，一类为：已知一条边及一个锐角，二类为：已知两条边：
二、明确解直角三角形的依据和思路
在Rt△ABC中，∠C＝90°，设三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则解直角三角形的主要依据是：
（1）边角之间的关系：
sinA＝cosB＝， cosA＝sinB＝，tanA＝cotB＝，cotA＝tanB＝．
（2）两锐角之间的关系：A＋B＝90°．
（3）三条边之间的关系：．
（4）三角形面积：．
（5）同角三角函数的关系： 平方关系：；
商数关系：，；倒数关系：
以上每个边角关系式都可看作方程， ( http: / / www.21cnjy.com )解直角三角形及应用的思路，就是根据已知条件，正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解一元方程来求解．
一、复习、练习
1.Rt△ABC中，∠C=90°,CD⊥AB于D,若AD=2，CD=4,则tanB=
2.Rt△ABC中，∠A=90°,sinB=,c=2,则b= 。
3.Rt△ABC中，∠C=90°，斜边上中线CD=3，AC=3.6，tan∠DCB= 。
二、应用
如图△ABC中，∠B=45°，∠C=60，AD⊥BC于D，AD=2，
求：（1）BC的长 （2）S
解：（1）∵AD⊥BC，∠B=45°，∠C=60°，AD=2
∴BD=2，CD= ∴BC=2+
（2）∴S=×2×（2+）=2+
如图，为调整数学格局，充分发挥资源优势 ( http: / / www.21cnjy.com )，现将地处A、B两地的两所技校合并成职业技术教育中心，为方便A、B两校师生的交往，学校准备在相距5千米的A、B两地修筑一条笔直公路AB，经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的西偏北45°方向的C处有一半径为1.8千米的湖泊，问计划修筑的这条公路会不会穿过湖泊？
分析：要想知道公路会不会穿过湖泊，就必须知道点C到AB的距离是否大于1.8千米。
解：过C作CD⊥AB于D
由题意知∠CAD=30°，在Rt△ACD中，AD=，在Rt△BCD中，同理可得CD=DB，∴AB=AD+BD=（+1）CD=5，∴CD≈1.84（千米）＞1.8千米
答：计划修筑的这条公路不会穿过湖泊。
如图，河对岸有一电线杆CD，从A点测得电线杆顶端的仰角为18°，前进30米，到B处测得D点的仰角为36°，求电线杆的高度（精确到0.1米）
解：∵∠ADB=∠DBC-∠A=36°-18°=18°=∠A，∴DB=AB=30，
在Rt△ABC中，CD=≈17.6（米）
答：电线杆的高度约为17.6米。
例4、Rt△ABC中，∠C＝90°，已知a＝10，，解这个直角三角形．
三、引申提高：
例5、如图，A城气象部门测得今年第9号台 ( http: / / www.21cnjy.com )风上午8时在A城南偏东30°的海面生成，并以每小时40海里的速度向正北方向移动，上午10时测得台风中心移到了A城南偏东45°的方向，若台风中心120海里的范围内将受台风影响，问A城是否会受9号台风影响？
分析：A城是否会受台风影响，就是A城到台风移动路线BC的距离是否大于120千米。
解：过A作AE⊥BC于E，设AE=EC=，则BE=，
∵BC=2×40=80，∴BC=BE-CE=（-1）=80，
∴≈109.2＜120，
∴A城会受台风影响。
例6、一座五星级宾馆A附近有一条马路为直线,现有一辆大型货车由B处沿直线往C方向行驶，测得米，如果货车周围100米内建筑将受噪声影响，试问货车在行驶过程中宾馆A是否受噪声影响？
（1）如果受噪声影响，请指出受影响的路段。
（2）如果货车的速度每分钟800米，求出宾馆受噪声影响的时间。
（3）为减少或消除噪声对宾馆的影响，你有什么合理的整改建议？
解：（1）过点A作AD垂直于BC，垂足为D
米
在中能解得AD=80米<100米，所以受噪声影响，
以点A为圆心，100米为半径画圆弧分别交BC与E，F两点，线段EF即为受影响的路段。
（2）在中，由勾股定理求出ED=60米，EF=2ED=120米，分钟=40秒
答：宾馆受噪声影响的时间为40秒。
（3） 1. 安装隔音板
2．高楼与马路之间种植绿化。
3．受影响的路段改为地下通道等
三、巩固练习、
1、如图，在等腰三角形ABC中，底边BC为5，α是底角且tanα＝，求AC．
2、一艘船以32.2海里／小时的速度向正北航行，在A处看见了灯塔S在船的北偏东
20°，半小时后，航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65°，求灯塔S 和B处的距离．
（精确到0.1海里）
四、课时小结
运用所学知识解决实际问题，学会几何建模，通过解Rt△求解
五、课作3、如图，一水坝横断面为等腰梯形ABCD，斜边AB的坡度为1∶，坡面AB的水平宽度为3米，上底AD宽为4米，求坡角∠B，坝高AE和坝底BC的宽（精确到0.1米）
DDDD
1
MODE
MODE
＝
0 1 11
41
0 1 11
52
0 1 11
63
Sin
D
＝
0 1 11
45
0 1 11
70
tan
÷
1
D
SHIFT
.
Tan-1
0
7
4
1
＝
0
0 1 11
SHITFT