2023-2024学年广东省深圳市福田区红岭中学八年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省深圳市福田区红岭中学八年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.在实数：，，，，中，无理数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.以下列各组三条线段长为边，能组成直角三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3.三个正方形的面积如图，中间三角形为直角三角形，则正方形的边长为( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，在中，，，，，是的角平分线，则的周长是( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，数轴上的点所表示的数为，则的值为( )
A. B. C. D.
6.下列说法正确的是( )
A. 无限小数都是无理数 B. 没有立方根
C. 正数的两个平方根互为相反数 D. 的平方根是
7.如图，强强想测量旗杆的高度，旗杆对面有一高为米的大楼，大楼与旗杆相距米米，在大楼前米的点处，测得，且，，则旗杆的高为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程为( )
A. B. C. D.
9.如图，在矩形中，，，点为上一点，把沿翻折，恰好落在边上的处，则的长是( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，正方形，正方形，连结，，作交于点，记正方形和正方形的面积分别为，，若，，则：等于( )
A. ：
B. ：
C. ：
D. ：
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11.如果是二次根式，那么的取值范围是 ．
12.三角形的两边长分别为和，要使这个三角形是直角三角形，则第三边长是__．
13.与最简二次根式是同类二次根式，则______．
14.如图，在中，，，，则边上的高为______ ．
15.在如图所示的网格中，小正方形的边长均为，的顶点均在正方形格点上，则下列结论：
；
；
；
点到直线的距离是．
其中正确的有______ 将正确答案的序号填在横线上．
三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.本小题分
把下列各数分别填入相应的集合中．
，，，，，，，．
有理数集合：______ ；
无理数集合：______ ；
正实数集合：______ ．
17.本小题分
一个正数的两个不同的平方根分别是和．
求和的值；
求的立方根．
18.本小题分
计算：
；
；
；
．
19.本小题分
先化简，再求值：，其中，．
20.本小题分
如图所示的一块地，已知，，，，，求这块地的面积．
21.本小题分
今年第号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．
海港受台风影响吗？为什么？
若台风中心的移动速度为千米时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
22.本小题分
如图，在中，，，，点在线段上从点出发，以的速度向终点运动，设点的运动时间为．
______ ，边上的高为______ ；
点在运动过程中，当为等腰三角形时，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，是整数，是分数，它们均为有理数；
，，都是无限不循环小数，它们均为无理数；
综上无理数有个，
故选：．
整数和分数统称为有理数，无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
本题主要考查无理数的识别，熟练掌握实数的相关概念是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、，故是直角三角形，故本选项符合题意；
B、，故不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，故不是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，故不是直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．
3.【答案】
【解析】解：根据勾股定理以及正方形的面积公式可知：正方形的边长，
故选：．
根据勾股定理以及正方形的面积公式即可求解．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，，是的角平分线，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
的周长．
故选：．
由角平分线的性质得出，证明≌，得出，由勾股定理求出，则可得出答案．
本题考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：根据勾股定理知，直角三角形的斜边，
到点的距离就是，
点离原点的距离就是，
点表示的有理数是，
故选：．
先由勾股定理求出直角三角形的斜边，得到到点的距离，进而点离原点的距离，即可得到答案．
此题考查了实数与数轴，用勾股定理求得斜边的长是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：、无限循环小数是有理数，故该选项不符合题意；
B、有立方根是，故该选项不符合题意；
C、正数的两个平方根互为相反数，正确，故该选项符合题意；
D、，的平方根是，的平方根是，则故该选项不符合题意．
故选：．
根据平方根，立方根，无理数的意义逐一判断即可．
本题考查了实数，熟练掌握平方根，立方根，无理数的意义是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：由题意得，，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
故选：．
根据题意计算得，则，根据，得，则，根据得，则，利用可证明≌，即可得．
本题考查了全等三角形判定与性质，解题的关键是理解题意，掌握全等三角形判定与性质．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键．把立体几何图展开得到平面几何图，如图，然后利用勾股定理计算，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度．
【解答】解：展开图为：
则，，
在中，．
所以蚂蚁所走的最短路线长度为．
故选B．
9.【答案】
【解析】解：四边形为矩形，，，
，，，
根据折叠的性质可知，，，
在中，，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
．
故选：．
由折叠的性质得到，，先根据勾股定理求出的长，进而算出的长，再设，则，在中，根据勾股定理建立方程即可求解．
本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题关键．
10.【答案】
【解析】解：如图所示，过点作，交的延长线于点，作，交的延长线于点，
由题可得，，，
，
又，
，即平分，
又，，
，
正方形和正方形的面积分别为，，且，，
正方形的面积，
正方形和正方形的面积之比为：，
：：，
，
即：等于：．
故选：．
过点作，交的延长线于点，作，交的延长线于点根据平分，即可得出再根据正方形和正方形的面积之比为：，即可得到：：，进而利用三角形面积公式得到：的值．
本题主要考查了勾股定理以及角平分线的性质的运用，解决问题的难点是利用角平分线的性质发现，将：的值转化为：的值．
11.【答案】
【解析】解：是二次根式，
，
．
故答案为：．
二次根式要求被开方数是非负数，即，从而解得的取值范围．
本题考查二次根式，解题的关键是掌握二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，要特别注意这个条件．
12.【答案】或
【解析】解：当第三边是直角边时，根据勾股定理，第三边的长，三角形的边长分别为，，能构成三角形；
当第三边是斜边时，根据勾股定理，第三边的长，三角形的边长分别为，，亦能构成三角形；
综合以上两种情况，第三边的长应为或．
本题从边的方面考查三角形形成的条件，涉及分类讨论的思考方法，即：由于“两边长分别为和，要使这个三角形是直角三角形，”指代不明，因此，要讨论第三边是直角边和斜边的情形．
考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和第三边，任意两边之差第三边，当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去．
13.【答案】
【解析】【解答】
解：，
，
，
故答案为．
【分析】
本题考查了同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
先把化为最简二次根式，再根据同类二次根式得到，然后解方程即可．
14.【答案】
【解析】解：设，则，
在和中，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
则．
故答案为：．
设，则有，在直角三角形与直角三角形中，利用勾股定理列出方程，求出方程的解得到的值，即可确定出的长．
此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：由题意可得，，正确，符合题意；
，，，
，
是直角三角形，，正确，符合题意；
，错误，不符合题意；
设点到直线的距离是，
则，
即，正确，符合题意．
故答案为：．
根据题意和题目中的数据，利用勾股定理，可以得到、、的值，然后即可判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查的是勾股定理的逆定理及勾股定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
16.【答案】，，，， ，， ，，，
【解析】解：有理数集合：；
无理数集合：；
正实数集合：；
故答案为：，，，，；
，，；
，，，．
根据有理数的意义，即可解答；
根据无理数的意义，即可解答；
根据正实数的意义，即可解答．
本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键．
17.【答案】解：由题意可知：，
解得：，
；
，
．
【解析】根据正数的两个平方根互为相反数求解．
将中结果代入求解．
本题考查了立方根，解题关键是掌握一个正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数．
18.【答案】解：原式
；
原式
；
原式
；
原式
--
．
【解析】把拆成，拆成，然后利用平方根公式进行计算和化简即可；
按照积的乘方法则先算乘方，再根据单项式乘除单项式法则进行计算即可；
根据实数指数幂性质和积的乘方法则进行计算即可；
根据实数指数幂性质先算乘方和开方，最后算加减即可．
本题主要考查了实数的计算和整式的乘除运算，解题关键是熟练掌握平方差公式，单项式乘除法则和实数指数幂的性质．
19.【答案】解：原式
，
当，时，
原式
．
【解析】先利用完全平方公式和平方差公式把中括号里面的式子化简，然后利用多项式除以单项式化简，再代入求值即可．
本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式，以及多项式除以单项式法则．
20.【答案】解：连接，
，，，
，
又，
，
又，，
，
又，
，
，
．
【解析】连接，利用勾股定理可以得出三角形和是直角三角形，的面积减去的面积就是所求的面积．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
21.【答案】解：海港受台风影响，理由：
，，，
，
是直角三角形，；
过点作于，
是直角三角形，
，
，
，
以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，
海港受台风影响；
当，时，正好影响港口，
，
，
台风的速度为千米小时，
小时．
答：台风影响该海港持续的时间为小时．
【解析】利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响；
利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
22.【答案】解：，；
分三种情况：
当时，，
；
当时，作于，如图所示：
则，
由得：，
在中，由勾股定理得：，
；
当时，，
，，
，
，
，
，
；
综上所述：的值为或或．
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、三角形面积的计算；本题综合性强，有一定难度，特别是中，需要进行分类讨论，运用勾股定理和等腰三角形的性质才能得出结果．
在中，由勾股定理即可求出；由直角三角形的面积即可求出斜边上的高；
分三种情况：当时；当时；当时，分别分析即可得出结果．
【解答】
解：在中，，，，
；
作边上的高，如图所示：
的面积，
；
故答案为，；
见答案．
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