24.2.4 切线长定理和三角形的内切圆课件（39张PPT）

(共39张PPT)
24.2.4切线长定理及三角形的内切圆
人教版九年级上册
知识回顾
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
1.切线的判定定理
2.切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径.
教学目标
1.掌握切线长的定义及切线长定理.
2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明.
新知导入
O
P
作图解答：过⊙O外一点P能够画圆的几条切线呢？
新知探究
（一）切线长的概念
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长叫做这点到圆的切线长。如图，线段PA、PB的长就是点P到⊙O的切线长。
注意：切线长是线段的长
新知探究
问题1：切线与切线长有什么区别？
（2）切线长是线段的长，这条线段的两个
端点分别是圆外一点和切点，可以度量。
（1）切线是一条与圆相切的直线，不能度量；
新知探究
问题2：如图，已知⊙O及⊙O外的一点P，PA与⊙O相切于A点， PB与⊙O相切于B点，你能发现哪些数量关系或者位置关系？
你能证明你的猜想吗？
利用圆的轴对称性进行度量或者通过折叠等方式，猜想：
PA=PB，∠APO=∠BPO
新知探究
请证明你的猜想：PA = PB
∠APO=∠BPO
试试用文字语言叙述这个结论
A
P
O
B
证明：连接OA、OB 、OP
∵PA、PB与⊙O 相切于A、B两点，
OA、OB为半径
∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
在Rt△AOP和Rt△BOP中
∵ OA=OB，OP=OP
∴ Rt△AOP≌ Rt△BOP(HL)
∴ PA = PB，∠APO=∠BPO
新知探究
切线长定理为证明线段相等、角相等
提供了一个新的方法
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，
这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角。
数学语言：
∵ PA、PB分别切⊙O于A、B两点
∴ PA=PB ， ∠APO=∠BPO
（二）切线长定理
新知探究
想一想：若连接两切点A、B，AB交OP于点M，你又有什么
新的发现呢 请证明你的猜想。
证明：∵PA，PB是⊙O的切线，
点A、B是切点
∴PA = PB，∠OPA=∠OPB（切线长定理）
∴△PAB是等腰三角形，PO为顶角的平分线
∴OP垂直平分AB（等腰三角形三线合一）
猜想：OP垂直平分AB
新知小结
在解决有关圆的切线长问题时，往往需要构建以下三个基本图形：
小结提升
A
P
O
B
（1）连接圆心和切点，得到直角；
A
P
O
B
（2）连接两切点，构建等腰三角形；
A
P
O
B
（3）连接圆心和圆外一点，得到角平分线。
新知练习
1．下列说法正确的是(　　)
A．过任意一点总可以作圆的两条切线
B．圆的切线长就是圆的切线的长度
C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等
D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径
2．如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于
点C，下列结论中，错误的是(　　)
C
D
（过圆外一点）
A．∠APO=∠BPO B．PA=PB
C．AB ⊥ OP D．∠PAB = 2∠APO
（圆外一点和切点之间线段的长度）
（不能确定大小关系）
新知练习
3．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，如果∠AOB＝120°，
那么∠APO=______。
P
B
A
O
30°
新知探究
问题1：如图，是一块三角形的铁皮余料，如何在它上面截下一块圆形的用料，使得剪得的圆面积最大？
圆与已知三角形的三边都相切
新知探究
探究新知，解决问题　
问题2：如何截出这块最大面积的圆呢？即如何作一个圆，使它与已知三角形的各边都相切？
圆心
半径
新知探究
圆心
圆与三角形的三条边都相切
圆心O 到AB,BC的距离相等
O在∠ABC 的角平分线上
问题2：如何截出这块最大面积的圆呢？即如何作一个圆，使它与已知三角形的各边都相切？
探究新知，解决问题　
圆心O到三角形的三边的距离相等
新知探究
圆心
圆心O到BC,AC的距离相等
圆心O在∠ACB的角平分线上
圆心O是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点
O
问题2：如何截出这块最大面积的圆呢？即如何作一个圆，使它与已知三角形的各边都相切？
探究新知，解决问题　
新知探究
已知圆心与切线
OE⊥BC
半径
E
探究新知，解决问题　
问题2：如何截出这块最大面积的圆呢？即如何作一个圆，使它与已知三角形的各边都相切？
O
新知探究
E
O
三角形内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
三角形内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
探究新知，解决问题　
问题2：如何截出这块最大面积的圆呢？即如何作一个圆，使它与已知三角形的各边都相切？
新知探究
B
A
C
I
如图，☉I是△ABC的内切圆，那么线段IA，IB，IC有什么特点？
线段IA，IB ，IC 分别是∠A，∠B，∠C 的平分线.
新知探究
如图，分别过点 I 作AB，AC，BC的垂线，垂足分别为E，F，G，那么线段IE，IF，IG之间有什么关系？
B
A
C
I
E
F
G
IE=IF=IG
新知探究
三角形内心的性质
三角形的内心到三角形的三边距离相等，且等于其内切圆的半径.
B
A
C
I
E
F
G
新知小结
名称 外心(三角形的外接圆圆心，即三角形三边垂直平分线的交点). 内心(三角形的内切圆圆心，即三角形三条角平分线的交点).
图形
性质
位置
角度关系
三角形外心、内心的区别
三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.
三角形的内心到三角形三边的距离相等.
外心不一定在三角形的内部.
内心一定在三角形的内部.
∠BOC=90°＋∠A.
∠BOC=2∠A.
新知探究
例：如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于D、E、F，
（1）若AF=4，BD=5，CE=9，求AB，BC和AC的长．
（2）若AB=9，BC=14，CA=13，求AF，BD和CE的长．
（3）若△ABC的周长为33，OE=4，求△ABC的面积.
新知探究
求AB,BC,AC
AB=9,BC=14,AC=13
求BF,CD,AE
4
5
9
切线长定理
4
9
5
切线长
边长
例：如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于D、E、F，
（1）若AF=4，BD=5，CE=9，求AB，BC和AC的长．
新知探究
例：如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于D、E、F，
（2）若AB=9，BC=14，CA=13，求AF，BD和CE的长．
y
z
z
边长
切线长
9
13
14
x
x
y
AF=4，BD=5，CE=9
新知探究
例：如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于D、E、F，
（2）若AB=9，BC=14，CA=13，求AF，BD和CE的长．
9-x
x
x
9-x
13-x
13-x
边长
切线长
9
13
14
AF=4，BD=5，CE=9
新知探究
面积
OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB
(底？高？)
r
r
r
例：如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于D、E、F，
（3）若△ABC的周长为33，OE=4，求△ABC的面积.
周长、内切圆半径
新知探究
8
10
r
r
r
变式1：若例题中的∠ACB=90°, AC=8, BC=6，求△ABC的内切圆的半径.
6
新知探究
8
6
r
r
8-r
8-r
6-r
6-r
变式1：若例题中的∠ACB=90°, AC=8, BC=6，求△ABC的内切圆的半径.
b-r
r
r
b-r
a-r
a-r
10
r
r
r
新知探究
变式2：若例题中的∠ACB=60°， ，设△ABC的面积为S，三角形的内切圆半径为r， ，求△ABC的周长.
60°
r
r
r
课堂总结
切线长
切线长定理
作用
图形的轴对称性
原理
提供了证线段和角相等的新方法
辅助线
分别连接圆心和切点；
连接两切点；
连接圆心和圆外一点.
三角形内切圆
运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
有关概念
内心概念及性质
应用
课堂练习
1.（2018·湖州中考）如图，已知△ABC的内切圆☉O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC=40°，则∠BOD的度数是 .
70°
解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，
∴OB平分∠ABC，OD⊥BC，
∴∠OBD= ∠ABC=×40°=20°，
∴∠BOD=90°-∠OBD=70°．
课堂练习
A.△ACD的外心
B.△ABC的外心
C.△ACD的内心
D.△ABC的内心
2.如图为4×4的网格，A,B,C,D,O均在格点上，则点O是( )
B
课堂练习
3.如图，在Rt△AOB中，OA=OB =3 ☉O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作☉O的一条切线PQ(点Q为切点)，则切线PQ的最小值为 .
解：连接OP，OQ．
∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，
∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA=OB=3，
∴AB=OA=6，∴OP==3，
∴PQ==2．
课堂练习
4.如图，PA, PB, DE分别切☉O于点A,B,C,点D在PA上，点E在PB上.
(1) 若PA=10，求△PDE的周长；
(2) 若∠P=50°，求∠DOE的度数.
解：(1) 因为PA,PB,DE分别切☉O于点A,B,C,
所以PA=PB，DA=DC， EC=EB，
所以PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=10+10=20，
所以△PDE的周长为20.
课堂练习
解：(2) 如图，连接OA,OC,OB.
∵PA,PB是☉O的切线，∴OA⊥PA,OB⊥PB,
∴ ∠DAO=∠EBO=90°,
∴ ∠P+∠AOB=180°, ∴ ∠AOB=180°-50°= 130°.
由切线长定理知∠ADO=∠CDO,∠CEO=∠BEO,
∴ ∠AOD=∠DOC, ∠COE=∠BOE,
∴ ∠DOE=∠AOB= ×130°=65°.
5.如图，PA, PB, DE分别切☉O于点A,B,C,点D在PA上，点E在PB上.
(1) 若PA=10，求△PDE的周长；
(2) 若∠P=50°，求∠DOE的度数.
谢谢
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