中小学教育资源及组卷应用平台
人教A版（2019）选择性必修第一册第二章直线与圆的方程 培优卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．过两点，的直线在轴上的截距为（ ）
A． B． C． D．
2．直线，若，则实数的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．或1
3．若直线在轴、轴上的截距相等，且直线将圆的周长平分，则直线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
4．已知圆，直线l过点且倾斜角为，则“直线l与圆C相切”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若直线与圆相切，则（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
6．已知圆与圆的公共弦长为2，则m的值为（ ）
A． B． C． D．3
7．设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点在直线：上，过点的两条直线与圆：分别相切于两点，则圆心到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线斜率可能是（ ）
A．-2 B． C．1 D．
10．下列说法中，正确的有（ ）
A．点斜式=可以表示任何直线
B．直线在轴上的截距为-2
C．直线关于对称的直线方程是
D．点到直线的最大距离为2
11．圆和圆的交点为，则有（ ）
A．公共弦所在直线方程为
B．公共弦的长为
C．线段中垂线方程为
D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为
12．已知圆：与圆：相交于，两点，则（ ）
A．圆的圆心坐标为 B．当时，
C．当且时， D．当时，的最小值为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13． 两直线与平行，则的值是 ；
14．在平面直角坐标系中，等边三角形的边所在直线斜率为，则边所在直线斜率的一个可能值为 .
15．圆心在原点且与直线相切的圆的方程为 .
16．已知，过轴上一点分别作两圆的切线，切点分别是M，N，当取到最小值时，点坐标为 .
四、解答题（本题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知直线方程为.
（1）若直线的倾斜角为，求的值；
（2）若，直线分别与轴、轴交于两点，为坐标原点，求面积.
18．已知直线，．
（1）当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程；
（2）若坐标原点O到直线的距离为1，求实数的值．
19．在中，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线方程为，若点的坐标为.
（1）求点和点的坐标；
（2）求边上的高所在的直线的斜截式方程.
20．已知圆的圆心为，且经过点.
（1）求圆的标准方程；
（2）已知直线与圆相交于两点，求.
21．已知抛物线，圆是上异于原点的一点.
（1）设是上的一点，求的最小值；
（2）过点作的两条切线分别交于两点（异于）.若，求点的坐标.
22．已知圆.
（1）若圆上恰有三个点到直线(斜率存在)的距离为1，且在两坐标轴上的截距相等，求的方程.
（2）点为圆上任意一点，过点引单位圆的切线，切点试探究：平面内是否存在一点和固定常数，使得？
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
人教A版（2019）选择性必修第一册第二章直线与圆的方程 培优卷
（解析版）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．过两点，的直线在轴上的截距为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】过两点，的直线的为，
令，解得：，
故答案为：A.
2．直线，若，则实数的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．或1
【答案】C
【解析】当时 ， ，满足题意；
当时 ，直线斜率为 ，直线斜率为，由知当，解得。
故答案为：C
3．若直线在轴、轴上的截距相等，且直线将圆的周长平分，则直线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】圆化为：，
所以圆心为，半径为.
由直线将圆的周长平分，且在轴、轴上的截距相等，
所以直线经过圆心和原点或者直线经过圆心且斜率为，
所以直线的方程为或，即或.
故答案为：D.
4．已知圆，直线l过点且倾斜角为，则“直线l与圆C相切”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当直线斜率不存在时不满足题意，设直线：，即
直线与圆C相切时有圆心到直线距离，解得或，或，
"直线l与圆C相切”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B
5．若直线与圆相切，则（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【解析】解：圆可化为，
可知圆心为，半径，
由题意可得，即，解得.
故答案为：A.
6．已知圆与圆的公共弦长为2，则m的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【解析】解： 与圆联立可得，
根据题意可得，圆的标准方程为，
，
∴圆心为，半径为2，
圆心直线的的距离为，
，
整理可得，，
∴或（舍去）
故答案为：A.
7．设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 区域表示以圆心，半径为和半径为组成的圆环，
直线倾斜角不大于为如下阴影部分表示的区域，其中，结合对称性可得所求概率
故选：C.
8．已知点在直线：上，过点的两条直线与圆：分别相切于两点，则圆心到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【解析】由题意得：四点共圆，且圆的直径为，
设，则，
则的中点为圆心，圆心坐标为，半径为，
所以圆的方程为：，
整理得：，
将与相减得：，
故直线的方程为，
圆心到直线的距离，
因为，
所以，
当且仅当时，等号成立，
故.
故答案为：D
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线斜率可能是（ ）
A．-2 B． C．1 D．
【答案】A,C,D
【解析】当直线过点B时，设直线的倾斜角为，则
当直线过点A时，设直线的倾斜角为，则
故要使直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为：或
故答案为：ACD
10．下列说法中，正确的有（ ）
A．点斜式=可以表示任何直线
B．直线在轴上的截距为-2
C．直线关于对称的直线方程是
D．点到直线的最大距离为2
【答案】B,D
【解析】解：A、点斜式不能表示斜率不存在的直线，选项错误.
B、当时，直线在轴上的截距为-2，选项正确.
C、直线关于对称的直线方程是，选项错误.
D、点到直线过定点，所以最大距离为，选项正确.
答案为：BD.
11．圆和圆的交点为，则有（ ）
A．公共弦所在直线方程为
B．公共弦的长为
C．线段中垂线方程为
D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为
【答案】A,B,C
【解析】对于A，因为圆：和圆：的交点为，
作差得，所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为，A符合题意；
对于B，圆：的圆心为，半径，则圆心到直线的距离，
所以圆与圆的公共弦的长为，B符合题意；
对于C，因为圆心，，所在直线斜率为，
所以线段的中垂线的方程为，即，C符合题意；
对于D，由B易得，到直线的距离的最大值为，D不符合题意.
故答案为：ABC.
12．已知圆：与圆：相交于，两点，则（ ）
A．圆的圆心坐标为 B．当时，
C．当且时， D．当时，的最小值为
【答案】A,B,D
【解析】解：A、由题意知圆的圆心坐标为 ，A正确；
B、当 时，，由，即，解得 ，B正确；
C、 且 ，.
即，解得或，C错误；
D、，圆的直径为2，为圆的直径，
，即，
当时，最小为6，D正确.
故答案为：ABD.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13． 两直线与平行，则的值是 ；
【答案】-2
【解析】 解：①当a=0时，直线与不平行，不符合题意， 故；
②当时，根据两直线平行可得，
，解得，
但是，当a=2时，这两条直线为同一条直线，不符合题意；
故答案为：-2.
14．在平面直角坐标系中，等边三角形的边所在直线斜率为，则边所在直线斜率的一个可能值为 .
【答案】或
【解析】设直线的倾斜角为，由已知得，设直线的倾斜角为，
则，因为在等边三角形中，，所以，
当，，
所以
当，，
所以
综上，或，
故答案为：或
15．圆心在原点且与直线相切的圆的方程为 .
【答案】
【解析】由题意得：点（0，0）到直线x+y-4=0的距离等于半径，
即，
所以圆的方程为
16．已知，过轴上一点分别作两圆的切线，切点分别是M，N，当取到最小值时，点坐标为 .
【答案】
【解析】解：由题意可知：的圆心为，半径，的圆心为，半径，
设，则，表示点与点之间的距离，
，表示点与点之间的距离，
所以，
当且仅当P，A，B三点共线时取等号，
又因为直线AB的方程为：，
令，解得，所以.
故答案为： .
四、解答题（本题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知直线方程为.
（1）若直线的倾斜角为，求的值；
（2）若，直线分别与轴、轴交于两点，为坐标原点，求面积.
【答案】（1）解：直线方程为
因为直线的倾斜角为，
所以斜率，
（2）解：当时，，即，
当时，，
当时，，
所以，
所以的面积为.
18．已知直线，．
（1）当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程；
（2）若坐标原点O到直线的距离为1，求实数的值．
【答案】（1）解：当时，直线，
由，解得，
所以直线与的交点为，
由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
当时，，
当时，，
因为直线在两坐标轴上的截距相反，
所以，即，
解得或，
所以直线的方程为或，
即或，
（2）解：因为坐标原点O到直线的距离为1，直线，
所以，
化简得，解得或.
19．在中，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线方程为，若点的坐标为.
（1）求点和点的坐标；
（2）求边上的高所在的直线的斜截式方程.
【答案】（1）解：由已知应在边上的高所在直线与的角平分线所在直线的交点，
由，
得，故，
由，
所以所在直线方程为，
所在直线方程为，
由，得
所以点和点的坐标为，.
（2）解：由（1）知所在直线方程为，
所以直线的斜率为，
因为，
所以直线所在的方程为，即，
所以直线的斜截式方程为.
20．已知圆的圆心为，且经过点.
（1）求圆的标准方程；
（2）已知直线与圆相交于两点，求.
【答案】（1）解：因为圆的圆心为，且经过点，
所以圆的半径，
所以圆的标准方程为.
（2）解：由（1）知，圆的圆心为，半径，
所以圆心到直线的距离，
所以由垂径定理，得.
21．已知抛物线，圆是上异于原点的一点.
（1）设是上的一点，求的最小值；
（2）过点作的两条切线分别交于两点（异于）.若，求点的坐标.
【答案】（1）解：设，圆心，半径为，
，
所以当时，有最小值，
所以的最小值；
（2）解：由题设，切线斜率一定存在，设切线的斜率为，
所以切线的方程为：，
由圆的切线性质可知：
，
设，
，是方程的两个不相等实根，
因此，即，且，
所以由圆的切线性质知：，
，
所以的坐标为或.
22．已知圆.
（1）若圆上恰有三个点到直线(斜率存在)的距离为1，且在两坐标轴上的截距相等，求的方程.
（2）点为圆上任意一点，过点引单位圆的切线，切点试探究：平面内是否存在一点和固定常数，使得？
【答案】（1）解：圆标准方程为，圆心为，半径为，
圆上恰有三个点到直线(斜率存在)的距离为1，则圆心到直线的距离为，
由题意截距不为0时，设直线方程，所以，，
所以直线方程为．
截距为0时，设方程为，即，由，解得或，
直线方程为或，
综上，直线方程为或，．
（2）解：假设存在一点和固定常数，使得，设，，
由切线长公式得，
所以，
，又，
整理得：，这是关于的恒等式，
所以．显然，解得或．
所以存在满足题意的点和，，或，．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1
