2023-2024学年人教A版数学必修第一册同步检测第四章4.2.1指数函数的概念（含解析）

4.2　指数函数
4．2.1　指数函数的概念
一、单项选择题(共40分)
1．函数y＝(6a2－a)ax是指数函数，则a的值是(　　)
A．－ B. C. D．2
2．若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝81，则f的值为(　　)
A．± B．±3 C. D．3
3．若函数y＝(m2－m－1)mx是指数函数，则m等于(　　)
A．－1或2 B．－1 C．2 D.
4．某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交易日内，前5个交易日，平均每天上涨5%，后5个交易日内，平均每天下跌4.9%，则股民的股票盈亏情况(不计其他成本，精确到元)为(　　)
A．赚723元 B．赚145元
C．亏145元 D．亏723元
5．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系式是(　　)
A．y＝2x B．y＝2x－1
C．y＝2x D．y＝2x＋1
6．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.8 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过________小时后才可以驾驶机动车．(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
7．下列函数关系中，可以看作是指数型函数y＝kax(k∈R，a>0且a≠1)的模型的是(　　)
A．竖直向上发射的信号弹，从发射开始到信号弹到达最高点，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)
B．我国人口年自然增长率为1%时，我国人口总数与年份的关系
C．如果某人t s内骑车行进了1 km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系
D．信件的邮资与其重量间的函数关系
8．如表给出函数值y随自变量 x变化的一组数据，由此可判断它最可能的函数模型为(　　)
x －2 －1 0 1 2 3
y 1 4 16 64
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．幂函数模型
二、多项选择题（共20分）
9．以x为自变量的四个函数中，是指数函数的为(　　)
A．y＝(＋1)x B．y＝(1－)x
C．y＝3x＋1 D．y＝πx
10. 如图所示是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at，下列叙述正确的是(　　)
A．这个指数函数的底数为2
B．第5个月时，浮萍的面积会超过30 m2
C．浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月
D．浮萍每个月增加的面积都相等
11．若函数y＝(a2－4a＋b)ax是指数函数，则b可能的取值为(　　)
A．1 B．4 C．5 D．6
12．若f(x)为指数函数，已知集合A＝{x|f(x)＝4}，集合B＝{x|x2－9x－10≤0}，如果A∩B≠ ，则f(x)的解析式可能为(　　)
A．f(x)＝()x B．f(x)＝()x＋1
C．f(x)＝2x D．f(x)＝x
三、填空题（每题5分，共20分）
13．已知函数f(x)＝＋3(a>0且a≠1)，若f(1)＝4，则f(－1)＝________.
14．若函数f(x)是指数函数且f(2)＝16，则f(x)＝________，f＝________.
15．已知函数f(x)是指数函数，若f(x)过点(－2,4)，则f(f(－1))＝________.
16．一种产品的成本原来是a元，在今后m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，则成本y随经过的年数x变化的函数关系为________．
四、解答题（17题16分，18-20题各18分，共70分）
17．判断下列函数是否是指数函数：
(1)y＝2x(x∈N*)；(2)y＝x eq \s\up15( ) ；(3)y＝(－3)x；
(4)y＝－3x；(5)y＝(π－3)x；(6)y＝2x－1.
18．某林区2019年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，预计使木材蓄积量的年平均增长率能达到5%，若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的解析式．
19．已知集合A＝{x|x2－7x＋10≤0}，若函数y＝(a2－2a＋1)x(a∈A)为指数函数，求实数a的取值范围．
20. 为了预防流感，某学校对教室内用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系为y＝t－a(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，求药物释放完毕后，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)的函数解析式．
4.2　指数函数
4．2.1　指数函数的概念
一、单项选择题(共40分)
1．函数y＝(6a2－a)ax是指数函数，则a的值是(　　)
A．－ B. C. D．2
答案　B
解析　由题意得得a＝，故选B.
2．若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝81，则f的值为(　　)
A．± B．±3 C. D．3
答案　C
解析　由题意，得f(x)＝ax(a>0，a≠1)，f(2)＝a2＝81，解得a＝9或a＝－9(舍去)，∴f(x)＝9x，∴f＝9 eq \s\up15(－) ＝.
3．若函数y＝(m2－m－1)mx是指数函数，则m等于(　　)
A．－1或2 B．－1 C．2 D.
答案　C
解析　由题意得解得m＝2.故选C.
4．某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交易日内，前5个交易日，平均每天上涨5%，后5个交易日内，平均每天下跌4.9%，则股民的股票盈亏情况(不计其他成本，精确到元)为(　　)
A．赚723元 B．赚145元
C．亏145元 D．亏723元
答案　D
解析　由题意得10×(1＋5%)5×(1－4.9%)5≈10×0.99277＝9.9277；100000－99277＝723，故股民亏723元，故选D.
5．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系式是(　　)
A．y＝2x B．y＝2x－1
C．y＝2x D．y＝2x＋1
答案　D
解析　分裂一次后由2个变成2×2＝22个，分裂两次后为4×2＝23个，…，所以分裂x次后为2x＋1个，故选D.
6．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.8 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过________小时后才可以驾驶机动车．(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　设n个小时后才可以驾驶机动车，由题意得0.8(1－50%)n＝0.2，解得n＝2.故选B.
7．下列函数关系中，可以看作是指数型函数y＝kax(k∈R，a>0且a≠1)的模型的是(　　)
A．竖直向上发射的信号弹，从发射开始到信号弹到达最高点，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)
B．我国人口年自然增长率为1%时，我国人口总数与年份的关系
C．如果某人t s内骑车行进了1 km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系
D．信件的邮资与其重量间的函数关系
答案　B
解析　A中的函数模型是二次函数；B中的函数模型是指数型函数；C中的函数模型是反比例函数；D中的函数模型是一次函数．故选B.
8．如表给出函数值y随自变量 x变化的一组数据，由此可判断它最可能的函数模型为(　　)
x －2 －1 0 1 2 3
y 1 4 16 64
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．幂函数模型
答案　C
解析　由于变量可以取0，故函数模型不可能是幂函数模型；取点(0,1)，(1,4)，(2,16)，设一次函数为y＝kx＋b(k≠0)，则解得b＝1，k＝3，∴y＝3x＋1，当x＝2时，y＝7，故不可能是一次函数模型；设二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则
∴即y＝x2－x＋1，当x＝－1时，y＝7，故不可能是二次函数模型；设指数函数为y＝ax(a>0且a≠1)，则∴a＝4，∴指数函数为y＝4x，满足题意．故选C.
二、多项选择题（共20分）
9．以x为自变量的四个函数中，是指数函数的为(　　)
A．y＝(＋1)x B．y＝(1－)x
C．y＝3x＋1 D．y＝πx
答案　AD
解析　由指数函数的定义可知A，D是指数函数．
10. 如图所示是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at，下列叙述正确的是(　　)
A．这个指数函数的底数为2
B．第5个月时，浮萍的面积会超过30 m2
C．浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月
D．浮萍每个月增加的面积都相等
答案　AB
解析　∵(1,2)在y＝at上，∴2＝a1，a＝2，故A正确；浮萍蔓延的面积和时间的函数关系式为y＝2t，当t＝5时，y＝32>30，故B正确；当y＝4时，t＝2，经过1.5个月后浮萍蔓延的面积为23.5<12，故C不正确；由图可知，1月到2月浮萍蔓延面积增加2 m2，2月到3月浮萍蔓延面积增加4 m2，故D不正确．故选AB.
11．若函数y＝(a2－4a＋b)ax是指数函数，则b可能的取值为(　　)
A．1 B．4 C．5 D．6
答案　ABC
解析　因为函数y＝(a2－4a＋b)ax是指数函数，所以a>0，a≠1，a2－4a＋b＝1，即以a为未知数的方程a2－4a＋b－1＝0至少有一个不为1的正实数根．对于A，若b＝1，则a2－4a＝0，解得a＝0或a＝4，故A成立；对于B，若b＝4，则a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3，故B成立；对于C，若b＝5，则a2－4a＋4＝0，解得a＝2，故C成立；对于D，若b＝6，则a2－4a＋5＝0，此方程无解，故D不成立．故选ABC.
12．若f(x)为指数函数，已知集合A＝{x|f(x)＝4}，集合B＝{x|x2－9x－10≤0}，如果A∩B≠ ，则f(x)的解析式可能为(　　)
A．f(x)＝()x B．f(x)＝()x＋1
C．f(x)＝2x D．f(x)＝x
答案　AC
解析　∵f(x)为指数函数，∴由指数函数的定义可知B错误；∵B＝{x|x2－9x－10≤0}＝{x|－1≤x≤10}，对于A，当f(x)＝4时，即()x＝4，此时x＝4，符合题意，正确；对于C，当f(x)＝4时即2x＝4，此时x＝2，符合题意，正确；对于D，当f(x)＝4时，即x＝4，此时x＝－2，不符合题意，错误．故选AC.
三、填空题（每题5分，共20分）
13．已知函数f(x)＝＋3(a>0且a≠1)，若f(1)＝4，则f(－1)＝________.
答案　0
解析　∵f(1)＝4，∴f(1)＝＋3＝4，∴a＝3，
∴f(x)＝＋3，∴f(－1)＝＋3＝0.
14．若函数f(x)是指数函数且f(2)＝16，则f(x)＝________，f＝________.
答案　4x　
解析　设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，依题意有a2＝16，得a＝4，
故f(x)＝4x，f＝4 eq \s\up15(－) ＝.
15．已知函数f(x)是指数函数，若f(x)过点(－2,4)，则f(f(－1))＝________.
答案　
解析　由题意，设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，f(－2)＝a－2＝4，解得a＝，则f(x)＝x，f(－1)＝－1＝2，f(2)＝2＝，∴f(f(－1))＝.
16．一种产品的成本原来是a元，在今后m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，则成本y随经过的年数x变化的函数关系为________．
答案　y＝a(1－p%)x(x∈N*，且x≤m)
解析　由成本经过x年降低到y元，得
y＝a(1－p%)x(x∈N*，且x≤m)．
四、解答题（17题16分，18-20题各18分，共70分）
17．判断下列函数是否是指数函数：
(1)y＝2x(x∈N*)；(2)y＝x eq \s\up15( ) ；(3)y＝(－3)x；
(4)y＝－3x；(5)y＝(π－3)x；(6)y＝2x－1.
解　(1)不是．该函数的定义域不是R，这个函数可称为正整数指数函数．
(2)不是．函数y＝x eq \s\up15( ) 中的自变量x在底数位置上，不在指数位置上，故不是指数函数．
(3)不是．函数y＝(－3)x的底数为－3<0，故不是指数函数．
(4)不是．函数y＝－3x中的指数式3x前的系数不是1，所以不是指数函数．
(5)是．函数y＝(π－3)x的底数满足0<π－3<1，符合指数函数的定义，是指数函数．
(6)不是．函数y＝2x－1中的指数为x－1，而不是x，所以不是指数函数．
18．某林区2019年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，预计使木材蓄积量的年平均增长率能达到5%，若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的解析式．
解　现有木材的蓄积量为200万立方米，
经过1年后木材的蓄积量为200＋200×5%＝200×(1＋5%)万立方米；
经过2年后木材的蓄积量为200×(1＋5%)＋200×(1＋5%)×5%＝200×(1＋5%)2万立方米；
…；
经过x年后木材的蓄积量为200×(1＋5%)x万立方米．
故y＝f(x)＝200×(1＋5%)x，x∈N*.
19．已知集合A＝{x|x2－7x＋10≤0}，若函数y＝(a2－2a＋1)x(a∈A)为指数函数，求实数a的取值范围．
解　集合A＝{x|x2－7x＋10≤0}＝{x|2≤x≤5}，
因为y＝(a2－2a＋1)x为指数函数，
所以解得
又因为a∈A，所以实数a的取值范围是(2,5]．
20. 为了预防流感，某学校对教室内用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系为y＝t－a(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，求药物释放完毕后，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)的函数解析式．
解　从图中可以看出，当t＝0.1时，y＝1，即可求得方程0.1－a＝1中的a＝0.1，所以药物释放完毕后，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)的函数解析式为y＝t－0.1.