江西省南昌市二十八中教育集团2023—2024学年九年级上学期数学开学考试试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（2022七下·西安期末）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形特点分别分析判断，轴对称图形沿一条轴折叠180°，被折叠两部分能完全重合，关键是找到对称轴.
2．（2022·崂山模拟）石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景，被认为是一种未来革命性的材料，石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为0.000000000142米 ，数字“0.000000000142”用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：数字“0.000000000142”用科学记数法表示为．
故答案为：B．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
3．（2023九上·南昌开学考）若一个三角形的三边长分别为2、6、a，则a的值可以是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】根据三角形三边关系得：
故选：C
【分析】三角形的第三边小于另两边的和，大于另两边的差。
4．（2023九上·南昌开学考）下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】 A：，不能与合并；
B：，能与合并；
C：，不能与合并；
D：，不能与合并，可与它直接计算。
故选：B
【分析】二次根式先化成最简，是同类根式的可以合并。
5．（2023九上·南昌开学考）如图，在中，点D，E，F分别是，，中点，以这些点为顶点，在图中能画出多少个平行四边形（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】D、F是中点，即DF是底边BC的中位线，
四边形DFEB是平行四边形
同理，四边形DFEC、DEFA也都是平行四边形
故选：C
【分析】根据中位线定理，得到平行四边形的判定条件，三角形三边分别可做底边，在图中可画出3个平行四边形。
6．（2023·广安）如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并上升一定高度，则下列能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的时间x（单位：s）之间的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的图象；一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：由浮力的知识可知当铁块完全浸没在水中时，浮力不变；当铁块的排水体积逐渐减小时，浮力减小；当铁块与水面无接触时，浮力将不再变化；
∴弹簧测力计的读数应先不变，再上升，再不变，
故答案为：A
【分析】根据浮力的知识即可得到弹簧测力计读数的变化情况，进而即可画出函数图象。
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2023九上·南昌开学考）分解因式： .
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】
故填：
【分析】因式分解首先考虑提公因式法，然后考虑公式法。
8．（2023九上·南昌开学考）某校举行了“珍爱生命，预防溺水”为主题的演讲比赛，提高学生的安全意识.演讲者的最终比赛成绩按照演讲内容、现场效果、外在形象三项得分分别占40%，40%，20%的比例折算.已知李明同学的三项原始得分分别是90分，95分，90分，那么李明同学最终比赛成绩为 分.
【答案】92
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】根据题意，
故填：92
【分析】根据加权平均数的定义计算。
9．（2023九上·南昌开学考）在平面直角坐标系中，将向下平移3个单位，所得函数图象过，则a的值为 .
【答案】
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】根据题意，把 向下平移3个单位，得到函数
代入点（a，3）
-2a-2=3
解得
故填：
【分析】函数图象向下平移3个单位，函数的解析式y=kx+b的b值部分要-3，得到新的函数解析式；代入点坐标，求解即可。
10．（2023九上·南昌开学考）以正五边形的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形的顶点落在直线上，则正五边形旋转的度数至少为 °.
【答案】72
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】五边形内角和：
正五边形，5个内角都相等，
一个内角度数：
旋转的度数至少为
故填：72°
【分析】思考动态的过程，发现旋转的角度正好和内角互补，根据内角和公式并且各内角相等先求得一个内角的度数，再计算它的补角。
11．（2023九上·南昌开学考）如图，在中，，，D，E分别是边，的中点，点F在上，且，则的长是 .
【答案】3
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】D、E是AB、AC中点
DE是三角形ABC的中位线，
又
（直角三角形中斜边中线等于斜边一半）
EF=DE-DF=7-4=3
故填：3
【分析】根据题意，中位线平行于底边且等于底边的一半，可求DE，如果知道DF则EF可求；故转化为求DF的问题；题中给了直角和斜边中点，让我们想到了斜边上的中线等于斜边的一半，至此可求EF。
12．（2023九上·南昌开学考）已知函数与，若，则x的值是 .
【答案】1或2或4
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】
当时，
解得x1=1，x2=2
当时，
解得x=4
故填：1或2或4
【分析】根据题意，分别讨论x不同范围取值时，y1=y2，计算使其成立的x值。
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2023九上·南昌开学考）计算：
（1）
（2）解方程：
【答案】（1）解：原式
（2）解：，
或，解得，.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】 (1)了解任意非零数的零次幂等于1，掌握二次根式的定义和负整数次幂的运算法则；(2)先整理成一般式，然后根据一般式系数的特点再解一元二次方程是一般的思路，本题中已有公因式出现，故直接提取公因式进行因式分解，再求解。
14．（2023九上·南昌开学考）以下是某同学化简分式的部分运算过程：
解：原式 ……第一步 ……第二步 ……第三步
（1）上面的运算过程中第 步开始出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程.
【答案】（1）一
（2）解：原式.
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】第一步即出错，因为除法没有类似乘法分配律那样的定律，除式应先通分后再按照除法法则来计算；在通分后发现分子的三项符合完全平方差公式，运用可使问题简化。
15．（2023九上·南昌开学考）如图，等边三角形的边长是4，D，E分别为边，的中点，延长至点F，使，连接，，.
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）求的长.
【答案】（1）证明：∵D、E分别是，中点，∴是的中位线，
∴，，∵，∴，且，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）可知，四边形为平行四边形，∴，
∵是等边三角形，∴，∵D为的中点，
∴，，∴，
∴，∴.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】 (1) 根据中位线定理推出四边形的一组对边平行且相等，故可证明其为平行四边形； (2)由(1) 的结论，平行四边形对边相等，求EF的问题就是求DC，在等边三角形中，有三线合一定理，故可以用勾股定理求DC。
16．（2023九上·南昌开学考）已知四边形是平行四边形，为对角线，分别在图①、图②中按要求作图（保留作图痕迹，不写做法）.
图① 图②
（1）如图①，点P为上任意一点，请仅用无刻度的直尺在上找出另一点Q，使；
（2）如图②，点P为上任意一点，请仅用无刻度的直尺在上找出一点Q，使.
【答案】（1）解：如图，点Q即为所求作.
（2）解：如图，点Q即为所求作.
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】(1) 连接AC，交BD于O，连接PO并延长交DC于Q，根据平行四边形的定义和性质，对边平行形成的内错角相等、对角线互相平分、对顶角相等找到AP和CQ所在的三角形全等条件，故AP=CQ；(2)连接AC，交BD于O，连接AP延长交BC于E，连接EO延长交AD于F，连接FC，交BD于Q.同(1)一样原理，通过平行四边形性质找到全等条件，证明线段所在的三角形全等。
17．（2023九上·南昌开学考）已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c分别为三边的长.
（1）如果是方程的一个根，试判断的形状，并说明理由；
（2）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
【答案】（1）解：是等腰三角形，
理由：∵是方程的根，∴，∴，
∴，∴，∴是等腰三角形；
（2）解：如果是等边三角形，则，原方程可化为：，
∴，解得：，.
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】 (1)根据题意把x=1代入方程，整理得到a=c，故可判定三角形是等腰三角形；(2)试求方程的根，则可根据等边三角形三边相等即a=b=c，把方程中的三个未知系数变成一个未知系数，又通过系数化简得到一个只含有未知数x的一元二次方程，可解。
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2023·宁夏）“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了型和型两种玩具，已知用520元购进型玩具的数量比用175元购进型玩具的数量多30个，且型玩具单价是型玩具单价的倍．
（1）求两种型号玩具的单价各是多少元？
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：
甲：，解得，经检验是原方程的解．
乙：，解得，经检验是原方程的解．
则甲所列方程中的表示 ，乙所列方程中的表示 ；
（2）该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进型玩具多少个？
【答案】（1）型玩具的单价；购买型玩具的数量
（2）设购进型玩具个，则购买型玩具个，
由（1）中甲同学所列方程的解可知：型玩具的单价为5元，则型玩具的单价为元，
由题意，得：，
解得：，
∵为整数，
∴；
答：最多购进型玩具个．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：（1）解：对于甲：表示的是：用520元购进型玩具的数量比用175元购进型玩具的数量多30个，
∴分别表示型玩具和型玩具的数量，
∴表示型玩具的单价；
对于乙：表示的是：型玩具单价是型玩具单价的倍，
∴，分别表示表示型玩具和型玩具的单价，
∴表示购买型玩具的数量；
故答案为：型玩具的单价；购买型玩具的数量.
【分析】 （1）根据所列的方程，可知甲所列方程中的x表示B型玩具的单价，乙所列方程中的x表示A型玩具的数量；
（2）设可购进A型玩具a个，列出不等式，解不等式即可得出答案．
19．（2023九上·南昌开学考）已知一次函数（k、b为常数，且）的图象（如图1）.
图1 图2
（1）求k，b的值；
（2）正比例函数（m为常数，）与一次函数相交于点P（如图2），则不等式的解集为 ；不等式组的解集为 .
【答案】（1）解：分别将，代入得：
，解得；
（2）；.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：如图：正比例函数与一次函数的交点P横坐标为1
故不等式的解集为
故第一空填：
如图： 不等式组的解集应为图中图象位于x轴上方部分，即
故第二空填：
【分析】 (1)已知经过直线的2点的坐标，用待定系数法可以求出一次函数的解析式；(2)根据函数值的大小比较、不等式的大小比较直接从图中读取数据。
20．（2023九上·南昌开学考）古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设，则三角形的面积.我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则三角形的面积.依据上述公式解决下列问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于 ；
（2）若一个三角形的三边长分别是，3，，求这个三角形的面积.
【答案】（1）
（2）解：.
答：这个三角形的面积是3.
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：（1），
.
答：这个三角形的面积等于.
故答案为：.
【分析】 (1) 已知三角形三边求面积，我们应该熟记并使用海伦公式。(2)题中三边有两边的值带根号，故选用秦九韶公式代入计算较简便。
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2023九上·南昌开学考）甲、乙两名队员参加射击训练，每人射击10次，成绩分别如下：根据以上信息，整理分析数据如下：
平均成绩/环 中位数/环 众数/环 方差
甲 a 7 7 1.2
乙 7 b 8 c
（1） ， ， .
（2）填空：（填“甲”或“乙”）.
从中位数的角度来比较，成绩较好的是 ；从众数的角度来比较，成绩较好的是 ；成绩相对较稳定的是 .
（3）从甲、乙两名队员中选一名队员参加比赛，选谁更合适，为什么？
【答案】（1）7；7.5；4.2
（2）乙；乙；甲
（3）解：乙
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】 (1)如图：环
故第一空填：7
乙的成绩为（环）：3，4，6，7，7，8，8，8，9，10，中位数是第五和第六个数据的平均值，
故第二空填：7.5
根据方差公式：
=4.2
故第三空填：4.2
(3)解：选乙更加合适。从中位数和众数的角度来看，乙成绩较好；甲乙平均成绩都是7环，稳定发挥的夺冠可能性较低， 说明乙超水平发挥的概率高，故选乙更加合适。
【分析】 (1) 掌握平均数、中位数、方差的计算方法； (2) 根据中位数和众数进行分析评价； (3)会根据方差判定数据的稳定性和波动性，但不是稳定性越小越好，要根据目标确定。
22．（2023九上·南昌开学考）已知：直线与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段上.将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处.
（1）直接写出点A，点B的坐标；
（2）求的长度；
（3）取的中点M，若点P在y轴上，点Q在直线上，存在以C、M、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，则点Q的坐标为 .
【答案】（1）
（2）解：由（1）知，，由勾股定理得，，
∵将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处.
∴，，，∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，，解得，∴；
（3）或或.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】 (1)当y=0时，
解得x=-16
当x=0时，
故：A(-16，0) B(0，12)
(3)如图，P、Q的位置有三种情况：当MC为对角线时、当MC为边且位于AB下方、当MC为边且位于AB上方
1、当MC为边且位于AB下方
由(2) 的结论，知C的坐标（-6，0），
M是AB的中点，坐标为（-8，6），
CM的中点E坐标为（-7，3）
CMQP是平行四边形，对角线互相平分
Q1E=EP1
已知AB函数解析式：
且
代入C（-6，0）
P1坐标（0，）
设Q1坐标（x，y）
，解得x=-14
，解得
故Q1坐标（-14，）
2、当MC为边且位于AB下方
设CM的解析式为yCM=kx+b
代入C、M的坐标得
解得k=-3，b=-18
CM解析式： yCM=-3x-18
代入P（0，）
设Q2坐标（x，y）
解得x=-2，y=
Q2坐标（-2，）
3、当MC为边且位于AB上方
如图：P2的横坐标为0，则CP2和MQ3的交点E横坐标
E在AB上，纵坐标为
CMQP是平行四边形，对角线互相平分
Q3E=EP2
设Q3坐标（x，y）
，解得x=2
，解得
Q3坐标（2，）
综上
故填： 或或.
【分析】 (1) 根据函数与坐标轴交点的性质，代入求值即可；(2)根据折叠的性质，用勾股定理可求；(3)关键在与分析出P、Q的三种位置，然后分别求值；根据题意找到点的坐标间的关系，找到直线的解析式间的关系，找到线段间的等量关系，即可求解。
六、（本大题共1题，共12分）
23．（2023九上·南昌开学考）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透.
某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析：
【提出问题】已知，求的最小值
【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题.
【解决问题】
（1）如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点.设，则.则线段 线段 ；
（2）在（1）的条件下，已知，求的最小值；
（3）【应用拓展】应用数形结合思想，求的最大值.
【答案】（1）；
（2）解：如图，作点A关于的对称点H，连接交于点P，
此时，最小，即和最小，
由题意得：，，
则，
即的最小值为：；
（3）解：如图，在矩形的基础上，构建，连接、，设，，，，
则，
，
当A、C、D共线时，最大，即的最大，
且的最大值，
即的最大值为：.
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】 (1)、 根据题意， 和表示直角三角形的两斜边长，
故填：AP、PD
【分析】 (1)、根据勾股定理找到两直角三角形的斜边；(2)、根据轴对称（将军饮马模型）求两线段和的最小值；(3)、根据数形结合的思上路，在一问的基础 上，先考虑构造直角三角形ABC，直角边AB、BC分别是x和3，另一直角三角形的一直角边是（x-6)，说明此直角边AB在上且共点A，由此整理思路画图，确认数形正确结合，所求最大值即CD的最大长度，由勾股定理即可求解。
1 / 1江西省南昌市二十八中教育集团2023—2024学年九年级上学期数学开学考试试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（2022七下·西安期末）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·崂山模拟）石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景，被认为是一种未来革命性的材料，石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为0.000000000142米 ，数字“0.000000000142”用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023九上·南昌开学考）若一个三角形的三边长分别为2、6、a，则a的值可以是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
4．（2023九上·南昌开学考）下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·南昌开学考）如图，在中，点D，E，F分别是，，中点，以这些点为顶点，在图中能画出多少个平行四边形（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2023·广安）如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并上升一定高度，则下列能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的时间x（单位：s）之间的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2023九上·南昌开学考）分解因式： .
8．（2023九上·南昌开学考）某校举行了“珍爱生命，预防溺水”为主题的演讲比赛，提高学生的安全意识.演讲者的最终比赛成绩按照演讲内容、现场效果、外在形象三项得分分别占40%，40%，20%的比例折算.已知李明同学的三项原始得分分别是90分，95分，90分，那么李明同学最终比赛成绩为 分.
9．（2023九上·南昌开学考）在平面直角坐标系中，将向下平移3个单位，所得函数图象过，则a的值为 .
10．（2023九上·南昌开学考）以正五边形的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形的顶点落在直线上，则正五边形旋转的度数至少为 °.
11．（2023九上·南昌开学考）如图，在中，，，D，E分别是边，的中点，点F在上，且，则的长是 .
12．（2023九上·南昌开学考）已知函数与，若，则x的值是 .
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2023九上·南昌开学考）计算：
（1）
（2）解方程：
14．（2023九上·南昌开学考）以下是某同学化简分式的部分运算过程：
解：原式 ……第一步 ……第二步 ……第三步
（1）上面的运算过程中第 步开始出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程.
15．（2023九上·南昌开学考）如图，等边三角形的边长是4，D，E分别为边，的中点，延长至点F，使，连接，，.
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）求的长.
16．（2023九上·南昌开学考）已知四边形是平行四边形，为对角线，分别在图①、图②中按要求作图（保留作图痕迹，不写做法）.
图① 图②
（1）如图①，点P为上任意一点，请仅用无刻度的直尺在上找出另一点Q，使；
（2）如图②，点P为上任意一点，请仅用无刻度的直尺在上找出一点Q，使.
17．（2023九上·南昌开学考）已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c分别为三边的长.
（1）如果是方程的一个根，试判断的形状，并说明理由；
（2）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2023·宁夏）“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了型和型两种玩具，已知用520元购进型玩具的数量比用175元购进型玩具的数量多30个，且型玩具单价是型玩具单价的倍．
（1）求两种型号玩具的单价各是多少元？
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：
甲：，解得，经检验是原方程的解．
乙：，解得，经检验是原方程的解．
则甲所列方程中的表示 ，乙所列方程中的表示 ；
（2）该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进型玩具多少个？
19．（2023九上·南昌开学考）已知一次函数（k、b为常数，且）的图象（如图1）.
图1 图2
（1）求k，b的值；
（2）正比例函数（m为常数，）与一次函数相交于点P（如图2），则不等式的解集为 ；不等式组的解集为 .
20．（2023九上·南昌开学考）古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设，则三角形的面积.我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则三角形的面积.依据上述公式解决下列问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于 ；
（2）若一个三角形的三边长分别是，3，，求这个三角形的面积.
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2023九上·南昌开学考）甲、乙两名队员参加射击训练，每人射击10次，成绩分别如下：根据以上信息，整理分析数据如下：
平均成绩/环 中位数/环 众数/环 方差
甲 a 7 7 1.2
乙 7 b 8 c
（1） ， ， .
（2）填空：（填“甲”或“乙”）.
从中位数的角度来比较，成绩较好的是 ；从众数的角度来比较，成绩较好的是 ；成绩相对较稳定的是 .
（3）从甲、乙两名队员中选一名队员参加比赛，选谁更合适，为什么？
22．（2023九上·南昌开学考）已知：直线与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段上.将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处.
（1）直接写出点A，点B的坐标；
（2）求的长度；
（3）取的中点M，若点P在y轴上，点Q在直线上，存在以C、M、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，则点Q的坐标为 .
六、（本大题共1题，共12分）
23．（2023九上·南昌开学考）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透.
某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析：
【提出问题】已知，求的最小值
【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题.
【解决问题】
（1）如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点.设，则.则线段 线段 ；
（2）在（1）的条件下，已知，求的最小值；
（3）【应用拓展】应用数形结合思想，求的最大值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形特点分别分析判断，轴对称图形沿一条轴折叠180°，被折叠两部分能完全重合，关键是找到对称轴.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：数字“0.000000000142”用科学记数法表示为．
故答案为：B．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
3．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】根据三角形三边关系得：
故选：C
【分析】三角形的第三边小于另两边的和，大于另两边的差。
4．【答案】B
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】 A：，不能与合并；
B：，能与合并；
C：，不能与合并；
D：，不能与合并，可与它直接计算。
故选：B
【分析】二次根式先化成最简，是同类根式的可以合并。
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】D、F是中点，即DF是底边BC的中位线，
四边形DFEB是平行四边形
同理，四边形DFEC、DEFA也都是平行四边形
故选：C
【分析】根据中位线定理，得到平行四边形的判定条件，三角形三边分别可做底边，在图中可画出3个平行四边形。
6．【答案】A
【知识点】一次函数的图象；一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：由浮力的知识可知当铁块完全浸没在水中时，浮力不变；当铁块的排水体积逐渐减小时，浮力减小；当铁块与水面无接触时，浮力将不再变化；
∴弹簧测力计的读数应先不变，再上升，再不变，
故答案为：A
【分析】根据浮力的知识即可得到弹簧测力计读数的变化情况，进而即可画出函数图象。
7．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】
故填：
【分析】因式分解首先考虑提公因式法，然后考虑公式法。
8．【答案】92
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】根据题意，
故填：92
【分析】根据加权平均数的定义计算。
9．【答案】
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】根据题意，把 向下平移3个单位，得到函数
代入点（a，3）
-2a-2=3
解得
故填：
【分析】函数图象向下平移3个单位，函数的解析式y=kx+b的b值部分要-3，得到新的函数解析式；代入点坐标，求解即可。
10．【答案】72
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】五边形内角和：
正五边形，5个内角都相等，
一个内角度数：
旋转的度数至少为
故填：72°
【分析】思考动态的过程，发现旋转的角度正好和内角互补，根据内角和公式并且各内角相等先求得一个内角的度数，再计算它的补角。
11．【答案】3
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】D、E是AB、AC中点
DE是三角形ABC的中位线，
又
（直角三角形中斜边中线等于斜边一半）
EF=DE-DF=7-4=3
故填：3
【分析】根据题意，中位线平行于底边且等于底边的一半，可求DE，如果知道DF则EF可求；故转化为求DF的问题；题中给了直角和斜边中点，让我们想到了斜边上的中线等于斜边的一半，至此可求EF。
12．【答案】1或2或4
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】
当时，
解得x1=1，x2=2
当时，
解得x=4
故填：1或2或4
【分析】根据题意，分别讨论x不同范围取值时，y1=y2，计算使其成立的x值。
13．【答案】（1）解：原式
（2）解：，
或，解得，.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】 (1)了解任意非零数的零次幂等于1，掌握二次根式的定义和负整数次幂的运算法则；(2)先整理成一般式，然后根据一般式系数的特点再解一元二次方程是一般的思路，本题中已有公因式出现，故直接提取公因式进行因式分解，再求解。
14．【答案】（1）一
（2）解：原式.
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】第一步即出错，因为除法没有类似乘法分配律那样的定律，除式应先通分后再按照除法法则来计算；在通分后发现分子的三项符合完全平方差公式，运用可使问题简化。
15．【答案】（1）证明：∵D、E分别是，中点，∴是的中位线，
∴，，∵，∴，且，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）可知，四边形为平行四边形，∴，
∵是等边三角形，∴，∵D为的中点，
∴，，∴，
∴，∴.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】 (1) 根据中位线定理推出四边形的一组对边平行且相等，故可证明其为平行四边形； (2)由(1) 的结论，平行四边形对边相等，求EF的问题就是求DC，在等边三角形中，有三线合一定理，故可以用勾股定理求DC。
16．【答案】（1）解：如图，点Q即为所求作.
（2）解：如图，点Q即为所求作.
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】(1) 连接AC，交BD于O，连接PO并延长交DC于Q，根据平行四边形的定义和性质，对边平行形成的内错角相等、对角线互相平分、对顶角相等找到AP和CQ所在的三角形全等条件，故AP=CQ；(2)连接AC，交BD于O，连接AP延长交BC于E，连接EO延长交AD于F，连接FC，交BD于Q.同(1)一样原理，通过平行四边形性质找到全等条件，证明线段所在的三角形全等。
17．【答案】（1）解：是等腰三角形，
理由：∵是方程的根，∴，∴，
∴，∴，∴是等腰三角形；
（2）解：如果是等边三角形，则，原方程可化为：，
∴，解得：，.
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】 (1)根据题意把x=1代入方程，整理得到a=c，故可判定三角形是等腰三角形；(2)试求方程的根，则可根据等边三角形三边相等即a=b=c，把方程中的三个未知系数变成一个未知系数，又通过系数化简得到一个只含有未知数x的一元二次方程，可解。
18．【答案】（1）型玩具的单价；购买型玩具的数量
（2）设购进型玩具个，则购买型玩具个，
由（1）中甲同学所列方程的解可知：型玩具的单价为5元，则型玩具的单价为元，
由题意，得：，
解得：，
∵为整数，
∴；
答：最多购进型玩具个．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：（1）解：对于甲：表示的是：用520元购进型玩具的数量比用175元购进型玩具的数量多30个，
∴分别表示型玩具和型玩具的数量，
∴表示型玩具的单价；
对于乙：表示的是：型玩具单价是型玩具单价的倍，
∴，分别表示表示型玩具和型玩具的单价，
∴表示购买型玩具的数量；
故答案为：型玩具的单价；购买型玩具的数量.
【分析】 （1）根据所列的方程，可知甲所列方程中的x表示B型玩具的单价，乙所列方程中的x表示A型玩具的数量；
（2）设可购进A型玩具a个，列出不等式，解不等式即可得出答案．
19．【答案】（1）解：分别将，代入得：
，解得；
（2）；.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：如图：正比例函数与一次函数的交点P横坐标为1
故不等式的解集为
故第一空填：
如图： 不等式组的解集应为图中图象位于x轴上方部分，即
故第二空填：
【分析】 (1)已知经过直线的2点的坐标，用待定系数法可以求出一次函数的解析式；(2)根据函数值的大小比较、不等式的大小比较直接从图中读取数据。
20．【答案】（1）
（2）解：.
答：这个三角形的面积是3.
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：（1），
.
答：这个三角形的面积等于.
故答案为：.
【分析】 (1) 已知三角形三边求面积，我们应该熟记并使用海伦公式。(2)题中三边有两边的值带根号，故选用秦九韶公式代入计算较简便。
21．【答案】（1）7；7.5；4.2
（2）乙；乙；甲
（3）解：乙
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】 (1)如图：环
故第一空填：7
乙的成绩为（环）：3，4，6，7，7，8，8，8，9，10，中位数是第五和第六个数据的平均值，
故第二空填：7.5
根据方差公式：
=4.2
故第三空填：4.2
(3)解：选乙更加合适。从中位数和众数的角度来看，乙成绩较好；甲乙平均成绩都是7环，稳定发挥的夺冠可能性较低， 说明乙超水平发挥的概率高，故选乙更加合适。
【分析】 (1) 掌握平均数、中位数、方差的计算方法； (2) 根据中位数和众数进行分析评价； (3)会根据方差判定数据的稳定性和波动性，但不是稳定性越小越好，要根据目标确定。
22．【答案】（1）
（2）解：由（1）知，，由勾股定理得，，
∵将沿折叠后，点O恰好落在边上点D处.
∴，，，∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，，解得，∴；
（3）或或.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】 (1)当y=0时，
解得x=-16
当x=0时，
故：A(-16，0) B(0，12)
(3)如图，P、Q的位置有三种情况：当MC为对角线时、当MC为边且位于AB下方、当MC为边且位于AB上方
1、当MC为边且位于AB下方
由(2) 的结论，知C的坐标（-6，0），
M是AB的中点，坐标为（-8，6），
CM的中点E坐标为（-7，3）
CMQP是平行四边形，对角线互相平分
Q1E=EP1
已知AB函数解析式：
且
代入C（-6，0）
P1坐标（0，）
设Q1坐标（x，y）
，解得x=-14
，解得
故Q1坐标（-14，）
2、当MC为边且位于AB下方
设CM的解析式为yCM=kx+b
代入C、M的坐标得
解得k=-3，b=-18
CM解析式： yCM=-3x-18
代入P（0，）
设Q2坐标（x，y）
解得x=-2，y=
Q2坐标（-2，）
3、当MC为边且位于AB上方
如图：P2的横坐标为0，则CP2和MQ3的交点E横坐标
E在AB上，纵坐标为
CMQP是平行四边形，对角线互相平分
Q3E=EP2
设Q3坐标（x，y）
，解得x=2
，解得
Q3坐标（2，）
综上
故填： 或或.
【分析】 (1) 根据函数与坐标轴交点的性质，代入求值即可；(2)根据折叠的性质，用勾股定理可求；(3)关键在与分析出P、Q的三种位置，然后分别求值；根据题意找到点的坐标间的关系，找到直线的解析式间的关系，找到线段间的等量关系，即可求解。
23．【答案】（1）；
（2）解：如图，作点A关于的对称点H，连接交于点P，
此时，最小，即和最小，
由题意得：，，
则，
即的最小值为：；
（3）解：如图，在矩形的基础上，构建，连接、，设，，，，
则，
，
当A、C、D共线时，最大，即的最大，
且的最大值，
即的最大值为：.
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】 (1)、 根据题意， 和表示直角三角形的两斜边长，
故填：AP、PD
【分析】 (1)、根据勾股定理找到两直角三角形的斜边；(2)、根据轴对称（将军饮马模型）求两线段和的最小值；(3)、根据数形结合的思上路，在一问的基础 上，先考虑构造直角三角形ABC，直角边AB、BC分别是x和3，另一直角三角形的一直角边是（x-6)，说明此直角边AB在上且共点A，由此整理思路画图，确认数形正确结合，所求最大值即CD的最大长度，由勾股定理即可求解。
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