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人教A版（2019）选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何（培优卷）
（解析版）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知空间向量，，若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】若，则，解得，
所以.
故答案为：A.
2．已知，，，则平面ABC的一个法向量可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，，令法向量为，则，
，可取.
故答案为：A.
3．已知是空间的一个基底，若，，则下列与，构成一组空间基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解：若 ， ，不能构成 一组空间基底 ，则， ，共面，
所以存在唯一实数，使得，
对A：因为，则，
整理得，所以，无解.
即， ，不共面，所以与构成一个基底，故A正确；
对B：因为，所以，故B错误；
对C：因为，所以，故C错误；
对D：因为 ，所以，故D错误.
故答案为：A.
4．已知空间中三点，，，那么点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：由题意得 ， ，，
点到直线的距离为.
故答案为：A.
5．两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，且两平面的一个法向量 ，则两平面间的距离是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，，且两平面的一个法向量两平面间的距离，
故答案为：B.
6．如图，在正方体中，为体对角线上一点，且，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以为原点，，，为，，轴建立坐标系，如图
则，，，，，
，，
，
.
故答案为：A
7．已知矩形为平面外一点，且平面，分别为上的点，，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】因为，
所以
，
故，故.
故答案为：B
8．在正方体中，动点P在线段上，点E是的中点，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：如图：
设正方体的边长为2，以D点为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，
则A(2，0，0)，E(2，1，0)，设平面的法向量为
令z=1可得x=1，y=-1，所以
设直线与平面所成的角为，则（当时等号成立）故D选项正确.
故答案为：D
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．在空间直角坐标系中，已知向量，.以下各组值中能使得的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B,C
【解析】向量，，于是当且仅当，即，
对于A，当，时，，A不是；
对于B，当，时，，B是；
对于C，当，时，，C是；
对于D，当，时，，D不是.
故答案为：BC
10．以下命题正确的是（ ）
A．若是平面的一个法向量，直线上有不同的两点，，则的充要条件是
B．已知，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，，，四点共面
C．已知，，若与垂直，则
D．已知的顶点坐标分别为，，，则边上的高的长为
【答案】B,D
【解析】解：A、充分性：，直线平面或平面，充分性不成立，
必要性：直线平面， ，必要性成立，A错误；
B、 ，，，，又，，，三点不共线，，，，，四点共面，B正确；
C、 ， ，又与垂直，
，解得；C错误；
D、，，
，，
点边上的高，D正确.
故答案为：BD.
11．在长方体中，分别为棱的中点，，，则正确的选项是（ ）
A．异面直线与所成角的大小为 B．异面直线与所成角的大小为
C．点到平面的距离为 D．点到平面的距离为
【答案】B,C
【解析】解：如图，以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
，，，，，
AB、，
异面直线与所成角的大小为 ，A错误，B正确；
CD、设平面的一个法向量为，则，令得，
点到平面的距离，C正确，D错误.
故答案为：BC.
12．如图，在正方体中，点在线段上运动，有下列判断，其中正确的是（ ）
A．平面平面
B．平面
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．三棱锥的体积不变
【答案】A,B,D
【解析】解：A、由图可知，，，所以 平面平面 ，A正确；
B、平面 平面，平面 ，可知 平面，B正确 ；
C、与所成角就是与所成的角，当P在中点时，与形成最大的角是，C错误.
D、 的体积 等于的体积，的体积不变，可知 三棱锥的体积不变 ，D正确.
故选：A B D.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13．在空间直角坐标系中，点，，，若点在平面内，则，，，应满足的关系为 .
【答案】
【解析】解：点 ，，，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令x1=3，得
A，M在平面内，所以
即：
故答案为：
14．如图，正方体中，E为线段的中点，则直线与平面所成角的正弦值为 ．
【答案】
【解析】解：如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则，
可得，
设平面 的一个法向量为，则，
令，则，可得，
则，
所以 直线与平面所成角的正弦值为 .
故答案为： .
15．在平行六面体中，为与的交点，若存在实数，使向量，则 ．
【答案】
【解析】由
又由 得
故
故答案为：
16．如图，正方体的棱长为，若空间中的动点满足，，则下列命题正确的是 ．（请用正确命题的序号作答）
①若，则点到平面的距离为；
②若，则二面角的平面角为；
③若，则三棱锥的体积为；
④若，则点的轨迹构成的平面图形的面积为．
【答案】②④
【解析】对于①：由空间向量的正交分解及其坐标表示可建立如图空间直角坐标系，
，，，，，
向量，设平面的法向量，
由，，
则即，取则，
则点与平面的距离为，故①错误；
对于②：设平面的法向量，
又，，
即，取，则，
易得平面的一个法向量，
设二面角的平面角为，
则，
是锐角，
二面角的平面角为，故②正确；
对于③：，，，，
，则，
设平面的法向量为，
由，，
则，取则，
则点到平面的距离为，
由得
易知，
则三棱锥，故③错误；
对于④：延长至点，使得，取中点，中点，连接，并延长，交棱，于点，，交，延长线于点，，连接，交棱，于点，，连接，，如图所示，
则平面与正方体的截面为六边形，，
在平面中，
，点为中点，
，，
在和中
，
，
，
，即点为中点，，
同理可得，，
六边形为正六边形，且边长为，
则其面积，
，，
，
整理得，
点在平面上，
当，点的轨迹构成的平面图形的面积为，故④正确．
故答案为：②④．
四、解答题（本题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知
，
．
（1）若
，且
，求
；
（2）若
与
互相垂直，求实数
．
【答案】（1）， ， ， ，设 ，
，解得 ，故 或 .
（2），
，
与 互相垂直，即 ，
解得 或 .
18．如图，在平行六面体 中， ， .
求：(Ⅰ) ；
(Ⅱ) 的长.
【答案】解：(Ⅰ)
；
(Ⅱ)
，所以
19．如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为直角梯形，，．
（1）求证；；
（2）若，，，求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：因为平面平面，平面平面，，
平面，所以，平面，
因为平面，因此，.
（2）解：因为平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，
平面内垂直于的直线为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为，，，
所以，、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
易知平面的一个法向量为，则，
因此，平面与平面的夹角的余弦值为.
20．如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，E是PB的中点
（1）求证：平面EAC平面PBC；
（2）二面角P-AC-E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.
【答案】（1）证明： 由题意得，，，，，
底面 ，底面，，
，平面，平面
又平面，平面平面；
（2）解：由(1)知，，两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系如图所示
设，则，，，，
显然平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，
又，，，令则，
二面角P-AC-E的余弦值为， ，解得，
，又，
， 直线PA与平面EAC所成角的正弦值.
21．如图，在四棱台中，底面是菱形，，平面．
（1）若点是的中点，求证：平面；
（2）棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：方法一：连接，由已知得，，且，
所以四边形是平行四边形，即，
又平面平面，
所以平面．
方法二：连接，由已知得，且，
，即，
又平面平面
所以平面
（2）解：取中点，连接，由题易得是正三角形，所以，即，
由于平面，分别以为轴，建立如图空间直角坐标系，
，
假设点存在，设点的坐标为，
，
设平面的法向量，则，
即，可取，
又平面的法向量为，
所以，解得：，
由于二面角为锐角，则点在线段上，所以，即．
故上存在点，当时，二面角的余弦值为．
22．如图，在四棱锥中，平面是棱的中点.
（1）证明：平面.
（2）若，点在棱上，求平面与平面夹角的余弦值的最小值.
【答案】（1）证明：因为平面，且平面，所以.
因为，且，所以.
因为平面，且，所以平面.
因为平面，所以.
因为是棱的中点，所以.
因为平面，且，所以平面.
（2）解：以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，所以，则，
因为点在棱上，所以，
则，故.
设平面的法向量为，
则，令，得.
设平面的法向量为，
则，令，得.
设平面与平面的夹角为，
则.
因为，所以，所以，
所以，即，
故平面与平面夹角的余弦值的最小值为.
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人教A版（2019）选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何（培优卷）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知空间向量，，若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．已知，，，则平面ABC的一个法向量可以是（ ）
A． B． C． D．
3．已知是空间的一个基底，若，，则下列与，构成一组空间基底的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知空间中三点，，，那么点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，且两平面的一个法向量 ，则两平面间的距离是
A． B． C． D．
6．如图，在正方体中，为体对角线上一点，且，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
，
（第6题） （第7题）
7．已知矩形为平面外一点，且平面，分别为上的点，，则（ ）
A． B． C．1 D．
8．在正方体中，动点P在线段上，点E是的中点，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．在空间直角坐标系中，已知向量，.以下各组值中能使得的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
10．以下命题正确的是（ ）
A．若是平面的一个法向量，直线上有不同的两点，，则的充要条件是
B．已知，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，，，四点共面
C．已知，，若与垂直，则
D．已知的顶点坐标分别为，，，则边上的高的长为
11．在长方体中，分别为棱的中点，，，则正确的选项是（ ）
A．异面直线与所成角的大小为
B．异面直线与所成角的大小为
C．点到平面的距离为
D．点到平面的距离为
12．如图，在正方体中，点在线段上运动，有下列判断，其中正确的是（ ）
A．平面平面
B．平面
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．三棱锥的体积不变
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
13．在空间直角坐标系中，点，，，若点在平面内，则，，，应满足的关系为 .
14．如图，正方体中，E为线段的中点，则直线与平面所成角的正弦值为 ．
（第14题） （第16题）
15．在平行六面体中，为与的交点，若存在实数，使向量，则 ．
16．如图，正方体的棱长为，若空间中的动点满足，，则下列命题正确的是 ．（请用正确命题的序号作答）
①若，则点到平面的距离为；
②若，则二面角的平面角为；
③若，则三棱锥的体积为；
④若，则点的轨迹构成的平面图形的面积为．
四、解答题（本题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知
，
．
（1）若
，且
，求
；
（2）若
与
互相垂直，求实数
．
18．如图，在平行六面体 中， ， . 求：(Ⅰ) ；(Ⅱ) 的长.
19．如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为直角梯形，，．
（1）求证；；
（2）若，，，求平面与平面的夹角的余弦值．
20．如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，E是PB的中点
（1）求证：平面EAC平面PBC；
（2）二面角P-AC-E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.
21．如图，在四棱台中，底面是菱形，，平面．
（1）若点是的中点，求证：平面；
（2）棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由．
22．如图，在四棱锥中，平面是棱的中点.
（1）证明：平面.
（2）若，点在棱上，求平面与平面夹角的余弦值的最小值.
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