吉林省长春市力旺实验中学2023-2024学年八年级上学期开学考试数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023八上·长春开学考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八上·长春开学考）若，下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八上·长春开学考）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021八上·开化期末）如果一个三角形的两边长分别为2和5，则第三边长可能是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
5．下列几种形状的瓷砖中，只用一种不能够铺满地面的是（ ）
A．正六边形 B．正五边形 C．正方形 D．正三角形
6．（2023八上·长春开学考）如图，在和中，点、、、在同一条直线上，，，只添加一个条件，不能判断≌的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八上·长春开学考）如图，将绕点逆时针旋转后得到，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八上·长春开学考）若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
9．（2023八上·长春开学考）当 时，代数式与的值互为相反数．
10．（2023九下·泰兴月考）命题“若，则”是 命题.（填“真”或“假”）
11．（2023八上·长春开学考）如图，，，则的度数为 ．
12．（2023八上·长春开学考）如图，、、在同一直线上，≌，，那么 度.
13．（2023八上·长春开学考）如图，小陈从点出发，前进米后向右转，再前进米后又向右转，，这样一直走下去，他第一次回到出发点时一共走了 米．
14．（2023八上·长春开学考）如图，中，，边上有一点，使得，将沿翻折得，此时，则 度.
三、解答题（本大题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（2023八上·长春开学考）解下列方程、不等式．
（1）；
（2）．
16．（2023八上·长春开学考） 解下列方程组、不等式组．
（1）；
（2）．
17．（2023八上·长春开学考）我国古代数学名著九章算术中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出钱，则多了钱；如果每人出钱，则少了钱问有多少人，物品的价值是多少？请你解决此问题．
18．（2023八上·长春开学考）已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的值．
19．（2023八上·长春开学考）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，，也在格点上．
（1）画出先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的；
（2）画出关于直线对称的；
（3）画出绕点按逆时针方向旋转后所得的；
（4）与组成的图形是轴对称图形吗？若是轴对称图形，请画出对称轴．
20．（2023八上·长春开学考）将沿的方向平移得到．
（1）若，，求的度数；
（2）若的周长为，，，连结，则四边形的周长为 ．
21．（2023八上·长春开学考）如图，在中，是延长线上一点，满足，过点作，且，连接并延长，分别交，于点，．
（1）求证：≌；
（2）若，，求的长度．
22．（2023八上·长春开学考）高安腐竹始于唐代，距今已有多年的历史“五一”期间，高安市对、两种品牌的腐竹举行展销活动若购买箱品牌腐竹和箱品牌腐竹共需要元，购买箱品牌腐竹和箱品牌腐竹则需要元．
（1）求、品牌腐竹每箱售价各为多少元？
（2）小王计划购买、两种品牌腐竹共箱，预算总费用不超过元，则品牌腐竹最多能购买多少箱？
23．（2023八上·长春开学考）综合与实践
小明遇到这样一个问题，如图，中，，，点为的中点，求的取值范围小明的做法是：如图，延长到，使，连接，构造≌，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：
（1）小明证明≌用到的判定定理是：____
A． B． C． D．
（2）的取值范围是．
（3）小明总结：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在正方形各角都为直角中，为边的中点，、分别为边上的点，若，，，求的长．
24．（2023八上·长春开学考）如图，在中，，，，，动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿运动到点停止，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿运动，到点停止，若设点运动的时间是秒．
（1）点到达点时， ；到时， 秒；
（2）当时，求的值；
（3）当点在边上时；
①当的面积等于时，直接写出的值．
②当点或点到边和边的距离相等时，直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】
A：是轴对称图形，但不是中心对称图形，A不符合；
B：是轴对称图形，但不是中心对称图形，B不符合；
C：是中心对称图形，但不是轴对称图形，C不符合；
D：是轴对称图形，也是中心对称图形，D符合。
故答案为：D
【分析】
根据轴对称图形 和中心对称图形的定义进行分析判断。
2．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】
A：∵a>b，∴2+a>2+b，A 成立；
B：∵a>b，∴-a<-b，∴2-a<2-b，B不成立；
C：∵a>b，∴2a>2b，C成立；
D：∵a>b，∴，D成立。
故答案为：B
【分析】
根据不等式的性质进行判断，注意不等式两边同时乘以负数时不等号的变化。
3．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】
由x-2≤0得，x≤2，
由得，x<-1，
∴x<-1
故答案为：A
【分析】
先解不等式组，再根据解集判断正确的图示。要注意空心点和实心点的区别。
4．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边长为x，则
由三角形三边关系定理得5﹣2＜x＜5+2，即3＜x＜7．
故选：C．
【分析】根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；可求第三边长的范围，再选出答案．
5．【答案】B
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】A、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺；B、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；C、正方形的每个内角是90°，4个能密铺；D、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺．故选B．
【分析】根据平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能，即可得出答案．
6．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】
∵AC∥DF，∴∠A=∠D，
当AE=DB时，AE+BE=BD+BE，∴AB=DE，由AC=DF，∠A=∠D，AB=DE，根据SAS可判断△ABC≌△DEF，A符合；
当∠C=∠F时，由∠C=∠F，AC=DF，∠A=∠D，根据ASA可判断△ABC≌△DEF，B符合；
当BC=EF时，由BC=EF，AC=DF，∠A=∠D不能判断△ABC≌△DEF，C不符合；
当∠ABC=∠DEF时，由∠ABC=∠DEF，∠A=∠D，AC=DF，根据AAS可判断△ABC≌△DEF，D符合。
故答案为：C
【分析】
易知题中条件已有AC＝DF，∠A=∠D，根据三角形全等的判定方法考查所添加的条件进行判断。要注意边边角是不能判断两三角形全等的。
7．【答案】B
【知识点】图形的旋转；旋转的性质
【解析】【解答】
由旋转可知∠BOE=45°，
∴∠AOE=∠BOE-∠AOB=45°-15°=30°
故答案为：B
【分析】
OB旋转45°后得到OE，则∠BOE=45°，再减去∠AOB可求出∠AOE。
8．【答案】B
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式
【解析】【解答】
2x-6k=3x-3k+6
x=-3k-6
∵解是非负数，∴-3k-6≥0，∴k≤-2
故答案为：B
【分析】先解方程，再根据解是非负数列不等式求出k的范围。要注意解方程时去分母的方法。
9．【答案】1
【知识点】相反数及有理数的相反数；解一元一次方程
【解析】【解答】
∵代数式与的值互为相反数．
∴4x+2+3x-9=0
解得，x=1
故答案为：1
【分析】互为相反数的两个数的和为0，据此性质可列方程求出x.
10．【答案】真
【知识点】真命题与假命题；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵
∴a>b，
∴命题“若，则”是真命题.
故答案为：真.
【分析】根据ax2>bx2结合不等式的性质可得a>b，据此判断.
11．【答案】130°
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】
延长BC交AE于F，则∠CFD=∠A+∠1=40°，
∴∠2=∠CDF+∠CFD=90°+40°=130°
故答案为：130°
【分析】
延长BC交AE于F，根据三角形外角的性质可求出∠2。
12．【答案】55
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】
∵△ABC≌△EFC，∴∠A=∠E=35°，
∴∠EFC=180°-∠ACE-∠EFC=180°-90°-35°=55° 。
故答案为：55
【分析】根据三角形全等得出∠E=∠A=35°，再根据内角和定理求出∠EFC。
13．【答案】90
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】
360°÷20°=18
18×5=90(米)
故答案为：90
【分析】小陈回到O点时行走的路径正好是一个正多边形，每个外角的度数都是20°，根据多边形外角和为360°可求出边数，从而求出一周的长度。
14．【答案】82.5
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】
由折叠可知：∠A′BD=∠ABD，∠A′=∠A，
又∵∠A=∠ABD，
∴∠A′=∠A=∠ABD=∠A′BD，
∵A′D′∥BC，∴∠A′BC=∠A′，
∴∠A=∠A′BC=∠ABD=∠A′BD，
∴∠ABC=∠A′BC+∠ABD+∠A′BD＝3∠A，
∵∠C＝70°，
∴∠ABC+∠A＝180°-∠C＝180°-70°＝110°，
∴3∠A+∠A＝110°，
∴∠A＝27.5°
∴∠ABC＝3∠A＝82.5°。
故答案为：82.5
【分析】
根据平行线的性质和折叠的性质推导出∠ABC＝3∠A，再根据三角形内角和定理求出∠A，从而得出∠ABC。
15．【答案】（1）解：，
，
，
，
，
（2）解：，
，
，
【知识点】解一元一次方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】
（1）先去分母化简方程为ax=b的形式，再求x.
（2）移项，化简不等式，再求解。注意不等号的方向。
16．【答案】（1）解：，
，得，
解得，
把代入，得．
故方程组的解为
（2）解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
故不等式组的解集是
【知识点】解一元一次不等式组；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】
（1）用加减消元法进行求解即可。可以先消去y，再求x，也可以先消去x，再求y.
（2）分别解两个不等式，再求出公共解集即可。
17．【答案】解：设有人，
根据题意得，，
解得，
物价：(元)，
答：有人，物品的价值是钱.
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【分析】
物品的总钱数是不变的，可根据这一等量关系列方程求出人数，再计算钱数。也可以根据人数不变列方程求解。
18．【答案】解：，
得：，
又，
，
解得：，
的值为．
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【分析】
把方程组中的两方程相减后化简可得出x-y的值，从而求出m值。
19．【答案】（1）解：如图，为所作；
（2）
（3）
（4）
【知识点】轴对称图形；图形的旋转；图形的平移
【解析】【分析】
（1）把三个顶点按要求平移，再顺次连接即可得到平移后的三角形。
（2）描出三个顶点关于OM的对称点，再顺次连接即可得到所求作的三角形。
（3）描出三个顶点绕点O旋转后的点，再顺次连接即可得到所求作的三角形。注意旋转的方向和角度。
（4）连接两个对称图形的对称点，取两条对称点连线的中点，连接两个中点即可得到对称轴。
20．【答案】（1）解：由图形平移的特征可知和的形状与大小相同，
即≌，
，
，
（2）
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】
（2）由平移可知：BE＝CF，AC＝DF，AD＝CF＝BE，
∴AB+BF+DF+AD＝AB+（BC+CF）+AC+CF＝AB+BC+AC+2CF
∵AB+BC+AC＝12，
2CF＝BF-EC＝5.5-3.5＝2
∴AB+BF+DF+AD＝12+2＝14
故答案为：14
【分析】
（1）根据平移的性质可以得出B∠ACB＝∠F，再运用内角和定理求出∠A
（2）根据平移的性质可以得出BE＝CF，AC＝DF，AD＝CF＝BE，从而可推导出四边形ABFD的周长。
21．【答案】（1）证明：，
，
在与中，
，
≌
（2）解：∵△ABC≌△DCE，∴AB＝DC，BC＝CE，
∵AB＝2CE，∴CD＝2BC，
∴BD＝CD+BC＝3BC
∵BD＝12
∴BC＝4
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】
（1）结合已知条件用SAS证明即可。
（2）根据三角形全等可得出AB＝DC，BC＝CE，再结合AB＝2CE推导出CD＝2BC，BD＝3BC，从而推导出结果。
22．【答案】（1）解：设品牌腐竹每箱售价为元，品牌腐竹每箱售价为元，
由题意得：，
解得，
答：品牌腐竹每箱售价为元，品牌腐竹每箱售价为元.
（2）设购买品牌腐竹为箱，则购买品牌腐竹为箱，
由题意得：，
解之得：，
答：品牌腐竹最多购买箱．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）根据两种购买方式中售价，箱数，总价之间的数量关系，列出方程组进行求解即可。
（2）根据总费用不超过9200元列不等式进行求解即可。
23．【答案】（1）A
（2）解：和，
，
，
，
，
故答案为：.
（3）解：如图，延长，交于，
四边形是正方形，
，
，
，
是中点，
，
，
≌，
，，
，
垂直平分，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】
（1）D是BC的中点，∴BD＝CD，
由所作辅助线可知DE＝DA，
又∠BDE＝∠CDA，
∴△BED≌△CAD，（SAS）
故答案应为：A
【分析】
（1）根据已知条件、隐含条件和所作条件进行判断。
（2）考查△ABE中AE的范围，再求AD的范围。
（3）延长CB、GE交于M，可证△AGE和△BME全等，推导出EG＝EM，结合中垂线的性质得出结果。
24．【答案】（1）3；7
（2）解： 当点在线段上时，，则，
，
．
当点在线段上时，，
，
，
综上，当t=2或6时，CP＝BQ。
（3）①或
②或
【知识点】角平分线的性质；勾股定理的应用；数学思想
【解析】【解答】
解：
（1）6÷2＝3（秒），（8+6）÷2＝7（秒）
故答案为：3；7
（3）①当点在点的左侧时，
则，
当点在点的右侧时，
则；
则的面积，
即或. ，
解得：或
当点. 点到边和边的距离相等时，如下图，
则点在的角平分线上，
过点作于点. ，
在中，，，，
则，，
由题意得，，，
在中，由勾股定理得：，
则，
解得：；
当点到边和边的距离相等时，
由勾股定理得：，
即，
解得：；
综上，或．
【分析】
（1）用P点运动路径的长除以速度可得运动时间。
（2）P点可能在AC上也可能在CB上，要分两种情形进行求解。
（3）当点P到边AC和边AB的距离相等时，点P. 在∠CAB的角平分线上，过点P和Q向AB作垂线， 构造直角三角形，运用勾股定理列方程求解即可。
1 / 1吉林省长春市力旺实验中学2023-2024学年八年级上学期开学考试数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023八上·长春开学考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】
A：是轴对称图形，但不是中心对称图形，A不符合；
B：是轴对称图形，但不是中心对称图形，B不符合；
C：是中心对称图形，但不是轴对称图形，C不符合；
D：是轴对称图形，也是中心对称图形，D符合。
故答案为：D
【分析】
根据轴对称图形 和中心对称图形的定义进行分析判断。
2．（2023八上·长春开学考）若，下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】
A：∵a>b，∴2+a>2+b，A 成立；
B：∵a>b，∴-a<-b，∴2-a<2-b，B不成立；
C：∵a>b，∴2a>2b，C成立；
D：∵a>b，∴，D成立。
故答案为：B
【分析】
根据不等式的性质进行判断，注意不等式两边同时乘以负数时不等号的变化。
3．（2023八上·长春开学考）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】
由x-2≤0得，x≤2，
由得，x<-1，
∴x<-1
故答案为：A
【分析】
先解不等式组，再根据解集判断正确的图示。要注意空心点和实心点的区别。
4．（2021八上·开化期末）如果一个三角形的两边长分别为2和5，则第三边长可能是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边长为x，则
由三角形三边关系定理得5﹣2＜x＜5+2，即3＜x＜7．
故选：C．
【分析】根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；可求第三边长的范围，再选出答案．
5．下列几种形状的瓷砖中，只用一种不能够铺满地面的是（ ）
A．正六边形 B．正五边形 C．正方形 D．正三角形
【答案】B
【知识点】平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】A、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺；B、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；C、正方形的每个内角是90°，4个能密铺；D、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺．故选B．
【分析】根据平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能，即可得出答案．
6．（2023八上·长春开学考）如图，在和中，点、、、在同一条直线上，，，只添加一个条件，不能判断≌的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】
∵AC∥DF，∴∠A=∠D，
当AE=DB时，AE+BE=BD+BE，∴AB=DE，由AC=DF，∠A=∠D，AB=DE，根据SAS可判断△ABC≌△DEF，A符合；
当∠C=∠F时，由∠C=∠F，AC=DF，∠A=∠D，根据ASA可判断△ABC≌△DEF，B符合；
当BC=EF时，由BC=EF，AC=DF，∠A=∠D不能判断△ABC≌△DEF，C不符合；
当∠ABC=∠DEF时，由∠ABC=∠DEF，∠A=∠D，AC=DF，根据AAS可判断△ABC≌△DEF，D符合。
故答案为：C
【分析】
易知题中条件已有AC＝DF，∠A=∠D，根据三角形全等的判定方法考查所添加的条件进行判断。要注意边边角是不能判断两三角形全等的。
7．（2023八上·长春开学考）如图，将绕点逆时针旋转后得到，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】图形的旋转；旋转的性质
【解析】【解答】
由旋转可知∠BOE=45°，
∴∠AOE=∠BOE-∠AOB=45°-15°=30°
故答案为：B
【分析】
OB旋转45°后得到OE，则∠BOE=45°，再减去∠AOB可求出∠AOE。
8．（2023八上·长春开学考）若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式
【解析】【解答】
2x-6k=3x-3k+6
x=-3k-6
∵解是非负数，∴-3k-6≥0，∴k≤-2
故答案为：B
【分析】先解方程，再根据解是非负数列不等式求出k的范围。要注意解方程时去分母的方法。
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
9．（2023八上·长春开学考）当 时，代数式与的值互为相反数．
【答案】1
【知识点】相反数及有理数的相反数；解一元一次方程
【解析】【解答】
∵代数式与的值互为相反数．
∴4x+2+3x-9=0
解得，x=1
故答案为：1
【分析】互为相反数的两个数的和为0，据此性质可列方程求出x.
10．（2023九下·泰兴月考）命题“若，则”是 命题.（填“真”或“假”）
【答案】真
【知识点】真命题与假命题；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵
∴a>b，
∴命题“若，则”是真命题.
故答案为：真.
【分析】根据ax2>bx2结合不等式的性质可得a>b，据此判断.
11．（2023八上·长春开学考）如图，，，则的度数为 ．
【答案】130°
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】
延长BC交AE于F，则∠CFD=∠A+∠1=40°，
∴∠2=∠CDF+∠CFD=90°+40°=130°
故答案为：130°
【分析】
延长BC交AE于F，根据三角形外角的性质可求出∠2。
12．（2023八上·长春开学考）如图，、、在同一直线上，≌，，那么 度.
【答案】55
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】
∵△ABC≌△EFC，∴∠A=∠E=35°，
∴∠EFC=180°-∠ACE-∠EFC=180°-90°-35°=55° 。
故答案为：55
【分析】根据三角形全等得出∠E=∠A=35°，再根据内角和定理求出∠EFC。
13．（2023八上·长春开学考）如图，小陈从点出发，前进米后向右转，再前进米后又向右转，，这样一直走下去，他第一次回到出发点时一共走了 米．
【答案】90
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】
360°÷20°=18
18×5=90(米)
故答案为：90
【分析】小陈回到O点时行走的路径正好是一个正多边形，每个外角的度数都是20°，根据多边形外角和为360°可求出边数，从而求出一周的长度。
14．（2023八上·长春开学考）如图，中，，边上有一点，使得，将沿翻折得，此时，则 度.
【答案】82.5
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】
由折叠可知：∠A′BD=∠ABD，∠A′=∠A，
又∵∠A=∠ABD，
∴∠A′=∠A=∠ABD=∠A′BD，
∵A′D′∥BC，∴∠A′BC=∠A′，
∴∠A=∠A′BC=∠ABD=∠A′BD，
∴∠ABC=∠A′BC+∠ABD+∠A′BD＝3∠A，
∵∠C＝70°，
∴∠ABC+∠A＝180°-∠C＝180°-70°＝110°，
∴3∠A+∠A＝110°，
∴∠A＝27.5°
∴∠ABC＝3∠A＝82.5°。
故答案为：82.5
【分析】
根据平行线的性质和折叠的性质推导出∠ABC＝3∠A，再根据三角形内角和定理求出∠A，从而得出∠ABC。
三、解答题（本大题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（2023八上·长春开学考）解下列方程、不等式．
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，
，
，
，
（2）解：，
，
，
【知识点】解一元一次方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】
（1）先去分母化简方程为ax=b的形式，再求x.
（2）移项，化简不等式，再求解。注意不等号的方向。
16．（2023八上·长春开学考） 解下列方程组、不等式组．
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，得，
解得，
把代入，得．
故方程组的解为
（2）解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
故不等式组的解集是
【知识点】解一元一次不等式组；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】
（1）用加减消元法进行求解即可。可以先消去y，再求x，也可以先消去x，再求y.
（2）分别解两个不等式，再求出公共解集即可。
17．（2023八上·长春开学考）我国古代数学名著九章算术中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出钱，则多了钱；如果每人出钱，则少了钱问有多少人，物品的价值是多少？请你解决此问题．
【答案】解：设有人，
根据题意得，，
解得，
物价：(元)，
答：有人，物品的价值是钱.
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【分析】
物品的总钱数是不变的，可根据这一等量关系列方程求出人数，再计算钱数。也可以根据人数不变列方程求解。
18．（2023八上·长春开学考）已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的值．
【答案】解：，
得：，
又，
，
解得：，
的值为．
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【分析】
把方程组中的两方程相减后化简可得出x-y的值，从而求出m值。
19．（2023八上·长春开学考）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，，也在格点上．
（1）画出先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的；
（2）画出关于直线对称的；
（3）画出绕点按逆时针方向旋转后所得的；
（4）与组成的图形是轴对称图形吗？若是轴对称图形，请画出对称轴．
【答案】（1）解：如图，为所作；
（2）
（3）
（4）
【知识点】轴对称图形；图形的旋转；图形的平移
【解析】【分析】
（1）把三个顶点按要求平移，再顺次连接即可得到平移后的三角形。
（2）描出三个顶点关于OM的对称点，再顺次连接即可得到所求作的三角形。
（3）描出三个顶点绕点O旋转后的点，再顺次连接即可得到所求作的三角形。注意旋转的方向和角度。
（4）连接两个对称图形的对称点，取两条对称点连线的中点，连接两个中点即可得到对称轴。
20．（2023八上·长春开学考）将沿的方向平移得到．
（1）若，，求的度数；
（2）若的周长为，，，连结，则四边形的周长为 ．
【答案】（1）解：由图形平移的特征可知和的形状与大小相同，
即≌，
，
，
（2）
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】
（2）由平移可知：BE＝CF，AC＝DF，AD＝CF＝BE，
∴AB+BF+DF+AD＝AB+（BC+CF）+AC+CF＝AB+BC+AC+2CF
∵AB+BC+AC＝12，
2CF＝BF-EC＝5.5-3.5＝2
∴AB+BF+DF+AD＝12+2＝14
故答案为：14
【分析】
（1）根据平移的性质可以得出B∠ACB＝∠F，再运用内角和定理求出∠A
（2）根据平移的性质可以得出BE＝CF，AC＝DF，AD＝CF＝BE，从而可推导出四边形ABFD的周长。
21．（2023八上·长春开学考）如图，在中，是延长线上一点，满足，过点作，且，连接并延长，分别交，于点，．
（1）求证：≌；
（2）若，，求的长度．
【答案】（1）证明：，
，
在与中，
，
≌
（2）解：∵△ABC≌△DCE，∴AB＝DC，BC＝CE，
∵AB＝2CE，∴CD＝2BC，
∴BD＝CD+BC＝3BC
∵BD＝12
∴BC＝4
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】
（1）结合已知条件用SAS证明即可。
（2）根据三角形全等可得出AB＝DC，BC＝CE，再结合AB＝2CE推导出CD＝2BC，BD＝3BC，从而推导出结果。
22．（2023八上·长春开学考）高安腐竹始于唐代，距今已有多年的历史“五一”期间，高安市对、两种品牌的腐竹举行展销活动若购买箱品牌腐竹和箱品牌腐竹共需要元，购买箱品牌腐竹和箱品牌腐竹则需要元．
（1）求、品牌腐竹每箱售价各为多少元？
（2）小王计划购买、两种品牌腐竹共箱，预算总费用不超过元，则品牌腐竹最多能购买多少箱？
【答案】（1）解：设品牌腐竹每箱售价为元，品牌腐竹每箱售价为元，
由题意得：，
解得，
答：品牌腐竹每箱售价为元，品牌腐竹每箱售价为元.
（2）设购买品牌腐竹为箱，则购买品牌腐竹为箱，
由题意得：，
解之得：，
答：品牌腐竹最多购买箱．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）根据两种购买方式中售价，箱数，总价之间的数量关系，列出方程组进行求解即可。
（2）根据总费用不超过9200元列不等式进行求解即可。
23．（2023八上·长春开学考）综合与实践
小明遇到这样一个问题，如图，中，，，点为的中点，求的取值范围小明的做法是：如图，延长到，使，连接，构造≌，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：
（1）小明证明≌用到的判定定理是：____
A． B． C． D．
（2）的取值范围是．
（3）小明总结：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在正方形各角都为直角中，为边的中点，、分别为边上的点，若，，，求的长．
【答案】（1）A
（2）解：和，
，
，
，
，
故答案为：.
（3）解：如图，延长，交于，
四边形是正方形，
，
，
，
是中点，
，
，
≌，
，，
，
垂直平分，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】
（1）D是BC的中点，∴BD＝CD，
由所作辅助线可知DE＝DA，
又∠BDE＝∠CDA，
∴△BED≌△CAD，（SAS）
故答案应为：A
【分析】
（1）根据已知条件、隐含条件和所作条件进行判断。
（2）考查△ABE中AE的范围，再求AD的范围。
（3）延长CB、GE交于M，可证△AGE和△BME全等，推导出EG＝EM，结合中垂线的性质得出结果。
24．（2023八上·长春开学考）如图，在中，，，，，动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿运动到点停止，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿运动，到点停止，若设点运动的时间是秒．
（1）点到达点时， ；到时， 秒；
（2）当时，求的值；
（3）当点在边上时；
①当的面积等于时，直接写出的值．
②当点或点到边和边的距离相等时，直接写出的值．
【答案】（1）3；7
（2）解： 当点在线段上时，，则，
，
．
当点在线段上时，，
，
，
综上，当t=2或6时，CP＝BQ。
（3）①或
②或
【知识点】角平分线的性质；勾股定理的应用；数学思想
【解析】【解答】
解：
（1）6÷2＝3（秒），（8+6）÷2＝7（秒）
故答案为：3；7
（3）①当点在点的左侧时，
则，
当点在点的右侧时，
则；
则的面积，
即或. ，
解得：或
当点. 点到边和边的距离相等时，如下图，
则点在的角平分线上，
过点作于点. ，
在中，，，，
则，，
由题意得，，，
在中，由勾股定理得：，
则，
解得：；
当点到边和边的距离相等时，
由勾股定理得：，
即，
解得：；
综上，或．
【分析】
（1）用P点运动路径的长除以速度可得运动时间。
（2）P点可能在AC上也可能在CB上，要分两种情形进行求解。
（3）当点P到边AC和边AB的距离相等时，点P. 在∠CAB的角平分线上，过点P和Q向AB作垂线， 构造直角三角形，运用勾股定理列方程求解即可。
1 / 1
