2023-2024学年人教A版数学必修第一册同步检测第四章4.3.2对数的运算（含解析）

4.3.2　对数的运算
一、单项选择题(共40分)
1．若lg 2＝m，则lg 5等于(　　)
A．m B. C．1－m D.
2．化简log612－2log6的结果为(　　)
A．6 B．12 C．log6 D.
3．若a>0，a eq \s\up15( ) ＝，则loga等于(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
4.eq \f(1,log\f(1,9))＋eq \f(1,log\f(1,3))等于(　　)
A．lg 3 B．－lg 3
C. D．－
5．化简 ＋log2，得(　　)
A．2 B．2－2log23
C．－2 D．2log23－2
6．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于(　　)
A．2 B. C．100 D.
7．已知2a＝3b＝k(k≠1)，且2a＋b＝ab，则实数k的值为(　　)
A．6 B．9 C．12 D．18
8．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y等于(　　)
A．3 B．8 C．4 D．log48
二、多项选择题（每题5分共20分）
9．下列各等式正确的是(　　)
A．log23·log25＝log2(3×5)
B．lg 3＋lg 4＝lg (3×4)
C．log2＝log2x－log2y
D．lg ＝ lg m(m>0，n>1，n∈N*)
10．若ab>1，则下列等式中正确的是(　　)
A．lg (ab)＝lg a＋lg b B．lg ＝lg a－lg b
C.lg 2＝lg D．lg (ab)＝
11．已知x，y为正实数，则下列正确的是(　　)
A．2ln x＋ln y＝2ln x＋2ln y
B．2ln (x＋y)＝2ln x·2ln y
C．2ln x·ln y＝(2ln x)ln y
D．2ln (xy)＝2ln x·2ln y
12．若a>0，a≠1，x>0，n∈N*，则下列等式中正确的是(　　)
A．(logax)n＝nlogax B．logax＝－loga
C.＝logax D.＝loganx
三、填空题（共20分）
13．计算100eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1( eq \s\up15( ) ))－log98·log4＝________.
14．若logab·log3a＝4，则b的值为________．
15．已知x>0，y>0，若2x·8y＝16，则x＋3y＝________，则2－1＋log2x＋log927y＝________.
16．方程log2x＋＝1的解是x＝________.
四、解答题（17题16分，18-20题各18分共70分）
17．求值：(1)lg＋lg；
(2)log89·log2732－()lg 1＋log535－log57；
(3)log2×log3×log5；
(4)(log43＋log83)(log32＋log92)．
18．设3x＝4y＝36，求＋的值．
19．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，且2x＝py.
(1)求p的值；
(2)求证：－＝.
20．测定古植物的年代，可用放射性碳法．在植物内部含有微量的放射性元素14C，在植物死亡后，新陈代谢停止，14C就不再产生，且原有的14C会自动衰变，经过5730年(14C的半衰期)它们的残余量就只有原始含量的.经过科学测定，若14C的原始含量为a，则经过t年后的残余量a′与a之间满足关系式a′＝a·e－kt.现有一出土古植物，其中的14C的残余量占原始含量的87.9%，试推算出这个古植物生活的年代．(lg 2≈0.301，lg 0.879≈－0.056)
4.3.2　对数的运算
一、单项选择题(共40分)
1．若lg 2＝m，则lg 5等于(　　)
A．m B. C．1－m D.
答案　C
解析　lg 5＝lg＝lg 10－lg 2＝1－m.
2．化简log612－2log6的结果为(　　)
A．6 B．12 C．log6 D.
答案　C
解析　log612－2log6＝log6－log6()2＝log6－log62＝log6＝log6.
3．若a>0，a eq \s\up15( ) ＝，则loga等于(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案　B
解析　∵a eq \s\up15( ) ＝，∴a＝ eq \s\up15( ) ＝3，∴loga＝log3＝3.
4.eq \f(1,log\f(1,9))＋eq \f(1,log\f(1,3))等于(　　)
A．lg 3 B．－lg 3
C. D．－
答案　C
解析　原式＝log＋log＝log＋log＝log＝log310＝.选C.
5．化简 ＋log2，得(　　)
A．2 B．2－2log23
C．－2 D．2log23－2
答案　B
解析　∵＝＝2－log23，∴原式＝2－log23＋log23－1＝2－2log23.
6．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于(　　)
A．2 B. C．100 D.
答案　C
解析　∵lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，∴由根与系数的关系得lg a＋lg b＝－＝2＝lg ab，∴ab＝100.故选C.
7．已知2a＝3b＝k(k≠1)，且2a＋b＝ab，则实数k的值为(　　)
A．6 B．9 C．12 D．18
答案　D
解析　∵2a＝3b＝k(k≠1)，∴a＝log2k，b＝log3k，∴＝logk2，＝logk3，∵2a＋b＝ab，∴＋＝2logk3＋logk2＝logk9＋logk2＝logk18＝1，∴k＝18.
8．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y等于(　　)
A．3 B．8 C．4 D．log48
答案　A
解析　∵2x＝3，∴x＝log23.又log4＝y，∴x＋2y＝log23＋2log4＝log23＋2(log48－log43)＝log23＋2＝log23＋3－log23＝3.故选A.
二、多项选择题（每题5分共20分）
9．下列各等式正确的是(　　)
A．log23·log25＝log2(3×5)
B．lg 3＋lg 4＝lg (3×4)
C．log2＝log2x－log2y
D．lg ＝ lg m(m>0，n>1，n∈N*)
答案　BD
解析　对于A，log23＋log25＝log2(3×5)，不正确；对于B，正确；对于C，当x，y均为负数时，等式无意义；对于D，lg ＝lg m符合对数的运算法则，正确．故选BD.
10．若ab>1，则下列等式中正确的是(　　)
A．lg (ab)＝lg a＋lg b B．lg ＝lg a－lg b
C.lg 2＝lg D．lg (ab)＝
答案　CD
解析　当a<0，b<0时，A，B不成立，C，D均正确．故选CD.
11．已知x，y为正实数，则下列正确的是(　　)
A．2ln x＋ln y＝2ln x＋2ln y
B．2ln (x＋y)＝2ln x·2ln y
C．2ln x·ln y＝(2ln x)ln y
D．2ln (xy)＝2ln x·2ln y
答案　CD
解析　因为2ln x＋ln y＝2ln x·2ln y＝2ln (xy)，D正确；(2ln x)ln y＝2ln x·ln y，C正确．故选CD.
12．若a>0，a≠1，x>0，n∈N*，则下列等式中正确的是(　　)
A．(logax)n＝nlogax B．logax＝－loga
C.＝logax D.＝loganx
答案　BD
解析　根据对数的运算性质logaMn＝nlogaM(M>0，a>0，且a≠1)，可知B，D正确．
三、填空题（共20分）
13．计算100eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1( eq \s\up15( ) ))－log98·log4＝________.
答案　2
解析　100－log98·log4＝10lg 9÷10lg 4－·＝－·＝－＝2.
14．若logab·log3a＝4，则b的值为________．
答案　81
解析　logab·log3a＝·＝＝4，所以lg b＝4lg 3＝lg 34＝lg 81，∴b＝81.
15．已知x>0，y>0，若2x·8y＝16，则x＋3y＝________，则2－1＋log2x＋log927y＝________.
答案　4　2
解析　∵2x·8y＝16，∴x＋3y＝4，∴2－1＋log2x＋log927y＝2－1·2log2x＋＝＝2.
16．方程log2x＋＝1的解是x＝________.
答案　1
解析　原方程可变为log2x＋log2(x＋1)＝1，
即log2[x(x＋1)]＝1，∴x(x＋1)＝2，
解得x＝1或x＝－2.又即x>0，∴x＝1.
四、解答题（17题16分，18-20题各18分共70分）
17．求值：(1)lg＋lg；
(2)log89·log2732－()lg 1＋log535－log57；
(3)log2×log3×log5；
(4)(log43＋log83)(log32＋log92)．
解　(1)lg ＋lg ＝lg ＝lg 10＝1.
(2)log89·log2732－()lg 1＋log535－log57＝×－1＋log5＝×－1＋1＝.
(3)log2×log3×log5
＝log25－3×log32－5×log53－1
＝－3log25×(－5log32)×(－log53)
＝－15×××＝－15.
(4)(log43＋log83)(log32＋log92)
＝
＝
＝＋＋＋
＝.
18．设3x＝4y＝36，求＋的值．
解　由已知分别求出x和y，
∵3x＝36,4y＝36，∴x＝log336，y＝log436，
由换底公式，得
x＝＝，y＝＝，
∴＝log363，＝log364，
∴＋＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝log3636＝1.
19．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，且2x＝py.
(1)求p的值；
(2)求证：－＝.
解　(1)设3x＝4y＝6z＝k(k>1)，
则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k.
由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p·.
∵log3k≠0，∴p＝2log34.
(2)证明：－＝－＝logk6－logk3＝logk2，又＝logk4＝logk2，∴－＝.
20．测定古植物的年代，可用放射性碳法．在植物内部含有微量的放射性元素14C，在植物死亡后，新陈代谢停止，14C就不再产生，且原有的14C会自动衰变，经过5730年(14C的半衰期)它们的残余量就只有原始含量的.经过科学测定，若14C的原始含量为a，则经过t年后的残余量a′与a之间满足关系式a′＝a·e－kt.现有一出土古植物，其中的14C的残余量占原始含量的87.9%，试推算出这个古植物生活的年代．(lg 2≈0.301，lg 0.879≈－0.056)
解　因为a′＝a·e－kt，所以＝e－kt.
两边取以10为底的对数，得lg ＝－ktlg e.
因为14C的半衰期是5730年，
即当t＝5730时，＝.
所以lg ＝－5730klg e．所以klg e＝，
所以t＝－·lg ，
此式为计算古植物年代的公式．
因为＝0.879，所以t＝－·lg 0.879≈1066.
所以这个古植物约生活在1066年前．