2023-2024学年河北省石家庄第二外国语学校八年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年河北省石家庄第二外国语学校八年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共13小题，共39.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.若分式有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.下列分式变形从左到右一定成立的是( )
A. B. C. D.
3.若分式的值为零，则的值是( )
A. B. C. D.
4.下列分式中是最简分式的是( )
A. B. C. D.
5.将分式中的，的值都变为原来的倍，则该分式的值( )
A. 变为原来的倍 B. 变为原来的倍 C. 不变 D. 变为原来的一半
6.计算的结果是( )
A. B. C. D.
7.化简的结果是( )
A. B. C. D.
8.若运算的结果为整式，则“”中的式子可能是( )
A. B. C. D.
9.如果，那么代数式的值为( )
A. B. C. D.
10.甲从地到地要走小时，乙从地到地要走小时，若甲、乙二人同时从、两地出发，经过几小时相遇( )
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
11.解方程去分母，两边同乘后的式子为( )
A. B.
C. D.
12.在复习分式的化简运算时，老师把甲、乙两位同学的解答过程分别展示如下则( )
甲：
乙：
A. 甲、乙都错 B. 甲、乙都对 C. 甲对，乙错 D. 甲错，乙对
13.已知，则分式与的大小关系是( )
A. B. C. D. 不能确定
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
14.约分： ______ ．
15.分式与的最简公分母是______ ．
16.方程的解为______ ．
17.若，则分式 ______ ．
三、解答题（本大题共5小题，共57.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18.本小题分
计算：
；
；
；
；
；
．
19.本小题分
已知分式：，解答下列问题：
化简分式；
分式的值能等于吗？请说明理由．
20.本小题分
解分式方程：
；
．
21.本小题分
根据规划设计，某工程队准备修建一条长的公路由于采取新的施工方式，实际每天修建公路的长度比原计划增加，从而缩短了工期假设原计划每天修建公路，那么
原计划修建这条公路需要多少天？实际修建这条公路用了多少天？
实际修建这条公路的工期比原计划缩短了几天？
22.本小题分
甲、乙两个工程队分别承担一条公路的维修任务，甲队有一半时间每天维修公路，另一半时间每天维修；乙队维修前公路时，每天维修，维修后公路时，每天维修，问甲、乙两队哪一队先完成任务？
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
本题考查了分式有意义的条件．关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
2.【答案】
【解析】解：若，则，若且，不为，则，故该选项错误；
B.不成立，例如，故该选项错误；
C. ，等式成立，故该选项正确；
D. ，故该选项错误；
故选：．
根据分式的基本性质对各选项逐一判断即可．
本题主要考查了分式的基本性质，熟记分式的基本性质是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：由题意得：，且，
解得：．
故选：．
根据分式值为零的条件可得，且，求出的值即可．
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
4.【答案】
【解析】解；、是最简二次根式，符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即．
本题考查的是最简二次根式，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
5.【答案】
【解析】解：，
故选：．
根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于的整式，分式的值不变，求解即可．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据分式乘法运算法则计算即可获得答案．
本题主要考查了分式乘法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
7.【答案】
【解析】解：，
故选：．
根据分式的性质，乘法公式进行化简即可求解．
本题主要考查运用乘法公式，分式的性质进行化简，掌握以上知识是解题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分式的乘除，解答的关键是明确运算结果为整式，得到“”中的式子可能是含的单项式．
根据分式的除法的法则进行整理，再由运算的结果为整式进行分析即可求解．
【解答】
解：，
运算的结果为整式，
“”中的式子可能是含的单项式．
9.【答案】
【解析】解：原式
，
，
，
故原式，
故选：．
将分式运算后代入数值计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：依题意得：小时故选D．
时间路程甲乙速度之和，题中没有路程，可设路程为，关键描述语是：甲、乙二人同时从、两地出发．
解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系，当题中没有一些必须的量时，为了简便，可设其为．
11.【答案】
【解析】解：分式方程的两侧同乘得：．
故选：．
根据分式方程的解法，两侧同乘化简分式方程即可．
本题考查了解分式方程时去分母，找到分式方程的公分母是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：甲同学的计算错误，
错误原因：第一步计算中，没有通分；
乙同学计算错误，
错误原因：第三步计算中，同分母分式相加，分母应保持不变；
正确的解答如下：
，
甲、乙都错，
故选：．
根据分式的运算法则，分析甲、乙两位同学的解答过程即可判断．
本题主要考查分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．
13.【答案】
【解析】解：
，
，
，，，
，
，
，
故选：．
利用作差法，与比较大小，从而得到与的大小．
本题考查了分式的加减，利用作差法比较大小是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：原式．
故答案为：．
找出分子分母的公因式，约分即可．
此题考查了约分，找出分子分母的公因式是约分的关键．
15.【答案】
【解析】解：分式与的最简公分母是：
故答案为：
利用最简公分母的定义计算．
本题考查了最简公分母，解题的关键是掌握最简公分母的定义．
16.【答案】
【解析】解：去分母，得，
解得，
经检验，是原分式方程的根，
故答案为：．
先去分母，化为整式方程，再进一步求解，注意检验．
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意检验．
17.【答案】
【解析】解：，
，
故答案为：．
先化简式子得出，再将代入即可．
本题考查了分式的化简求值，正确化简是解题的关键．
18.【答案】解：
；
；
；
；
．
【解析】约分化简即可；
约分化简即可；
先通分再化简即可；
先通分再化简即可；
先通分再化简即可；
先计算括号，再计算乘除．
本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算法则，属于中考常考题型．
19.【答案】解：
；
分式的值不能等于，
理由：令，
解得，
当时，原分式无意义，
分式的值不能等于．
【解析】先算括号内的式子，再算括号外的除法即可；
先判断，然后令中的结果等于，求出相应的的值，再观察此时的值是否使得原分式有意义即可．
本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20.【答案】解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：，
检验，当时，，
原分式方程的解为：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
检验，当时，，
原分式方程无解．
【解析】根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为、检验，进行计算即可得到答案；
根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为、检验，进行计算即可得到答案．
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意检验．
21.【答案】解：原计划修建这条公路需要天，实际修建这条公路用了天；
实际修建这条公路的工期比原计划缩短了天．
【解析】根据题意可以用代数式表示出原计划修建这条公路需要的天数和实际修建这条公路用的天数；
根据中的答案可以表示出实际修建这条公路的工期比原计划缩短的天数．
本题考查分式方程的应用，解答此类问题的关键是明确题意，用相应的分式表示出题目中的所求问题．
22.【答案】解：由题意得：甲队完成任务需要的时间为：；
乙队完成任务需要的时间为：；
甲、乙两队完成任务的时间差是：
，
，，且，
，，
，
甲队先完成任务．
【解析】甲队完成任务需要的时间工作总量工作效率；乙队完成任务需要的时间前所用的时间后所用的时间．让甲队所用时间减去乙队所用时间看是正数还是负数即可得出答案．
此题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．比较两个代数式，通常让这两个代数式相减看是正数还是负数．
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