中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
第23章 旋转（单元测试）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.
1．在以下生活现象中，属于旋转变换的是（ ）
A．钟表的指针和钟摆的运动
B．站在电梯上的人的运动
C．坐在火车上睡觉的旅客
D．地下水位线逐年下降
【答案】A
【解析】A、钟表的指针和钟摆的运动都是旋转变换，故本选项正确；
B、站在电梯上的人的运动属于平移现象，故本选项错误；
C、坐在火车上睡觉，属于平移现象，故本选项错误；
D、地下水位线逐年下降属于平移现象，故本选项错误；
故选A．
2．下列数字中是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】根据中心对称图形的定义可得①②④是中心对称图形，
故选C．
3．如图，将绕点O按逆时针方向旋转一定角度后得到，旋转角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将绕点O按逆时针方向旋转一定角度后得到，
旋转角是∠AOC或∠BOD．
故选D．
4．如图，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，使它与图中阴影部分组成的新图形构成中心对称图形，该小正方形的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【解析】应该将②涂黑．
故选B．
5．如图，在中，，将绕点顺时针旋转90°后得到（点的对应点是点，点的对应点是点），连接.若，则的大小是（ ）
A．77° B．69° C．67° D．32°
【答案】A
【解析】∵△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′，
∴AC=AC′,∠B=∠AB′C,∠CAC′=90°，
∴△ACC′为等腰直角三角形，
∴∠ACC′=∠AC′C=45°，
∵∠CC′B′=32°，
∴∠AB′C=∠B′CC′+∠CC′B=45°+32°=77°，
∴∠B=77°.
故选A.
6．如图，的对角线交点是直角坐标系的原点，轴，若顶点坐标是，，则顶点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵坐标是，，
，
∵的对角线交点是直角坐标系的原点，
∴B，D关于原点对称．
，
故选A．
7．如图，将一个含角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点C，A，在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ∵是由旋转得到.
故选D．
8．如图，已知等边和等边，其中A、B、D三个点在同一条直线上，且，连接AE、CD．则下列关于图形变换的说法正确的是（ ）
A．可看作是沿AB方向平移所得
B．和关于过点B且垂直于AB的直线成轴对称
C．可看作是由绕点B顺时针方向旋转60°所得
D．和关于点B成中心对称
【答案】C
【解析】A、∵，
∴不能看作是沿AB方向平移所得，说法错误；
B、∵，
∴和不关于过点B且垂直于AB的直线成轴对称，说法错误；
C、∵和是等边三角形，
∴BA＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠EBD＝60°，
∴∠ABE＝∠CBD，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
又∵∠ABC＝60°，
∴可看作是由绕点B顺时针方向旋转60°所得，说法正确；
D、由中心对称的性质可知：和不关于点B成中心对称，说法错误；
故选C．
9．已知：如图，等边三角形的边长为边在轴正半轴上，现将等边三角形绕点逆时针旋转，每次旋转则第次旋转结束后，等边三角形中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】过点B作BD⊥OA于D，过点O作OF⊥AB于F，BD与OF相交于点E，则点E是等边三角形的中心．
∵等边三角形OAB的边长为
∴OD=，∠AOF=
∴DE=
∴E，OE=2
依题意可知：OE每次逆时针旋转，那么每6次又回到原位置．
∴
故选D.
10．如图，O是正△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO′＝6+3．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】如图，
由题意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，
∴∠1＝∠3，
又∵OB＝O′B，AB＝BC，
∴△BO′A≌△BOC，
又∵∠OBO′＝60°，
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，
故结论①正确；
如图，连接OO′，
∵OB＝O′B，且∠OBO′＝60°，
∴△OBO′是等边三角形，
∴OO′＝OB＝4．
故结论②正确；
∵△BO′A≌△BOC，
∴O′A＝5．
在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°，
∴∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，
故结论③正确；
S四边形AOBO′＝S△AOO′+S△OBO′═3×442＝6+4，
故选C．
二、填空题：共8小题，每小题3分，共24分.
11．如图所示的图案，可以看作是一个四边形（阴影部分）按顺时针方向通过5次旋转得到的，每次旋转的角度是 _____．
【答案】60度
【解析】每次旋转了．
故答案为：．
12．已知和关于原点对称，则________．
【答案】4
【解析】∵点P(m-3,2)与点Q(5,n+4)关于原点对称，
∴m-3=-5，n+4=-2，
∴m=-2，n=-6，
∴m-n=-2-(-6)=4，
故答案为：4．
13．如图，矩形ABCD中，，，矩形ABCD绕点A顺时针旋转90度，得到矩形，则__________．
【答案】
【解析】由旋转的性质可知，，，
中，由勾股定理得，
，
在中，由勾股定理得，
．
故答案为：．
14．如图，在平面直角坐标系中，将绕着旋转中心顺时针旋转，得到，则旋转中心的坐标为__________．
【答案】（1， 1）
【解析】∵△OAB绕旋转中心顺时针旋转90°后得到△CDE，
∴O的对应点分别是C，、B的对应点分别是E，
又∵线段BE的垂直平分线为y=x，
线段OC的垂直平分线是y=1，
∴线段BE与OC的垂直平分线的交点为（1， 1）．
故答案为（1， 1）．
15．如图，在长方形中，，，将长方形绕点旋转一定角度后得长方形，交于点，且，则的长为______．
【答案】5
【解析】由旋转可得A1B=AB=8，
∵长方形，
∴BC=AD=4，CD=AB=8，∠C=90°，
设BE=DE=x，则CE=8-x，
在Rt△BCE中，由勾股定理，得
42+(8-x)2=x2，
解得：x=5，
即DE=5，
故答案为：5．
16．一个长方形ABCD在数轴上的位置如图所示，AB=3，AD=2，若此长方形绕着顶点按照顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1，求翻转2018次后，点B所对应的数_________．
【答案】5044
【解析】如图，翻转两次后点B落在数轴上，以后翻转4次为一个周期，且长方形的周长=2（2+3）=10，
∴一个周期后右边的点移动10个单位长度，
∵，
∴翻转2018次后，点B落在数轴上，
点B所对应的数是，
故答案为：5044.
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝8，O是AC的中点，把Rt△ABC绕着点O旋转得到Rt△A'B'C'，使得点C的对应点C'恰好落在AB上，则C，C'两点间的距离是 ．
【答案】4
【解析】如图，连接A'A，A'C，
∵O是AC的中点，
∴OC＝AO，
∵把Rt△ABC绕着点O旋转得到Rt△A'B'C'，
∴AC＝A'C'，AO＝CO，A'O＝C'O，
∴四边形AC'CA'是平行四边形，且AC＝A'C'，
∴四边形AC'CA'是矩形，
∴∠CC'A＝90°，且∠CAB＝30°，AC＝8，
∴CC'＝4，
故答案为：4．
18．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线y＝x上，再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1Q2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y＝x上，依次进行下去…，若点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（，1），则点A12的横坐标是___．
【答案】9（+1）
【解析】根据将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1O2的位置可知：∠BA1O1＝90°，
∴∠OAB＝90°，
当y＝1时，x＝，即AB＝，
∴∠AOB＝60°，
如图，延长A2O2交x轴于E，则∠OEO2＝90°，
∴OO2＝2++1＝3+，
∴O2E=，
∴OE==（+1），
∴点A2的横坐标为（+1），
同理可得：点A4的横坐标3（+1），
点A6的横坐标（+1），
点A8的横坐标6（+1），
∴点A12的横坐标是×6（+1），即9（+1）．
故答案为：9（+1）．
三、解答题：本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19．如图所示，正方形中，E在上，按逆时针方向转动一个角度后成．
(1)图中哪一点是旋转中心．
(2)求旋转角度．
(3)求的度数并指出的形状．
【解析】（1）由图可知，旋转中心为点D；
（2）∵CD绕点D旋转得AD，∴∠CDA为旋转角，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CDA=90°，∴旋转角为90°；
（3）∵△DGA由△DEC旋转得到，∴DG=DE，∠GDE=∠ADC=90°，∴△DGE是等腰直角三角形．
20．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长均为单位1，在方格中作图：
(1)作关于直线的轴对称图形．
(2)作关于点的中心对称图形．
【解析】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求作的三角形；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求作的三角形．
21．如图，在中，，点D是射线上一点，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接．
（1）当点D在线段上时，连接，若，则线段，的位置关系是________；
（2）当点D在线段的延长线上时，
①依题意补全图形；
②求证：．
【解析】（1）如图①，∵线段绕点B顺时针旋转，得到线段，
∴，∴为等边三角形，
∵，∴，∴．
∵，∴，∴，
∴．
（2）①解：依题意补全图形如图②；
②证明：如图③，过点E作于点M．
∵线段绕点B顺时针旋转，得到线段，
∴，
∵，∴．
∵，
，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，∴．
∴垂直平分．
∴．
22．△ABC中，BC＝8，以AC为边向外作等边△ACD．
（1）如图①，△ABE是等边三角形，若AC＝6，∠ACB＝30°，求CE的长；
（2）如图②，若∠ABC＝60°，AB＝4，求BD的长．
【解析】（1）∵△ABE和△ACD都是等边三角形，
∴AE＝AB，AC＝AD＝CD，∠EAB＝∠DAC＝∠ACD＝60°，
∴∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
在△EAC和△BAD中，，
∴△EAC≌△BAD（SAS），
∴CE＝BD，
∵∠ACD＝60°，∠ACB＝30°，
∴∠BCD＝90°，
在Rt△BCD中，∵CD＝AC＝6，BC＝8，
∴BD10，
∴CE＝BD＝10；
（2）取BC的中点E，连接AE，如图②所示：
∵BC＝8，
∴BE＝CEBC＝4，
∵AB＝4，
∴AB＝BE，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE＝∠AEB＝60°，AE＝BE＝4＝CE，
∴△ACE是等腰三角形，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠AEB＝∠EAC+∠ECA＝60°，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴∠BCD＝∠ECA+∠ACD＝30°+60°＝90°，∠BAC＝∠EAC+∠BAE＝30°+60°＝90°，
由勾股定理得：AC＝CD4，
∴BD4．
23．如图，已知△ABC．
(1)以顶点A为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△AB′C′，画出△AB′C′（不写画法，保留画图痕迹）；
(2)判断直线BC，B′C′的位置关系，并说明理由．
【解析】
【分析】画图如图所示：
(2)垂直．
设直线BC，相交于点D，
∵，
∴，
∴
∵在四边形AB′DB中，，
∴，
∴．
24．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM+BM+CM的最小值为22时，求正方形的边长．
【解析】（1）证明：∵△ABE是等边三角形，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°．
∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN﹣∠ABN＝∠ABE﹣∠ABN．
即∠MBA＝∠NBE．
又∵MB＝NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）．
（2）解：①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小．②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM+BM+CM的值最小．
理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN，
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，
∴△BMN是等边三角形．
∴BM＝MN．
∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．
根据“两点之间线段最短”可知，若E、N、M、C在同一条直线上时，EN+MN+CM取得最小值，最小值为EC．
在△ABM和△CBM中，，
∴△ABM≌△CBM，
∴∠BAM＝∠BCM，
∴∠BCM＝∠BEN，
∵EB＝CB，
∴若连接EC，则∠BEC＝∠BCE，
∵∠BCM＝∠BCE，∠BEN＝∠BEC，
∴M、N可以同时在直线EC上．
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．
（3）解：过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝90°﹣60°＝30°．
设正方形的边长为x，则BFx，EF．
在Rt△EFC中，
∵EF2+FC2＝EC2，
∴（）2+（x+x）2＝（22）2．
解得x1＝2，x2＝﹣2（舍去负值）．
∴正方形的边长为2．
25．已知是等边的高，，点O为直线上的动点（不与点A重合），连接，将线段绕点O顺时针旋转，得到线段，连接、．
（1）问题发现
如图1，当点O在线段上时，线段与的数量关系为_________，的度数是_________；
（2）问题探究：
如图2，当点O在线段的延长线上时，（1）中结论是否还成立？请说明理由；
（3）问题解决：
当时，求出线段的长．
【解析】（1）AO＝CE，∠ACE＝90°，理由：
∵线段BO绕点O顺时针旋转60°，得到线段OE，
故BO＝OE，∠BOE＝60°，
∴△BOE为等边三角形，
∴∠OBE＝60°，BE＝BO，
∵∠OBE＝60°＝∠OBD+∠DBE，∠ABC＝60°＝∠ABO+∠OBD，
∴∠ABO＝∠CBE，
在ABO和△CBE中，
，
∴△ABO≌△CBE（SAS），
∴AO＝CE，∠BAO＝∠BCE，
∵AD是等边三角形ABC的高，故AD也是∠BAC的平分线，
故∠BAO＝30°＝∠BCE，
∴∠ACE＝∠BCE+∠ACB＝30°+60°＝90°，
故答案为：AO＝CE，∠ACE＝90°；
（2）成立，理由如下：
连接BE．
∵线段BO绕点O顺时针旋转了60°得EO，
∴△BOE是等边三角形，
∴BO＝BE，∠OBE＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝60°，
∴∠ABC+∠OBC＝∠OBE+∠OBC，即∠ABO＝∠CBE，
∴△ABO≌△CBE（SAS），
∴AO＝CE，∠BCE＝∠BAO，
∵AD是等边△ABC的高，
∴∠BCE＝∠BAO＝30°，∠BCA＝60°，
∴∠ACE＝∠BCA+∠BCE＝90°，
∴AO＝CE，∠ACE＝90°；
（3）①当点O1在线段AD的延长线上时，
由（1）和（2）知：△BO1E1是等边三角形，∠ACE1＝90°，
∵∠ACE1＝90°，∠AE1C＝30°，
∴∠E1AC＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴点A、B、E1在一条直线上，
∵在Rt△ACE1中，AC＝2，∠AE1C＝30°，
∴A E1＝4，
∴BO1＝BE1＝2；
②当点O2在线段DA的延长线上时，
∵∠ACE2＝90°，∠AE2C＝30°，AC＝2，
∴，
∵△ABO2≌△CBE2（SAS），
∴，
∵AD是等边△ABC的高，AB＝AC＝2，
∴BD＝1，AD，
在Rt△O2DB中，BD＝1，
而O2D＝A O2+AD，
∴；
综上，BO＝2或2．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
第23章 旋转（单元测试）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.
1．在以下生活现象中，属于旋转变换的是（ ）
A．钟表的指针和钟摆的运动
B．站在电梯上的人的运动
C．坐在火车上睡觉的旅客
D．地下水位线逐年下降
2．下列数字中是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，将绕点O按逆时针方向旋转一定角度后得到，旋转角是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，使它与图中阴影部分组成的新图形构成中心对称图形，该小正方形的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
5．如图，在中，，将绕点顺时针旋转90°后得到（点的对应点是点，点的对应点是点），连接.若，则的大小是（ ）
A．77° B．69° C．67° D．32°
6．如图，的对角线交点是直角坐标系的原点，轴，若顶点坐标是，，则顶点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，将一个含角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点C，A，在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知等边和等边，其中A、B、D三个点在同一条直线上，且，连接AE、CD．则下列关于图形变换的说法正确的是（ ）
A．可看作是沿AB方向平移所得
B．和关于过点B且垂直于AB的直线成轴对称
C．可看作是由绕点B顺时针方向旋转60°所得
D．和关于点B成中心对称
9．已知：如图，等边三角形的边长为边在轴正半轴上，现将等边三角形绕点逆时针旋转，每次旋转则第次旋转结束后，等边三角形中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，O是正△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO′＝6+3．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：共8小题，每小题3分，共24分.
11．如图所示的图案，可以看作是一个四边形（阴影部分）按顺时针方向通过5次旋转得到的，每次旋转的角度是 _____．
12．已知和关于原点对称，则________．
13．如图，矩形ABCD中，，，矩形ABCD绕点A顺时针旋转90度，得到矩形，则__________．
14．如图，在平面直角坐标系中，将绕着旋转中心顺时针旋转，得到，则旋转中心的坐标为__________．
15．如图，在长方形中，，，将长方形绕点旋转一定角度后得长方形，交于点，且，则的长为______．
16．一个长方形ABCD在数轴上的位置如图所示，AB=3，AD=2，若此长方形绕着顶点按照顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1，求翻转2018次后，点B所对应的数_________．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝8，O是AC的中点，把Rt△ABC绕着点O旋转得到Rt△A'B'C'，使得点C的对应点C'恰好落在AB上，则C，C'两点间的距离是 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线y＝x上，再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1Q2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y＝x上，依次进行下去…，若点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（，1），则点A12的横坐标是___．
三、解答题：本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19．如图所示，正方形中，E在上，按逆时针方向转动一个角度后成．
(1)图中哪一点是旋转中心．
(2)求旋转角度．
(3)求的度数并指出的形状．
20．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长均为单位1，在方格中作图：
(1)作关于直线的轴对称图形．
(2)作关于点的中心对称图形．
21．如图，在中，，点D是射线上一点，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接．
（1）当点D在线段上时，连接，若，则线段，的位置关系是________；
（2）当点D在线段的延长线上时，
①依题意补全图形；
②求证：．
22．△ABC中，BC＝8，以AC为边向外作等边△ACD．
（1）如图①，△ABE是等边三角形，若AC＝6，∠ACB＝30°，求CE的长；
（2）如图②，若∠ABC＝60°，AB＝4，求BD的长．
23．如图，已知△ABC．
(1)以顶点A为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△AB′C′，画出△AB′C′（不写画法，保留画图痕迹）；
(2)判断直线BC，B′C′的位置关系，并说明理由．
24．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM+BM+CM的最小值为22时，求正方形的边长．
25．已知是等边的高，，点O为直线上的动点（不与点A重合），连接，将线段绕点O顺时针旋转，得到线段，连接、．
（1）问题发现
如图1，当点O在线段上时，线段与的数量关系为_________，的度数是_________；
（2）问题探究：
如图2，当点O在线段的延长线上时，（1）中结论是否还成立？请说明理由；
（3）问题解决：
当时，求出线段的长．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
