第4章图形的初步认识复习课件

课件163张PPT。华师版七上数学期末复习导学课件
第4章 9课时导学+阶段复习第4章　图形的初步认识
4.1　生活中的立体图形一、常见几何体的特征无三平曲平平行四边形一两平曲三角形曲二、多面体:每个面都是___的立体图形.
三、几何体的分类
1.棱柱和圆柱统称为_____.
2.棱锥和圆锥统称为_____.
3._____.平柱体锥体球体【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.柱体的上、下两个面不一样大.　( )
2.圆柱有两个底面,形状大小都相同.　( )
3.棱柱的底面不一定是四边形.　( )
4.圆柱的侧面是平面.　( )
5.棱锥的侧面不一定是三角形.　( )
6.柱体都是多面体.　( )×√√×××知识点 常见的几何体
【示范题】(2014·芜湖模拟)将下列几何体分类. 【思路点拨】因为分类标准不统一,可以按柱体、锥体和球进行分类,也可以按平面和曲面进行分类,方法不同,答案不同,只要合理即可.
【自主解答】答案不唯一,如
(1)柱体:正方体,圆柱,长方体.
(2)锥体:圆锥,三棱锥.
(3)球体:球.【想一想】
圆柱与棱柱的相同点与不同点是什么?
提示:相同点:都有两个底面,且底面形状、大小完全相同.
不同点:圆柱底面是圆,棱柱底面是多边形;圆柱侧面是曲面,棱柱侧面是由几个平面围成的,且每个平面都是平行四边形.【微点拨】常见立体图形的组成
1.圆柱:由三个面组成,上、下两个底面是半径相同的圆,侧面是曲面.
2.棱柱:棱柱分为直棱柱和斜棱柱,一般只讨论直棱柱,其上下两个面为形状、大小相同的多边形,其余各面均为长方形,底面为n边形的棱柱叫n棱柱.
3.圆锥:由两个面围成,有一个底面是圆形,一个顶点,侧面为曲面.4.棱锥:由底面与侧面组成,底面为多边形,侧面为三角形,底面为n边形的棱锥叫n棱锥.
5.球:由一个曲面围成.
6.圆台:由三个面围成,上、下两个底面是大小不等的圆,侧面为曲面.【备选例题】如图所示的物体分别类似于哪些几何体?将这些几何体进行分类,并说明理由.【解题指南】按某一标准分类时,要做到不重不漏,分类标准不同时,分类的结果也不尽相同.而生活中常见几何体有三种分类:一种是按柱、锥、球体分类;一种是按平面和曲面分类;一种是按有、无顶点分类.【规范解答】图①类似于长方体,图②类似于圆锥,图③类似于圆柱,图④类似于球,图⑤类似于五棱柱,图⑥类似于四棱锥.
分类:
(1)可按是否有曲面分:图①⑤⑥一类,没有曲面;图②③④一类,有曲面.
(2)可按柱体、锥体、球体分类:图①③⑤一类,是柱体;图②⑥一类,是锥体;图④一类,是球体.
(3)可按是否有顶点分:图①②⑤⑥一类,有顶点;图③④一类,无顶点.【方法一点通】
常见几何体分类的“三种标准”
　　分类是数学中一种基本的思想方法,对几何体分类时,首先确定标准,分类的过程中标准要统一,且要不重不漏.
1.从形状方面,按柱、锥、球划分.
2.从面的方面,按组成面是平或曲划分.
3.从顶点方面,按有无顶点划分.4.2
立体图形的视图一、投影
1.中心投影:光线是从_____发出的投影.
2.平行投影:光线是_____的投影.
二、视图
视图是一种特殊的_________,其投影方向为正面、上面和侧面
(左面或右面)三种.一点平行平行投影三、三视图
1.主视图:从物体_____得到的投影.
2.俯视图:从物体_____得到的投影.
3.左视图:从物体_______得到的投影.正面上面左侧面【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.长方体的三视图都是长方形.　( )
2.一个立体图形的三视图是固定不变的.　( )
3.不同物体的主视图可能是一样的.　( )
4.正方体的三视图都是正方形.　( )
5.圆锥的俯视图是一个圆.　( )√×√××知识点一 由立体图形到三视图
【示范题1】画出如图所示的立体图形从正面、左面、上面看到的三视图.【思路点拨】根据三视图的画法:长对正、高平齐、宽相等作出即可.
【自主解答】【想一想】
同一个物体的三视图一定相同吗?
提示:物体摆放的位置不同,视图也会有所区别.如图所示的两个圆锥的主视图就不同.【微点拨】画三视图的“三点”注意事项
(1)长对正:从正面、上面观察,所得图形的长度相等.
(2)高平齐:从正面、侧面观察,所得图形的高度相等.
(3)宽相等:从侧面、上面观察,所得图形的宽度相等.【方法一点通】
画三视图的原则
1.位置:先画主视图,在主视图正下方画出俯视图,在主视图正右方画出左视图.
2.虚实:看得见部分的轮廓线画成实线,因被其他部分遮挡而看不见部分的轮廓线画成虚线.知识点二 由三视图到立体图形
【示范题2】(2013·沈阳中考)如图是一个几何体的三视图,这个几何体的名称是　(　　)
A.圆柱体　　　B.三棱柱　　　C.球体　　　D.圆锥体【思路点拨】【自主解答】选A.由主视图和左视图是同样大小的长方形及俯视图是圆形可知,该几何体是圆柱体.【想一想】
由三视图确定的立体图形是唯一的吗?
提示:由三视图所确定的立体图形不一定是唯一的.【备选例题】如图是一个工件的三视图,图中标有尺寸,则这个工件的体积是　(　　)
A.13πcm3　　　　 B.17πcm3　　　　
C.66πcm3　　　　 D.68πcm3【解析】选B.图中所示的工件是由两个圆柱构成的组合体,小
圆柱的直径为2cm,高为1cm;大圆柱的直径为4cm,高为4cm;小圆
柱的体积为 ·π×1=π(cm3),大圆柱的体积为 ·π×4
=16π(cm3),所以这个工件的体积是17πcm3.【方法一点通】
由三视图描述几何体的“三步法”
1.由图想体:根据三视图想象从三个方向看到的几何体的形状.
2.综合判断:根据三视图反映的几何体三个方向的空间特征,确定几何体的形状.
3.确定形状:根据“长对正、高平齐、宽相等”确定轮廓线的位置.4.3　立体图形的表面展开图
4.4　平面图形1.圆柱的侧面展开图是_______,圆锥的侧面展开图是_____.
2.沿着多面体的一些棱将它剪开,可以把多面体展开成一个
_________,这个平面图形叫做多面体的表面展开图.
3.圆是由_____围成的封闭图形;由_____围成的_____图形叫多
边形,按组成多边形的边的条数,多边形可分为_______、_____
___、_______等,其中_______是最基本的图形.长方形扇形平面图形线段封闭三角形四边形五边形三角形曲线【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.三棱锥的表面展开图只有一种.　( )
2.由四条线段组成的图形是四边形.　( )
3.所有的立体图形都能展成平面图形.　( )
4.六边形最少能分成4个三角形.　( )×××√知识点一 立体图形与平面图形的转化
【示范题1】如图是一个正方体的表面展开图,每个面上都标注了数字,请按要求回答问题:
(1)如果面1是几何体的上面,那么哪个面是几何体的下面?
(2)如果面3在前面,面4在左面,那么哪个面会在上面?【思路点拨】正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形,根据这一特点作答.
【自主解答】把展开图折成正方体后,1与4相对,2与5相对,3与6相对.
因此,(1)如果面1是几何体的上面,那么面4是几何体的下面.
(2)如果面3在前面,面4在左面,那么面2在上面.【想一想】
一个立体图形的展开图一定是唯一的吗?
提示:不一定唯一.【方法一点通】
用“间隔法”确定正方体展开图中的相对面
1.在同一层中,中间相隔一个面的一定是相对面.
2.在不同层中,中间相隔两个面的一定是相对面.知识点二 多边形及其分割
【示范题2】(2014·海口模拟)如图,从一个多边形的同一个顶点出发,分别连结这个顶点与其余各顶点,可以把这个多边形分割成若干个三角形.
(1)根据图甲的方法,把图乙的七边形分割成若干个三角形.(2)按图甲的方法,十二边形可以分割成几个三角形(只要求写出答案).【解题探究】1.观察图甲,从四边形,五边形,六边形的一个顶点出发分别能分割成多少个三角形?
提示:四边形分割成2个三角形,五边形分割成3个三角形,六边形分割成4个三角形.
2.寻找规律,从n边形的一个顶点出发能将n边形分割成多少个三角形?
提示:n-2个三角形【尝试解答】(1)如图所示.
(2)按图甲的方法,十二边形可以分割成10个三角形.【想一想】
多边形的分割方式唯一吗?
提示:不唯一,从不同的顶点进行分割,所得到的方式不同.【备选例题】阅读材料:多边形边上或内部的一点与多边形各顶点的连线,将多边形分割成若干个小三角形.如图1给出了四边形的具体分割方法,分别将四边形分成了2个、3个、4个小三角形.
请你按照上述方法将图2中的六边形进行分割,并写出得到的小三角形的个数.【解析】①连结六边形一个顶点和其他各顶点,共分成了4个小三角形;
②连结六边形某一边上一点和这点所在边之外的各顶点,共分成了5个小三角形;
③连结六边形内部一点和各顶点,共分成了6个小三角形.【微点拨】
分割成的三角形个数与多边形边数的关系
(1)由一个顶点出发分割:若边数为n,则三角形有(n-2)个,即边数-三角形个数=2.
(2)由边上一点出发分割:若边数为n,则三角形有(n-1)个,即边数-三角形个数=1.
(3)由内部一点出发分割:边数=三角形个数.【方法一点通】
多边形分割成三角形的“三种方法”
1.由一个顶点出发,如图(1),即由一个顶点出发引对角线分割.
2.由内部一点出发,如图(2),即由多边形内部一点出发,分别连结这点与多边形顶点分割.
3.由边上一点出发,如图(3),即由边上一点出发,连结这点与这点所在的边之外的顶点分割.4.5　最基本的图形——点和线
1.点　和　线一、点和线的概念
1.点:点通常表示一个物体的_____,一般用一个_________表示.
2.线段:一根拉紧的绳子,一根竹竿,人行横道线都给我们以线
段的形象.
3.射线:_____向_____无限延伸.
4.直线:_____向_____无限延伸所形成的图形.位置大写字母线段一方线段两方二、直线、射线、线段的区别与联系
1.区别:(1)线段有___个端点,_____度量.
(2)射线有___个端点,_______度量.
(3)直线_____端点,_______度量.
2.联系:射线、线段都是_____的一部分.
三、基本事实
基本事实一:两点确定_____直线.
基本事实二:两点之间_____最短.两可以一不可以没有不可以直线一条线段【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.线段有两个端点,射线有一个端点,直线没有端点.　( )
2.直线AB长100000m.　( )
3.射线比直线短一半.　( )
4.延长直线AB.　( )
5.经过两个点只能画一条直线.　( )√×××√知识点一 直线、射线、线段的表示方法
【示范题1】如图所示,点A,B,C在直线m上,
(1)请写出图中所有的线段和直线的名称.
(2)请写出能用图中的字母表示的射线.
【思路点拨】先找出图中的线段、射线和直线,再用字母表示出来.【自主解答】(1)共有三条线段,分别为线段AB,线段AC,线段BC.有一条直线,可表示为直线AB或直线AC或直线BC或直线m.
(2)以A为端点的射线为射线AB或射线AC.
以B为端点的射线为射线BA和射线BC.
以C为端点的射线为射线CB或射线CA.【想一想】
用两个大写字母表示直线时,字母有没有先后顺序?射线呢?线段呢?
提示:用两个大写字母表示直线和线段时,字母没有先后顺序,而表示射线时,需将端点字母放在前面.【微点拨】
　　射线和线段都是直线的一部分,射线向另一个方向延伸就得到直线,线段向两方无限延伸就可以得到直线.【方法一点通】
直线、射线、线段的表示方法
1.直线的表示方法:
(1)两个大写字母表示:任选直线上两点表示,无顺序要求,切记不可重复.
(2)用一个小写字母表示,如直线m.2.射线的表示方法:
只能用两个大写字母表示,端点字母在前,方向字母在后.
3.线段的表示方法:
(1)一个小写字母表示.
(2)线段有两个端点,用两个大写字母表示时,无顺序要求.知识点二 线段和直线性质的应用
【示范题2】已知在平面上有四个点A,B,C,D,过其中两个点画直线,一共可以画出多少条?【解题探究】1.平面上几个点可以确定一条直线?
提示:两个点可以确定一条直线.
2.平面上的四个点会存在几种位置关系?
提示:(1)四个点在同一条直线上.(2)其中三个点在同一条直线上.(3)任意三点不共线.【尝试解答】分三种情况:(1)如图(1)所示,当四个点在同一条直线上时,只能画出1条直线AD.
(2)如图(2)所示,当其中的三个点在同一条直线上时,可以画出4条直线:直线AB,直线AC,直线AD,直线BD.
(3)如图(3)所示,当四个点中的任意三个点都不在同一条直线上时,可以画出6条直线:直线AB,直线AC,直线AD,直线BD,直线BC,直线CD.【想一想】
过n个点最多可以作多少条直线？
提示：过两个点可作 条直线；过三个点最多可作
条直线；过四个点最多可作 条直线……
过n个点最多可作 条直线.【备选例题】如图,直线MN表示一条铁路,铁路两旁各有一点A,B表示工厂,现要在靠近铁路处建立一个货站C,使C到A,B两厂的距离之和最小,问这个货站C应建立在何处?(请找出C点的位置并说明理由)【自主解答】要使货站C到A,B两厂的距离之和最小,显然货站C在A,B的连线上,而货站必须在靠近铁路处,因此货站C应是连结A和B两厂的线段与直线MN的交点.连结AB交直线MN于点C,则点C就是货站的位置,如图.【方法一点通】
直线性质的“两层含义”
1.存在性:经过两点有一条直线.
2.唯一性:经过两点的直线是“独一无二”的.
注意:在运用该性质时,往往只注意到存在性,而忽略了唯一性,使判断出现错误.2.线段的长短比较一、比较两条线段AB,CD长短的方法
1._______:用刻度尺量出它们的长度比较.
2.叠合法:
(1)将线段AB放到线段CD上,让点A与点C_____;
(2)若端点B与端点D重合,则线段AB_____线段CD,可以记作______;
若端点B落在线段CD内,则线段AB比线段CD___,可以记作______;
若端点B落在线段CD外,则线段AB比线段CD___,可以记作______.度量法重合等于AB=CD短ABCD二、线段的中点
把一条线段分成两条_____线段的点,叫做这条线段的中点.
点C为线段AB的中点,表示为:
AC=BC=__AB,AB=__AC=__BC.相等22【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.比较两条线段a与b的长度可以用叠合法,如果两条线段叠
合在一起,线段a的一个端点落在另一条线段b内,则说明a 　( )
2.度量法比较两条线段的长度是有误差的.　( )
3.若AC=BC,则C是AB的中点.　( )
4.在线段AB上,AC=BC,则C是AB的中点.　( )
5.若C是AB的中点,则AC= AB.　( )×√×√√知识点一 线段的长短比较
【示范题1】如图所示,(1)试用度量法比较图①中线段AB,BC,AC的长短.
(2)用圆规比较图②中线段AE,DE的长短.【思路点拨】(1)用度量法比较图①中三条线段的长度→用刻度尺测量各线段的长度→比较线段的大小.
(2)用叠合法比较图②中两条线段的长短→用圆规截取AE的长度→与ED重叠→比较线段的大小.
【自主解答】(1)用直尺测量图①中的线段可得AB(2)以E为圆心,AE的长为半径作弧,与线段DE有交点,故知线段AE的长度小于线段DE的长度,即AE利用叠合法比较线段长短时,只要线段的一组端点重合,这两条线段的长度就相等吗?
提示:不是,一组端点重合,另一组端点也重合的两条线段的长度才相等.【备选例题】如图所示,已知线段a,b(a>b),画一条线段,使它等于2a-2b.【解析】如图所示:
(1)作射线AF.
(2)在射线AF上顺次截取AB=BC=a.
(3)在线段AC上顺次截取AD=DE=b,则线段EC就是所要求作的线段.【方法一点通】
比较线段大小的“两点注意”
1.线段是一个几何图形,而线段的长度是一个正数,二者是有区别的,不能混淆.
2.线段的大小关系与其长度的大小关系是一致的.知识点二 线段的有关计算
【示范题2】如图,长为12cm的线段AB的中点为M,C将线段MB分为MC∶MB=1∶3,求线段AC的长.
【教你解题】【想一想】
如果AC=BC,那么点C是线段AB的中点吗?
提示:不一定.当点C在线段AB上时是线段AB的中点;当点C不在线段AB上时则不是线段AB的中点.【备选例题】如图,AC=CD=DE=EB,图中和线段AD长度相等的线段是　　　　　　,以D为中点的线段是　　　　　　　　.
【解析】因为AC=CD=DE=EB,所以AD=BD=CE,点D是线段AB和线段CE的中点.
答案:BD,CE　AB,CE【方法一点通】
从“数”“形”两个角度理解线段的中点
1.由形到数:若点M是线段AB的中点,则AB=2AM=2BM,AM=BM= AB.
2.由数到形:若点M在线段AB上,且AB=2AM=2BM或AM=BM= AB,则
点M是线段AB的中点.4.6　角
1.角一、角的概念及表示方法
1.概念:
(1)几何描述:由_____________________组成的图形叫做角.两
条射线的公共端点是这个角的_____.
(2)动态描述:角也可以看成是由_________绕着它的_____旋转
而成的图形.两条有公共端点的射线顶点一条射线端点(3)平角:当射线旋转到终边与始边成_________时,所成的角叫
做平角.
(4)周角:当射线旋转到终边与始边_________时,所成的角叫做
周角.一条直线再次重合2.角的表示方法:
(1)用三个大写字母表示.如图(1),记作:_____________.
(2)用一个大写字母表示.如图(2),记作:____.
(3)用数字表示.如图(3),记作:____.
(4)用希腊字母表示.如图(4),记作:_____.∠AOB或∠BOA∠O∠1∠α3.角的大小的描述:
角的大小与边的长短没有关系,与两条射线张开的程度有关.单
位与时间的单位类似,为度、分、秒,是_____进制的.
1°=____,1'=_____.
二、方位角
物体运动的方向与_____方向之间的夹角称为_______,有时以
_____、_____方向为基准,描述物体运动的方向.六十60'60″正北方位角正北正南【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.角是由一条射线绕其端点旋转而成的.　( )
2.角的度数越大,它的边越长.　( )
3.由两条射线组成的图形叫做角.　( )
4.平角就是一条直线.　( )
5.周角就是一条射线.　( )√××××知识点一 角的识别与表示
【示范题1】写出如图所示的符合下列条件的角(图中所有的角指小于平角的角).
(1)能用一个大写字母表示的角.
(2)以A为顶点的角.
(3)图中所有的角(可用简便方法表示).【思路点拨】图中有两顶点处只有一个角,它们是顶点B和顶点C;而顶点A处有三个角;图中小于平角的角有7个.
【自主解答】(1)能用一个大写字母表示的角有∠B和∠C.
(2)以A为顶点的角有∠1或∠CAD、∠2或∠BAD、∠CAB.
(3)图中所有的角有∠1,∠2,∠CAB,∠B,∠C,∠3,∠4.【想一想】
图中以A为顶点的角有几个?
提示:3个,分别是∠1,∠BAD,∠BAC.【方法一点通】
角的表示方法的“三点注意”
1.用三个字母表示角时,顶点字母必须写在中间.
2.用一个字母表示角时,顶点处必须只有一个角.
3.用数字或希腊字母表示角时,必须在相应角的内部加弧线及数字或希腊字母.知识点二 角的度、分、秒的换算
【示范题2】(1)把25.72°分别用度、分、秒表示.(2)把45°12'30″化成度.
【思路点拨】(1)把不足1度的化为分→把不足1分的化为秒.
(2)把秒化为分→加上原来的分,再化为度.【自主解答】(1)0.72°=0.72×60′=43.2′,0.2′=0.2×60″=12″,
所以25.72°=25°43′12″.
(2)30″=30× =0.5′,12.5′=12.5× ≈0.21°,
所以45°12′30″≈45.21°. 【想一想】
25.36°与25°36′哪个角大?
提示:因为25°36′=25.6°,所以25°36′大.【微点拨】角的单位换算的技巧
1.把度化为度、分、秒时,必须把不足1度的部分化为分,再把不足1分的部分化为秒,每步均要乘以60;
2.把度、分、秒化为度时,必须把秒化为分,加上原有的分,再化为度,每步要除以60.【方法一点通】
角的度数换算的“两种情况”
1.把度化成度、分、秒的形式,即从高单位向低单位转化,相邻两个单位之间应该乘以60.
2.把度、分、秒化成度的形式,即从低单位向高单位转化,相邻两个单位之间应该除以60.2.角的比较和运算一、比较两个角的大小的方法
1.度量法:用_______分别量出角的度数,然后比较它们的大小.
2.叠合法:把两个角叠合在一起比较大小.顶点与顶点重合,其
中一边重合,另一边在重合边的___侧.量角器同二、画一个角等于已知角
已知:如图∠AOB.
求作∠A′O′B′,使∠A′O′B′=∠AOB.
第一步:画射线O′A′;
第二步:以点__为圆心,以_______为半径画弧,交___于点C,交
OB于点D;
第三步:以点____为圆心,以___长为半径画弧,交_______于点C';
第四步:以点____为圆心,以___长为半径画弧,交前一条弧于点D';
第五步:经过点D′画射线O′B′,∠A′O′B′就是所要画的角.适当长OAO′OCO′A′C′CDO三、角的平分线
1.定义:从一个角的_____引出的一条射线,把这个角分成两个
_____的角,这条射线叫做这个角的平分线.
2.符号表示:
如图,OC是∠AOB的平分线,
则∠AOC=∠COB=__∠AOB,
∠AOB=__∠AOC=__∠COB.顶点相等22【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.两个锐角的和一定是锐角.　( )
2.如果两个角都是钝角,那么这两个角相等.　( )
3.平分一个角的射线叫做角的平分线.　( )
4.小于直角的角是锐角.　( )
5.大于直角的角是钝角.　( )
6.角的大小与它们的度数大小是一致的.　( )
7.若∠A+∠B>∠C,那么∠A一定大于∠C.　( )×××√×√×知识点一 角的比较
【示范题1】
如图所示,∠AOF是一个平角,∠AOM是一个直角.
根据图示,比较∠AOB,∠AOC,∠AOM,∠AOD,∠AOE,
∠AOF的大小,并找出图中的两个锐角、两个钝角.【解题探究】
1.比较两个角的大小有几种方法?本题应选择哪一种?
提示:比较两个角的大小有度量法和叠合法两种,本题中要比较的角有一条公共边,适合用叠合法比较.
2.如何比较本题中角的大小?
提示:由图可知,这些角有一条公共边OA,通过另一边在一个角的内部还是外部,在一个角的内部时,小于这个角,在一个角的外部时,大于这个角.【尝试解答】由图可知,要比较的这些角有一条公共边OA,利用叠合法比较,可得∠AOB<∠AOC<∠AOM<∠AOD<∠AOE<∠AOF.
两个锐角为∠AOB,∠AOC,两个钝角为∠AOD,∠AOE.【想一想】
借助三角板作出的角有怎样的规律?
提示:作出的角的度数都是15°的整数倍.【备选例题】如图,一副三角板的两个直角顶点重合在一起,
(1)比较∠EOM和∠FON的大小,并说明为什么?
(2)∠EON与∠FOM的和是多少度?为什么?
【解析】(1)由三角板可知∠EOM+∠FOM=90°,∠FOM+∠FON=90°,所以∠EOM=∠FON.
(2)因为∠EON=∠EOM+∠FOM+∠FON,
所以∠EON+∠FOM=∠EOM+∠FOM+∠FON+∠FOM
=90°+90°=180°.【方法一点通】
用叠合法比较角的大小的“三种情况”
(1)如果EF与BC重合,如图1,那么∠DEF=∠ABC.
(2)如果EF落在∠ABC的内部,如图2,那么∠DEF<∠ABC.
(3)如果EF落在∠ABC的外部,如图3,那么∠DEF>∠ABC.知识点二 角的平分线及相关计算
【示范题2】已知O是直线EF上一点,∠AOB=90°,
OE平分∠COB,∠COE=15°30′.求∠AOF的度数.
【思路点拨】OE平分∠COB,∠COE=15°30′→
求∠BOE的度数,∠AOB=90°→求∠AOE的度数→∠AOF=180°-∠AOE.【自主解答】因为OE平分∠COB,
所以∠BOE=∠COE=15°30′.
因为∠AOB=90°,所以∠AOE=90°-∠BOE=90°-15°30′
=74°30′,
所以∠AOF=180°-∠AOE=180°-74°30′=105°30′.【想一想】
从角的顶点出发在角的内部的射线一定是角的平分线吗?
提示:不一定.只有当这条射线将这个角分成两个相等的角时,这条射线才是角的平分线.【备选例题】计算:(1)48°39′+67°45′.
(2)180°-87°19′42″.
(3)32°17′×5.(4)27°56′24″÷3.
【解析】(1)48°39′+67°45′=115°84′=116°24′.
(2)180°-87°19′42″=179°59′60″-87°19′42″
=92°40′18″.
(3)32°17′×5=160°85′=161°25′.
(4)27°56′24″÷3=27°54′144″÷3=9°18′48″.【方法一点通】
角的平分线应用的“三种形式”
(1)写作两角相等的形式.
(2)写作一个角是另一个角的2倍的形式.
(3)写作一个角是另一个角一半的形式.3.余角和补角一、互余和互补的概念
1.互余:如果两个角的和等于_____(_____),就说这两个角互为
余角(简称互余),即其中一个角是另一个角的余角.
2.互补:如果两个角的和等于______(_____),就说这两个角互
为补角(简称互补),即其中一个角是另一个角的补角.90°直角180°平角二、余角和补角的性质
1.余角的性质:同角(等角)的余角_____.
2.补角的性质:同角(等角)的补角_____.相等相等【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.30°,70°与80°的和是一个平角,所以这三个角互补.( )
2.一个角的余角必为锐角.　( )
3.一个角的补角必为钝角.　( )
4.90°的角是余角.　( )
5.两角是否互补,既与其大小有关又与其位置有关.　( )×√×××知识点 余角和补角
【示范题】如图,A,O,B三点在一条直线上,∠AOC=∠DOE=90°,
(1)图中互余的角有哪些?
(2)相等的角有哪些(小于90°的角)?【思路点拨】(1)找出图中所有90°的角→找出两角之和等于90°的角→答案.
(2)利用余角的性质找相等的角.
【自主解答】(1)因为∠AOC=∠DOE=90°,
所以∠1+∠2=90°,∠3+∠2=90°,∠1+∠4=180°-∠DOE=90°.
又因为∠COB=180°-∠AOC=180°-90°=90°,
所以∠3+∠4=90°.
所以∠1与∠2互余、∠3与∠2互余、∠1与∠4互余、∠3与∠4互余.
(2)由同角的余角相等可得:∠1=∠3,∠2=∠4.【想一想】
任意一个角都有余角吗?
提示:只有锐角才有余角.【备选例题】如图所示,直线AB,CD相交于点O,且∠BOC=80°,
OE平分∠BOC.OF为OE的反向延长线.求∠2和∠3的度数,并说明
OF是否为∠AOD的平分线.【解析】因为∠BOC=80°,OE平分∠BOC,
所以∠1= ∠BOC= ×80°=40°.
又因为CD是直线,所以∠2+∠BOC=180°,所以∠2=180°-80°
=100°,
同理∠2+∠AOD=180°,∠1+∠2+∠3=180°.所以∠AOD=80°,
∠3=40°,
所以∠3= ∠AOD,所以OF是∠AOD的平分线.阶段复习课
第 4 章主题1 立体图形的视图
【主题训练1】(2013·鄂州中考)如图,由几个相同的小正方体搭成的一个几何体,它的左视图为　(　　)【自主解答】选A.从几何体左面看,可以看出有三列,左边第一列有两层,第二列、第三列都只有一层.【主题升华】
从不同方向看立体图形
1.从不同方向看立体图形看到的是一个平面图形.
2.画平面图形时,首先确定立体图形的形状,其次考虑它的大小.
3.能够看见的轮廓线用实线,看不见的轮廓线要用虚线表示出来.【备选例题】
(2013·梧州中考)如图,由四个正方体组成的图形,观察这个图形,不能得到的平面图形是　(　　)【解析】选D.选项A是从正面看到的视图(主视图),选项B是从上面看到的视图(俯视图),选项C是从左面看到的视图(左视图),根据视图中长对正,高平齐,宽相等的性质可还原该物体的几何图形.因此选项D是视图中所看不到的平面图形.1.(2013·滨州中考)如图所示的几何体是由若干个
大小相同的小正方体组成的.若从正上方看这个几
何体,则所看到的平面图形是　(　　)
【解析】选A.根据几何体可得从正上方看这个几何体,则所看到的平面图形是从左往右有2列,正方形的个数依次为1,2.2.(2013·遂宁中考)左图所示的是三通管的立体图,则这个几何体的俯视图是　(　　)
【解析】选A.因为从上面看三通管时,只看到一个长方形和一个圆,圆在长方形正中间,所以这个几何体的俯视图是A.3.(2013·凉山州中考)下面是一个几何体的三视图,则这个几何体的形状是　(　　)
A.圆柱　　　B.圆锥　　　C.圆台　　　D.三棱柱
【解析】选B.根据俯视图可得该几何体的底面是圆,再根据主视图和左视图都是三角形可得该几何体是圆锥.4.(2013·广东中考)下列四个几何体中,俯视图为四边形的
是　(　　)
【解析】选D.从A到D,俯视图分别为五边形,三角形,圆和正方形,只有正方形是四边形.5.(2013·临沂中考)如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的侧面积是　(　　)
A. 12πcm2 B.8πcm2 C.6πcm2 D.3πcm2【解析】选C.由题意得几何体为圆柱体,圆柱体的侧面展开图为长方形,由三视图得,长方形的长和宽分别为2πcm和3cm,所以圆柱体的侧面积为:3×2π=6πcm2.故选C.主题2 立体图形及其表面展开图
【主题训练2】(2013·巴中中考)如图是一个
正方体的表面展开图,则原正方体中“梦”字
所在的面相对的面上标的字是　(　　)
A.大　　　　B.伟　　　　C.国　　　　D.的
【自主解答】选D.利用正方体及其表面展开图的特点.正方体的表面展开图,共有六个面,其中面“伟”与面“国”相对,面“大”与面“中”相对,面“的”与面“梦”相对.【主题升华】
立体图形的分类及辨别方法
1.基本的立体图形有柱体、锥体、球体.
2.根据立体图形表面形状的不同,柱体可分为圆柱、棱柱,锥体可分为圆锥、棱锥.其中棱柱和棱锥各面都是平面,也叫多面体.3.棱柱和棱锥的命名方法:
(1)可以根据底面的边数,底面是n边形,几何体为n棱柱或n棱锥.
(2)可以根据侧面的棱数,如果有n条,几何体为n棱柱或n棱锥.
(3)可以根据侧面的面数,如果有n个侧面,几何体为n棱柱或n棱锥.
4.这部分内容主要考查学生的空间想象能力,数学概念的形成及立体图形与表面展开图的关系.1.(2013·绵阳中考)把右图中的三棱柱展开,所得到的
展开图是　(　　)
【解析】选B.上、下两底面应在侧面展开图长方形的两侧的只有B,故选B.2.(2013·山西中考)如图是一个长方体包装盒,则它的平面展开图是　(　　)
【解析】选A.根据对面的判断规则只有A选项能找到三组对面,故选A.3.(2013·随州中考)如图是一个长方体形状包装盒的表面展
开图.折叠制作完成后得到长方体的容积是(包装材料厚度不
计)　(　　)
A.40×40×70 　　　B.70×70×80
C.80×80×40 　　　D.40×70×80【解析】选D.长方体的长、宽、高分别为70,40,80,所以长方体的容积为70×40×80.4.(2013·玉溪中考)如图是每个面上都有一个汉字的正方体
的一种平面展开图,那么在原正方体中和“国”字相对的面
是　(　　)
A.中　　　　B.钓　　　　C.鱼　　　　D.岛
【解析】选C.易得“中”相对的面是“的”,“钓”相对的面是“岛”,从而可得“国”相对的面是“鱼”,选C.5.(2013·仙桃中考)小明为了鼓励芦山地震灾区的学生早日走
出阴影,好好学习,制作了一个正方体礼盒(如图).礼盒每个面
上各有一个字,连起来组成“芦山学子加油”,其中“芦”的对
面是“学”,“加”的对面是“油”,则它的平面展开图可能是
　(　　)【解析】选D.A,B,C选项中的“加”和“油”是相邻的面,只有选项D中“加”和“油”是对面,满足题意的是选项D.【变式训练】
(2012·齐齐哈尔中考)小亮为今年参加中考的好友小杰制作了一个正方体礼品盒(如图),六个面上各有一个字,连起来就是“预祝中考成功”,其中“预”的对面是“中”,“成”的对面是“功”,则它的平面展开图可能是　(　　)【解析】选C.根据“预”的对面是“中”,“成”的对面是“功”,得到“祝”的对面是“考”,再根据位于同一行(或同一列),中间隔一个面的两个面一定是相对面,验证各选项,只有C项满足.主题3 直线、射线、线段
【主题训练3】(2012·菏泽中考)已知线段AB=8cm,在直线AB上画线段BC,使BC=3cm,则线段AC=　　　　　　.
【自主解答】由于是在直线AB上画线段BC,BC可能画在线段AB的外部,也可能画在线段AB上,所以AC=AB+BC=8+3=11(cm)或AC=AB-BC=8-3=5(cm).
答案:11cm或5cm【主题升华】
有关“直线、射线、线段”的数学思想
1.数形结合思想:在进行线段的有关计算中,往往结合图形来求解.
2.转化思想:在求立体图形中的最短问题时,一般转化为平面图形中的两点间的问题.
3.分类讨论问题:有关线段的计算时,往往要注意点在线段上或在线段外.【备选例题】
已知线段AB=10cm,直线AB上有一点C,且BC=2cm,点D是线段AB的中点,求线段DC的长.
【解析】(1)当点C在线段AB的外部时,如图1所示.
因为点D是线段AB的中点,所以BD= AB= ×10=5.
所以DC=DB+BC=5+2=7(cm).(2)当点C在线段AB的内部时,如图2所示.
因为点D是线段AB的中点,所以BD= AB= ×10=5.
所以DC=DB-BC=5-2=3(cm).1.(2012·葫芦岛中考)如图,C是线段AB上的一点,M是线段AC的中点,若AB=8 cm,BC=2 cm,则MC的长是　(　　)
A.2 cm　　　B.3 cm　　　C.4 cm　　　D.6 cm【解析】选B.由图可知AC=AB-BC=8-2=6(cm).
因为点M是AC的中点,
所以MC= AC=3 cm.2.(2012·永州中考)永州境内的潇水河畔有朝阳岩、柳子庙和迥龙塔三个名胜古迹(如图所示),其中柳子庙坐落在潇水之西的柳子街上,始建于1056年,是永州人民为纪念唐宋八大家之一的柳宗元而筑建.现有三位游客分别参观这三个景点,为了使这三位游客参观完景点后步行返回旅游车上所走的路程总和最短,那么旅游车等候这三位游客的最佳地点应在　(　　)
A.朝阳岩
B.柳子庙
C.迥龙塔
D.朝阳岩和迥龙塔这段路程的中间位置【解析】选B.用特殊值法.
设朝阳岩距离柳子庙的路程为5,柳子庙距离迥龙塔的路程为8,则迥龙塔距离朝阳岩的路程为13.
A.当旅游车停在朝阳岩时,总路程为5+13=18,
B.当旅游车停在柳子庙时,总路程为5+8=13,
C.当旅游车停在迥龙塔时,总路程为13+8=21,
D.当旅游车停在朝阳岩和迥龙塔这段路程的中间时,总路程大于13,所以路程最短的是旅游车停在柳子庙时.3.(2012·常德中考)若图1中的线段长为1,将此线段三等分,并以中间的一段为边作等边三角形,然后去掉这一段,得到图2,再将图2中的每一段类似变形,得到图3,按上述方法继续下去得到图4,则图4中的折线的总长度为　(　　)
A.2 B. C. D.【解析】选D.第一个线段长=1，
观察发现：第二个图形在第一个图形的长的基础上多了它的长
的 ，
同样，第三个图形在第二个图形的基础上，多了其长的 ，第
四个图形在第三个图形的基础上，多了其长的 .
所以第二个图形的折线的总长度为 ，第三个图形的
折线的总长度为 ；第四个图形的折线的总长度为主题4 角的比较与运算
【主题训练4】(2013·曲靖中考)如图,直线AB,CD相交于点O,若∠BOD =40°,OA平分∠COE,则∠AOE =　　　　　.【自主解答】∠BOD和∠BOC互为补角,∠BOC与∠AOC互为补角,根据同角的补角相等,可得∠AOC=∠BOD =40°,
又OA平分∠COE,所以∠AOE=∠AOC=40°.
答案:40°【主题升华】
角的比较与运算
1.互余、互补反映两角的特殊数量关系.
2.方位角中经常涉及两角的互余.
3.计算两角的和、差时要分清两角的位置关系.1.(2013·厦门中考)已知∠A=60°,则∠A的补角是　(　　)
A.160° B.120° C.60° D.30°
【解析】选B.根据互为补角的两个角之和等于180°,
则180°-60°=120°.2.(2013·湖州中考)把15°30′化成度的形式,则15°30′=
　　　　　度.
【解析】15°30′=15°+ =15.5°.
答案:15.53.(2013·义乌中考)把角度化为度、分的形式,则20.5°=
20°　　′.
【解析】因为1°=60′,所以0.5°=60′×0.5=30′.
答案:304.(2013·泉州中考)如图,∠AOB =90°,∠BOC =30°,则∠AOC =　　　　°.
【解析】因为∠AOB=90°,∠BOC=30°,所以∠AOC =∠AOB -∠BOC=60°.
答案:605.(2013·南宁中考)一副三角板如图所示放置,则∠AOB=
　　　　　°.
【解析】根据三角板的度数可得∠AOB=45°+60°=105°.
答案:105